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初中几何模型及常见结论的总结归纳
三角形的概念
0②三角形内角和为；①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）三角形边、角之间的关系：1800（外角和为360；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。）三角形三边中线交于一点（重心）三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;
OO2:1BO：OE?2:1DE、EF、DF分别为（如图，；为三角形的重心，重心分中线长度之比为）1DEBCAB、、ACBC BCDE且边上的中位线（三角形任意两边中点的连线）∥，三角形?。
2几何问题中的“中点”与“中线”常常是联系再一起的。因此遇到中点这样的条件（或关键词）我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考。
中线（中点）的应用：
①在面积问题中，中线往往把三角形的面积等分，如果两三角形高相同，我们往往把面积之比转化为底边更多精品文档．
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之比。（面积问题转化为线段比的问题）如上图，我们可以得到S?S，S：S?OF：AO?1:2 ABO?ACFABF??BOF?②在涉及中线有关的线段长度问题，我们往往考虑倍长中线。
如图，已知AB，AC的长，求AF的取值范围时。我们可以通过倍长中线。利用三角形边的关系在三角形ABD中构建不等关系。（）. ACAB2AF ? ?ABAC(2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）
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rOD??OF?OOOE（角平ABC的内心（内切圆的圆心）；内心如图，到三边的距离相等为三角形S20（分线的性质定理）；ABC??rCS90CBO?BAO????ACO?ABC?表；表示的面积，
ABC?ABC?C ABC?
ABC?；示的周长）关于角平分线角度问题的常见结论：
10ABOC??90??2
1A????BOC0902更多精品文档．
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1ABOC???2角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
ABBD ADABC的内角平分线，那么是三角形如图，?。CDAC
3（）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心）更多精品文档．
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COD?ABC???ACO；?ABO?O我们可以得到比较多的锐角相等如ABC如图，为三角形的垂心，（等角或同角的余等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。，此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，角相等）BECE，ABAC，的长度，求的长。若已知特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时
把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。三角形全等SSS,SAS,ASA,AAS,HL（）三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角更多精品文档．
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相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。
对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。
对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。全等三角形的基本图形：
平移类全等；对称类全等；旋转类全等；
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几何问题中常用的模型
平行和中点
三角形（梯形）的中位线。
倍长中线构造全等（八字形全等）通常是构造以中点为交叉点的八字形。
平行和角平分线
往往试图寻找等腰三角形，转化为边相等或角相等。
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直角和中点
直角三角形斜边长的中线长等于斜边的一半
中垂线（三线合一的模型）
求线段的长：①勾股定理；②把求的线段放在三角形中考虑相似。
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初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？
几何问题 初中几何常见模型解析 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②；③平分。?
（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③；④；⑤连接AD、BC，必有 ； ⑥（对角线互相垂直的四边形） ?
（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明；?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120° ?条件：①；②平分； ?结论：①；②；③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②；③ . ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 ◇请思考初始条件的变化对模型的影响。
? 如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下： 结论：①；②；③.
初中几何模型及常见结论的总结归纳 三角形的概念 三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0 360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。 三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心） 如）；DE 之到?S 如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。我们可以通过倍长 中线。利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。（AC AB AF AC AB +- 2）. (2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）
如等 OE ； r = 2
（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心） 如图，O为三角形ABC的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如 COD ABC ACO ABO∠ = ∠ ∠ = ∠；等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，若已知CE AC AB， ，的长度，求BE的长。 特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。 三角形全等 三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL） 在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。 对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。 对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。 全等三角形的基本图形： 平移类全等；对称类全等；旋转类全等；
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1 图 2
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEA=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BE=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 2 1 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O C O C D E O B C D E O C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4
初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③
?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：
初中数学九大几何模型 、手拉手模型----旋转型全等 (1)等边三角形 【条件】：△ OAB^H A OCD均为等边三角 形; D AED 【结论】：①厶OA3A OBD②/ AEB=60 :③OE平分/ 【条件】：△ OAB^H A OCD均为等腰直角三角 形; 【结论】：①厶OA3A OBD②/ AEB=90 :③OE平分/ AED E D
【结论】：①右图中△ OC3A OAB>n A OAS A OBD ②延长AC交BD于点E,必有/ BECN BOA ③ AC OD tan/OCD④BD±AC ⑤连接AD BC,必有AD2 BC2 AB 2 三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90 ° 【条件】：①/ AOB=/ DCE=90 :②0C平分/ AOB 【结论】：①CD=CE②OD+OE= 2 OC③S^DCE S A OCD s CD :⑥ S^BCD 证明提示: ①作垂直，如图2,证明△ CDM^A CEN ②过点C作CF丄OC 如图3,证明△FEC ※当/ DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）: 以上三个结论：①CD=CE ② OE-OD=''2 OC ③ S A OCE S A OCD
(2) 全等型-120 【条件】：①/ AOB=N DCE=120 :②。。平分/ AOB ：3 【结论】：① CD=CE ②OD+OE=OC ③ S^CE S ^OCD S ^OCE — OC 2 4 证明提示：①可参考“全等型 -90。”证法一； ②如右下图：在 OB 上取一点F ,使OF=OC 证明△ OCF 为等边三角形。 【条件】：①/ AOB=2i,/DCE=18O-2a;②CD=CE 【结论】：①OC 平分/ AOB ②OD+OE=2OCcos a; ③ S A DCE S A OCD S A OCE OC sin a cos a ※当/ DCE 的一边交AO 的延长线于 D 时(如右下图)： 原结论变成：① ______________________________________________________ ② ________________________________________________________ ； ③ ________________________________________________________ 。 (3)全等型-任意角a 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A D
初中常见几何模型汇总 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段
自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变换
说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转：
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 几何最终模型 对称最值(两点间线段最短)
初中数学九大几何模型 Prepared on 24 November 2020
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1图 2O C O C D E O B C D E O C D
③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S =+= 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。 （3）全等型-任意角ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ； 【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③α cos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ??=+= ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4 A
初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?<
?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等 边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90°
O D C B A 第01讲 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 图1 2 图E A B C D E F D C B A 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 O O 图1 2 图E A B C D E D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 H G E F D C B A
D C B A 105 O O 120D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 M D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。
O D C B A O D C B A O C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC>BD+CD 。 模型实例 如图，点O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ； （2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
初中数学九大几何模型 结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED 条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED 3）顶角相等的两任意等腰三角形 条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE 平分∠AED C 条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 一、手拉手模型 -- 旋转型全等 B 图 1 D C
二、模型二：手拉手模型--- 旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD∥AB，将 △OCD 旋转至右图的位置 ②延长 AC交 BD 于点E，必有∠BEC=∠BOA； ③BD= OD= OB=tan∠OCD；④BD⊥AC；AC OC OA 2 ⑤连接AD、BC，必有AD2+ BC2= AB2+CD2；⑥S 三、模型三、对角互补模型 1）全等型-90° 结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； 结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； O O △BCD 条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB B
2）全等型-120° 条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③S△DCE = S△OCD + S△OCE = 3OC2 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。 3）全等型-任意角ɑ 条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE； 结论】：①OC 平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ； ③S△DCE = S△OCD + S△OCE =OC2sinαcosα ※当∠DCE 的一边交 AO的延长线于 D 时（如右下图）：原结论变成：①
初中数学常见几何模型解析模型一：手拉手模型-全等 （1）等边三角形 条件：均为等边三角形 结论：①；②；③平分。（2）等腰 条件：均为等腰直角三角形 结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形
条件：均为等腰三角形 结论：①；②；③平分。 模型二：手拉手模型-相似 （1）一般情况 条件：，将旋转至右图位置 结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 条件：，，将旋转至右图位置 结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；
③；④；⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° 条件：①；②OC平分 结论：①CD=CE; ②；③ 证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； 当的一边交AO的延长线于点D时：
以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° 条件：①；②平分； 结论：①；②；③ 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。
当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 条件：①；②； 结论：①平分；②； ③. 当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 请思考初始条件的变化对模型的影响。 如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下：
初中数学常用几何模型及构造方法 大全， 欧阳歌谷（2021.02.01） 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段
自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角; 遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称.共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变形 说明： 模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转：
初中几何常见模型解析 ?模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 ?模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
?模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明 ； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；② ；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
初中数学九大几何模型 O D E C A B AED D O E C B A B O C E C AED D 图 2 图 2 、手拉手模型 - 旋转型全等 D E ③OE 平分∠ AED 图 2 图 1 O A B D O A O ②∠ AEB=∠AOB ； 且∠ COD=∠AOB 1）等边三角形 3）顶角相等的两任意等腰三角形 2）等腰直角三角形 图 1 图 1 C 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ； C 条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形 条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形 条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠ 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠
、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O O D E A A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA 2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90° 将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2 三、模型三、对角互补模型 1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平 分∠ AOB 结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥ S △BCD 证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S △OCD S 以上三个结论： ① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD
中考直通车·数学广州分册 第八章专题拓展 第24讲常见几何模型
【考点解读】 常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。 【考点分析】 2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。 2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。 【模型介绍】 手拉手模型： 1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结 AE 与CD ， 【结论】（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠ 2016 17 2 全等的判定及其性质、旋转模型 填空题、解答题
C D A B E F E C D B A 2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。 【结论】 （1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG =CE （3）AG 与CE 之间的夹角为ο90 （4）HD 是否平分AHE ∠？ 旋转模型： 一、邻角相等对角互补模型 【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】452ACB ACD BC CD AC ? ∠=∠=+= ① ② 二、角含半角模型：全等 角含半角要旋转：构造两次全等 F E D C B A G F E D C B A A B C D E A B C D E F
初中数学中考常见几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置 O C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1 图 2 O B C O C D E
【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S =+= 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。 O B C D E O C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4
初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角; 遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型
说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变形 说明： 模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
人教版初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分。
?模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
?模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明 为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？
初中数学几何模型总结归纳 1.中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行线延长相交 A B C D E A B C D E F E D C B A 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 G A B C D E F A B C D E 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明． 图3 图2图1 A C D E F G D E F G C D E G A B B F C B A 【解答】 （1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝ H B E G C F A D
（2）延长CG 交AB 于点I ， 易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。，且GE ⊥GC F （3） E J 【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF . （1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG . G F E D C B A E H G F E D C B A 【解答】 （1）证明△ABE ≌△ADF 即可； （2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可 【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示： J A B C D E F G H
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案） 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型
半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与