1.第三章微积分操作
如何求函数或者数列的极限
在Mathematica中,不仅能计算通常的极限(包括极限为正负无穷的情况),还可以计算左右极限,在极限不存在时,Mathematica会给出函数震荡的区间范围(Interval).
下面是计算极限的三种形式:(当x0取Infinity时就相当于数列的极限)
例:
2.
如何求一元函数的导数及高阶导数
在Mathematica中,能方便地计算任何函数表达式的任意阶导数(微商)。计算一元函数的导数及高阶导数的函数的格式如下(函数中允许含其它看作常数的变量):
求导函数意义
D[f,x] 计算一阶导数f'(x)
D[f,{x,n}] 计算n阶导数f(n)(x)
例:
1.
如何求多元函数的偏导数及高阶偏导数
我们知道求偏导数的实质就是求导数,所以在Mathematica 中求导数和求偏导数的函数是一求偏导函数 意义
D [f,x1,x2,…]
计算多重偏导数f x x ...21???? D[f ,{x1,n1},{x2,n2},…]
计算多重混合高阶偏导数 Dt[f ]
求全微分df
例: 2.
如何计算一元函数的不定积分
在Mathematica 中用函数Integrate [f,x]计算不定积分?dx x f )(,在输出的结果中省略了任意常数。应该指出的是,在Mathematica 中计算导数几乎是所向无敌的,而计算积分则与积分问题本身的难度有关。我们知道,有些函数的原函数是不能用初等函数表示的,例如x x x e x
x ,,sin 2-等。这时Mathematica 采用的方法是原样输出或者使用超越函数表示。详细的内容可以参考Mathematica 关于积分函数的使用帮助。
例:
1. 如何计算一元函数的定积分
计算一元函数定积分的函数也是Integrate ,在无法求出精确解时可以使用数值积分函数NIntegrate,此外Mathematica 还可以计算广义积分,在积分发散时会给出提示.计算定定积分函数 意义
Integrate[f (x ),{x,a ,b}] 计算定积分
?b a dx x f )( Nintegrate [f (x ),{x,a ,
b}]
用数值计算方法计算定积分?b a dx x f )(
例:
高等数学测试(第三章) 一. 选择题(每小题3分,共30分) 1.下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是( ) A .x y e = B .ln y x = C .21y x =- D .2 1 1y x = - 2.曲线3(y x = 3.已知函数f A .一个 4.设函数(f x ) A 5.如果0()f x 'A .0()f x C .0()f x 6A . C . 7.若在[]1,1-A 8.曲线1=y 9.设()x f '在点0x 的某个邻域内存在,且()0x f 为()x f 的极大值,则()() =-+→h x f h x f h 000 2lim ( ) A .0 B .1 C .2 D .-2 10.设()x f 在点3=x 的某个邻域内有定义,若()() () 133lim 2 3 -=--→x f x f x ,则在3=x 处( )
A . ()x f 的导数存在且()03≠'f B . ()x f 的导数不存在 C . ()x f 取得极小值 D . ()x f 取得极大值 二. 填空题(每小题3分,共15分) 11.函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ=________. 12.函数4 y x = 13.函数()f x 14.曲线()f x 15.函数()f x 三. 计算题(16.(5 18.(5,讨论其
四. 应用题(每题10分,共20分) 20.(10分)某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大? 21.(10 是多少? 五. 证明题( 22.(10
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分: (1)解:C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( (2)解:?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 (3)略. (4) 解:? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解:?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解:x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解:? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解: ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解:},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f , )(x F 则必存在原函数,???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续,有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ,,2 1112C C +- =+-即
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞ x n +k =a . 证:由lim n n x a →∞ =,知0ε?>,1N ?,当1n N >时,有 取1N N k =-,有0ε?>,N ?,设n N >时(此时1n k N +>)有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列 x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立. 证: 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>,,使当时,有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞ =, 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明: (1) lim n →∞ 2221 11(1) (2)n n n ??+++ ?+??=0; (2) lim n →∞2! n n =0. 证:(1)因为 22222 2111 112 (1) (2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=, 2lim 0n n →∞=, 所以由夹逼定理,得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . (2)因为22222240!123 1n n n n n < =<-,而且4 lim 0n n →∞=, 所以,由夹逼定理得
第四章 习题参考解答 习题4-1 1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程,请指出其阶数 (1)是一阶微分方程; (2)不是微分方程; (3)是一阶微分方程; (4)是二阶微分方程; (5)是一阶微分方程; (6)是一阶微分方程。 2、在下列各题所给的函数中,检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解? (1)(B )是特解 (C )是通解; (2)(A)是特解 (B )是通解; (3)(A )是通解(B )是特解 3、求下列各微分方程在指定条件下的特解 (1)解:x x x y xe dx xe e dx ==-?? (1)x y e x C ∴=-+ 将(0)1y =代入上式,得2C = 故满足初始条件的特解为:2)1(+-=x e y x (2)解:C x x dx y +==? ln 将(1)1y =代入上式,得1C = 故满足初始条件的特解为:1ln +=x y 4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 (1)解:设曲线为)(x y y = 由条件得2x y =' (2) 解:设曲线为)(x y y =,则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y k '- =1 由条件知PQ 中点的横坐标为0,所以Q 点的坐标为)0,(x -,从而有 01 ()y x x y -=-' --
即:20yy x '+= 注:DQ PD k = 习题4-2 1、求下列微分方程的通解 (1)sec (1)0x ydx x dy ++= 解:原方程变形为:cos 1x ydy dx x =- + 积分:11 cos 1 x ydy dx x +-=-+?? 得:sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为:C y x x =++-sin 1ln (2) 10x y dy dx += 解:原方程变形为: 1010 x y dy dx = 积分:1010x y dy dx =? ? 得:1111010ln10ln10 y x C -=+ 所求的通解为:1010x y C --= (3)ln y y y '= 解:原方程变形为: ln dy dx y y = 积分:1ln dy dx y y =? ? 得:ln ln y x C =+,2ln x y C e = 所求的通解为:x Ce y e = 注:21,2C C e C e C ==; (4)tan cot ydx xdy = 解:原方程变形为:cot tan ydy xdx =