2.2.1单正态总体均值的置信区间
（1）方差已知情形
查表求满足：对于，。
对于总体中的样本，的置信区间为：
（2-4）
其中可以用norminv(1-a /2)计算。
例2.3设
1.1,
2.2, 3,3, 4.4, 5.5
为来自正态总体的简单随机样本，求的置信水平为95%的置信区
间。
解以下用Matlab命令计算：
x=[1.1,2.2,3.3,4.4,5.5];
n=length(x);
m=mean(x);
s=input(‘输入标准差s:’)
c=s/sqrt(n);
d=c*norminv(0.975);
a=m-d; b=m+d;
[a,b]
计算结果为 1.2840 5.3160
（2）方差未知情形
对于总体中的样本，的置信区间为：
（2-4）
其中为自由度的分布临界值。
数据同上，继续利用Matlab计算
S=std(x); dd=S*tinv(0.975,4)/sqrt(n);
aa=m-dd; bb=m+dd; [aa,bb]
结果为 1.1404 5.4596 程序在下面
>> x=[1.1,2.2,3.3,4.4,5.5]; n=length(x);
m=mean(x);
s=input('输入标准差s:') if (s==0)
s=std(x);
dd=s*tinv(0.975,4)/sqrt(n); aa=[m-dd,m+dd]
else
c=s/sqrt(n);
dd=c*norminv(0.975);
aa=[m-dd,m+dd]
end
第四节 正态总体的置信区间 与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色. 本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间; 4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; 5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间; 6. 双正态总体方差比的置信区间. 注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的. 分布图示 ★ 引言 ★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4 ★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 ★ 例7 ★ 例8 ★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4 内容要点 一、单正态总体均值的置信区间(1) 设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间 ,,2/2/???? ? ??+?-n u X n u X σσαα 二、单正态总体均值的置信区间(2) 设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量 n S X T /μ-=, 从第五章第三节的定理知).1(~/--= n t n S X T μ 对给定的置信水平α-1, 由 αμαα-=? ?????-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,
3. 某地200例正常成人血铅含量的频数分布如下表。 （1）简述该资料的分布特征。 （2）若资料近似呈对数正态分布，试分别用百分位数法和正态分布法估计该地正常成人血铅值的95%参考值范围。 表某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布 血铅含量频数累积频数 0.00～7 7 0.24～49 56 0.48～45 101 0.72～32 133 0.96～28 161 1.20～13 174 1.44～14 188 1.68～ 4 192 1.92～ 4 196 2.16～ 1 197 2.40～ 2 199 2.64～ 1 200 [参考答案] （1）从表可以看出，血铅含量较低组段的频数明显高于较高组段，分布不对称。同正态分布相比，其分布高峰向血铅含量较低方向偏移，长尾向血铅含量较高组段延伸，数据为正偏态分布。 某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)的频数分布 血铅含量组中值频数累积频数累积频率 0.00～0.12 7 7 3.5 0.24～0.36 49 56 28.0 0.48～0.60 45 101 50.5 0.72～0.84 32 133 66.5 0.96～ 1.08 28 161 80.5
1.20～ 1.32 13 174 87.0 1.44～ 1.56 14 188 94.0 1.68～ 1.80 4 192 96.0 1.92～ 2.04 4 196 98.0 2.16～ 2.28 1 197 98.5 2.40～ 2.52 2 199 99.5 2.64～ 2.76 1 200 100 （2）因为正常人血铅含量越低越好，所以应计算单侧95%参考值范围。 百分位数法：第95%百分位数位于1.68～组段，组距为0.24，频数为4，该组段以前的累积频数为188，故 95 (2000.95188) 1.680.24 1.80(μmol/L) 4 P ?- =+?= 即该地正常成人血铅值的95%参考值范围为小于1.80μmol/L。 正态分布法：将组中值进行log变换，根据题中表格，得到均值和标准差计算表。 某地200例正常成人血铅含量(μmol/L)均值和标准差计算表 血铅含量组中值lg组中值(x) 频数(f) fx2fx 0.00～0.12 -0.92 7 -6.44 5.9248 0.24～0.36 -0.44 49 -21.56 9.4864 0.48～0.60 -0.22 45 -9.9 2.178 0.72～0.84 -0.08 32 -2.56 0.2048 0.96～ 1.08 0.03 28 0.84 0.0252 1.20～ 1.32 0.12 13 1.56 0.1872 1.44～ 1.56 0.19 14 2.66 0.5054 1.68～ 1.80 0.26 4 1.04 0.2704 1.92～ 2.04 0.31 4 1.24 0.3844 2.16～ 2.28 0.36 1 0.36 0.1296 2.40～ 2.52 0.40 2 0.80 0.3200 2.64～ 2.76 0.44 1 0.44 0.1936 合计——200 -31.52 19.8098
应用Excel求置信区间 一、总体均值的区间估计 （一）总体方差未知 例：为研究某种汽车轮胎的磨损情况，随机选取16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止。记录所行驶的里程（以公里计）如下： 假设汽车轮胎的行驶里程服从正态分布，均值、方差未知。试求总体均值μ的置信度为的置信区间。 步骤：
1.在单元格A1中输入“样本数据”，在单元格B4中输入“指标名称”，在单元格C4中输入“指标数值”，并在单元格A2：A17中输入样本数据。 2.在单元格B5中输入“样本容量”，在单元格C5中输入“16”。 3.计算样本平均行驶里程。在单元格B6中输入“样本均值”，在单元格C6中输入公式：“=AVERAGE（A2，A17）”，回车后得到的结果为。
4.计算样本标准差。在单元格B7中输入“样本标准差”，在单元格C7中输入公式：“＝STDEV(A2，A17)”，回车后得到的结果为。 5.计算抽样平均误差。在单元格B8中输入“抽样平均误差”，在单元格C8中输入公式：“＝C7/SQRT(C5)” ，回车后得到的结果为。 6.在单元格B9中输入“置信度”，在单元格C9中输入“”。 7.在单元格B10中输入“自由度”，在单元格C10中输入“15”。 8.在单元格B11中输入“t分布的双侧分位数”，在单元格C11中输入公式：“ ＝TINV(1-C9，C10)”，回车后得到α＝的t分布的双侧分位数t＝。 9.计算允许误差。在单元格B12中输入“允许误差”，在单元格C12中输入公式：“＝C11*C8”，回车后得到的结果为。
10.计算置信区间下限。在单元格B13中输入“置信下限”，在单元格C13中输入置信区间下限公式：“＝C6－C12”，回车后得到的结果为。 11.计算置信区间上限。在单元格B14中输入“置信上限”，在单元格C14中输入置信区间上限公式：“＝C6＋C12”，回车后得到的结果为。 （二）总体方差已知 仍以上例为例，假设汽车轮胎的行驶里程服从正态总体，方差为10002，试求总体均值μ的置信度为的置信区间。
2017年公卫助理：总体率的置信区间试题本卷共分为1大题50小题，作答时间为180分钟，总分100分，60分及格。 一、单项选择题（共50题，每题2分。每题的备选项中，只有一个最符合题意） 1.HOCI和OCI-的杀菌效果为( c )。 A. HOCI的杀菌效果与OCI-相同 B. HOCI的杀菌效果与OCI-低80倍 C. HOCI的杀菌效果与OCI-高80倍 D. HOCI的杀菌效果与OCI-低20倍 E. HOCI的杀菌效果与OCI-高20倍 2.高温车间是指 A.夏季车间内气温超过30℃ B.车间内气温比室外夏季设计通风计算温度高2℃及以上 C.夏季车间内气温超过35℃ D.车间内热源散热量每小时每m3大于50kcal E.未明确规定 [正确答案]：B 3.甲氧苄啶的抗菌机制是抑制细菌的 A.二氢叶酸合成酶 B.四氢叶酸合成酶
C.二氢叶酸还原酶 D.DNA回旋酶 E.RNA聚合酶 正确答案:C 4.硝酸甘油的不良反应主要是由哪种作用所致 A.心排出量减少 B.血压降低 C.耗氧量减少 D.血管扩张 E.心肌血液的重新分布 正确答案:D 5. 社会医学研究工具(问卷或量表)的效度评价不包括( B ) A 表面效度B质量效度C 结构效度D 内容效度 6. 下列何药可诱发支气管哮喘 A.甲基多巴 B.利舍平 C.呱乙啶 D.普萘洛尔 E.硝苯地平
正确答案:D 7. 环磷酰胺的不良反应不包括 A.血压升高 B.恶心、呕吐 C.脱发 D.骨髓抑制 E.出血性膀胱炎 正确答案:A 8. 粉尘对人体可有以下作用 A.致纤维化 B.刺激 C.中毒 D.致敏 E.以上全部 9. 下列哪项不是文化的基本特征( C ) A 历史性 B 现实性 C 创造性 D 渗透性 10. 问卷的一般结构包括(A ) A、封面信——指导语——问题及答案——编码
第6章总体率的区间估计和假设检验 ?掌握率的抽样误差的概念和意义 ?掌握总体率区间估计的概念意义和计算方法 ?掌握率的U检验的概念和条件，计算方法 ?第一节率的抽样误差与总体率的区间估计 一、率的抽样误差：在同一总体中按一定的样本含量n抽样,样本率和总体率或样本率之间也存在着差异，这种差异称为率的抽样误差。 例6.1 检查居民800人粪便中蛔虫阳性200人，阳性率为25%，试求阳性率的标准误。 本例：n=800，p=0.25，1-p=0.75， % 53 .1 0153 .0 800 75 .0 25 .0 = = ? = p S 二、总体率的区间估计 ㈠正态分布法 样本含量n足够大，np与n(1-p)均≥5时, 例6.2 求例6.1当地居民粪便蛔虫阳性率的95%可信区间和99%的可信区间。 95%的可信区间为：25%±1.96×1.53% 即（22.00%，28.00%） 99%的可信区间为：25%±2.58×1.53% 即（21.05%，28.95%）㈡查表法 当样本含量较小（如n≤50），np或n(1－p)<5时，样本率的分布呈二项分布，总体率的可信区间可据二项分布的理论求得。 第二节率的u检验 应用条件：样本含量n足够大，np与n(1－p)均≥5 。 此时，样本率p也是以总体率为中心呈正态分布或近似正态分布的。 一、样本率与总体率比较的u ?u值的计算公式为： 例6.5 根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20%(总体率)发生胃出血症状。现某医生观察65岁以上胃溃疡病人152例，其中48例发生胃出血，占31.6%（样本率）。问老年胃n p ) 1(π π σ - = n p p S p ) 1(- = p S u p α ± n p p u p ) 1 ( | | | | π π π σ π - - = - =
OR的置信区间及如何由置信区间求解标准差 董圣杰(Dongsj) 02-08-2014
关于OR 、lnOR 及置信区间的计算 暴露非暴露合计处理组 59（a ）28（b ）87（n1）对照组 8（c ） 33（d ） 41（n2） 合计67（m1）61（m2）128（N ） 1、处理组的暴露比值=a/b ，对照组的暴露比值=c/d ，两组的优势比OR= a b c d = ad bc 2、OR 置信区间的计算：主要有计算方法，即Miettinen 法和Woolf 法，其中Woolf 法 是Meta 分析中采用的方法；先简单介绍两种方法。 (1) Miettinen 法：计算中要利用四个表的卡方值，计算如下： (2) Woolf 法：该法采用了对数转换，利用了正态分布的进行计算，总体OR 的α的置信区间： 59338.69 828 OR ?==?()()()()() 2 226.07 ad bc n a b c d a c b d χ-?==++++() /2 2 1.961126.07 8.69 3.39,19.93Z OR αχ ±± ==标准正态分布的分位数 [] /2lnOR exp lnOR Z SE α±?ln 111111110.456 5928833 OR SE a b c d =+++=+++=()() exp ln 8.69 1.960.456 3.56,21.24±?=
如何采用Stata计算OR及其置信区间命令很简单： Woolf法计算的结果
知道置信区间如何求解标准差（误） ?经典统计学置信区间的计算，是通过构建枢轴量，根据枢轴量的分布获得的。
第19讲 正态总体参数的区间估计 教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行 区间估计的方法。 教学重点：置信区间的确定。 教学难点：对置信区间的理解。 教学时数： 2学时。 教学过程： 第六章 参数估计 §6.3正态总体参数的区间估计 1. 区间估计的概念 我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计?θ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。 设?θ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即 ?{||}1P θθεα -<=- 或 αεθθεθ-=+<<-1)??(P 这表明，随机区间)?,?(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)?,?(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。 定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得 12{}1P θθθα <<=-
则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。 注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。 （2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。对于置信水平为1α-的置信区间12(,)θθ，一方面置信水平1α-越大，估计的可靠性越高；另一方面区间12(,)θθ的长度(2)ε越小，估计的精确性越好。但这两方面通常是矛盾的，提高可靠性通常会使精确性下降（区间长度变大），而提高精确性通常会使可靠性下降（1α-变小），所以要找两方面的平衡点。 在学习区间估计方法之前，我们先介绍标准正态分布的α分位点概念。 设 () ~0,1X N ，若 z α 满足条件 { },01 P X z α αα>=<<，则称点z α为标准正态分布的α分位点。例如求0.01z 。按照α分位点定义，我们有 {}0.010.01P X z >=，则{}0.010.99P X z ≤=，即0.01()0.99z φ=。查表可得0.01 2.327z =. 又 由()x ?图形的对称性知1z z αα-=-。下面列出了几个常用的z α值： 2. 正态总体均值μ的区间估计 设已给定置信水平为1α-，总体()2~,X N μσ，12,,,n X X X 为一个样本，2 ,X S 分别是样本均值和样本方差。