第七章 动态电路中电压电流的约束关系
当一个实际电路的几何尺寸远远小于工作信号的波长时，我们称它为集总参数电路。集总参数电路中的电压电流受到两类约束，一类约束是拓扑约束，另一类是元件特性的约束。
描述电路中电压电流约束关系的数学方程称为电路方程。
由独立电源和电阻元件构成的电阻电路，其电路方程是一组代数方程。由独立电源和电阻元件以及动态元件构成的动态电路，其电路方程是一组微分方程。
本章首先回顾集总参数电路的基本定律和几种常用的电阻元件的电压电流关系。然后介绍两种储能元件—电容元件和电感元件。最后介绍电路微分方程的建立和开关电路中初始条件的确定。
§7-1 集总参数电路中电压电流的约束关系一、基尔霍夫定律 基尔霍夫定律描述集总参数电路中各电流之间以及各电压之间的约束关系。
基尔霍夫电流定律(KCL)：在任一时刻，流出集总参数电路中任一结点或封闭面的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为：
基尔霍夫电压定律(KVL)：在任一时刻，集总参数电路中任一回路或闭合路径的全部支路电压的代数和等于零。其数学表达式为
基尔霍夫定律给集总参数电路中的电压或电流施加了一种线性约束。它反映电路中各元件的连接关系，与元件的特性和参数无关。它适用于任何集总参数电路，也就是说它既适用于由独立电源和电阻元件构成的电阻电路，也适用于由独立电源和电阻元件以及动态元件构成的动态电路。
二、电阻元件的电压电流关系
我们将实际电路抽象为电路模型来进行研究，集总参数电路的电路模型是由一些理想的电路元件连接而成。现代电路理论规定了几种电路元件来模拟各种实际的电路。这些电路元件的不同特性对电路中的电压电流也施加了一种约束关系。
在电阻电路分析中定义了以下几种常用的电阻元件。
1.线性电阻
线性电阻的符号和特性曲线如图(a)和(b)所示。
)
17(01-=∑=n k k i
∑=-=n k k u
1)
27(
0)
37( )()(-=t Ri t u
线性电阻的定义是在任一时刻，其电压和电流由ui 平面上通过原点的直线所确定的二端元件，称为线性电阻元件。
数学表达式u =Ri 中的R 称为电阻，是表示线性电阻特性的一个参数。
2.独立电压源
独立电压源的符号和特性曲线如图(a)和(b)所示：
独立电压源的定义是在任一时刻，其电压u (t )按照给定的规律u S (t )变化，而与其中电流无关的二端元件，称为独立电压源，简称电压源。u S (t )为常数的电压源称为直流电压源。
3. 独立电流源
独立电流源符号和特性曲线如图(a)和(b)所示：
独立电流源的定义是在任一时刻，其电流i (t )按照给定的规律i S (t )变化，而与其中电压无关的二端元件，称为独立电流源，简称电流源。i S (t )为常数的电流源称为直流电流
4.受控源和理想变压器
受控源和理想变压器都是一种双口电阻元件，它们的电压电流关系由两个代数方程描述。受控源一条支路的电压或电流受到另外一条支路电压或电流的控制，有以下四种类型。
理想变压器惟一的参数是n ，称为变比。受控源和理想变压器的元件符号和电压电流关系如下图所示：
)
47()()(-=t u t u
s )
57()()(-=t i t i
s )
67(0002121-????????????=??????i i r u u )77(0002121-???????????
?=??????u u g i i )87(0002121-???????????
?=??????u i i u α)97(0002121-???????????
?=??????i u u i μ)
107(002121-????????????-+=??????u i n n i u
综上所述，无论是二端电阻元件或者是电阻双口元件，它们的电压电流间存在一种代数约束关系。
由电路元件特性确定的这种约束关系，称为元件约束。
由KCL 和KVL 确定的约束关系，称为拓扑约束。
§7－2 电容元件
一、电容元件
电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由uq 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。
图7—5
a) 电容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号
b) 电容元件的特性曲线 (d) 线性时不变电容元件的特性曲线
电容元件的符号和特性曲线如图7-5(a)和(b)所示。
其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。
线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为
式中的系数C 为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法[拉],用F 表示。
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型,如图7－6所示。
图7－6 电容器的几种电路模型
二、电容元件的电压电流关系
对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式
)
117(-=Cu
q
此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。
在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i =0)。
在已知电容电压u (t )的条件下，用式(7－12)容易求出其电流i (t )。例如已知C =1mF 电容上的电压为u (t )=10sin(5t )V ，其波形如图7－7(a)所示，与电压参考方向关联的电流为
图7-7
例7-1 已知C =0.5m F 电容上的电压波形如图7－8(a)所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流i C (t ),并画出波形图。
图7-8
解：根据图7－8(a)波形的具体情况，按照时间分段来进行计算
1.当0￡t ￡1s 时，u C (t )=2t ，根据式7－12可以得到
2.当1s￡t ￡3s 时，u C (t )=4-2t ，根据式7－12可以得到
3.当3s￡t ￡5s 时，u C (t )=-8+2t ，根据式7－12可以得到
4.当5s￡t 时，u C (t )=12-2t ，根据式7－12可以得到
)
127(d d d )(d d d )(-===t u C t Cu t q t
i A
)5cos(50 A )5cos(1050 d )]
5sin(10[d 10 d d )(66μt t t
t t
u
C t i =?=?
==--A 1=A 101d )2(d 105.0d d )(66C C μ--?=?==t
t t u C t i A 1A 101d )24(d 105.0d d )(66C C μ-=?-=-?==--t
t t u C t
i A 1A 101d )28(d 105.0d d )(66C C μ=?=+?==--t t t u C
t i
在已知电容电流i C (t )的条件下，其电压u C (t )为其中
称为电容电压的初始值。
从上式可以看出电容具有两个基本的性质
(1)电容电压的记忆性。
从式（7－13）可见，任意时刻T 电容电压的数值u C (T )，要由从-￥到时刻T 之间的全部电流i C (t )来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T 的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。
例7-2 C =0.5mF 的电容电流波形如图7-9(b)所示，试求电容电压u C (t )。
图7-9
解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算
1.当t ≤0时，i C (t )=0，根据式7-13可以得到
2.当0≤t <1s 时，i C (t )=1mA ，根据式7-13可以得到
3.当1s ≤t <3s 时，i C (t )=0，根据式7－13可以得到
4.当3s ≤t <5s 时，i C (t )=1mA ，根据式7－13可以得到
5.当5s ≤t 时，i C (t )=0，根据式7－13可以得到
根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。 A 1A 101d )212(d 105.0d d )(66C C μ-=?-=-?==--t
t t u C t i )137(d )(1)0(d )(1d )(1d )(1)( 0 C C 0 0
C C C C -+=+==????∞-∞-t t t i C u i C i C i C t u ξξξξξξξξ?
∞-=0 C C d )(1)0(ξξi C
u ??∞-∞
-=?==t t i C t u 6 C C 0d 0102d )(1)(ξξξV 2)s 1( s 1 220d 10102)0(d )(1)(C 0 66C C C ===+=?+==
??-∞
-u t t t u i C t u t t 时当ξξξV 2)s 3( s 3 2V =0+V 2d 0102)1(d )(1)(C 1 6 C C ===?+==
??∞
-u t u i C t u t C t 时当ξξξ6V =4V +V 2)s 5( s 5 3)2(t +2d 10102)3(d )(1)(C 3 66C C C ==-=?+==
??-∞-u t u i C
t u t t 时当ξξξ6V 0+V 6d 0102)5(d )(1)( 5 6C C C ==?+==??∞-t t u i C
t u ξξξ
例如，当1s 图7－10(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形[如图(b)中实线所示]保持输入电压u in (t )波形[如图(b)中虚线所示]中的峰值。 图7－10 峰值检波器电路的输入输出波形 (2)电容电压的连续性 从例7－2的计算结果可以看出，电容电流的波形是不连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即电容电流在闭区间[t 1,t 2]有界时，电容电压在开区间(t 1,t 2)内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明。 将t =T 和t =T +d t 代入式(7－13)中，其中t 1 利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。 例7-3 图7-11所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻断开瞬间电容电压的初始值u C (0+)。 图7-11 解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，即电容相当于开路。此时电容电压为 当开关断开时，在电阻R 2和R 3不为零的情况下，电容电流为有限值， 电容电压不能跃变，由此得到 有界时 当)(0d )(1)()d (d 0d C C C ξξξi i C T u t T u u t T T t →=-+=??+→) ()(C C -+=t u t u ) 147()0()0(C C -=-+u u 0d d )(C C ==t u C t i S 2 12C )0(U R R R u +=- 例7-4 电路如图7－12所示。已知两个电容在开关闭合前一瞬间的电压分别为u C1(0-)=0V, u C2(0-)=6V ，试求在开关闭合后一瞬间，电容电压u C1(0+), u C2(0+)。 图7-12 解：开关闭合后，两个电容并联，按照KVL 的约束，两个电容电压必须相等，得到以下方程 再根据在开关闭合前后结点的总电荷相等的电荷守恒定律，可以得到以下方程 联立求解以上两个方程，代入数据后得到 两个电容的电压都发生了变化，u C1(t )由0V 升高到3V ，u C2(t )则由6V 降低到3V 。从物理上讲，这是因为电容C 2上有3微库仑的电荷移动到C 1上所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动可以迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压可以发生跃变。 三、电容的储能 在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为 由此式可以看出电容是一种储能元件，它在从初始时刻t 0到任意时刻t 时间内得到的能量为 若电容的初始储能为零，即u (t 0)=0,则任意时刻储存在电容中的能量为 此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。 电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。 S 2 12C C )0()0(U R R R u u +==- +) 0()0(C2C1++=u u ) 0()0()0()0(C22C11C22C11--+++=+u C u C u C u C V 3)0()0(C2C1==++u u t u C t u t i t u t p d d )()()()(==)]()([21)()(),(022) ( ) ( 0000t u t u C udu C d d du u C d p t t W t u t u t t t t -====???ξξ ξξξ) 157()( 21)(2C -=t u C t W 当C >0时，W (t )不可能为负值，电容不可能放出多于它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。 从式(7－15)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电容电压发生跃变的。 §7－3 电感元件 一、 电感元件 如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的关系由i －y 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。电感元件的符号和特性曲线如图7-13(a)和(b)所示。 图7-13 (a) 电感元件的符号 (c) 线性时不变电感元件的符号 (b) 电感元件的特性曲线 (d) 线性时不变电感的特性曲线 其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电感元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为 式中的系数L 为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨[利],用H 表示。 实际电路中使用的电感线圈类型很多，电感的范围变化很大，例如高频电路中使用的线圈容量可以小到几个mH(1mH=10-6H) ,低频滤波电路中使用扼流圈的电感可以大到几亨。电感线圈可以用一个电感或一个电感与电阻的串联作为它的电路模型。在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电容来构成线圈的电路模型，如图7－14所示。 图7－14 电感器的几种电路模型 二、电感的电压电流关系 对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到 ) 167(ψ-=Li ) 177(d d d )(d d ψd )(-===t i L t Li t t u 此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。 在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u =0)。 在已知电感电流i (t )的条件下，用式(7－17)容易求出其电压u (t )。 例如L =1mH 的电电感上，施加电流为i (t )=10sin(5t)A 时，其关联参考方向的电压为 电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如将电感电流增加一个常量k ，变为i (t )=k +10sin5t A 时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。 例7-5 电路如图7－15(a)所示，已知L =5m H 电感上的电流波形如图7－15(b)所示，求电感电压u (t ),并画出波形图。 图7-15 解：根据图7－15(b)波形的具体情况，按照时间分段来进行计算 1.当t ≤0时，i (t )=0，根据式7－17可以得到 2.当0≤t ￡3ms 时，i (t )=2′103t ，根据式7－17可以得到 3. 当3ms ≤t ￡4ms 时， i (t )=24′103-6′103t ，根据式 7－17可以得到 4. 当4ms ≤t 时，i (t )=0，根据式7－17可以得到 根据以上计算结果，画出相应的波形，如图7－15(c)所示。这说明电感电流为三角波形时，其电感电压为矩形波形。 mV )5cos(50V )5cos(1050 d )]5sin(10[d 10d d )(33t t t t t i L t u =?=?==--0d )0(d 105d d )(6=?==-t t i L t u 10mV =V 1010d )102(d 105d d )(336--?=??==t t t i L t u mV 30=V 1030d ) 1061024(d 105d d )(3336 -?-=?-??==--t t t i L t u 0d )0(d 105d d )(6=?==-t t i L t u 在已知电感电压u L (t )的条件下，其电流i L (t )为其中 称为电感电流的初始值。 从上式可以看出电感具有两个基本的性质。 (1)电感电流的记忆性。 从式（7－18）可见，任意时刻T 电感电流的数值i L (T )，要由从-￥到时刻T 之间的全部电压来确定。 也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻T 的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种记忆元件。 例7-6 电路如图7-16(a)所示，已知L =0.5mH 的电感电压波形如(b)所示，试求电感电流。 图7-16 解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算 1.当t <0时，u (t )=0，根据式7－18可以得到 2.当0 3.当1s 4.当2s 5.当3s (2)电感电流的连续性 ) 187(d )(1)0(d )(1d )(1d )(1)( 0 L L 0 0 L L L L -+=+==????∞-∞ -t t t u L i u L u L u L t i ξξξξξξξξ?∞ -=0 L L d )(1)0(ξξu L i ??∞-∞ -=?==t t u L t i 3 L 0A d 0102d )(1)(ξξξA 2)s 1( s 1 A 220d 10102)0(d )(1)(L 0 33L L ===+=?+==??-∞ -i t t tA i u L t i t t 时当ξξξA 0)s 2( s 2 A )1(2A 2d 10102)1(d )(1)(L 1 33L L ==--=-?+== ??-∞-i t t i u L t i t t 时当ξξξA 2)s 3( s 3 A )2(20d 10102)2(d )(1)(L 2 33L L ==-+=?+== ??-∞-i t t i u L t i t t 时当ξξξA 0)s 4( s 4 A )3(2A 2d )10(102)3(d )(1)(L 3 33 L ==--=-?+==??-∞-i t t u u L t i t t 时当ξξξ 从电感电压、电流的积分关系式可以看出,电感电压在闭区间[t 1,t 2]有界时，电感电流在开区间(t 1,t 2)内是连续的。 也就是说，当电感电压有界时，电感电流不能跃变，只能连续变化，即存在以下关系 对于初始时刻t =0来说，上式表示为 利用电感电流的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电感电流值。 例7-7 图7-17(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在t =0断开时电容电压和电感电流的初始值u C (0+)和i L (0+)。 图7-17 解：由于各电压电流均为不随时间变化的恒定值，电感相当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。 此时 当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不能跃变。 三、电感的储能 在电压电流采用关联参考方向的情况下，电感的吸收功率为 当p >0时，电感吸收功率；当p <0时，电感发出功率。 电感在从初始时刻t 0到任意时刻t 时间内得到的能量为 ) ( 0)(1) ()(L L L L 有界时当＋－ －＋ξξξu d u L t i t i i t t →=-=??) ()(L L -+=t i t i ) 197()0()0(L L -=-+i i A 164V 10)0(L =Ω+Ω= -i 4V =V 2V 10646)0(C -?Ω +ΩΩ=-u V 4)0()0( A 1)0()0(C C L L ====-+-+u u i i t i L t i t i t u t p d d )() ()()(==???-====) ( )( 022 0000)]()([2 1 )()()(),(t i t i t t t t t i t i L idi L d d di i L d p t t W ξξ ξξξξ 若电感的初始储能为零，即i (t 0)=0,则任意时刻储存在电感中的能量为 此式说明某时刻电感的储能取决于该时刻电感的电流值，与电感的电压值无关。电感电流的绝对值增大时，电感储能增加；电感电流的绝对值减小时，电感储能减少。 由于电感电流确定了电感的储能状态，称电感电流为状态变量。 从式(7－20)也可以理解为什么电感电流不能轻易跃变，这是因为电感电流的跃变要伴随电感储存能量的跃变，在电压有界的情况下，是不可能造成磁场能量发生突变和电感电流发生跃变的。 §7－4 动态电路的电路方程 含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到KCL 、KVL 的拓扑约束和元件特性VCR 的约束。一般来说，根据KCL 、KVL 和VCR 写出的电路方程是一组微分方程。 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n 阶微分方程描述的电路称为n 阶电路。 例7－8 列出图7－18所示电路的一阶微分方程。 图7-18 解：对于图(a)所示RC 串联电路，可以写出以下方程在上式中代入: 得到 )207()(2 1)(2L -= t Li t W Li =ψ??+==∞-t t u L i u L t i 0 L L L L d )(1)0(d )(1)(ξξξξ)0()0(L L -+=i i )(2 1)(2L t Li t W =Cu q =t u C t q t i d d d d )(==??+==∞ -t t i C u i C t u 0 C C C C d )(1)0( d )(1)(ξξξξ) 0()0(C C -+=u u )( 21)(2C t u C t W =t i L t t u d d d ψd )(= =) ()()()()(C C R S t u t Ri t u t u t u +=+=t t u C t i d ) (d )(C = 这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。 对于图(b)所示RL 并联电路，可以写出以下方程 在上式中代入： 得到 这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。 例7-9 电路如图7－19(a)所示，以i L 为变量列出电路的微分方程。 图7-19 解一：列出网孔方程 由式(2)求得 代入式(1)得到 整理 解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图(b)电路，其中 图(b)电路与前面图(b)电路完全相同，直接引用式7－22可以得到 这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。 ) 217()()(d )(d S C C －＝t u t u t t u RC +) ()()()()(L L L R S t i t Gu t i t i t i +=+=t t i L t u d ) (d )(L L =) 227()()(d )(d S L L -+t i t i t t i GL ＝?? ???=++-=-+(2) 0d d (1) )(L 2L 12S L 2121i R t i L i R u i R i R R L L 21d d i t i R L i +?=S L 2L 21L 221)(d d )(u i R i R R t i R L R R =-+++) 237(d d )(S L 1L 221-=++u i R t i R L R R 1 S SC 2121o R u i R R R R R =+=) 247(d d )(1S L 2121-=+R u i t i R R L R R L ＋ 例7-10 电路如图7-20(a)所示，以u C (t )为变量列出电路的微分方程。 图7-20 解一：列出网孔方程 补充方程 得到以i 1(t )和u C (t )为变量的方程 从式(2)中写出i 1(t )的表达式 将 i 1(t )代入式(1)，得到以下方程 这是以电容电压为变量的一阶微分方程。 解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路代替，得到图(b)所示电路，其中 由图(b)电路得到与式7－25相同的微分方程。 例7-11 电路如图7-21所示，以u C (t )为变量列出电路的微分方程。 图7-21 解：以i L (t )和i C (t )为网孔电流，列出网孔方程 ???=+++-=-+0 )()(C C 3212S C 2121u i R R i R u i R i R R t u C i d d C C =??? ????=+++-=-+(2) 0d d )((1) d d )(C C 3212S C 2121u t u C R R i R u t u C R i R R C 2 C 23211d d )(u R t u R C R R i ++=) 257(d d )(S 212C C 21213-+=+++u R R R u t u C R R R R R S 2 12oc 212 13o u R R R u R R R R R R +=++ = 代入电容的VCR 方程 得到以i L (t )和u C (t )为变量的方程 从式(2)得到 将i L (t )代入式(1)中 经过整理得到以下微分方程 这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。 §7－5 开关电路的初始条件 求解n 阶微分方程时，需要知道n 个初始条件。利用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路在电路结构和元件参数变化(常称为换路)后，电路变量（电压、电流）的初始值。 本节讨论含有开关的动态电路，假设开关都是在t =0时刻转换，我们的任务是计算开关转换前一瞬间t =0-和开关转换后一瞬间t =0+的电压电流值。 所讨论的电路均由直流电源驱动，并且在开关转换前电路已经处于直流稳定状态，此时各电压电流均为恒定数值。 由于电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容电流等于零，电容相当于开路。我们用短路代替电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t =0-的各电压电流。 在开关转换后的一瞬间 t =0+，根据电感电流和电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的电感电流 i L (0+)= i L (0-) 和电容电压 u C (0+)=u C (0-) 用数值为i L (0+)的电流源代替电感以及用数值为u C (0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t =0+时刻各电压电流?? ???=++-=-++0)(d d C C 1L 1S C 1L 21L u i R i R u i R i R R t i L t u C i d d C C =??? ????=++-=-++)2( 0d d )1( d d )(d d C C 1L 1S C 1L 21L u t u C R i R u t u C R i R R t i L C 1 C L 1d d u R t u C i +=S C 1C 121C 21C 12C 2d d )(d d )(d d d d u t u C R u R R R t u C R R t u R L t u LC =-+++++) 267()(d d )(d d S C 121C 212C 2-=++++u u R R R t u C R R L t u LC 值，根据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举例加以说明。 例7-12 图7-22(a)电路中的开关断开已经很久，t =0时闭合开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电感电流和电感电压。 图7-22 (a) t =0-的电路 (b) t =0+的电路 解：根据图(a)电路，写出KCL 方程 由于电感中通过恒定电流时，电感相当于短路，此时的电感电流为 开关闭合后的电路如图(b)所示，由于t =0时刻，电感电压有界，电感电流不能跃变，即 为求t =0+时刻的电感电压，根据KVL 方程求得 值得注意的是电阻电压、电流可以跃变。例如电阻R 1上的电压由u 1(0-)=1V 变化到u 1(0+)=0V 。电阻R 1的电流由i 1(0-)=1A 变化到i 1(0+)=u 1(0+)/R 1=0A 。 例7-13 图7-23(a)电路中的开关闭合已经很久，t =0时断开开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电容电流。 图7-23 (a) t =0-的电路 (b) t =0+的电路 解：在图(a)所示电路中，电容相当于开路。此时得到电容电压 (a) t =0的 A 2)0()0(L 1=+--i i 1A 2A 2 1A 2)0(211L =?=?=R R R i ＋－A 1)0()0(L L ==-+i i V 1A 110) 0()0()0(L 21L -=?Ω-=-=+++i R u u 此时电阻R 1和R 2的电流i 1(0-)=i 2(0-)=10V/2W=5A 。 开关断开后的电路如图(b)所示。此时由于t =0时刻电容电流有界，电容电压不能跃变，由此得到 此时电容电流与电阻R 2的电流相同，由此求得 电容电流由i C (0-)=0A 变化到i C (0+)=-5A 。 电阻R 1的电流由i 1(0-)=5A 变化到i 1(0+)=0A 。 例7-14 图7-24(a)所示电路中的开关闭合已经很久，t =0时断开开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电感电流。 图7-24 解：在图(a)电路中，电容相当于开路，电感相当于短路。如图(b)所示。由此求出电容电压和电感电流 得到 例7-15 图7-25(a)所示电路原来已经达到稳定状态，t =0时刻开关S 1和S 2发生转换。试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电感电流的初始值。 图7-25 解：电容相当于开路，电感相当于短路。由此求得 V 5V 102 1V 10) 0()0(2 12C 2=?=?+==--R R R u u R V 5)0()0(C C ==-+u u A 51V 5)0()0(2C -=Ω -=-=++i i A 232V 10)0( V 6V 103 23)0( L C =Ω+Ω==?+= --i u A 2)0()0(V 6)0()0(L L C C ====-+-+i i u u 开关转换后，电容电压不能跃变和电感电流不能跃变 图7(a)电路是一个二阶电路，求解二阶微分方程时，还需要知道t =0+时刻的另外一个初始条件 根据电容和电感的VCR 方程，可以由以下公式求得 根据替代定理，用2V 电压源替代电容，0A 电流源替代电感，得到图(b)所示电路。 利用KCL 和KVL 求得电容电流i C (0+)和电感电压的初始值u L (0+)用式7－27和7－28可以求得 A 0)0(V 2A 21)0(L C ==?Ω=--i u A 0)0()0(V 2)0()0(L L C C ====-+-+i i u u ) 287()0()0(d d )0()277()0()0(d d )0(L L 'L C C 'C -==-==+ +++ ++L u t i i C i t u u V 2V 10V 21)0()0()0(A 4)0(2)0(V 10) 0()0()0(L C L L C L C =?-=Ω?-==-Ω -= -=++++++++i u u i u i i i 电压与电流信号的区别 “有的设备需要电压信号，有的需要电流信号，这两种信号有什么区别？” 1、信号源输出最大功率的条件是，输出阻抗等于输入阻抗，称为阻抗匹配； 2、如果在信号传输中，一级到下一级不能阻抗匹配信号能量将产生衰减，波形将产生失真、畸变； 3、阻抗匹配分高阻抗匹配与低阻抗匹配； 4、低阻抗匹配时，传输信号电流大，即我们说得电流信号； 5、高阻抗匹配时，传输信号电压高，即我们说得电压信号； 6、如果远距离输送信号，为了减小线路损耗，一般采用电压信号即高阻抗传输； 7、如果近距离输送信号，为了线路损耗不大，一般采用电流信号即低阻抗传输； 8、电流信号抗干扰能力强，因为一般干扰信号为电压信号 9、如果由于远距离传送，信号干扰严重，可采用电流信号传送，减小干扰； 10、当然采用电流信号还是电压信号也有其它原因； “与众不同”的魄力！ 1、信号的功率与信号的传输有很大关系； 2、在放大电路的前置级，输入的弱电信号，抗干扰是主要考虑因素； 3、在功放级，输出的强功率信号，传输的能量损失是主要考虑因素； 4、干扰信号一般是电压信号，与传输距离成正比； 5、如果前置级的输入信号，采用电流信号，即低阻抗匹配，可以短路吸收杂波电压干扰信号，特别是传输距离较远时，采用电流信号低阻抗匹配更有利于抗干扰！ 工业上通常用电压0…5(10)V 或电流0(4)…20mA 作为模拟信号传输的方法，也是被程控机经常采用的一种方法。那么电压和电流的传输方式有什么不同，什么时候采用什么方法，下面将对此进行简要介绍。 电压信号传输比如0…5(10)V 如果一个模拟电压信号从发送点通过长的电缆传输到接收点，那么信号可能很容易失真。原因是电压信号经过发送电路的输出阻抗，电缆的电阻以及接触电阻形成了电压降损失。由此造成的传输误差就是接收电路的输入偏置电流乘以上述各个电阻的和。 如果信号接收电路的输入阻抗是高阻的，那么由上述的电阻引起的传输误差就足够小，这些电阻也就可以忽略不计。要求不增加信号发送方的费用又要所提及的电阻可忽略，就要求信号接收电路有一个高的输入阻抗。如果用运算放大器OP 来做接收方的输入放大器，就要考虑到此类放大器的输入阻抗通常是小于<1M? 。 原则上，高阻抗的电路特别是在放大电路的输入端是很容易受到电磁干扰从而会引起很明显的误差。所以用电压信号传输就必须在传输误差和电磁干扰的影响之间寻找一个折中的方案。 电压信号传输的结论： 如果电磁干扰很小或者传输电缆长度较短，一个合适的接收电 路毫无疑问是可以用来传输电压信号0…5(10)V 的。 直流电路动态分析 根据欧姆定律及串、并联电路的性质，来分析电路中由于某一电阻的变化而引起的整个电路中各部分电学量（如I 、U 、R 总、P 等）的变化情况，常见方法 如下： 一．程序法。 基本思路是“局部→整体→局部”。即从阻值变化的的入手，由串并联规律判知R 总的变化情况再由欧姆定律判知I 总和U 端的变化情况最后由部分电路欧姆定律及串联分压、并联分流等规律判知各部分的变化情况其一般思路为： （1）确定电路的外电阻R 外总如何变化； ① 当外电路的任何一个电阻增大（或减小）时，电路的总电阻一定增大（或减小） ② 若电键的通断使串联的用电器增多，总电阻增大；若电键的通断使并联的支路增多，总电阻减小。 ③ 如图所示分压电路中，滑动变阻器可以视为由两段电阻构成，其中一段与电器并联（以下简称并联段），另一段与并联部分相路障（以下简称串联段）；设滑动变阻器的总电阻为R ，灯泡的电阻为R 灯，与灯泡并联的那一段电阻为R 并，则会压器的总电阻为： 211并灯并灯并灯 并并总R R R R R R R R R R R +-=++-= 由上式可以看出，当R 并减小时，R 总增大；当R 并增大时，R 总减小。由此可以得出结论：分压器总电阻的变化情况，R 总变化与并联段电阻的变化情况相 反，与串联段电阻的变化相同。 ④在图2中所示并联电路中，滑动变阻器可以看作由两段电阻构成，其中一段与串联（简称），另一段与串联（简称）， 则并联总电阻 ()()R R R R R R R R 总上下=++++1212 由上式可以看出，当并联的两支路电阻相等时，总电阻最大；当并联的两支路电阻相差越大时，总电阻越小。 用多功能电工表检验保护装置能否投入运行 发布时间：2007-1-22 10:50:20 浏览次数：20 古育文广东省梅县供电局（514011） 用负荷电流和工作电压检验是继电保护装置投入运行前的最后一次检查，对于某些保护装置是非常必要的，特别是在带有方向性的继电保护装置中，为了保护其动作正确，在投入运行前必须测量带负荷时的电流与电压的向量图，借此判断电流回路相序、相别及相位是否正确。通过多功能电工表可方便地实现上述功能，替换了以前用相位电压表法和瓦特表法两种繁琐的测量方法。下面结合实际谈谈如何用多功 能电工表来判断方向性的继电保护的接线是否正确。 在2002年10月28日我局所属的一个110kV变电所的电气设备进行电气试验， 经对试验结果进行分析、判断，发现110kV母线的B、C两相电压互感器内部绝 缘介质不良，严重威胁设备的安全运行。为了保证设备的安全运行，对这两相的电压互感器进行了更换。更换后，为了确保继电保护装置的动作正确，我们用多功能电工表（ST9040E型），进行了方向性继电保护装置的电流与电压的相位检查。 1测量方法 在测量前应先找出接入方向性的继电保护装置的电流、电压端子，在电压端子上用相序表检查所接入的电压互感器的二次接线相序应是正序（即是U A-U B-U C）。 然后用多功能电工表的电流测量钳钳住电流端子的A相电流线（假定电流端子接线正确），用多功能电工表的电压测量表笔依次与A、B、C三相的电压端子接触牢靠，将所测得的数据填入表1。用此法依次测量B、C相的电流与电压的相位值，所测得的数据也填入表1。 表1电流、电压和相位值 电压(V) 电流(A) 相位(°) I A=0.9I B=0.91I C=0.9 U A=60197316.873 U B=60.577.8195313.5 U=60 31776.3193 据上表的数据用AUTOCAD2002软件绘出电流向量图，见图1。 图1电流向量图(六角图) 2根据六角图判断接线 六角图作出后，根据测量时的功率的送受情况，判断接线是否正确。这对检验方向 保护，特别是差动保护接线是行之有效的。 功率的送受情况有以下四种： (1)有功与无功功率均从母线送往线路，电流向量应位于第I象限； (2)有功功率从母线送往线路，无功功率由线路送往母线，电流向量应位于第II象 闭合电路的动态分析 1、 总电流I 和路端电压U 随外电阻R 的变化规律： 当R 增大时，I 变小，又据U =E -Ir 知，U 变大。当R 增大到∞时，I =0，U =E （断路）。 当R 减小时，I 变大，又据U =E -Ir 知，U 变小。当R 减小到零时，I =E r ，U =0（短路） 2、 所谓动态就是电路中某些元件（如滑动变阻器的阻值）的变化，会引起整个电路中各部分相关电学物理量的变化。 3、 解决这类问题必须根据欧姆定律及串、并联电路的性质进行分析，同时，还要掌握一定的思维方法，如程序法，直观法，极端法，理想化法和特殊值法等等。 4、 基本思路是“部分→整体→部分”，从阻值变化的部分入手，由欧姆定律和串、并联电路特点判断整个电路的总电阻，干路电流和路端电压的变化情况，然后再深入到部分电路中，确定各部分电路中物理量的变化情况。 例题 在如图所示的电路中，R 1、R 2、R 3、R 4皆为定值电阻，R 5为可变电阻，电源的电动势为E ，内阻为r ，设电流表A 的读数为I ，电压表V 的读数为U ，当R 5的滑动触头向a 端移动时，判定正确的是（ ） A 、I 变大，U 变小 B 、I 变大，U 变大 C 、I 变小，U 变大 D 、I 变小，U 变小 [解析] 当R 5向a 端移动时，其电阻变小，整个外电路的电阻也变小，总 电阻也变小。 根据闭合电路的欧姆定律E I R r =+知道，回路的总电流I 变大，内电压U 内=Ir 变大，外电压U 外=E-U 内变小。所以电压表的读数变小。外电阻R 1及R 4两端的电压U=I （R 1+R 4）变大。R 5两端的电压，即R 2、R 3两端的电压为U’=U 外-U 变小，通过电流表的电流大小为U’/(R 2+R 3)变小。答案：D [规律总结] 在某一闭合电路中，如果只有一个电阻变化，这个电阻的变化会引起电路其它部分的电流、电压、电功率的变化，它们遵循的规则是： （1）凡与该可变电阻有并关系的用电器，通过它的电流、两端的电压、它所消耗的功率都是该可变电阻的阻值变化情况相同。阻值增大，它们也增大。 （2）凡与该可变电阻有串关系的用电器，通过它的电流、两端的电压、它所消耗的功率都是该可变电阻的阻值变化情况相同。阻值增大，它们也增大。 小专题(五) 动态电路的定性分析 类型1开关型动态电路 1．(2018·恩施)如图，电源电压恒定，闭合S2，断开S1和S3，两电表均有示数；再断开S2，同时闭合S1和S3，此时(D) A．电流表示数变小，电压表示数变大 B．电流表示数变大，电压表示数变小 C．两电表示数均变小 D．两电表示数均变大 2．(2018·福建)如图电路中，闭合开关S1、S2，电流表和电压表均有示数，若断开S2，则(A) A．电流表示数变小，电压表示数变小 B．电流表示数变小，电压表示数变大 C．电流表示数变大，电压表示数变小 D．电流表示数变大，电压表示数变大 3．(2016·长沙)如图，电源电压和灯的电阻保持不变，先闭合S1，灯L正常发光，电流表有示数，再进行下列操作后，判断正确的是(B) A．同时闭合S1、S2，电流表示数变大，灯变亮 B．同时闭合S1、S3，电流表示数变大，灯的亮度不变 C．同时闭合S1、S3，电压表的示数不变 D．断开S1，只闭合S2，电流表、电压表示数都变大 4．(2018·赤峰)如图所示的电路中，电源电压保持不变，先闭合开关S1，电流表、电压表的示数分别为I1、U1，再闭合开关S2、S3，电流表的示数分别为I2、U2，则正确的是(C) A．I1＞I2U1＞U2 B．I1＜I2U1＞U2 C．I1＜I2U1＜U2 D．I1＞I2U1＜U2 类型2滑动变阻器型动态电路 5．(2018·广安)如图所示的电路，闭合开关后，当滑片P向右移动时，下列说法正确的是(D) A．灯泡L变暗 B．电压表示数变小 C．电流表A1示数变大 D．整个电路消耗的总功率变小 6．(2018·临沂)如图所示的电路中，电源电压恒为3 V，灯泡L的电阻为10 Ω且保持不变．闭合开关S后，滑片P由b端向a端滑动的过程中，下列判断正确的是(D) A．灯泡L亮度变暗 B．电压表示数变大，电流表示数变小 C．电压表与电流表示数的比值变小 D．灯泡L的最大功率为0.9 W 7．(2018·.泰州)如图所示，电源电压保持不变，闭合开关，调节变阻器，各电表示数变化情况是(D) 电学专题：动态电路定性分析 类型1开关控制的动态电路 1.如图所示电路中，电源电压保持不变，只闭合开关`S1`，灯泡L发光，电压表有 示数；再闭合开关`S2`，电路中出现的情况是（） A.电压表的示数变小 B.电路的总电阻不变 C.灯泡L的亮度不变 D.电路中的电流变大 2.如图所示电路中，电源电压保持不变，开关S处于闭合状态，当开关`S1`由闭合 到断开时（） A.电流表和电压表的示数都变小 B.电流表和电压表的示数都变大 C.电流表示数变小，电压表示数变大 D.电流表示数变大，电压表示数变小 3.如图所示电路中，电源电压保持不变，先闭合开关`S1`，观察电流表、电压表的 示数；再闭合开关`S2`、`S3`，电表示数的变化情况正确的是（） A.电流表示数变大，电压表示数变大 B.电流表示数变小，电压表示数变小 C.电流表示数变大，电压表示数变小 D.电流表示数变小，电压表示数变大 4.如图所示电路中，电源电压保持不变，闭合开关`S1`，再闭合开关`S2`（各元件 均完好）。则闭合开关`S2`前后，各元件变化情况描述正确的是（） A.灯泡L1变暗 B.灯泡L变亮 C.电压表示数不变 D.电流表示数变小 类型2滑动变阻器控制的动态电路 5.如图所示电路中，闭合开关S，当滑动变阻器的滑片P向右移动时，电压表、电流表示数的变化情况是（） A.电压表和电流表的示数均变小 B.电压表示数变小，电流表示数变大 C.电压表和电流表的示数均变大 D.电压表示数变大，电流表示数变小 6.如图所示电路中，电源电压保持不变，当开关S闭合后，滑动变阻器的滑片P向右移动时，电流表和电压表的示数变化情况是（） A.电压表示数不变，电流表示数变小 B.电压表示数变大，电流表示数变小 C.两电表示数都变大 D.两电表示数都变小 7.如图所示电路中，电源电压保持不变。开关S闭合，将滑动变阻器的滑片P向右移动的过程中，下列说法正确的是（） A.电流表`A1`示数变大，电流表A示数不变 B.电流表A示数变大，电压表V示数不变 C.电流表`A1`示数不变，电压表V示数不变 电流与电压和电阻的关系 一、教材及学情分析 电流跟电压、电阻的关系实际上就是欧姆定律，它是电学中的基本定律，是进一步学习电学知识和分析电路的基础，是本章的重点。要求学生通过探究活动得出，从而更进一步体验科学探究的方法。这一节综合性较强，从知识上讲，要用到电路、电流、电压和电阻的概念；从技能上讲，要用到电流表、电压表和滑动变阻器等。学生要通过自己的实验得出欧姆定律，最关键的是实验方法。学生对实验方法的掌握既是重点也是难点，这个实验难度比较大，主要在实验的设计、数据的记录以及数据的分析方面，学生出现错误的可能性也比较大，所以实验的评估和交流也比较重要。 二、教学目标 1．知识与技能 ①使学生会同时使用电压表和电流表测量一段导体两端的电压和其中的电流。 ②通过实验认识电流、电压和电阻的关系。 ③会观察、收集实验中的数据并对数据进行分析。 2．过程与方法 ①根据已有的知识猜测未知的知识。 ②经历观察、实验以及探究等学习活动的过程并掌握实验的思路、方法；培养学生的实验能力、分析、归纳实验结论的能力；培养学生 能够掌握把一个多因素的问题转变为多个单因素问题的研究方法。 ③能对自己的实验结果进行评估，找到成功和失败的原因。3．情感、态度与价值观 ①让学生用联系的观点看待周围的事物并能设计实验方案证实自己的猜测。 ②培养学生大胆猜想，小心求证，形成严谨的科学精神。 三、教学准备: 演示用具：调光台灯、实验电路、实验表格、图像坐标纸、课堂巩固联系等多媒体课件。 学生用具：干电池（2节）、学生电源、2、5V和3V的小灯泡、开关、导线、定值电阻（5Ω、10Ω、20Ω）、滑动变阻器、电压表和电流表。 四、教学设计思路 本节课的内容有两个方面：一是探究电流跟电压的关系，二是探究电流跟电阻的关系。其基本思路是：首先以生活中的现象为基础，提出问题，激发学生的学习兴趣和学习欲望。再让学生自己通过实验，分析观察，大胆猜想，培养学生科学猜想的学习方法，然后学生根据自己的猜想分析实验方法和所需的实验器材，设计出实验电路并进行实验，通过实验数据和图像的分析得出电流跟电压和电阻的关系。五、教学重点难点： 电流、电压和电阻的关系；会观察、收集实验中的数据并对数据进行分析 动态电路的分析 摘要：动态电路的分析主要讨论含有电容和电感等储能元件的动态电路。描述着类电路的方程式是微分方程。对于只含有一个储能元件或简化后只含有一个独立储能元件的电路，它的微分方程是一阶，故称为一阶电路。其中着重讨论一阶的零输入响应、零状态响应和全响应以及一阶的阶跃响应的概念及求解概念及求解。 关键字：稳态、暂态、换路、三要素。 引言： 由于储能元件的伏安关系不是代数，而是微分关系，所以储能元件又称为动态元件，含有动态元件的电路又称为动态电路。在直流激励的稳态电路中，电容相当于开路，电感相当于短路。 正文： 电容元件和电感元件 电容：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由q-u平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。特性：动态元件，储能元件。 电感：如果一个二端原件在任意时刻，其磁链与电流之间的关系由平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。特性：动态元件，储能元件。 动态电路的基本概念 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 稳态与暂态的概念 稳态：所有的响应均是恒稳不变，或是按元素周期表变动电路的这种状态称为稳定状态，简称稳态。 稳态值的计算： 稳态值是指过渡过程结束(即t=∞),电路达到新稳态时各电流、电压达到的终值。 当t=∞得到的电容电压和电感电流的终值记为Uc(∞)和iL(∞)，在直流激励下，电感电压uL和电容电流iC最终都变为0，在t= ∞时,电感相当于短路，电容相当于开路，此时电路中其他各电流、电压按直流电路计算。 暂态：电路原来的稳定状态在达到另一种稳定状态之前，一个需要经历的过渡的过程，称为暂态 结论：含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程，称二阶电路。电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。一阶电路的零输入响应 零输入响应：仅有初始状态所引起的响应。 特点：换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。其中分为RC电路的零输入响应，rl电路的零输入响应 小结：一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。 uC (0+) = uC (0－) RC电路 iL(0+)= iL(0－) RL电路 动态电路分析方法大汇总 电路的动态分析，是欧姆定律的具体应用，在历年的高考中经常出现。此类问题能力要求较高，同学们分析时往往抓不住要领，容易出错。电路发生动态变化的原因是由于电路中滑动变阻器触头位置的变化，引起电路的电阻发生改变，从而引起电路中各物理量的变化，在此将动态电路的分析方法介绍如下。 一、 程序法 根据欧姆定律及串、并联电路的性质进行分析。基本思路是：“部分—整体—部分”，即从阻值变化的部分如手，由串并联电路规律判知R 总的变化情况，再由欧姆定律判知I 总和U 端的变化情况，最后由部分电路的欧姆定律得知个部分物理量的变化情况，一般思路是： 1确定电路的外电阻R 外总如何变化。 2根据闭合电路的欧姆定律E I R r =+总外总确定电路的总电流如何变化。（利用电动势不变） 3由U I r =内内确定电源内电压如何变化。（利用r 不变） 4由U E U =-外内确定电源的外电压如何变化。 5由部分电路的欧姆定律确定干路上某定值电阻两端电压如何变化。 6由部分电路和整体的串并联规律确定支路两端电压如何变化及通过各支路电路如何变化。 二、 图像法 电路发生动态变化时，其电路图可等效为如图（1）所示，根据闭合电路的欧姆定律得到U E Ir =-,其图像如图（2）中的a ，根据部分电路的欧姆定律可知U IR =，其导体的 U —I 图像如（2）中b ，在电源确定的电路中，由图（2）得，当电阻R 增大时（即图中的角度变大），通过R 的电流减小，R 两端的电压变大，当电阻R 减小时（即图中的角度变小），其电流增大，电压减小。 三、“串反并同”法 所谓“串反”，即某一电阻增大（减小）时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都减小（增大）。所谓“并同”，即某一电阻增大（减小）时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都增大（减小）。但须注意的前提有两点：1电路中电源内阻不能忽略；2滑动变阻器必须是限流接法。 三、 极限法 即因滑动变阻器滑片滑动引起的电路变化问题，可将变阻器的滑动端分别滑至两个极端讨论。（一般应用于滑至滑动变阻器阻值为零） 例1、 在图中电路中，当滑动变阻器的滑动片由a 向b 移动时，下列说法正确的是： 导体中的电流和电压的关系 （八年级物理第七章第一节） 教学目标：1、通过实验探究电流跟电压、电阻的关系，让学生经历科学探究的全过程。2、尝试采用图像法来分析实验数据。3、培养学生实事求是的科学态度和刻苦钻研的精神。 重点难点：通过学生实验，认识并总结出通过导体的电流跟两端的电压及本身的电阻之定量关系是本节重点；同时使用电流表、电压表及滑动变阻器的电路连接，对变量控制法的理解应用是本节的难点。教学准备：1、投影仪，写好内容的投影片。导线若干。分组实验每组干电池2节，电流表、电压表、滑动变阻器、开关各一个，5Ω、1 0Ω、15Ω的定值电阻各一只，导线若干。 教学过程： 提出问题 今天我们上一节探究课，在前面的学习中，曾特别强调：绝不允许用导线直接将电源的两极连接起来；用电流表测电流只能串联在电路中，这是为什么？你看到过“高压危险”的警示牌吧！这又是为什么？这是因为电压大，电阻小，电流大造成的。那电流和电压、电流和电阻有什么样的定量关系呢？ 猜想与假设 请谈论下面两个问题：把你的猜想写在下面的方框中 1、一个用电器（或一段电路）的电阻，通过它的电流跟它两端的电压有什么关系？ 2、通过一个用电器的电流跟电阻又有什么关系？ 学生谈论，老师归纳。 设计实验 1、怎样用变量控制法进行研究验证猜想？找一名学生表述。 实验需要的仪器有：电源、开关、定值电阻（5Ω、10Ω、15Ω）、滑动变租器、电流表、电压表和导线若干。请同学们根据这些器材设计实验所需的电路图。讨论确定。（老师用投影机投影，选择一张效果好的电路图做为实验电路图）（附图二：实验用的电路图） 在实验中应注意什么问题呢？ 开关连接时保持断开状态，电流表和电压表用小量程就可。注意两表的“+”“—”接线要正确。 进行实验与收集数据 实验一：探究电流与电压的关系 实验步骤如下：（1）对学生提出具体要求①每组选定一种定值电阻，(如R=5Ω),认清元件。②调节滑动变阻器，使定值电阻两端电压成倍变化。(如让U等于0.5V、1V、1.5V) ③出示记录表格（附表三：电流与电压的变化数据记录表）明确实验后找学生填表。（2）开始实验，教师巡回指导，帮助学生纠正错误，排除故障。（3）实验完毕，找几组学生代表汇报实验数据填入表内。引导学生观察表中数据，找出数据变化规律归纳实验结论：保持电阻不变时，电流与电 压关系。 试验二、探究电流与电阻的关系 电流、电压、功率的关系及公式 1、电流I，电压V，电阻R，功率W，频率F W=I2乘以R V=IR W=V2/R 电流=电压/电阻 功率=电压*电流*时间 2、电压V（伏特），电阻R（欧姆），电流强度I（安培），功率N（瓦 特）之间的关系是： V=IR， N=IV=I*I*R,或也可变形为:I=V/R,I=N/V等等. 但是必须注意,以上均是在直流(更准确的说,是直流稳态)电路情况下推导出来的!其它情况不适用. 如交流电路,那要对其作补充和修正求电压、电阻、电流与功率的换算关系 电流=I，电压=U，电阻=R，功率=P U=IR,I=U/R,R=U/I, P=UI,I=P/U,U=P/I P=U2/R,R=U2/P 还有P=I2R P=IU R=U/I 最好用这两个； 3、如电动机电能转化为热能和机械能： 电流符号: I 符号名称: 安培（安） 单位: A 公式: 电流=电压/电阻I＝U/R 单位换算: 1MA（兆安）=1000kA（千安）=1000000A（安） 1A（安）=1000mA（毫安）=1000000μA（微安） 单相电阻类电功率的计算公式= 电压U*电流I 单相电机类电功率的计算公式= 电压U*电流I*功率因数COSΦ三相电阻类电功率的计算公式= 1.732*线电压U*线电流I（星形接法） = 3*相电压U*相电I（角形接法）三相电机类电功率的计算公式= 1.732*线电压U*线电流I*功率因数COSΦ 星形电流=I，电压=U，电阻=R，功率=P U=IR,I=U/R,R=U/I, P=UI,I=P/U,U=P/I P=U2/R,R=U2/P P=I2R 4、串联电路 P（电功率），U（电压），I（电流），W（电功），R（电阻），T（时 电流I，电压V，电阻R，功率W，频率F W=I的平方乘以R V=IR W=V的平方除以R 电流=电压/电阻 功率=电压*电流*时间 电流I，电压V，电阻R，功率W，频率F W=I的平方乘以R V=IR 电流I，电压V，电阻R，功率W，频率F W=I的平方乘以R V=IR W=V的平方除以R 电压V（伏特），电阻R（欧姆），电流强度I（安培），功率N（瓦特）之间的关系是：V=IR，N=IV =I*I*R, 或也可变形为:I=V/R,I=N/V等等.但是必须注意,以上均是在直流(更准确的说,是直流稳态)电路情况下推导出来的!其它情况不适用.如交流电路,那要对其作补充和修正求电压、电阻、电流与功率的换算关系 电流=I，电压=U，电阻=R，功率=P U=IR,I=U/R,R=U/I, P=UI,I=P/U,U=P/I P=U2/R,R=U2/P 就记得这一些了，不知还有没有 还有P=I2R P=IU R=U/I 最好用这两个；如电动机电能转化为热能和机械能。电流 符号: I 符号名称: 安培（安） 单位: A 公式: 电流=电压/电阻I＝U/R 单位换算: 1MA（兆安）=1000kA（千安）=1000000A（安） 1A（安）=1000mA（毫安）=1000000μA（微安）单相电阻类电功率的计算公式= 电压U*电流I 单相电机类电功率的计算公式= 电压U*电流I*功率因数COSΦ 三相电阻类电功率的计算公式= 1.732*线电压U*线电流I （星形接法） = 3*相电压U*相电流I（角形接法） 三相电机类电功率的计算公式= 1.732*线电压U*线电流I*功率因数COSΦ（星形电流= I，电压=U，电阻=R，功率=P U=IR,I=U/R,R=U/I, P=UI,I=P/U,U=P/I P=U2/R,R=U2/P 就记得这一些了，不知还有没有 还有P=I2R ⑴串联电路P（电功率）U（电压）I（电流）W（电功）R（电阻）T（时间）电流处处相等I1=I2=I 总电压等于各用电器两端电压之和U=U1+U2 总电阻等于各电阻之和R=R1+R2 2020中考物理压轴专题：动态电路分析（含答案） 一、串联电路 1.如图1所示,电源电压不变,闭合开关S,当滑动变阻器的滑片P向左移动时,请回答下列问题: (1)去表看电路,复杂电路可分别画出等效电路图,电路中的电流有条路径,电阻R、R1的连接方式是。 图1 (2)判断电表的测量对象:串联不用分析电流表,各处电流都相等,重点分析电压表,电压表测量两端的电压(并联法)。 (3)判断滑动变阻器滑片P移动时相关物理量的变化情况:电源电压不变,滑片P向左移动时→R接入电路的阻值→电路中的总阻值→电流表的示数→电阻R1两端的电压→电压表V的示数。电压表的示数与电流表的示数的比值(实质是滑动变阻器连入电路中的阻值);电压表示数的变化量与电流表示数的变化量的比值(实质是定值电阻R1的阻值)。(均选填“变大”“变小”或“不变”) 【规律总结】滑片移动引起的串联电路动态分析:首先确定电阻的变化,根据电源电压不变,确定串联电路电流的变化,再根据串联电路电阻分压(电阻大分得的电压就大),确定定值电阻及滑动变阻器两端电压的变化,根据电功、电功率的公式确定电功、电功率的变化,如图2所示。(先电流后电压、先整体后部分) 滑片的移动方向R滑的变化电路中电流I的变化 定值电阻两端电压U定的变化滑动变阻器两端电压U滑的变化 图2 2.如图3所示电路中,电源电压保持不变,闭合开关S,当滑动变阻器的滑片P从a端向b端滑动时,电流表A示数,电压表V1示数,电压表V2示数,电压表V1示数与电流表A示数的比值,电压表V2示数与电流表A示数的比值,电路消耗的总功率。(均选填“变大”“变小”或“不变”) 二、并联电路 3.如图4所示,电源电压不变,闭合开关S,当滑动变阻器的滑片P向左移动时,请回答下列问题:(灯丝电阻不随温度变化) 图4 (1)去表看电路,复杂电路可分别画出等效电路图,电路中的电流有条路径,电阻R、灯泡L的连接方式是。 (2)判断电表的测量对象:并联电路不分析电压表,各支路电压相等且等于电源电压。重点分析电流表,电流表测量的电流。 (3)判断滑动变阻器滑片移动时相关物理量的变化情况(利用并联电路各支路互不影响):电源电压不变→电压表的示数;滑片P向左移动时→滑动变阻器R接入电路的阻值→通过滑动变阻器R的电流、通过灯泡L的电流→灯泡L亮度、电流表A的示数→电路总电阻→电路消耗的总功率。(均选填“变大”“变小”或“不变”) 【规律总结】滑片移动引起的并联电路动态分析:首先确定电阻的变化,根据并联电路各支路电压相等,且等于电源电压,确定电压表示数,根据欧姆定律确定变化支路中电流的变化,其他支路各物理量均不变(快速找出该支路),如图5所示(注:I1为定值电阻所在支路电流,I滑为滑动变阻器所在支路电流)。(先电压后电流,先支路后干路)滑片移动时R滑的变化本支路电阻的变化 本支路中电流的变化干路电流的变化 图5 4.如图6所示的电路中,闭合开关后,当滑片P向右移动时,电流表A1的示数,电压表V的示数,电流表A2的示数,电压表V示数与电流表A1示数的比值,电压表V示数与电流表A2示数的比值,电路消耗的总功率。(均选填“变大”“变小”或“不变”) 电流=电压/电阻 功率=电压*电流*时间 电流I，电压V，电阻R，功率W，频率F W=I的平方乘以R V=IR 电流I，电压V，电阻R，功率W，频率F W=I的平方乘以R V=IR W=V的平方除以R 电压V（伏特），电阻R（欧姆），电流强度I（安培），功率N（瓦特）之间的关系是： V=IR，N=IV =I*I*R, 或也可变形为:I=V/R,I=N/V等等.但是必须注意,以上均是在直流(更准确的说,是直流稳态)电路情况下推导出来的!其它情况不适用.如交流电路,那要对其作补充和修正求电压、电阻、电流与功率的换算关系 电流=I，电压=U，电阻=R，功率=P U=IR,I=U/R,R=U/I, P=UI,I=P/U,U=P/I P=U2/R,R=U2/P 就记得这一些了，不知还有没有 还有P=I2R P=IU R=U/I 最好用这两个；如电动机电能转化为热能和机械能。电流 符号: I 符号名称: 安培（安） 单位: A 公式: 电流=电压/电阻 I＝U/R 单位换算: 1MA（兆安）=1000kA（千安）=1000000A（安） 1A（安）=1000mA（毫安）=1000000μA（微安）单相电阻类电功率的计算公式= 电压U*电流I 单相电机类电功率的计算公式= 电压U*电流I*功率因数COSΦ 三相电阻类电功率的计算公式= *线电压U*线电流I （星形接法） = 3*相电压U*相电流I（角形接法） 三相电机类电功率的计算公式= *线电压U*线电流I*功率因数COSΦ（星形电流=I，电压=U，电阻=R，功率=P U=IR,I=U/R,R=U/I, P=UI,I=P/U,U=P/I P=U2/R,R=U2/P 就记得这一些了，不知还有没有 还有P=I2R ⑴串联电路 P（电功率）U（电压）I（电流）W（电功）R（电阻）T（时间） 电流处处相等 I1=I2=I 总电压等于各用电器两端电压之和 U=U1+U2 总电阻等于各电阻之和 R=R1+R2 U1：U2=R1：R2 总电功等于各电功之和 W=W1+W2 W1：W2=R1：R2=U1：U2 P1：P2=R1：R2=U1：U2 总功率等于各功率之和 P=P1+P2 ⑵并联电路 总电流等于各处电流之和 I=I1+I2 各处电压相等 U1=U1=U 总电阻等于各电阻之积除以各电阻之和R=R1R2÷（R1+R2） 总电功等于各电功之和 W=W1+W2 I1：I2=R2：R1 W1：W2=I1：I2=R2：R1 P1：P2=R2：R1=I1：I2 总功率等于各功率之和 P=P1+P2 动态电路分析 1．（嘉定区）在图所示的电路中，电源电压保持不变。闭合电键S ，当滑动变阻器的滑片 P 向左移动时，电流表 A 的示数将 ，电压表V 与电压表 V2 示数的差值跟电流表 A 示数的比值 ( 选填“变小”、“不变”或“变大”)。 2．（金山区）在图所示的电路中，电源电压保持不变。闭合电键S 后，当滑动变阻器滑片P 自b 向a 移动的过程 中，电压表V2的示数将_____________，电压表V1与电流表A 的示数的比值将______________。（均选填“变大”、“不变”或“变小”） 3．（静安区）在图所示的电路中，电源电压保持不变。闭合电键S ，当滑动变阻器R1的滑片P 向右移动时，电流 表A2的示数I2将________（选填“变大”、“不变”或“变小”）；若电流表A1示数的变化量为ΔI1，电流表A2示数的变化量为ΔI2，则ΔI1________ΔI2（选填“大于”、“等于”或“小于”）。 4．（卢湾区）在图所示的电路中，电源电压保持不变。当电键S 由断开到闭合时，电压表V 示数将 _____________。闭合电键后，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，电流表A1与电流表A 示数变化量的比值将_____________。（均选填“变小”、“不变”或“变大”） 5．（普陀区）在图所示的电路中，电源电压保持不变。闭合电键S ，当滑动变阻器的滑片P 向右移动时，电压表V 的示数将___________（选填“变小”、“不变”或“变大”），电流表A1的变化值___________电流表A 的变化值。（选填“大于”、“等于”或“小于”） 6．（松江区）在图所示的电路中，电源电压不变，闭合电键S ，当滑片P 向右移时，电压表V 的示数将 ______________（选填“变大”、“不变”或“变小”），电流表A1示数的变化量△I1和电流表A 示数的变化量△I 之比值________________（选填“大于1”、“等于1”或“小于1”）。 第1题 第2题 A 1 A 2 R 1 R 2 S 第3题 R 2 P A A 1 S R 1 V 第4题 V S A A 1 P 图3 第5题 P A 1 A V 1 R 2 R S 图7 第6题 第一篇总论和电阻电路分析 第一章 集总参数电路中电压、电流的约束关系 §1.1 电路及集总电路模型 一、电路模型（circuit model) 1、何谓电路(circuit)? 由电器件相互连接所构成的电流通路称为电路。 电工设备:发电机，变压器，电动机，电灯，电炉，电风扇，开关，等等。 电子器件：电阻，电容，电感，二极管，三极管，集成电路，等等。 连接导线：电缆，电线。 2、实际电路的组成 ①提供电能的能源,简称电源； ②用电装置，统称其为负载。 ③连接电源与负载而传输电能的金属导线，简称导线。 开关 ② ③ ① 简单的手电筒电路 它将电源提供的能量转换为其他形式的能量； 电源、负载、导线是任何实际电路都不可缺少的三个组成部分。 发电 升压 变压器 降压 变压器 电灯 电动机 电炉 ... 输电 电源:提供电能的装置 负载: 取用 电能的装置中间环节：传递、分 配和控制电能的作用 激励：电源或信号源的电压或电流，它推动电路工作； 响应：由激励所产生的电压和电流。 3、 实际电路的功能 ① 进行能量的产生、传输与转换。 如电力系统的发电、传输等。 ②实现信号的产生、变换、处理与控制。 如电视机、电话、通信电路等，实现雷达信号处理、通信信号处理、生物信号处理等。 由电阻器、电容器、线圈、变压器、晶体管、运算放大器、传输线、电池、发电机和信号发生器等电气器件和设备连接而成的电路，称为实际电路。 发电 升压 变压器 降压 变压器 电灯 电动机电炉 ... 输电 放大器 扬声器 话筒 直流电源: 提供能源 负载 直流电源 信号处理： 放大、调谐、检波等 信号源: 提供信息 高中动态电路分析 一、动态直流电路定性分析 1．如图，电路中定值电阻阻值R大于电源内阻阻值r．将滑动变阻器滑片向下 滑动，理想电压表V1、V2、V3示数变化量的绝对值分别为△V1、△V2、△ V3，理想电流表示数变化量的绝对值为△I，则（） A．A的示数增大B．V2的示数增大 C．△V3与△I的比值大于r D．△V1大于△V2 2．如图电路中，电源电动势、内电阻、R1、R2为定值．闭合S后，将R的滑 健向右移动，电压表的示数变化量的绝对值为△U，电阻R2的电压变化量的绝对值为 △U′，电源电流变化量的绝对值为△I，下列说法正确的是（） A．通过R1的电流增大，增大量等于 B．通过R2的电流增大，增大量△I小于 C．△U′与△I的比值保持不变 D．△U与△I的比值保持不变 3．在如图所示的电路中，E为电源电动势，r为电源内阻，R1和R3均为 定值电阻，R2为滑动变阻器．当R2的滑动触点在a端时合上开关S，此 时三个电表A1、A2和V的示数分别为I1、I2和U．现将R2的滑动触点向 b端移动，则三个电表示数的变化情况是（） A．I1增大，I2不变，U增大B．I1减小，I2增大，U减小 C．I1增大，I2减小，U增大D．I1减小，I2不变，U减小 4．如图所示的电路中，电源的电动势为E，内阻为r．当可变电阻的滑片 P向b移动时，电压表V1的示数U1与电压表V2的示数U2的变化情况是 （） A．U1变大，U2变小B．U1变大，U2变大 C．U1变小，U2变小D．U1变小，U2变大 5．如图，电路中定值电阻阻值R大于电源内阻阻值r．闭合电键后，将滑动变阻器滑片向下滑动，理想电压表V 1、V2、V3示数变化量的绝对值分别为△U1、△ U2、△U3，理想电流表示数变化量的绝对值为△I，则（） A．△U2=△U1+△U3 B．=R+r C．电源输出功率先增大后减小D．和保持 不变 6．如图所示电路中，闭合电键S，当滑动变阻器的滑动触头P从最高端向下滑动时（）A．电压表V读数先变大后变小，电流表A读数变大 B．电压表V读数先变小后变大，电流表A读数变小 C．电压表V读数先变大后变小，电流表A读数先变小后变大 D．电压表V读数先变小后变大，电流表A读数先变大后变小 7．如图所示电路，电源内阻不可忽略．开关S闭合后，在变阻器R0的滑动端向下滑动的过程中（） 实用文档 1 直流电路动态分析 根据欧姆定律及串、并联电路的性质，来分析电路中由于某一电阻的变化而引起的整个电路中各部分电学量（如I 、U 、R 总、P 等）的变化情况，常见方法如下： 一．程序法。 基本思路是“局部→整体→局部”。即从阻值变化的的入手，由串并联规律判知R 总的变化情况再由欧姆定律判知I 总和U 端的变化情况最后由部分电路欧姆定律及串联分压、并联分流等规律判知各部分的变化情况其一般思路为： （1）确定电路的外电阻R 外总如何变化； ① 当外电路的任何一个电阻增大（或减小）时，电路的总电阻一定增大（或减小） ② 若电键的通断使串联的用电器增多，总电阻增大；若电键的通断使并联的支路增多，总电阻减小。 ③ 如图所示分压电路中，滑动变阻器可以视为由两段电阻构成，其中一段与电器并联（以下简称并联段），另一段与并联部分相路障（以下简称串联段）；设滑动变阻器的总电阻为R ，灯泡的电阻为R 灯，与灯泡并联的那一段电阻为R 并-，则会压器的总电阻为： 21 1 并 灯并灯 并灯并并总R R R R R R R R R R R +- =++ -= 实用文档 2 由上式可以看出，当R 并减小时，R 总增大；当R 并增大时，R 总减小。由此可以得出结论：分压器总电阻的变化情况，R 总变化与并联段电阻的变化情况相反，与串联段电阻的变化相同。 ④在图2中所示并联电路中，滑动变阻器可以看作由两段电阻构成，其中一段与R 1串联（简称R 上），另一段与R 2串联（简称R 下），则并联总电阻 ()() R R R R R R R R 总 上 下 = ++++1 2 12 由上式可以看出，当并联的两支路电阻相等时，总电阻最大；当并联的两支路电阻相差越大时，总电阻越小。 （2）根据闭合电路欧姆定律r R E I += 外总总确定电路的总电流如何变化； （3）由U 内=I 总r 确定电源内电压如何变化； （4）由U 外=E －U 内(或U 外=E-Ir)确定电源的外电压如何（路端电压如何 变化）??? ????????? ? ?==↓↑→↑→↓→=∞→↑↓→↓→↑→-=00U R U Ir I R E U R U Ir I R Ir E U 短路当断路当外 ； （5）由部分电路欧姆定律确定干路上某定值电阻两的电压如何变化； （6）确定支路两端电压如何变化以及通过各支路的电流如何变化（可利用节点电流关系）。 ? ?? ? ↑ ↓ ↓ ↑↑ ↓ ↑↓ 端总总局U I R R I 分 U 分 动态电路定性分析试题与答案 【例1】（2020?鞍山）如图所示，电源电压恒定，闭合开关S后，将滑动变阻器的滑片P向左移动。下列说法中正确的是（） A．电流表A1的示数变大 B．电压表V的示数变小 C．电流表A2与A1的示数之差不变 D．电压表V与电流表A2的示数之比变大 【解析】由电路图可知，R1与R2并联，电压表测电源两端的电压，电流表A1测R2支路的电流，电流表A2测干路电流。 A、因并联电路中各支路独立工作、互不影响，所以，滑片移动时，通过R2的电流不变，即电流表A1的示数不变，故A错误； B、因电源电压恒定，所以，滑片移动时，电压表的示数不变，故B错误； C、根据并联电路电流规律可知：电流表A2与A1的示数之差等于通过R1的电流，当滑动变阻器的滑片P向左移动，R1接入电路中的电阻变大，电压不变，所以通过R1的电流减小，则两电流表的示数之差变小，故C错误。 D、将滑动变阻器的滑片P向左移动，变阻器R1接入电路中的电阻变大，并联电路等效电阻将变大，则干路电流变小，也即电压表V与电流表A2的示数之比变大，故D正确 故选：D 【例2】（2020?南宁）如图所示电路，电源电压保持不变，闭合开关S、S1后，再断开S1时（） A．灯L的亮度变暗 B．电压表V的示数变小 C．电流表A1的示数变大 D．电流表A的示数变小 【解析】由电路图可知，开关S、S1闭合时，灯泡与定值电阻R并联，电流表A测干路电流，电流表A1被短路无示数，电压表测电源两端的电压；再断开S1时，灯泡与定值电阻仍并联，电流表A、A1均测干路电流，电压表测电源两端的电压，所以电流表A、电压表示数均不变， A、因灯泡两端的电压不变，灯泡的实际功率不变，所以灯泡的亮暗不变，故A错误； B、因电源电压保持不变，则电压表V的示数不变，故B错误； C、因电流表A1从无示数变为有示数，所以电流表A1的示数变大，故C正确； D、因S1断开前后电路中的总电流不变，所以电流表A的示数不变，故D错误 故选：C电压与电流区别
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