2019—2020学年新人教A 版必修一 对数函数 教案
1．对数的概念
一般地，如果a x
＝N (a 〉0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0，且a ≠1，M 〉0，N 〉0，那么: ①log a （MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N
＝log a M －log a N ； ③log a M n
＝n log a M (n ∈R ）． (2）对数的性质 ①log a N
a
＝N ；②log a a N
＝N （a 〉0，且a ≠1）．
（3)对数的换底公式
log a b ＝错误!（a 〉0,且a ≠1；c 〉0,且c ≠1；b 〉0)． 3．对数函数的图象与性质
y ＝log a x a >1 0〈a 〈1
图象
定义域 (1)（0，＋∞)
值域
(2）R
性质
（3）过定点(1，0）,即x ＝1时,y ＝0
（4)当x >1时，y 〉0；当0 〈1时，y 〈0 (5）当x 〉1时,y 〈0；当0 (6)在(0,＋∞)上是增函数 （7)在(0，＋∞）上是减函 数 4.反函数 指数函数y ＝a x (a 〉0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x （a 〉0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 概念方法微思考 1．根据对数换底公式:①说出log a b ，log b a 的关系？ ②化简log m n a b 。 提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m n a b ＝错误!log a b . 2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系． 提示 0 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×") （1）若MN 〉0,则log a （MN )＝log a M ＋log a N 。（ × ） （2)对数函数y ＝log a x （a 〉0且a ≠1）在（0，＋∞)上是增函数．（ × ） (3）函数y ＝ln 错误!与y ＝ln （1＋x ）－ln （1－x ）的定义域相同．（ √ ) （4）对数函数y ＝log a x （a 〉0且a ≠1）的图象过定点（1，0)且过点(a ，1)，错误!，函数图象只在第一、四象限．（ √ ） 题组二 教材改编 2．[P68T4］log 29·log 34·log 45·log 52＝. 答案 2 3．[P82A 组T6]已知a ＝21 3 －,b ＝log 21 3 ,c ＝12 log 错误!，则a ，b ，c 的大小关系为． 答案 c >a 〉b 解析 ∵0 log 错误!＝log 23>1. ∴c 〉a 〉b 。 4．［P74A 组T7］函数y ＝错误!的定义域是． 答案 错误! 解析 由23 log （2x －1)≥0，得0〈2x －1≤1。 ∴1 2 5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 答案 B 6．已知函数y＝log a（x＋c）(a，c为常数，其中a〉0,a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是( ) A．a>1，c〉1B．a>1，0 C．0 答案 D 解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0 7．若log a错误!<1(a〉0且a≠1），则实数a的取值范围是． 答案错误!∪（1，＋∞) 解析当0 当a〉1时，log a错误!〈log a a＝1,∴a>1. ∴实数a的取值范围是错误!∪(1，＋∞）. 题型一对数的运算 1．设2a＝5b＝m，且错误!＋错误!＝2，则m等于( ） A。错误!B．10C．20D．100 答案 A 解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 则错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log m2＋log m5＝log m10＝2. 解得m＝10. 2．计算：错误!÷100 1 2 － ＝。 答案－20 解析原式＝（lg2－2－lg52)×1001 2＝lg错误!×10 ＝lg10－2×10＝－2×10＝－20. 3．计算：错误!＝。 答案 1 解析 原式＝错误! ＝错误! ＝错误!＝错误!＝错误!＝1。 4．设函数f （x )＝3x ＋9x ，则f （log 32）＝. 答案 6 解析 ∵函数f （x )＝3x ＋9x ， ∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6。 思维升华对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 题型二 对数函数的图象及应用 例1(1）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时，f (x )＝ln （x ＋1)，则函数 f （x ）的大致图象为( ) 答案 C 解析 先作出当x ≥0时，f （x ）＝ln （x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0）,再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x ）在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示． （2)函数f (x )＝2x ｜log 0。5x |－1的零点个数为（ ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 函数f (x )＝2x ｜log 0。5x ｜－1的零点个数即方程｜log 0.5x ｜＝错误!x 的解的个数,即函数y ＝｜log 0.5x |与函数y ＝错误!x 图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点． （3)当0〈x ≤错误!时，4x 〈log a x ，则a 的取值范围是( ） A.错误!B。错误!C．(1，错误!） D．（错误!，2) 答案 B 解析由题意得,当0〈a〈1时,要使得4x〈log a x错误!， 即当0〈x≤错误!时,函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝错误!时， 1 2 4 ＝2，即函数y＝4x的图象过点错误!.把点错误!代入y＝log a x，得a＝错误!.若函数y＝4x 的图象在函数y＝log a x图象的下方,则需错误!〈a<1(如图所示）． 当a>1时,不符合题意，舍去． 所以实数a的取值范围是错误!. 引申探究 若本例(3）变为方程4x＝log a x在错误!上有解，则实数a的取值范围为． 答案错误! 解析若方程4x＝log a x在错误!上有解，则函数y＝4x和函数y＝log a x在错误!上有交点，由图象知错误!解得0 思维升华 (1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1（1)函数y＝2log4（1－x）的图象大致是（） 答案 C 解析函数y＝2log4（1－x）的定义域为（－∞，1）,排除A，B;又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.故选C。 (2）已知函数f（x)＝错误!且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是． 答案 （1，＋∞) 解析 如图,在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距． 由图可知,当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点． 题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较对数值的大小 例2 （2018·潍坊模拟）已知a ＝错误!23 ，b ＝错误!23 ，c ＝34 log 错误!，则a ，b ,c 的大 小关系是( ) A ．a 〈b 解析 由幂函数性质，可知幂函数f （x ）＝23 x 在(0，＋∞)上为单调递增函数， 所以错误!23<错误!23 <1，即0〈a 〈b 〈1， 又由对数函数的性质可知c ＝34 log 错误!>34 log 错误!＝1， 所以错误!23 <错误!23 〈1<34 log 错误!，即a 〈b 〈c ，故选A. 命题点2 解对数方程、不等式 例3(1)方程log 2（x －1）＝2－log 2（x ＋1)的解为． 答案 x ＝错误! 解析 原方程变形为log 2（x －1)＋log 2（x ＋1）＝log 2(x 2 －1)＝2，即x 2 －1＝4，解得x ＝±错误!，又x >1,所以x ＝错误!. (2)已知不等式log x (2x 2 ＋1)〈log x （3x )<0成立，则实数x 的取值范围是． 答案 错误! 解析 原不等式?①错误! 或②错误! 解不等式组①得错误!〈x <错误!，不等式组②无解． 所以实数x 的取值范围为错误!. 命题点3 对数函数性质的综合应用 例4(1）若函数f （x ）＝log 2（x 2 －ax －3a ）在区间(－∞，－2］上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，4） B ．（－4,4］ C ．(－∞,－4)∪［－2,＋∞） D ．［－4，4） 答案 D 解析 由题意得x 2 －ax －3a 〉0在区间（－∞,－2]上恒成立且函数y ＝x 2 －ax －3a 在（－∞，－2]上单调递减，则错误!≥－2且（－2）2 －（－2)a －3a 〉0，解得实数a 的取值范围是［－4,4），故选D 。 (2)函数f （x ）＝log 2x · (2x )的最小值为． 答案 －错误! 解析 依题意得f （x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x ）＝(log 2x )2＋log 2x ＝错误!2－错误!≥－错误!， 当log 2x ＝－错误!，即x ＝错误!时等号成立，所以函数f （x ）的最小值为－错误!。 （3)已知函数f (x ）＝错误!若f (x ）的值域为R ,则实数a 的取值范围是． 答案 （1，2] 解析 当x ≥1时，f (x ）＝1＋log 2x ≥1，当x 〈1时，f （x ）＝（a －1)x ＋4－2a 必须是增 函数,且最大值大于或等于1才能满足f （x ）的值域为R ，可得? ?? ?? a －1>0， a －1＋4－2a ≥1，解得 a ∈（1,2]． 思维升华利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 跟踪训练2 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52,c ＝log 23，则( ） A ．a >c 〉b B ．b 〉c >a C ．c >b >a D ．c >a 〉b 答案 D 解析 a ＝log 32 又c＝log23>log22＝1,所以c最大． 由1〈log23 所以c〉a>b。 (2)已知函数f（x)＝log a（8－ax）（a〉0，且a≠1),若f(x)〉1在区间［1，2］上恒成立，则实数a的取值范围是． 答案错误! 解析当a>1时,f（x)＝log a（8－ax）在[1，2］上是减函数,由f（x）〉1在区间[1，2］上恒成立， 则f（x)min＝f（2)＝log a（8－2a）〉1，且8－2a〉0， 解得1〈a〈错误!。 当0 由f(x）〉1在区间［1,2]上恒成立， 知f(x）min＝f（1）＝log a(8－a）>1，且8－2a〉0。 ∴a〉4，且a〈4，故不存在． 综上可知，实数a的取值范围是错误!。 比较指数式、对数式的大小 比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是： （1）比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1。 例（1)设a＝60.4，b＝log0。40.5,c＝log80.4,则a，b，c的大小关系是________． 答案c〈b 解析∵a＝60。4〉1，b＝log0。40.5∈（0，1）， c＝log80。4〈0,∴a>b〉c。 （2）已知a＝log23＋log23，b＝log29－log2错误!,c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b C．a〈b 答案 B 解析因为a＝log23＋log2错误!＝log23错误!＝错误!log23>1,b＝log29－log2错误!＝log23错误!＝a，c＝log32 (3)若实数a ，b ，c 满足log a 2〈log b 2〈log c 2，则下列关系中不可能成立的是_______．(填序号） ①a 〈b 〈c ；②b 解析 由log a 2〈log b 2 解析 ∵a ＝log 0。20。3>log 0.21＝0， b ＝log 20。3 ∵错误!＝错误!＋错误!＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0。30。4， ∴1＝log 0.30。3>log 0。30.4>log 0.31＝0， ∴0< a ＋b ab <1，∴ab 〈a ＋b 〈0。 （5）已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞）时，f （x ）＝|log 2x ｜，若a ＝f (－3），b ＝f 错误!，c ＝f （2），则a ,b ，c 的大小关系是． 答案 b 〉a >c 解析 易知y ＝f (x ）是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f 错误!＝|log 2x |,且当x ∈［1，＋∞）时，f （x ）＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f （3)，b ＝f 错误!＝f (4）,所以b >a 〉 c 。 1．log 29·log 34等于( ) A 。错误!B.错误!C ．2D ．4 答案 D 解析 方法一 原式＝错误!·错误!＝错误!＝4。 方法二 原式＝2log 23·错误!＝2×2＝4。 2．(2018·宁夏银川一中模拟）设a ＝0。50。4 ，b ＝log 0。40.3,c ＝log 80。4，则a ，b ,c 的大 小关系是（ ) A ．a 〈b C ．c D ．b 解析 ∵0 0。4 <0。50 ＝1， b ＝log 0.40。3〉log 0.40.4＝1， c ＝log 80。4〈log 81＝0, ∴a ，b ，c 的大小关系是c 3．已知函数f (x )＝错误!则f (f （1））＋f 错误!的值是( ) A ．5B ．3C ．－1D.错误! 答案 A 解析 由题意可知f (1)＝log 21＝0， f （f （1))＝f （0）＝30＋1＝2， f 错误!＝3 31 log log 22 3 13－＋＝＋1＝2＋1＝3， 所以f （f (1)）＋f 错误!＝5。 4．函数f （x ）＝错误!（0 答案 C 解析 当x 〉0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x 〈0时,f (x ）＝－log a （－x ）单调递减，排除D.故选C 。 5．已知函数f (x )＝ln 错误!，若f 错误!＋f 错误!＋…＋f 错误!＝1009（a ＋b ），则a 2 ＋b 2 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 ∵f (x ）＋f （e －x )＝2， ∴f 错误!＋f 错误!＋…＋f 错误!＝2018, ∴1009(a ＋b ）＝2018,∴a ＋b ＝2. ∴a 2 ＋b 2 ≥错误!＝2， 当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 6．若函数f (x )＝log a 错误!(a >0,a ≠1)在区间错误!内恒有f (x )>0，则f （x )的单调递增区 间为( ） A ．(0,＋∞） B ．（2,＋∞) C ．（1，＋∞） D.错误! 答案 A 解析 令M ＝x 2 ＋错误!x ，当x ∈错误!时，M ∈（1，＋∞），f (x ）>0，所以a >1，所以函数 y ＝log a M 为增函数,又M ＝错误!2－错误!， 因此M 的单调递增区间为错误!。 又x 2 ＋错误!x >0，所以x >0或x <－错误!， 所以函数f （x )的单调递增区间为(0，＋∞）． 7．已知a >b >1。若log a b ＋log b a ＝错误!，a b ＝b a ，则a ＝,b ＝。 答案 4 2 解析 令log a b ＝t ，∵a >b 〉1,∴0〈t <1，由log a b ＋log b a ＝错误!，得t ＋错误!＝错误!，解得t ＝错误!或t ＝2（舍去）,即log a b ＝错误!，∴b ＝错误!，又a b ＝b a ，∴a a ＝（错误!） a ，即a a ＝2 a a ，即a ＝错误!，解得a ＝4，∴ b ＝2。 8．设函数f （x )＝错误!则满足f （x )≤2的x 的取值范围是． 答案 [0，＋∞) 解析 当x ≤1时，由2 1－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1； 当x 〉1时，由1－log 2x ≤2,解得x ≥错误!，所以x 〉1。 综上可知x ≥0。 9．设实数a ，b 是关于x 的方程｜lg x ｜＝c 的两个不同实数根,且a 〈b 〈10，则abc 的取值范围是． 答案 （0，1) 解析 由题意知，在（0，10）上，函数y ＝|lg x ｜的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0〈c 10．已知函数f (x )＝ln 错误!，若f (a ）＋f （b )＝0，且0〈a 〈b 〈1，则ab 的取值范围是． 答案 错误! 解析 由题意可知ln 错误!＋ln 错误!＝0， 即ln 错误!＝0,从而错误!×错误!＝1， 化简得a ＋b ＝1， 故ab＝a(1－a）＝－a2＋a＝－错误!2＋错误!， 又0 ∴0 11．设f（x）＝log a（1＋x）＋log a(3－x)(a>0，且a≠1)，且f（1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2）求f（x）在区间错误!上的最大值． 解（1）∵f(1）＝2，∴log a4＝2(a〉0，且a≠1）, ∴a＝2。由错误!得－1〈x<3， ∴函数f（x）的定义域为（－1,3）． (2）f（x）＝log2(1＋x）＋log2(3－x） ＝log2［（1＋x）(3－x)]＝log2［－（x－1)2＋4］, ∴当x∈(－1,1］时，f(x）是增函数； 当x∈（1，3)时，f（x）是减函数, 故函数f(x）在错误!上的最大值是f(1）＝log24＝2. 12．(2018·长沙模拟)已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,f(0)＝0，当x>0时,f（x) log x. ＝ 1 2 （1)求函数f（x)的解析式; (2)解不等式f(x2－1)〉－2. 解(1)当x<0时，－x>0， log(－x)． 则f(－x）＝ 1 2 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x）＝f（x)． log（－x)， 所以x<0时，f(x)＝ 1 2 所以函数f(x)的解析式为 f（x）＝错误! log4＝－2，f（x）是偶函数， (2)因为f（4)＝ 1 2 所以不等式f（x2－1）>－2可化为f(｜x2－1｜）>f（4)． 又因为函数f(x）在（0,＋∞）上是减函数，所以0〈|x2－1|<4，解得－错误!〈x〈错误!且x≠±1， 而x2－1＝0时，f（0)＝0〉－2,所以x＝1或x＝－1。 所以－5〈x< 5. 所以不等式的解集为{x|－错误!〈x〈错误!}． 13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080 .则下列各数中与错误!最接近的是( ） （参考数据:lg3≈0。48) A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093 答案 D 解析 由题意，lg 错误!＝lg 错误!＝lg3361 －lg1080 ＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93。28。 又lg1033 ＝33，lg1053 ＝53，lg1073 ＝73，lg1093 ＝93， 故与M N 最接近的是1093 。故选D. 14．已知函数f （x ）＝log a (2x －a ）在区间错误!上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A 。错误!B.错误!C 。错误!D 。错误! 答案 A 解析 当0〈a <1时，函数f （x )在区间错误!上是减函数，所以log a 错误!>0，即0〈错误!－ a <1，解得1 3 以log a (1－a ）>0，即1－a >1，解得a 〈0,此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是错误!。 15．若函数f (x ）＝log a (x 2 －x ＋2）在区间［0，2]上的最大值为2，则实数a ＝。 答案 2 解析 令u （x )＝x 2 －x ＋2,则u (x )在［0，2]上的最大值u (x ）max ＝4，最小值u （x )min ＝74。 当a >1时,y ＝log a u 是增函数,f （x ）max ＝log a 4＝2，得a ＝2； 当0〈a 〈1时，y ＝log a u 是减函数，f （x )max ＝log a 错误!＝2，得a ＝错误!(舍去）．故a ＝2。 16．已知函数f （x )＝lg 错误!。 (1）计算：f （2020）＋f （－2020); （2)对于x ∈［2,6]，f (x ） 又f (x ）＋f （－x ）＝lg 错误!＝0，∴f (x )为奇函数．故f （2020)＋f （－2020)＝0。 (2)当x ∈[2,6]时，f (x ) 又当x ∈［2，6］时，（x －1)（7－x ）＝－x 2 ＋8x －7＝－（x －4)2 ＋9。 ∴当x＝4时,[(x－1）（7－x)］max＝9,∴m>9。即实数m的取值范围是(9，＋∞）． 《对数函数》教学设计 一、教材分析 本小节选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材-数学（基础模块上册）》第四章，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料： 如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……， 《对数函数》教学课案 一、教材分析 本节课就是新课标高中数学必修①中第三章对数函数内容得第二课时,也就就是对数函数得入门、对数函数对于学生来说就是一个全新得函数模型,学习起来比较困难、而对数函数又就是本章得重要内容,在高考中占有一定得分量,它就是在指数函数得基础上,对函数类型得拓广,同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要得作用、通过本节课得学习,可以让学生理解对数函得概念,从而进一步深化对对数模型得认识与理解。同时,通过对数概念得学习,对培养学生对立统一,相互联系、相互转化得思想,培养学生得逻辑思维能力都具有重要得意义、二、学情分析 大部分学生学习得自主性较差,主动性不够,学习有依赖性,且学习得信心不足,对数学存在或多或少得恐惧感、通过对指数函与指数函数得学习,学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化得思想,并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定得锻炼、因此,学生已具备了探索发现研究对数函数定义得认识基础,故应通过指导,教会学生独立思考、大胆探索与灵活运用类比、转化、归纳等数学思想得学习方法、 三、设计思路 学生就是教学得主体,本节课要给学生提供各种参与机会、为了调动学生学习得积极性,使学生化被动为主动、本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发,从中认识对数得模型,体会引入对数得必要性、在教学重难点上,步步设问、启发学生得思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论得方式来加深理解,很好地突破难点与提高教学效率、让学生在教师得引导下,充分地动手、动口、动脑,掌握学习得主动权、 四、教学目标 1、理解对数函数得概念,了解对数函数与指数函数得关系;理解对数函数得性质,掌握以上知识并形成技能、 2、通过对数函数得学习,树立相互联系,相互转化得观点,渗透数形结合,分类讨论得思想. 、 2.3对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1． （1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A．B．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A．B．C．0 D． 3．函数的值域是（） A．B．[0,1] C．[0,D．{0} 4．设函数的取值范围为（） A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算= ． 7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求． 8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为． 9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是． 10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数在区间上的最值． (2)已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案： 对数 教学目的：（1）理解对数的概念； （2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化． 教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一、引入课题 1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要 性； 设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 2． 尝试解决本小节开始提出的问题． 二、新课教学 1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ） ，记作： N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○ 1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 思考：○ 1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○ 2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数： ○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化 x N a =log ? N a x = 对数式 ? 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例1．（教材P 73例1） 巩固练习：（教材P 74练习1、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念． 对数的概念教学案例设计 一、教学内容分析 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。 2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。 难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A 版 xx 高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数． 复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系． 1． 对数的概念 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __ 叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2． 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3． 对数函数的图象与性质 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． [难点正本 疑点清源] 1． 对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或00； 当a >1且01时，log a b <0. 2． 对数函数的定义域及单调性 对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论． 3． 关于对数值的大小比较 (1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较． 1． (xx·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________． 答案 ? ?? ??－12，＋∞ 解析 函数f (x )的定义域为? ?? ??－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1 (t >0)． 因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在? ?? ??－12，＋∞上为增函数，所 以函 《对数函数及性质》教学及反思 市新洲区城关高中军平430400 一、教材分析 本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》（人教版）第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第一课时），主要容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个容十分熟悉，但新教材相对于以往老教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念的教学，是目前大家十分关注的课题，本人选择这课题力求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转型阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力又不高，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要根据学生的已有的认知结构，找准切入点，控制好教学标高，关注知识的生成过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1、知识与技能 对数函数的概念，熟悉对数函数的图象。 2、过程与方法 通过对比指数函数的学习，作出并观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质。 3、情感、态度与价值观 培养学生数形结合的思想以及分析问题的能力。 五、教学重点与难点 重点是理解对数函数的定义、掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程 对数函数的图像和性质 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一刚刚接触到的新概念，不易理解，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法，因此，选择这节课让学生自主研究对数函数的性质。 学生可以选择描点作图的方法来研究对数函数的图像与性质，也可以选择使用教学软件来研究函数的图像与性质，还可以通过研究指数函数反函数的方法来研究对数函数的图像和性质等。 三、教学目标： 1、会画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 2、对于函数的性质与函数图像的形态之间的关系有一个初步的整体的理解，体会研究函数性质的过程中数形结合、分类讨论归纳的数学思想方法在研究问题过程中的体现。 3、培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯。 四、教学重点： 1、了解对数函数的定义； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动： 《对数函数》优秀教案 一、教材分析 对数函数是在学习指数函数、对数的基础上引入的，由此我制定了这样的教学目标。 1、通过指数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。 2、在教学过程中，通过数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展学生的逻辑思维能力，提高他们的信息检查和整合能力。 教学重点：对数函数的概念、图象和性质． 教学难点：由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。 二、指导思想和教学方法 利用多媒体辅助教学，通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质，同时在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。 三、教学过程 1、提出问题 我们来看下上节课的2.1.2的例8：截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？ 1999年底，我国人口约13亿； 经过1年（即2000年），人口数为13+13*1%=13*（1+1%)(亿） 经过2年（即2001年），人口数为13*（1+1%）+13*（1+1%）*1%=13*（1+1%）2（亿） 经过3年（即2002年），人口数为13*（1+1%）2+13*（1+1%）2*1%=13*(1+1%)3（亿） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 所以经过x 年，人口数为y=x %)11(*13+=x 01.1*13（亿） 当x=20时，1601.1*1320≈=y （亿） 所以经过20年后我国人口数最多为16亿。 咱们上节课的例题，我们能从关系式x y 01.1*13=中，算出任意一个年头x 的人口总数，那反之，如果问，哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿，该如何解决？ 上述问题实际上就是从x x x 01.113 30,01.11320,01.11318===，...中分别求出x ，即已知底数和幂的值，求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题， 通过我们学习的对数表示方法，咱们可以把上面的式子表示成：x y =01.1log ，其中 》教案设计《对数函数及其性质1 本节是学习指.一、教案分析1、教案内容教案内容为对数函数的概念、图象及性质数、指数函数和对数的后继内容，根据描点法，作出对数函数的图象以及得到相应的对数对数函数既是指数函数的反函数，也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广泛.函数性质有利于进一步加深对函数.的重要初等函数之一，其研究方法以及研究的问题具有普遍意义、学生学习情.2思想方法的 理解，为进后面一步探究函数的综合应用起到承上启下的作用况分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，学生在学习过程中，仍保留着初中生许多由于函数概.学习特点，能力发展正处于 形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教案要求较低，学生运算能力较弱，教师必须认识到这一点，教案中要有控制的拔高，. 这双重问题增加了对数函数教案的难度但是只要让学生类比指数函数的研究方法，通过课件演示，通过数形结合，.关注学习过程a1)a?a?0且?ylogx (取不同值时反映出不同函数图象，并让学 生观中，让其感受a察、发现、归纳出图象的特征、函数图象的规律.3、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教案首先要挖掘其与指数的联系，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，改变学生的学习方式.4、教案目标4.1知识技能 （1）掌握对数函数的概念、图像及性质.（2）应用对数函数性质，掌握求简单对数型函数定 义域的方法；（3）掌握三种简单的分别比较对数、真数和底数大小的方法.4.2过程与方法利用指数函数以及性质导出对数函数概念和相应的函数，在学习和应用对数函数性质的过程中，着重数学思想方法的培养.（1）类比的思想.指数函数和对数函数概念和性质的类比.（2）对称的思想.底数互为倒数的两个对数函数关于横轴对称. （3）数形结合思想.通过函数图像研究函数的代数性质，以及通过函数表达式探究函数的几何性质，学习和领会图形语言与符号语言之间的相互转化，并能运用这些语言表达有关函数的性质.（4）分类讨论的思想.根据对数函数的底数大于1或小于1的不同情况进行讨论，初步了解分类的原则，体会分类讨论的思想.4.3情感、态度和价值观通过指数函数类比引入对数函数的概念，揭示数学类比和对称的思想，使学生感受到数学中的对称美.同时使学生了解对数函数的概念来 自于实践，激发学生学习的兴趣，增强应用数学的意识. 二、教案方法与策略根据本节课的教材特点以及学生的实际情况，尝试运用“问题探究式” 教案法.采取“设问引入—类比构建—探究反馈”的方式，力图通过创设问题情境、分析问题和 解决问题的一系列过程，组织学生主动参与、主动探究有关问题，形成以学生为中心的各种形式的探索性学习活动.引导学生步步深入地参与到课堂教案活动中来，尝试探求将问题“一般化” 的方法.三、教案手段 多媒体辅助教案.利用计算机绘图的快速显示等特点对某些对数函数几何性质进行再现，运用直 观认识、操作确认、思辨论证等方法，充分提高课堂效率.四、学习指导1、学情分析 本节内容是在学习了指数、指数函数图象及其性质和对数的基础上，进一步学习对数函数图象及其性质.因此，在学生的认知结构中已有指数和指数函数及其性质和对数的知识结构，通过类比、探究等学习活动，学习对数函数图象及其性质.2、学习方式与策略2.1 设置一系列的教案活动，让学生在探究过程中，培养学生自主学习、独立思考的.自主学习． 能力.充分发挥学生学习的主动性、自觉性，在问题的解决过程中，学习分析问题、解决问题的 方法，形成良好的学习习惯和思维方式，提高学生的自学和迁移能力. 五、教案过程 对数函数 典例分析 题型一 对数函数的基本性质 【例1】 下面结论中，不正确的是 A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数 B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称 C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数 D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >> 【例2】 图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2， 43，310，1 5 ，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）. A. 2， 43，15，310 B. 2，43，310，1 5 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，1 5 【例3】 当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）. A B C D 【例4】 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ， 上的最大值与最小值之差为1 2 ，则a =（ ）. A.2 B. 2 C. 22 D. 4 0 x C 1 C 2 C 4 C 3 1 y x y 1 1 o x y o 1 1 o y x 1 1 o y x 1 1 【例5】 若23 log 1a <，则a 的取值范围是 A.2 03a << B.23 a > C.2 13 a << D.2 03 a << 或a ＞1 【例6】 比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. 【例7】 若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）. A. 1m n >> B. 1n m >> C. 01n m <<< D. 01m n <<< 【例8】 已知1112 2 2 log log log b a c <<，则（） A.222b a c >> B.222a b c >> C.222c b a >> D.222c a b >> 【例9】 下列各式错误的是（ ）. A. 0.80.733> B. 0.10.10.750.75-< C. 0..50..5log 0.4log 0.6> D. lg1.6lg1.4>. 【例10】 下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<< 【例11】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是 A.c ＞a ＞b B.c ＞b ＞a C.a ＞b ＞c D.b ＞a ＞c 【例12】 指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有 何关系？ 课题：对数函数的图像和性质（第一课时） 一、教材内容解析 1、“对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版）第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深刻的了解和掌握。同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习。也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时，为后面函数的学习做好铺垫。 2、“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。 二、学生学情分析 1、心理生理上：高一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之，新入高一不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。 2、知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数函数与指数函数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习。 三、教学目标设置 （一）教学目标 1、知识与技能：掌握对数函数的图像与性质，并且在掌握性质的基础上能进行必要的应用。同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。 对数函数 对于表达式y a x log = 如果以y 为自变量x 为函数值，是否可以构成一个函数？ 对数函数的概念: 一般地，形如)1,0(log ≠>=a a y x a 且的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为),0(+∞∈x 常用对数函数：x y lg = 自然对数函数：x y ln = 例1、指出下列函数那些是对数函数： （1）x y 1log = （2）x y 21log 3= （3）)1(19log +=x y （4）x y 32log = 练：函数x a a a y log )33(2+-=是对数函数，则有（ ） A.21==a a 或 B.1=a C.2=a D.10≠>a a 且 例2、已知对数函数)1,0(log )(≠>=a a x f x a 且的图像经过点)2,4(，求)8(),1(f f 的值 例3、若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________ 从画出的图象（2log x y =、3log x y =和5log x y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？ 从画出的图象中你能发现函数2log x y =的图象和函数12 log x y =的图象有什么关系？可否利用2log x y =的图象画出12log x y =的图象？ 函数)1,0(log ≠>=a a y x a 且的底数变化对图像位置有何影响？ 例4、求下列函数的定义域 ①24log x y = ②)3(log )1(x y x -=- ③)82ln(2--=x x y ④2log 2-=x y 例5、比较大小 ①3.5log 4.3log 22与 ②)10(7log 12log ≠>a a a a 且与 ③6log 6log 2 131与 ④11log 12log 1211与 例6、求下列函数的单调区间： ①y )23( 2 2log +-=x x y 例7、画出下列函数的图像，并说明它们是由函数2()log x f x =的图像经过怎样的变换得到的？ （1） (1)2()log x f x += （2） 2()log 1x f x =+ （3）2()log x f x = 对数函数 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= (); n m n mn m a a a == 2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 对数与对数函数的教学设计 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一学过概念，时间比较长，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生高一到高三年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法。 三、教学目标： 1、知识与技能 （1）熟练掌握对数的运算性质，并进行化简计算． （2）熟练掌握对数函数的定义、图像与性质． （3）熟练运用对数函数的图像和性质解答问题． 2、过程与方法 （1）让学生通过复习对对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络． （2）对于公式性质要熟练掌握，． （3）通过掌握函数的图像和性质,懂得解决函数问题要做到数形结合． 3、情感．态度与价值观 使学生通过复习对数函数的运算、图像和性质，增强代数运算能力，培养研究函数问题的思维方法,． 四、教学重点： 1、理解对数运算； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质及图像初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图及应用； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动： 12 对数函数 教材分析 对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互为反函数．教材是在学生学过指数函数、对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的．须要说明的是，这里与传统的教材有所不同，即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影响，使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可互化．因此，在某些方面，如在画对数函数y＝log2x的图像列表时，可以把画指数函数y＝2x图像时列的表中的x与y的值对调．这节内容的重点是对数函数的概念、图像及性质，难点是对数函数与指数函数的关系． 教学目标 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质． 2. 知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a＞0且a≠1）． 3. 能应用对数函数的性质解有关问题． 任务分析 首先复习指数函数、对数的定义及对数的性质，这也是学习本节内容的基础．解析式x ＝log a y是函数，叫作对数函数，为了符合习惯，常写成y＝log a x．这些内容学生较难理解，教学时要引起重视．教学中，要注意从实例出发，使学生从感性认识提高到理性认识；要注意运用对比的方法；要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的性质．注意：不要求讨论形式化的函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只须知道对数函数与指数函数互为反函数． 教学设计 一、问题情境 同指数函数中的细胞分裂问题，即：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数为y． 我们已经知道，个数y是分裂次数x的函数，解析式是y＝2x．形式上是指数函数（这里的定义域是N）． 思考：在这个问题中，细胞分裂的次数x是不是细胞分裂个数y的函数？若是，这个函数的解析式是什么？ 2.2.2 对数函数及其性质 一、教材分析 本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2.2 对数函数及其性质的内容二、三维目标 1．知识与技能 （1）掌握对数函数的概念。 （2）根据函数图象探索并理解对数函数的性质。 2．过程与方法 （1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。 （2）能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系、 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。 （2）培养学生的合作交流、共同探究的良好品质。 三、教学重点 对数函数的定义、图象和性质 四、教学难点 用数形结合的办法探索并归纳对数函数的性质。 五、教学策略 回顾引入教学法 1.复习引入： （1）指对数互化关系： ? ≠ > =)1 ,0 (a a N a b且 （2） )1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质． （3）细胞分裂问题。 2.研习新课 对数函数的概念： 概念中我们要注意什么问题？ 六、教学准备 回顾交流，适时引入新课 （教师提出问题）①本章开头2.1问题1中，在2001－2020年，各年的GDP均为00年的倍数，倍数m与时间n的关系式为m=1.073n；②某种细胞分裂过程中，细胞个数a与分裂次数b的关系式为为a=2b。 师：上述关系式都是什么类型的式子？ 生：都是指数式。 师：你能把它改写成对数式吗？ 生：可以改写成：n=log1.073m a=log2b 师：请大家观察这两个式子有何共同特征？ (生合作交流，共同探究，师参与交流探究过程) 生甲：n是m的函数，a是b的函数。 生乙：这是对数式，m与b都是真数，它们应为正数。 师：同学们说的都很好，这里任意给定一个m，有唯一的n与它对应，任意给定一个b，有唯一的a与它对应，所以n是m的函数，a是b的函数。 师：通常表达一个函数，x表示自变量，y表示自变量，你能用含有x、y的解析式表示它们吗？ 生：y=log1.073x，y=log2x 师：能用一个共同的解析式表达吗？ 部分生(齐答)：y=log a x 部分生(抢答)：底数a＞0且a≠1 师：非常好，这是就是我们本节课所要研究的对数函数。 (引入新课，师板书课题：对数函数) 七、教学环节 一、复习导入： （1）知识方法准备 我们在前面学习了指数函数及其性质，那么指数函数具有哪些性质呢？下面我和同学们 公开课教案 【课题】对数函数及其性质【班级】13级学前7班 【时间】2014年4月23日【任课教师】康小燕 【教学目标】 1.知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像及性质； 2.过程与方法 （1）能画出对数函数的简图，会判断对数函数的单调性； （2）渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析、归纳的能力； 3.情感态度与价值观 （1）激发学生学习数学的兴趣，体会数学来源于生活； （2）培养学生尝试、探索、合作及创新精神。 【重点难点】 重点：理解对数函数的概念、探究对数函数的图像及性质. 难点：对数函数性质的获得. 关键：对数函数的性质主要是类比指数函数的研究方法，借助数学软件，利用数形结合的思想突破难点. 【教学方法】引导探究、总结归纳、讲练结合 【教具准备】教学课件． 【课时安排】 1课时． 【教学过程】 一、创设情景兴趣导入 1.提出问题 某种物质的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，??，则1个这样的细胞分裂y次后得到细胞个数x为？ y2?x 1 反过来，分裂多少次可以得到1万个细胞，10万个??即知道分裂得到的细胞个数如何求得分裂次数呢？ 2.解决问题 yxxy y，的函数关系是1个细胞经过与次分裂后得到写成对个细胞，则设2x?x位于真数位置．，此时自变量数式为x?logy2*教学意图：导入实例易于学生想象，领会函数意义 二、动脑思考探索新知 概念：一般地，形如的函数叫以为底的对数函数，其中a>0且a≠1．对数axlogy?a 函数的定义域为。)(0,??例如、、都是对数函数．x?logyx?lgyx?logy132想一想：对数函数解析式有哪些结构特征？ 概念辨析：下列函数哪些是对数函数？ (4)y?logx；2;logx(1)y?5a(5)y?loga(x?0,且x?1)(2)y?logx?1;x2(3)y?2logx;8*教学意图：指导体会对数函数的特点。 三、对数函数性质的初步探究 类比研究指数函数的方法，借助对数函数的图像研究其性质. （一）利用“描点法”作函数和的图像．x?logyx?logy122函数的定义域为，取x 的一些值,列表如下：)??(0, 11 4 x1 2 ??24xy?log-1 0 -2 1 2 ??2x?logy-1 2 0 -2 1 ??12 2 观察函数图像发现： 1．函数和的图像都在y轴的右边；xy?logxlogy?212??；2．图像都经过点1,03．函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下xlogy?x?logy21 2降趋势．对数函数 优秀教案
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2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A版
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