练习 在ψ按A 的本征矢量{i
a 展开的
（）式中，证明若ψ是归一化的，则
1=∑*
i
i
i c
c ，
即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟）
证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据式
∑=i
i i
c a
ψ, ψi i a c =
可得
1===∑∑*
ψψψψ
i i
i i i
i a a c c
即A 取各值的概率是归一化的。 #
练习 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.
(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）
(1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则
()t E i i i i t η
-=ψ
所以
i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η
η
ψψ.
即所有物理量的平均值不随时间变化.
(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如
()()()t E i t E i e
x v e
x u t x 21,η
η
--+=ψ
当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #
证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：
)
(]),([)()](,[X f X i P X f P f P
i P f X ??
=??
=ηη
（解答：陈玉辉 核对：项朋）
证明：（1）
)
()()()()()()()()](,[P f P
i P i P f P i P f P f P i P
i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??
-??=-=ηηηηηη
ψψ
ψψψψψ
ψψ
所以 )()](,[P f P
i P f X ??
=η
（2）
)
()
()())(())(()()())(()()(]),([X f X
i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=??
--??--??-=??
--??-=-=ηηηηηηψψψψψ
ψψ
ψψ
所以 )(]),([X f X
i P X f ??
=η
#
练习 下面公式是否正确？（解答：陈玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P
i P X f X ??
=η 解：不正确。
因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 #
练习 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L,
（3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22
2
2
证明： （1）∑∑∑∑===
?ijk
k j i ijk k j jk
ijk
i
i
i
i
i P X P P X P L P εε
L P
由于??
?
??=-==其他情况,,,,,,,032121313213122311231ijk ijk ijk
ε且k j i P X P ，，是相互对易的，
所以0＝∑=
?ijk
k j i ijk
P X P ε
L P
∑∑∑∑===?ijk
k j i ijk k j jk
ijk i
i i
i i P X X P X X L X εεL X ，同上面的过程可以得到
0=?L X
（2）先计算：
[][]l l k j jk
ijk l jk
l
l l k j ijk i P X P X P X P X L ,,P X ,∑∑∑∑=??
???
?=?εε
由于[]
ij j i i P X δη=,。将上式展开可以得到：[]0=?P X ,i L ，再利用相同的道理可以推出：
[]0=?P X L,
（3）证明：
23
23
22
23
21
23
23
22
22
22
21
22
23
21
22
21
21
2
1
2
3222123222122p x p x p x p x p x p x p x p x p x p p p x x x P X ++++++++=++++=)
)((ρρ
)
())((3
2332233113333222
2221122331122111211x p x x p p x x p p x x p p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x X P P X ++++++++=ρ
ρρρ
)(33221122p x p x p x i P X i ++=ηρ
ρη 1
21221121221212131311331311313132
3233223233232322
p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x L +--++--++--=ρ
利用公式ij j i i p x δη=],[
23322113322113322112323323322222222212112113
322113
2
3322221211232322222121222=+++---=+++-+-+-=++++++---=++-)()
()()()(())((p x p x p x i p x i p x i p x i p x p x p x i p x x p x p x x p x p x x p x p x p x p x i x p x x p x x p x p x p x p x P
X i X P P X P X L ηηηηηηρρηρρρρρρρ
即得证！
#
试仿照w p x )(3的计算方法，计算w xp )(和w p x )(2
2。（高召习）
解：由Weyle 规则，将物理量的经典式A(x ，p)写成ηξ和为变量的傅里叶积分
ηηξξηξd e a A(x,p)p
i x i +∞
∞
-∞
∞
-??=
),(d （1）
将积分中指数上的x 和p 改为对应的算符X 和P 。所得结果即为与A(x ，p)对应的算符
式A （X ，P ）
ηηξξηξd e a d A(X,P)P i X i ??∞
∞
-+∞
∞
-=),( （2）
首先计算（1）式中A(x ，p)的傅里叶变换),(ηξA ,取A(x ，p)为m
n p x ，则有
dp e p x A dx a p
i x i ??∞∞
-∞
∞
---=
ηξπηξ),()(),(2
21 （3） 对于m
n
p x 有
)()()()
(),(ηδηξδξηξππηξηξηξm
n
p
i m
x i n
p i x i m n i i dxdp e i e i dxdp e p x a ???
? ???????? ????=???? ???????? ????==
----????22
21
21 (4) 对于xp ，n=1,m=1,将此式代入（2）得
)()()()()()()()()(),(PX XP i XP d i x XP e d P e i d d e
e e i i d d e i i xp P X x i x i i p i x i p
i x i w +=-=??? ?
?
-+=???
?
??--???? ????=???
? ???????? ????=???
? ???????
? ????==??????+2
1
21
212121A 2
1
η
ηηηηξ
ξξδξξξξδηξηδηξδξηξηδηξ
δξξξξηηξηξ
即)(2
1 =PX XP (xp)w +
对于2
2
p x ，n=2，m=2，将此式代入（2）得
)(])([)()()()()()(),(2222222
2
2
1
2
22
2
226
1
X P PXPX P PX X XP XPXP P X d d e e i e i d d e e e i i d d e i i p x P X A p i x i x i i p i x i p
i x i w +++++=???
? ???????? ????=???
? ???????
? ????=???
? ???????? ????==??????+ξηηηδξξδηξηδηξ
δξηξηδηξ
δξηξξξηηξηξη
即)()(2222222
2
6
1
X P PXPX P PX X XP XPXP P X p x w +++++= #
练习 证明
)
(p x m n W
的一般公式：
)
2
1()()(=+??-=
ξξξηP i X p x m
n
W
m n
并利用此式计算
)
(p x m
n
W
。 （解答：田军龙 审核：邱鸿广）
证明：ηξηδξδηξηξd d m
n
e
i i p x P
i X i m
n
W
+??
????=)()()
()()(
ηξηδξδξηηξη
ξd d e
e e
i i i P
i X
i m
n η2
1
)()()
()(??????=
ξηηδξδξη
ηξηξ
d d
e e i e i
i P i m
X i n
m
n ??
??
??????=
??????-+)()()(21)()()
1(η ξξδξξξ
d P
e i m
X
i n
m
n ???
?????=--???-+)21()()1()(η ξξδξξξd X i i P e n m m n ???---????
?
?????=+)()()21()1(η
ξξδξξξd P e i m X i n n ?+??-????
??????
=)21()()1()(η 0
)
2
1()(=+??=ξξξξηP e i m
X
i n
)
2
1()(=+??-=
ξξξηP i X m
n
)
(8
1)(2
2
2
22
22
22
2
2
32
3
X
P
X X X
P P
X X X
P X P
X
PXPX PX P X
X P XP PXP W +++++
++
=
#
练习 （梁端） 解：()
()
n n
B
n
PX P X p
x +=
2
1 因为： []0,=P X
所以： ()
P X p
x n B
n
=
欲求： ()
w
n
p
x 则：
()()
??
--=
dxdp pe x a p i x i n ηξπηξ2
21
, =
()dxdp e i e i p i x i n
ηξηξπ--???
? ???????? ??????2
21
=()()ηδηξδξ???
? ???????? ????i i n
所以： ()
()()()ηξηδηξδξηξd d e
i i P X p
x P
i X i n
w
n
+???
? ???????? ????=A =??, =()()ηξηδηξδξηξd d e e i i P i X i n
?
??
? ???????? ??????
=()()()ξηηηδξξδηξd d e i e i P i X i n
???????????? ????-??2
1 =()()[]
ξξξδξd e P i X
i n
-???
? ?????
因为： []0,=P X ()
()[]
P X P X n n p
x n n w
n
=++=
11
1
故： 在条件[]0,=P X 下
()()
w
n
B
n
p x p
x =
#
练习 一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量f 的算符对应的平方，应当与经典2
f 的对应相同。试以f xp =为例，说明Bohm 规则与Weyl 规则都不满足这个条件。 （解答：邱鸿广 审核：田军龙） 解：（1）Bohm 规则：
f xp =的对应算符为：)(2
1
)(x p p x xp B +=
此算符对应的平方为：
2)(4
1
+ （1） 经典量2f 的算符为)(2
1)(22222
2p x B += （2）
因为)2()1(≠所以Bohm 规则不满足提设这个条件。 （2）Weyl 规则：
f xp =的对应算符为：)(2
1
)(x p p x xp W +=
此算符对应的平方为：)(4
1)(41222
+++=+ （3）
经典量2
f 的算符为：)(6
1)(22222222p x W +++++= （4）
因为)4()3(≠所以Weyl 规则也不满足提设这个条件。 #
证明：[]0,=R L ?,01,=??
?
???R L ?,[]
0,=P L ?. （解答：项朋 审核：陈玉辉）
证明：① 先计算[]
2
,R L ?
[
][][]
[][
]
{}
2,,,,,22=??????
=+===∑∑∑∑ij j k k ijk i ij
j j i j i j i ij
j
j i i X X i e X X L X L X e X X L e X L R L εη??
?
???
再计算[]R L ,?，
[][][][]
R L R R R L R L R R L ,2,,,02?
???=+==
∴ [
]
R L ,?
=0
② [][]
01,1,1,1,1,0+??
?
???=+??????=??????==R L R R R
L R L R R R L L ????? ∴01,=??
?
???R L ? ③
[
][][]
[][
]
{}
2,,,,,22=??????
=+===∑∑∑∑ij k k ijk i ij
j j i j i j i ij
j
j i i P i e P P L P L P e P P L e P L P L εη??
?
???
[][][][]
P L P P P L P L P P L ,2,,,02????=+==
∴ []
0,=P L ?
.
#
用数学归纳法求[
]n
R P ,2和??
?
??
?n R P
1,
2
，Λ2,1,0=n （解答：项朋 审核：陈玉辉） 解: ① 由式可知
[]
R R ni R
P n n ?η?2
,--= ∴
[][][][]()()
P R i R
ni P R R P R
ni P R P R P P R P R P n n n
n
n
n
??ηη?
???η?
????2,,,,2
2
2
2
+--=+-=+==--
下面用数学归纳法证明上式成立: 当0=n 时，显然成立
当1=n 时，由式，上式成立
再由上式推出一个将n 改为n+1的同样公式；
[
][
][
]
()()()()[]
()()
P R i R i n P R i R i P R i R ni R R i R P i P R i R ni R R P R P R R P n n n n
n n n
n ?
?ηη??ηη??ηηη??η??ηη2122122,,,1111
2
21
2
+-+-=+--++--=???
??
?+-++--=+=----+ 说明了原式对n+1也成立，于是证明了上式的普遍成立。
② 由式可知
R R ni R P n n ?η?211,+=??
?
??? ∴
()()η??η????η?
????i R P R ni P R R P R ni P R P R P P R P R P n n n n n n +=+=??
????+??????=??????=??????++2111,1,1,1,2222
下面用数学归纳法证明上式成立: 当0=n 时，显然成立
当1=n 时，由式，上式成立
再由上式推出一个将n 改为n+1的同样公式；
()()()()
η??ηη??ηη??ηi R P R
i n R i R P R i i R P R ni R R P R P R R P n n n n n n ++=+++=??????+??????=??????+++21
1121211
1,1,11,3332212
说明了原式对n+1也成立，于是证明了上式的普遍成立。 #
6.12 证明：（1）P i P L L P ?
η????2=?+?
（2）()()22
L P P L L P =????
??? （梁端）
（1）证明：∑=?ijk
k j i ijk e L P L P ?
?
?ε
=∑∑ijk
lm
k m l i ijk e P R P ?
ε
=()∑∑-ik
lm
k m l i il km im kl e P R P ?
δδδδ
=()∑-ik
k k i i i k i e P R P P R P ?
=()[]∑-+ik
k k i i ik k i i e P R P i R P P ?
ηδ
=P i P R P R P ?
η????+?-2 同理可证：
P i P R P R P P L ?η??????+?+-=?2
故：P i P L L P ?
η????2=?+?
（2）证明：由上题可知：()P i R P R P L P ?η?????-?-=?2
将各个量化为三维形式：
k p j p i p P z y x ??
??++=
2222z y x p p p P ++= 所以：
(
)i p i zp p yp p xp p x p x p x p L P x x z x y x x z y x ?
η??----++=?222
()j p i zp p yp p xp p y p y p y p y
y
z
y
y
y
x
z y x ?
η----+++2
22
()k p i zp p yp p xp p z p z p z p
z
z
z
z
y
z
x
z
y x
?
η----+++2
2
2
则有：
将上式进行点乘，经过整理得：
()()()()()()[]
22
22k yp xp j xp zp i zp yp
p p p
L P L P x y x x y z
z
y x
??
??
???-+-+-++=???
22L P =
故：此题得证
#
练习推导以下列个关系式
π
π
π
π
π
π
π
π
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
p
T
p
p
T
p
p
p
T
p
p
T
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
解：用位置X构造一个幺正算符)
(π
+
T
[])
exp(
)
(
)
(
)
exp(
)
(1X
i
T
T
X
i
Tπ
π
π
π
π
η
η
-
=
=
=-
+
+其伴算符为
)
(π
+
T与P的对易关系是：
[])(
)
(
),
(π
π
π
π+
+
+-
=
?
?
=T
T
X
i
P
Tη
即)
(
)
(
)
(π
π
π
π+
+
++
=T
P
T
PT
将此式作用到p上，得
p
T
p
p
T
p
P
T
p
PT)
(
)
(
)
(
)
(
)
(π
π
π
π
π
π+
+
+
++
=
+
=
则P的一个本征矢量p被算符)
(π
+
T作用后，可得出另一个本征矢量，其本征值为π
+
p
π
π+
=
+p
p
T)
(
由于)
(π
+
T的幺正性，π
+
p也是归一的。我们称)
(π
+
T为作用于动量本征矢量的上升算符；有上式的左矢形式
π
π+
=p
T
p)
(
可知，算符)
(π
T是左矢p的上升算符。
将)
(π
T作用于p，由于)
(
)
(π
π-
=+
T
T可得，
π
π
π
π
-
=
-
=
+p
T
p
p
p
T
)
(
)
(
可见算符)
(π
T是右矢p的下降算符，而算符)
(π
+
T是左矢p的下降算符。
#
若取p h
i e
Q ξ-+
=中的ξ为复数，能否得出X 的本征值为复数的结论？
（韩丽芳 候书进 审） 解：若ξ为复数，令ξ=a+?b 则
由
[]
x
Q X Q XQ Q Q p
i Q X +++++
++==??=)()()()()()
(,,ξξξξξξξξη
得x Q x x Q x X Q x XQ +
++++=+=)()()()()(ξξξξξξ
因为ξ为复数，+)(ξQ 不再是幺正算符，现将x Q +
)(ξ归一化得其归一化矢量为x e
ap i
η
-，其
本征值为x+ξ① 同理x e
x a x ae
x X e
x Xe
ap i ap i ap i ap i
η
η
η
η
----+=+=)(
即此时本征值为x+a ②
①②,结论矛盾，所以ξ不能是复数，即X 的本征值不可以是复数
证明：()()p p p
i p p p i X p p -'??
-=-''??='ηη
δ式成立。 （做题人：杨涛 审题人：吴汉成）
证明：
令00==x x 表示算符X
的本征值为零的本征矢量，00==p p 表示算符P 的本征值为零的本征矢量。
(
)(
)()()(
)()()()()()
p p p i p p p i p p p i xdx e dx x d e x x x e p
x dx x X x x d x p p
X p X e
e
x p x x dp
e
dp
e e
dp x p p x x x x x e
e
e p T e p e e
p x Q p x p p p i
xp i
p x i
p p xp i x p xp i x p x
p x x p i
x p p x i x
p xp i x
p xp i x
pX i p xp i x
p xp i x xp i x
xP i x -'??
-=-''??
=?-'???
? ??'??=='-'=''''='==
=∴=∴'-==='?='='-======???
????-'-''-'---'-'-------+
δδπδππδπππδπδηη
ηηηηηη
ηηη
η
ηη
η
η
η
η
η
η
ηη
ηη
22121212100210020000000000000002
2
2
证毕
证明以下两个左矢关系成立：（做题人：杨涛 审题人：吴汉成）
x
x
i P x x
x X x ??
-==η 证明：在X x 式中右乘x
则()x x x x x x x X x '-='=δ 在x x 式中右乘x
则()x
x X x x x x x X x x x x x x x =∴'=∴'-='δ
证毕
在P x 右乘x 则()x x x
i x P x '-??
-='δη 在x x i ??-η
右乘x x x
i x '??-?'η
x
x
i P x x x x
i x P x ??
-=∴'??
-='∴ηη
证毕
练习 试讨论动量表象的函数形式。（吴汉成 完成， 董延旭 核对） 解：讨论关系式：?=?ψ?||X ，从矩阵形式出发则有：
??=??==ψ???|||)(X p p p p --------------（1）
而本征值矢量组{
}?'
|p 是完全的，即：1|'''=????+∞
∞
-p p dp ，并代入（1）式得：
????=?+∞
∞-ψ?|||)('''p p X p dp p
又Θ ),(||''''p p p
i X p X p pp -??-==??δη
??=ψψ|'
'p p ，并代入上式得：')([)('''p p p p
i dp p ψδ?-??
-=
?
+∞
∞
-η
--------（2） 并对该式进行分部积分：
'
''
'])[(|)()(''
'
dp p i p p p p i p p
p p p ψδψδ???-+--=?+∞=-∞=η
η )(p p
i p i p ψψ??
=??=ηη
上式可写成如下形式：
)(?)(p X
p ψ?=，其中算符p
i X ??=η?，此关系式便是动量表象的函数形式。
练习 证明描写同一状态ψ的位置表象波函数)(x ψ与动量表象波函数)(p ψ之
间满足傅里叶变换：
dp e p x xp i
?=
η
η
)(21
)(ψπψ
dx e x p xp i
?-=η
η
)(21)(ψπψ （吴汉成 完成， 董延旭 核对） （1）
证明：已知px i
e p x ηη
π21
|=
??，显然得： ?
=
dp e p xp i
η
η)(21ψπ右边 dp e p px i
)21()(ηη
πψ?=
dp p x p ??=?|)(ψ
又有，??==ψψψ|)(p p p ，并代入上式得： 右边=?????dp p x p ||ψ dp x p p **)|()|(????=?ψ
**
)|(|)
(|????=?x dp p p ψ --------（1）
又
Θ 本征值矢量组{}?p |的完全性，即：1||=???dp p p
∴ 1)||(|)(|*
*
=??=????dp p p dp p p ，并代入（1）式得：
右边)(|)|(*x x x x ψψψψ==??=??=
显然证得：
dp e
p x xp i
η
η
?=
)(21)(ψπψ
（1）
证明：已知px i
e p x η
η
π21|=
??，则有： px i
e p x x p ηη
-=
??=??π21
||*
显然得：右边=
dx e x xp i
η
η
-?)(21
ψπ
dx e x px i )21(
)(η
η
-?=πψ
???=dx x p x |)(ψ 又有??==ψψψ|)(x x x ，并代入上式得： ?????=dx x p x ||ψ右边 dx p x x **)|()|(????=?ψ
**)|(|)(|p dx x x ψ???=? ------------------（2）
又
Θ 本征值矢量组{}?x |的完全性，即：?=??1||dx x x ∴ 1)||(|)(|*
*
=??=????dx x x dx x x ，并代入(2)式得：
)(|)|(*p p p p ψψψψ==??=??=右边 显然证得： dx e p p xp i
η
η
-
?=
)(21
)(ψπψ
7.7 在三维的位置表象或动量表象中，重新证明()28.6、()29.6和()31.6各式，即
r
R i R P ??,?ρηρ-=??????，
3?1,?r R i r P ρηρ=??
?
??? r i R P i R P 1??2?,?2??? ??+?-=??????ηρρηρ， 321??21,?r R P i r P ρρη?=??
???? （王俊美） 证明 在三维的位置表象中：
利用
()[]
()
X f i X f P ρ
ηρρ?-=,
证明以下各式得:
()r
R ?i R ?,P ?r R ?i R ?i R
?,P ?1ρη
ρρηηρΘ-=??????∴???? ??-=?-=??
????
()3
3?1,??11,?2r R i r P r R i r i r P ρηρρηηρΘ=??
?
???∴??
?? ??--=?-=???
???
()r i R P i R P i R P i i R P r i r R i R r R P i R P i P R r R i r i r P P
R r i r P R r R P i P r R i r R i P P R P R P P R P P
P 1??2?,???2??1??1???,??
,?,?11???11??1????????,??,???,???32323222??? ??+?-=??????∴??? ??+?-=??? ??+???? ??-+???????
????? ??+??? ?
??-=??????∴=??????=??-=????? ??-+????????? ???+??? ?
??-=???? ??-+???? ??-=??
????+??????=??????∴=ηρρηρηρρηηρρηρηρρρηρρη
ρρρηηρΘρρηρρρρηρρηρηρρρρρρρρρρΘ又 ()3
23
33221
??21,?1??2P ?
?i ?i P ?P
?1i -1i -P ??1,?1,?P ?1,?1,?4r R P i r P r
R P i r R r R r r P
r P r P r P r P ρρηρρηρρηρηρρηηρρρρρρΘ?=?????
?∴?=???? ??+???? ??=??? ???+??? ?
??=??
????+??????=??????=??????
同上题，重新证明（）和（ ）二式，（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）
P
P ni R P R R ni R P n n n n ???,?,???,?22?η??ηρ---=??
????-=??
???? 证明：（1）由于
R R i R P R R i R P R i X X P X P X e X X P e X P R P j j
i j i j ij i j j i ij i ??6?,???4?,??2??,??,????,??,??,?462422?ηρ?ηρ?ηρρρρρ-=??????-=??????-=?
???????????+??????=??????=??????=??????∑∑
由此猜想R R
ni R P n n ???,?2?ηρ--=??
???? 用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n 时上式成立，则在n=n+1时有
R R i n R R P R P R R R P R P n n n n n ??)1(??,??,????,??,?2)1(1ρηρρρρ-+++-=??
????+??????=??????=??????
则当原式成立，则当n=n+1时原式也成立。所以R R ni R P n n ???,?2?ηρ--=??
????成立 （2）由于
P P i R P P P i R P P i P X P X P P e X P P e X P R P i j i j i I ij i j i i ij i ??6?,???4?,??2??,??,???,???,??,?462422ρηρρηρρηρρρρρρ-=??????-=??????-=?
???????????+??????=??????=??????=??????∑∑
由此猜想P
P ni R P
n n
???
,?2
?η?--=??
???
?
用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n 时上式成立，则在n=n+1时有
P P i n P R P R P P R P P R P n n n n n ??)1(??,??,???,???,?2)1(1?ηρρρρ-+++-=??
????+??????=??????=??????
则当原式成立，则当n=n+1时原式也成立。所以P P ni R P n n ???,?2?η?--=??
????成立
证明：（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）
r r r P r
r
i P R ??=??
??????-=?22
221,?,??ηη?? 证明：在三维的位置表象中，定义任意一个态函数()Z Y X ,,ψψ=
k
Z j Y i X e X n r R i i
i ρρρρ
ρρ++===∑
???? ?
???+
??+??-=??-=???-=∑k Z j Y i X i e X i n r i P i i i ρρρηρηρηρ)(?
2
22Z Y X R r ++==ρ
（1）由于r
R i P R R P R P ??????,?ρηρρρρρρ-=-=??????
则有：r r
i i r r i i r R i r R i r R i R P P R ??-=+??--=+??-=???
? ??+=????????ηηηηρηρηρηρρρρ??????? （2）由于321??21,?r R P i r P ρρη?=??
????
其中：???
?r R R r
i R P =??-=?
?
??ρρηρρ
带入上式有：????323212?21??21,?r r r R r i i r R P i r P ??=??? ????-=?=??????η
ρηηρρη 所以：r r r r r P ??=??=?????
?222
222121,?ηη
练习 在x 表象的函数形式中，态函数)(x ψ与)(x ?有下列关系：
)(?)(x A
x ψ?= 另有一算符K ?，具有离散的本征值i k ，本征函数为)(x u i ，即)()(?x u k x u K i
i i =，试用函数形式语言，直接给出上式的K 表象矩阵形式。
（解题人：胡项英 校对人：宁红新）
解：K 表象的本征函数)(x u i 构成K 表象的一组基矢，任意状态可按照这组基矢展开，如：
i i i
x u x ??)()(∑= i i i
x u x ψψ)()(∑=
所以 i i
ij i A ψ?∑=? 其中
j i ij k A k A ??= #
练习 （做题人：韩丽芳）
试通过下面的实例，说明算符的厄米性与内积的定义有关。设有一函数空间，其中函数()x ψ和()x ?等满足束缚态的边界条件，即()0=∞±ψ。证明：若内积的定义不用（）式而改用
()()x x x x d 2ψ?ψ??*=
则算符x
??
-η
i 不再是厄米的，试求出在此情况下此算符的厄米共轭。 证明：若内积定义为
()()x x x x d 2ψ?ψ??*=
则厄米算符的定义可改为
()()()()
()x x x x F x x x F x d ?d ?22ψ?ψ?**?
?= 算符x
P x
??-=ηi ?，且()0=∞±ψ 则 ()()()()x x x x x x x x P x x d i d ?2
2ψ?ψ???
? ??
??-=?
?**η
()()()()()()()()()()()()()??
???*
*
*
***+∞
∞-*
??
?
?????-≠?
?
??????? ????+-=????????? ??
??+-=???
?????+=+-=x
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x d i d 2i d 2i d 2i d i i 22222
2ψ?ψ??ψ??ψ?ψψ?
ηηηηηη
即
()()()()??*
*
??
??????-≠??? ????-x x x x x x x x x d i d i 2
2ψ?ψ?ηη 由厄米算符的定义，则算符x
??
-η
i 不再是厄米的。 由()[]
()()()x x A x x x x A d ?d ?ψ?ψ?**+?
?=得 ??
?
????+-=??? ????-+
x x i x 2i ηη
#
证明：
)??(???)??)(??(B A i B A B A ρρρρρρρρρ??+?=??σσσ
证明：（1）))(()??)(??(z z y y x x z z y y x x B B B A A A B A σσσσσσσσ++++=??ρρρρ
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 ' 11 H =0，'22 H =0，'12H ＝'21 H ＝ν η21 E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12 '21 E E H -＝-ωη21+0-ωνηη2241＝-ωη21-ων241η E 2＝E 2 （0） +' 22H + )0(1)0(22'12 E E H -＝ωη21 +ων241η 4、E 1＝2 22 2ma ηπ，)(1x ψ＝?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 20 2a dx a x x a a =?π x p ＝-i η?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2πη x xp ＝-i η??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψη ＝ ?-a a x xd a i 02) (sin 1πη ＝0sin [12a a x x a i πη--?a dx a x 0 2]sin π ＝0+?=a i dx ih 0 2 122ηψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分 （i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。 ),(21→ →r r ψ有：)(1→ r a ψ→ )(2r a ψ，)(1→ r b ψ→ )(2r b ψ，)(1→ r c ψ→ )(2r c ψ， )] ()()()([21 2121→ →→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。 （ii ）s ＝21 ，单粒子态共6种： ? ?????0 1a ψ， ? ?????1 0a ψ， ? ?????0 1b ψ， ? ?????1 0b ψ， ? ?????0 1c ψ， ? ?????1 0c ψ。 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符 ()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h 1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场 ???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= 1).H 为厄米算符,iH S e =.证明：（1）S 是幺正算符;（2）det exp(i tr )S H =. 2).求()||0za x x e ψ+=<>的表达式. 3).求相干态|0za z a e +*->的时间反演态. 4).求解一维系统2 0()2p H V x m δ=+的隧道效应. 5).哈密顿量22211()222i i i i j i ij p H m x V x x m ω=++∑∑,写出其二次量子化形式. 1.设一维受扰动的谐振子的哈密顿量为2221122 H p m x gx m ω=++，其中,x p 分别为坐标、动量算符,其他的量为常数.(1)在海森堡绘景中写出坐标、动量算符所满足的运动方程;(2)求出上述坐标、动量算符随时间的变化. 2.(1)请写出谐振子相干态;(2)计算任意两个相干态之间的内积;(3)证明全体谐振子相干态是过完备的,即: 21|| d 1z z z π><=?,其中|z >为相干态, 2d z dxdy =,而,x y 分 别为z 的实部和虚部. 3.通过量子化条件[,]x p i = 计算出坐标算符x 和动量算符p 的本征值,以及坐标表象中的动量的本征态. 4.(a)请写出氢原子的定态狄拉克方程,以及狄拉克方程中(1,2,3)i i α=和β矩阵所满足的关系.(b)证明系统的角动量守恒. 5.设有N 个全同费米子组成的系统,其哈密顿量为222,11()222i i i i j i i j i p H m x V x x m ω≠=++∑∑. (a)在谐振子基矢下计算出哈密顿量的二次量子化形式;(b)在坐标表象中写出哈密顿量的二次量子化形式. 6. 证明动能算符在空间转动变换下是不变的. 7.(a) 设系统的哈密顿量为H ，请写出含时推迟全格林算符'()G t t +-和超前全格林算符'()G t t --以及相应的定态全格林算符()G E +和()G E -. ?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 , 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.doczj.com/doc/e77986119.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
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