高考数学专题复习讲座
专题3：数列、极限、数学归纳法
【例1】 在数列{a n }中,a 1=b (b ≠0)，前n 项和S n 构成公比为q 的等比数列。
（1）求证：数列{a n }不是等比数列； （2）设b n =a 1S 1+a 2S 2+…+a n S n ，|q|<1，求b n 。 解：（1）证明：由已知S 1=a 1=b ∵{S n }成等比数列，且公比为q 。 ∴S n =b q n －
1，∴S n －1=b ·q n －
2(n ≥2)。
当n ≥2时，a n =S n －S n －1=b q n －
1－b q n －
2=b ·(q －1)·q n －
2
故当q ≠1时，n n a a 1+=2
)1()1()1(--?-??-n n q q b q q b =q ，
而
1
2a a =b q b )1(-?=q －1≠q ，∴{a n }不是等比数列。
当q=1，n ≥2时，a n =0，所以{a n }也不是等比数列。 综上所述，{a n }不是等比数列。
（2）∵|q|<1，由（1）知n ≥2，a 2,a 3,a 4，…，a n 构成公比为q 的等比数列， ∴a 2S 2,a 3S 3,…,a n S n 是公比为q 2的等比数列。 ∴b n =b 2+a 2S 2·(1+q 2+q 4+…+q 2n －
4)
∵S 2=b q,a 2=S 2－S 1=b q －b ∴a 2S 2=b 2q(q －1) ∴b n =b 2+b 2
q(q －1)·2
2211q q n ---
∵|q|<1 ∴∞
→n lim q 2n －
2=0
∴∞→n lim b n =b 2
+b 2
q(q －1)·211
q -=q
b +12
【注】1+q 2+q 4+…+q 2n
－4
的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细
心检验。数列的极限与数列前n 项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n →∞时，数列变化的趋势。
【例2】 已知数列{x n }的各项为不等于1的正数，其前n 项和为S n ，点P n 的坐标为（x n ,S n ），若所有这样的点P n (n=1,2，…)都在斜率为k 的同一直线(常数k ≠0,1)上。
（1）求证：数列{x n }是等比数列； （2）设y n =()
132log 2-+a a n x 满足y s =121+t ，y t =1
21
+s （s,t ∈N ，且s ≠t ） 其中a 为常数，且1 2 3 ,试判断，是否存在自然数M ，使当n>M 时，x n >1恒成立？若存在，求出相应的M ；若不存在，请说明理由。 证明 （1）∵点P n 、P n+1都在斜率为k 的直线上 ∴ n n n n x x S S --++11=k ，即n n n x x x -++11 =k 故 (k －1)x n+1=k x n ∵k ≠0,x n+1≠1,x n ≠1 ∴ n n x x 1+=1-k k =常数 ∴{x n }是公比为 1 -k k 的等比数列。 （2）答案是肯定的，即存在自然数M ，使当n>M 时，x n >1恒成立。 事实上，由1 2 3 ，得0<2a 2－3a +1<1 ∵y n =() 132log 2+-a a n x ∴ n y 1 =n a a x )132(2log +- 由（1）得{x n }是等比数列，设公比为q>0首项为x 1，则x n =x 1·q n － 1(n ∈N) ∴ n y 1 =()q n a a )132(2log 1+--1)132(2log x a a +-+ 令d=q a a )132(2log +-，故得{n y 1 }是以d 为公差的等差数列。 又∵s y 1=2t+1, t y 1=2s+1 ∴ s y 1－t y 1 =2(t －s) 即(s －1)d －(t －1)d=2(t －s) ∴d=－2 故 n y 1=s y 1+（n －s ）·(－2)=2（t+s ）－2n+1，（n ∈N ） 又∵x n =(2a 2－3a +1) n y 1 （n ∈N ） ∴要使x n >1恒成立，即须 n y 1<0 ∴2(t+s)－2n+1<0，∴n>(t+s)+2 1 ，当M=t+s,n>M 时，我们有 n y 1 <0恒成立， ∴当n>M=（t+s ）时， x n =(2a 2－3a +1) n y 1>1恒成立。（∵0<2a 2－3a +1<1） 【注】（1）点（x n ,S n ）在一直线上是{x n }成等比数列的充要条件（其中公比q ≠1，斜率k ≠0，1）。 （2）如果数列{x n }各项是正数且成等比数列，则数列{log a x n }(a >0,a ≠1)成等差数列。 【例3】 在数列{a n }中a 1=1，当n ≥2时，a n ，S n ，S n － 2 1 成等比数列。 （1）求a 2,a 3,a 4并推出a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论； （3）求数列{a n }所有项的和。 解∵a n ，S n ，S n －2 1 成等比数列 ∴S n 2=a n ·(S n － 2 1 )(n ≥2) (*) （1）把a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2代入（*）式得：a 2=－3 2 把a 1=1,a 2=－ 32,S 3=3 1+a 3代入(*)得：a 3=－152。同理可得：a 4=－352 由此可以推出： a n =?? ???>---=)1()12)(32(2 )1(1n n n n （2）（i ）当n=1,2,3,4时，由（*）知猜想成立。 (ii)假设n=k(k ≥2) 时，a k =－) 12)(32(2 --k k 成立。 故S k 2=－ ) 12)(32(2 --k k ·(S k －21) (2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0 ∴S k = 121-k 或S k =3 21 --k （舍去） 由S k+12=a k+1·(S k+1－ 2 1 )得 (S k +a k+1)2=a k+1·(a k+1+S k － 2 1) ? 2 )12(1-k +a k+12+ 1221-+k a k =a k+12+121-+k a k －2 1a k+1 ?a k+1= 〕 〕〔〔1)1(23)1(22 -+-+-k k 即n=k +1时，命题也成立。 由(i)(ii)可知，a n =?? ? ??≥---=)2()12)(32(2 )1(1n n n n 对一切n ∈N 成立。 （3）由（2）得数列前n 项的和S n =1 21 -n 故所有项和S=∞ →n lim S n =0 【注】（1）本题综合了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识，所采用的方法是归纳、猜想、证明，是数列中最常见的题型，也是高考热点。 （2）对于{a n }的通项还可以这样来求： ∵S n 2=a n (S n － 21) ∴S n 2=(S n －S n －1)(S n －2 1 ) ? n S 1－11-n S =2,故{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列 故 n S 1=1 1 S +2(n －1)=2n －1 S n =121-n ,a n =?? ???≥---=)2()12)(32(2 )1(1n n n n 对于含有a n ,S n 的关系式中，常将a n 用S n －S n －1（n ≥2）代（或S n+1－S n 用a n+1代），化成S n ，S n+1（或a n ,a n+1）的递归关系式。 【例4】 设A n 为数列}{n a 的前n 项的和，))(1(2 3 N n a A n n ∈-=，数列}{n b 的通项公式为)(34N n n b n ∈+=。 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）把数列}{n a 与}{n b 的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列}{n d ，证明数列{d n }的通项公式为)(312N n d n n ∈=+ （3）设数列}{n d 的第n 项是数列}{n b 中的第r 项，B r 为数列}{n b 的前r 项的和，D n 为 数列}{n d 的前n 项和，T n =B r －D n ,求∞ →n lim 4 )(n n a T 。 解（1）由))(1(23N n a A n n ∈-=，可知A n+1=2 3 (a n+1－1) ∴A n+1－A n =23 (a n+1－a n )=a n +1，即n n a a 1+=3 而a 1=A 1= 2 3 (a 1－1)，得a 1=3 所以数列}{n a 是以3为首项，公比为3的等比数列，数列}{n a 的通项公式为a n =3n 。 （2）∵32n+1=3·32n =3·(4－1)2n =3×（42n +C 12n ·42n － 1(－1)+…+C 2n 2n － 1·4·(－1)+(－1)2n ） =4m+3 ∴32n+1∈}{n b 而数32n =（4－1）2n =42n +C 2n 1·42n － 1·（－1）+…+C 2n 2n － 1·4·(－1)+(－1)2n =(4k+1) ∴{}n n b ?23 而数列}{n a ={32n+1}∪{32n } ∴ )(312N n d n n ∈=+ 方法2：证明：由计算可知，21,a a 不是数列}{n b 中的项。 ∵3a ＝27＝4×6＋3，∴271=d 是数列}{n b 中的第6项。 设k k a 3=是数列}{n b 中的第m 项，则),,(343N m k m k ∈+= ∵,1)23(4)34(333311++=+=?==++m m a k k k ∴1+k a 不是数列}{n b 中的项。 而,3)69(4)34(939322++=+=?==++m m a k k k ∴2+k a 是数列}{n b 中的项，由以上讨论可知 12735231,,,,+=?===n n a d a d a d a d ， ∴数列}{n d 的通项公式是)(31212N n a d n n n ∈==++. (3)由32n+1 =4·r+3，可知r=4 3 312-+n ∵B r = 2 ) 347(++r r =r(2r+5) =43312-+n ·2 7312++n D n =9127 -·(1－9n )= 8 27（9n －1） ∴T n =B r －D n =8 213491212-?+++n n －827（9n －1） =89·34n －815·32n +4 3 又∵（a n ）4=34n ∴∞ →n lim 4 )(n n a T = 8 9 【例5】 已知函数f (x )=x +22a x - (a >0) （1）求f (x )的反函数f － 1(x )及其定义域； （2）数列{a n }满足?????==-+) (31 11n n a f a a a 设b n = a a a a n n +- ，数列{ b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与87 的大小，并证明你的结论。 解 （1）给y －x =2 2 a x -两边平方，整理得 x =y a y 22 2+ ∵y －x =y －y a y 222+=y a y 22 2- = y a y a y 2) )((-+≥0 ∴y ≥a 或－a ≤y <0 故f －1 (x )= x a x 22 2+，其定域为),[)0,[+∞-a a （2）∵a n+1=f －1 (a n )= n n a a a 22 2+ ∴b n+1= a a a a n n +-++11a a a a a a a a a a n n n n +-+--+= 2 22 22 ???? ? ?+-=a a a a n n =b n 2 又a 1=3a ，b 1= a a a a +-11=a a a a +-33=2 1 ∴b n =(b n －1)2=(b n －2)2 2=(b n －3) 3 2=…=(b 1) 1 2-n =( 2 1)1 2-n ∴S n =b 1+b 2+…+b n =21+(21)2+(21)22+{(21)32+(21)42+…+(2 1)12-n } 又∵2n － 1=(1+1)n － 1=1121111----++++n n n n C C C 则当n ≥4时，2111112---++>n n n C C =1+(n －1)+2 ) 2)(1(--n n >n+1 ∴( 21)12-n <(2 1)n+1 ∴S n =21+(21)2+(21)22+[(21)32+(21)42+…+(2 1)1 2-n ] < 21+41+161+ [(21)5+(21)6+…+(2 1 )n+1] = 21+41+16 1+2 112112135-??? ? ???? ??? ??-?? ? ??-n =21+41+161+161 ·??? ???????? ??--3211n < 21+41+161+161=8 7 注 本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出f － 1(x )及其定义域。搞清定义 域是解题成功的一半。根据函数f (x )解析式的特点，也可以利用三角代换x =a sec θ，θ∈[0, 2 π)∪[π， 2 3π)，求函数f (x )的值域，即f －1(x )的定义域。 【例6】 已知数列{a n }中，a 1=4，a n+1= 12 4+-n n a a ，是否存在这样的数列{b n }，b n =A a C Ba n n ++，其中A 、B 、C 为实常数，使得{ b n }是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求{a n }的取值范围。 解 假设这样的{b n }存在，则应有 b n+1=A a C Ba n n ++++11=()()2 4241 24124-++-++= ++-++-? A a A B C a C B A a a C a a B n n n n n n =A A a A B C a A C B n n +-++-+++424244 b n = A a C Ba n n ++ 存在q ≠0,q ≠1,q 为常数，使b n+1=q b n ,对n ∈N 都成立，于是比较两边的分子和分母，有 ??? ? ?? ???=+-=++=+-)3(42)2(44)1(42 Cq A B C Bq A C B A A A 由（1）可解得A =－1或－2，由（2）、（3）可解得B =－ C 或C=－2B 。 1°若? ??-=-=C B A 1 代入（2）知q=1（B 、C 不能为0，否则b n =0，不合题意要求）舍去。 2°若?? ?-=-=B C A 21代入（2）得q=32 3°当???-=-=C B A 2时，q=23 4°当? ? ?-=-=B C A 22 时，q=1（舍去） 故现只取A =－1，B =1，C=－2，q=32（不必考虑2 3 =q 时的情况，因为只证存在性）。 得b n = 1 2 --n n a a 所以满足题设条件的数列存在。 对于{a n }的取值范围，我们可以这样解、 ∵a n+1－a n =1 2 4+-n n a a －a n =－ 1 ) 1)(2(+--n n n a a a ,a 1=4>2，故a 2 如果能证明所有的a n 都大于2，便可用数学归纳法证明{a n }是单调递减的。事实上 ∵a n+1－2= 12 4+-n n a a －2=1 )2(2+-n n a a 由上式，我们也可用数学归纳法由a 1>2，得a n >2，所以{a n }单调递减。且因为a n >2，所以 a n －2=2· 1211+---n n a a <3 2 (a n －1－2) <( 32)2(a n －2－2)<…<(3 2)n － 1(a 1－2) ∴∞ →n lim a n =2，故a n ∈(2,4]。 【注】存在性问题的解法常是假设存在，然后经过推理、运算，或是求出结论得出存在；或是得出矛盾证明不存在。本题的{a n }的范围还可用前半部分的结论来求。解法如下： b 1=1211--a a =3 2,故b n =(32 )n ∴ 1 2--n n a a =(32)n ∴a n = n ) 3 2(11 -+1 由此易得a n ∈(2,4]。 【例7】 (2000全国)（1）设数列{c n }，其中c n =2n +3n ，且数列{c n+1－pc n }为等比数列，求常数p 。（2）设数列{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n =a n +b n ，证明：{c n }不是等比数列。 证法1（1）∵{c n+1－pc n }是等比数列，故有 (c n+1－pc n )2=(c n+2－pc n+1)·(c n －pc n －1) 将c n =2n +3n 代入上式，得： [2n+1+3n+1－p(2n +3n )]2=[2n+2+3n+2－p(2n+1+3n+1)]·[2n +3n －p(2n － 1+3n － 1)] 整理得： 6 1 (2－p)(3－p)·2n ·3n =0 解之得：p=2或p=3。 （2）设{a n }，{b n }的公比分别为p,q,p ≠q,c n =a n +b n 。 为证{C n }不是等比数列，只要证明c 22≠c 1·c 3 事实上： c 22=(a 1p+b 1q)2=a 12p 2+b 12q 2+2a 1b 1pq c 1c 3=(a 1+b 1)(a 1p 2+b 1q 2) =a 12p 2++b 12q 2+a 1b 1(p 2+q 2) ∵p ≠q,∴p 2+q 2>2pq ，又a 1,b 1不为零，∴c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列。 证法2：先证（2）假设{c n }成等比数列，设11-=n n q a a ；11-=n n p b b ，且q p ≠， 1111--+=+=n n n n n p b q a b a c ，221++=∴n n n c c c 即()()() 1111111 1 2 11++--++=+n n n n n n p b q a p b q a p b q a 即11111111112-++-+=n n n n n n p q b a p q b a p q b a ()q p q p p q pq =?=+?+=∴02222，与q p ≠矛盾 再解（1）n n n c 32+= ，()()n n n n p p pc c 33221-+-=-∴+ 由前面的证明知，当2≠p 且3≠q 时，{}n n pc c -+1不是等比数列， 又当2=p 或3=p 时，显然{}n n pc c -+1为等比数列， 因此当数列{}n n pc c -+1为等比数列时，2=p 或3=p 【注】：本题是2000年全国高考数学试题。其证法很多，建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论； 推论1：设数列{c n }，c n =a n +b n 且a ≠b ，则数列{c n+1－pc n }为等比数列的充要条件是p=a 或p=b 。 推论2：设{a n }、{b n }是两个等比数列，则数列{a n +b n }为等比数列的充要条件是，数列{a n }，{b n }的公比相等。 推论3：公比为a 、b 的等比数列{a n }，{b n }，且a ≠b ，s 、t 为不全为零的实数，c n =s a n +t b n 为等比数列的充要条件是st=0。 【例8】 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1－a n n ∈N （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求s n ; （3）设b n = ) 12(1 n a n -( n ∈N),T n =b 1+b 2+…+b n ( n ∈N)，是否存在最大的整数m ，使得对 任意n ∈N,均有T n > 32 m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。 解 （1）由a n+2=2a n+1－a n ? a n+2－a n+1=a n+1－a n ,可知{a n }成等差数列，d=1 41 4--a a =－2 ∴a n =10－2n （2）由a n =10－2n ≥0得n ≤5 ∴当n ≤5时， ()()n n n n n S n 922 182+-=--+ ?= 当n>5时， ()()512176512a a a a a a a a a a S n n n ++++++-=----++= ()() 40995529222+-=?+-++--=n n n n 故*5 4095 1922N n n n n n n n S n ∈?????>+-≤≤+-= （3）b n = )12(1n a n -=)22(·1 +n n =21(n 1－11+n ) ∴T n = b 1+b 2+…+b n =21 [(1－21)+(21－3 1)+…+(n 1－11 +n )] = 12121 )1(2T T T n n n n n n >>>=->+-- ∴要使T n > 32m 总成立，需32m 1恒成立，即m<8，（m ∈Z ）。 故适合条件的m 的最大值为7。 【例9】 （1999年广东）已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当 () ,2,1,01=+≤≤n n y n 时，该图像是斜率为n b 的线段（其中正常数1≠b ），设数列{}n x 由 ()() ,2,1==n n x f n 定义。 （1）求1x 、2x 和n x 的表达式； （2）求()x f 的表达式，并写出其定义域； （3）证明：()x f y =的图像与y =x 的图像没有横坐标大于1的交点。 解：（1）依题意()00=f ，又由()11=x f ， 当10≤≤y 时，函数()x f y =的图象是斜率为10=b 的线段， 故由 ()() 10 011=--x f x f 得.11=x 又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图象是斜率为b 的线段，故由 ()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=- 得.1 12b x += 记.00=x 由函数()x f y =图象中第n 段线段的斜率为1 -n b ，故得 ()() .11 1---=--n n n n n b x x x f x f 又 ()()1,1-==-n x f n x f n n ， ∴ .2,1,11 1 =?? ? ??=---n b x x n n n 由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1 b 因,1≠b 得 ()∑ =----?? ? ??-= +++=-=n k n n k k n b b b b b x x x 1 1 11,11111 即.1 11 -??? ??-= -b b b x n n （2）当10≤≤y 时，.x y =即当10≤≤x 时，()x x f =； 当1+≤≤n y n 时，即1-≤≤n n x x x 时，由（1）可知()()().,2,1 =-+=n x x b n x f n n 。 又由（1）得当b >1时，∞ →n lim x n = 1 -b b ；当0 当1>b 时，()x f y =的定义域为?????? -1, 0b b ； 当10< （3）当b >1，1 -b b 时， 设x ∈(x n ,x n+1 ] （1, 1 -b b ）,n ∈N ，则 F (x )=f (x )－x =n+b n (x －x n )－x =(b n －1)x +n －b n x n ∵F (x )在(x n ,x n+1]上为增函数（∵01>-n b ）， ∴f (x )>x 恒成立?F (x n )>0 ?x n 而x n =1+ b 1+21 b +…+11-n b <1+1+…+1=n ， ∴1 ](1,+∞)(n ∈N)， 则F (x )=f (x )－x =(b n －1)x +n －b n x n ∵F (x )在(x n ,x n+1]上是减函数（∵01<-n b ）， ∴f (x ) ?x n >n 。 而x n =1+ b 1+21 b +…+11-n b >1+1+…+1=n 成立 ∴x >1时恒有f (x ) 【注】本题若按01分别画出函数f (x )的图像，则思路就比较容易理解。第三小题也可采用数学归纳法证之。 【例10】 已知函数()()R x x f x ∈+= 2 41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上的 两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为 2 1 ． （1）求证：点P 的纵坐标是定值； （2）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1, =∈? ? ? ??=，求数列{}n a 的前 m 项的和m S ； （3）若N m ∈时，不等式1 1 m m m m a a S S ++< 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（1），直接验证即可；对于（2）， 观察m S 的构成： ?? ? ??+??? ??-+??? ??-++??? ??+??? ??=m m f m m f m m f m f m f S m 1221 ， 可知（1）的结论又为（2）作了铺垫；对于（3），则应在（2）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（1）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键． （1）由题可知：12 1 221=? =+x x ，所以， ()()()( )() () 2 14 4424444 44244 442 424 4 442 4 12 4 1212121212121 212 1 2121= ++++= +++++= ++++= +++= +=++x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y y 点P 的纵坐标4 1 221=+= y y y P 是定值，问题得证． （2）由（1）可知：对任意自然数n m ,，2 1 =??? ??-+??? ??m n m f m n f 恒成立． 由于?? ? ??+??? ??-+??? ??-++??? ??+??? ??=m m f m m f m m f m f m f S m 1221 ， 故可考虑利用倒写求和的方法．即由于： ? ? ? ??+??? ??++??? ??-+??? ??-+??? ??=? ? ? ??+??? ??-+??? ??-++??? ??+??? ??=m f m f m m f m m f m m f m m f m m f m m f m f m f S m 12211221 所以， ()()136 1 )1(212121122112-=+-=??? ??+????????? ??+ ??? ? ?-++??? ?????? ??-+ ??? ??+????????? ??-+??? ??=m f m m m f m f m m f m m f m f m m f m f S m 所以，()1312 1 -=m S m （3）∵()13121 -= m S m ， ∴()2312 11+=+m S m ∴11++ 12 ? ??+--m a m a m ① 依题意，①式应对任意N m ∈恒成立． （1） 当0=a 时，①式显然不成立，因此0=a 不合题意． （2） 当0 02 3131>+--m a