第一章
电磁现象的普遍规律
一、 填空题
1.已知介质中的极化强度Z e A P
，其中A 为常数，介质外为真空，介质中的极
化电荷体密度 P ；与P
垂直的表面处的极化电荷面密度P 分别等于
和 。 答案: 0, A, -A
2.已知真空中的的电位移矢量D =（5xy x e
+2z y e ）cos500t ，空间的自由电荷体
密度为 。 答案: 5cos500y t
3.变化磁场激发的感应电场的旋度等于 。
答案: B
t
v
4.介电常数为 的均匀介质球，极化强度z e A P
A 为常数，则球内的极化电荷
密度为 ，表面极化电荷密度等于 答案0,cos A
5.一个半径为R 的电介质球,极化强度为 ，电容率为2r
r
K P ,则介质中的自由
电荷体密度为 ,介质中的电场强度等于 .
答案: 20r K f ）（ 2
0r r
K
二、 选择题
1.半径为R 的均匀磁化介质球，磁化强度为M
，则介质球的总磁矩为
A ．M B. M R 334
C.3
43R M
D. 0
答案:B
2.下列函数中能描述静电场电场强度的是
A ．z y x e x e y e x 32 B. e
cos 8
C.y x e y e xy
236 D.z e a （a 为非零常数）
答案: D
3.充满电容率为 的介质平行板电容器，当两极板上的电量t q q sin 0 （ 很小），若电容器的电容为C ，两极板间距离为d ，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为： A ．
t dC
q
cos 0 B.
t dC q sin 0 C. t dC
q
sin 0 D. t q cos 0 答案:A
4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的a 为非零常数
A ．r e ar
(柱坐标) B.y x e ax e ay C. y x e ay e ax D. e ar 答案:A
5.变化磁场激发的感应电场是
A.有旋场,电场线不闭和
B.无旋场,电场线闭和
C.有旋场,电场线闭和
D.无旋场,电场线不闭和 答案: C
6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度 满足
A.J
B.0 t
C.0
D. 0 t
答案: D
7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:
A.只有法向分量;
B.只有切向分量 ;
C.表面外无电场 ;
D.既有法向分量,又有切向分量 答案:A
8.介质中静电场满足的微分方程是
A.;,0t B E E
B.0, E D ;
C.;0,0
E E D.;,t
B
E D
答案:B
9.对于铁磁质成立的关系是
A.H B
B.H B 0
C.)(0M H B
D.)(M H B 答案:C
10.线性介质中,电场的能量密度可表示为
A. 21;
B.E D
21; C. D. E D
答案:B
三、 思考题
1、有人说：“当电荷分布具有某种对称性时，仅要根据高斯定理的积分形式这一个方程就可以求解静电场的分布。”对此你的看法如何？
答：从物理意义上看，高斯定理只反映了静电场性质的一个侧面（有源场），它对静电场性质的描述是不完备的，只有在特殊情况下，才能依据这种不完备的描述，来确定电场的分布。在电场分布不具有高度对称的情形下，应配合环路定理，才能充分描述静电场。
从数学上看，在积分结果一定情况下，被积函数不能唯一确定，一般情况下，
不能单靠高斯定理求解E v
的函数关系，只当电场分布高度对称时可以作出这样的高斯面。高斯面应满足：（1）高斯面一定要通过待求场强的那一点；（2）高斯面
的积分部分或者与E v 垂直，或者与E v 平行；（3）与E v 垂直的那部分高斯面上各点场强相等；（4）高斯面的形状比较简单，只有这样E v 作为常量可从积分号中提出，才能由高斯定理求解出E v 。
2、有人说：“只要力线不是涡旋状的，矢量场的旋度就一定等于零。”这句话对否？你能否找到一个反例？
答：这句话不对。力线是涡旋状的场，一定会有一些点的旋度不等于零。是有旋场；但力线不是涡旋状的场，却不一定处处无旋。例如：匀速运动的点电荷，电
场线仍然不是涡旋状的，但电场的旋度不等于零,0B
E t
v
v 。 3、平行板电容器的极板面积为S ，板间距离为d ，所带电荷为Q ，求任一板所
受的电场力是2
Q s 0，还是2Q 02s 。
答：因每个极板受的力是另一板产生的电场对它的作用力，每个极板产生的电场
为02 ，所以 220022s Q F s
4、有人说：“当稳恒电流的分布具有某种对称性时，只要根据安培环路定律就可以求解稳恒电流的磁场分布”。对此你的看法如何？
答：可以利用环路定理求解磁场的电路，要求找到这样的积分路径在此路径上各点B v 沿路径方向的分量
cos ,B B dl v
v 相同，可以把它从积分号中提出来，即
cos ,L
L
B dl B B dl
dl
v v v
v v 蜒，
这时只对路径积分，而这个路径积分很容易算出的；还有一种情况是，在所选积分路径上的某些部分
cos ,0B B dl v
v ，在其余部分
cos ,B B dl v
v 为一恒量，这时也可以求出磁场B v ，但是，如果电流回路是任意的，
磁场没有较强的对称性，我们就只能由安培环路定理计算B v
的环流L
B dl v v ?，而
求不出B v 。
5、有人说电磁场的场源是电荷、电流，有人说除此之外还有变化的电场和变化的磁场，你的看法如何？
答：后者说法正确。因为变化的磁场激发电场（法拉第电磁感应定律），变化的电场也激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）。 6、说明传导电流和位移电流的异同。
答：区别——传导电流：（1）由电荷运动产生与电荷宏观定向移动相关；（2）存
在于导体中，方向始终与电场方向相同，j E v v
；（3）有热效应，遵从焦耳—楞次定律。
位移电流：（1）由变化的电场产生，与电荷宏观运动无关；（2）可存在于真空、
介质和导体中，方向与电场方向可以相同，也可以相反，D dD
j dt
v
v ；（3）在导体
中无热效应，在介质中发热，不遵从焦耳—楞次定律。
联系：（1）都可以激发磁场；（2）都遵从安培环路定理；（3）都具有相同的单位安培。
7、有人说：“高斯定理本是由库仑定律推证出来的，当 随时间改变时，高斯定理仍然成立，但库仑定律却需要修改。推证出发点的适用范围小于结果的适用范围，这不合逻辑。应该如何解释这个问题。
答：库仑定律是直接从实验中总结出来的，是整个静电学理论的实验基础，由于它只是从电荷相互作用的角度研究静电现象局限性较大，只适用于相对静止的点电荷的场。高斯定理和环路定理是库仑定理的推论，由于它们是用场的观点，从
两个不同侧面，对静电场的基本性质给出了完整描述。适用于一切场源电荷激发
的场，这是经过实验验证，说明高斯定理0
E
v 更具有普遍意义。
当然，从另外一个角度，也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理，再由它们导出库仑定律。比如：可根据检验空腔导体内不带电的实验得出高斯定理，再将高斯定理应用于中心置一点电荷的闭合球面，即可导出库仑定理，因此高斯定理和环路定理又叫静电场第一、二定律，此时库仑定理只处于推论地位。
8、有人说：“只要自由电荷分布相同，有介质存在时静电场中D v 矢量与真空中静
电场0E v 的关系都是00
D E v v ”。这种说法对吗？正确的说法是什么？ 答：不对. 正确的说法是:当自由电荷分布相同时，而且均匀介质充满整个空间或
者分区充满整个空间,但分界面必须是等势面, 才有00D E v v
. 9、根据边值关系完成下列场矢量图。
1）212 ，0f ，已知D 2，画出D 1； 2）212 ，0f ，已知E 1，画出E 2； 3）
212 ，0f ，已知H 2，画出H 1； 4）212 ，0f ，已知B 1，画出B 2。
答：（a ）2121,2n n t t D D D D ，（b ）12212,n n t t E E E E （c ）12212,n n t t H H H H ，（d ）122
,n
n t B B B
(a) (d)
(b) (c)
思考题2-9
10、 说明体电荷密度ρ和面电荷密度σ的定义和它们之间的关系。
答：所谓电荷的体密度，就是单位体积内的电荷。考虑带电体内某点P ，取一体积元v 包含P 点，设v 内全部电荷代数和为q ，则P 点电荷体密度定义为
0lim
e v q
v
，0v 是数学上抽象，实际只要v 宏观上看足够小即可。e 称
为电荷面密度，它的物理意义是单位面积电荷0lim e s q
s
，s 也应是宏观看很
小，微观看很大。
我们可以将表面层抽象出一个没有厚度的几何面，如下，可以设表面层厚度为 ，层内电荷体密度e ，取面积为s 的一块表面层，它的体积为s ，其中包含电荷e q s ，0lim e s q
s
,设想0 ，e ，
保持乘积e e 为有限值。
11、 在双线传输的直流电路中，电磁能流是由电源流向负载的，还是由正极流向负载，再把剩余的带回负极？
答：是由电源流向负载的。在直流电路中电磁能并非通过电流传输，而是通过导线周围的电磁场场从电源传输至负载。
12、 通过导体中各处的电流密度不同，那么电流能否是恒定电流？为什么？举例说明。
答:可以是恒定电流。恒定电流只是要求,0,0J t
v .某处电流密度
与时间无关.但可以是空间坐标的函数.
如恒定电流通过粗细不均的导体，导体中各处的电流密度不同.
13、 简述真空中麦克斯韦方程组的建立过程。
① 由高斯定理和库仑定律得真空中静电场的微分方程：
E v ， 0E v
② 由毕奥——萨伐尔定律得真空中静磁场的微分方程：
0,B v
，0B J v v
③ 加上电磁感应定律和位移电流假设得真空中麦克斯韦方
0E v ,B
E t
v v
0,B v 000E
B J t
v
v v
14、 考察真空中的麦克斯韦方程组,总结电场、磁场的产生方式及性质。
电场有两种产生方式：
a. 电荷产生的电场是有源无旋场， b . 变化的磁场产生的电场是无源有旋场。 磁场有两种产生方式：
a .电流产生的磁场是有旋无源场， b. 变化的磁场产生的电场是有旋无源场。
15、 介质中可以有几种电流密度？
答：三种（1）自由电流密度f J v
；（2）在外磁场下分子电流的规则取向形成的磁
化电流密度M J v
；（3）电场变化时介质的极化强度P 发生变化产生的极化电流密
度P J v 。
16、 麦克斯韦方程组描述了电磁场的规律,而微分形式的麦克斯韦方程组却不能用于介质界面上，是否能得出在介质界面上电磁规律失效？
答：不能，在介质界面上，场量会有跃变，因而场量的微分不再存在，使微分方程失效，而不是电磁规律失效；积分形式的麦克斯韦方程组仍然有效。
17、 什么因素引起界面两侧 D ，E ，P
法向分量跃变？什么因素引起界面两侧H ,B ,M
切向分量跃变？
答：
21f n D D r u u r u u r
：自由电荷面密度f 引起D 法向分量的跃变。
21p n P P r v v
,极化电荷面密度p 引起P 法向分量的跃变。 210
f p
n E E
r v v ；总电荷面密度f p 引起E 法向分量的跃变。 21()f n H H r v v v ,自由电流线密度f v 引起H 切向分量的跃变。
21()M n M M r v v v ;磁化电流线密度M v
引起M 切向分量的跃变。
210()()f M n B B r v v v v ；总电流线密度f M v v 引起B 切向分量的跃变. 18、 静场中存在能流吗？试证明在同一空间中存在静止电荷的静电场和永久磁
铁的磁场.此时可能存在物理量,E H v v ，以及S E H v v v ,但没有能流。对空间任
意闭和曲面，有
()0
s
E H dS v v v
?
答：静场中不存在能流，因为能流是描述电磁场的能量运动的物理量，静场虽然具有能量，但能量是静态分布，不传播，不运动。 证明：()()()()s
s
E H dS E H dv E H E H v v v v v v v v v
蜒
对静电场，0E v ，又因为空间只有永久磁铁，传导电流0J v
。且为静场 根据Maxwell 方程0D
H J t
v
v v 故 ()0s
E H dS v v v
?
19、 我们在推导Maxwell 方程
L s
B E dl dS t v
r v v ?，应用了电磁感应定律
,L
d B d S
d E dl dt dt
u r u r
r v ?
当回路相对于观察者（实验室）静止不动时，上式变为
L s
B
E dl dS t v
r v v ?，B E t v v 我们有知道不仅磁场变化可以产生感应电动势，导体回路运动时也可以产生感应电动势，显然上式推导过程中未考虑动生电动势，那么的出的结果具有普遍性吗？你怎样理解？
答：虽然结果是从特殊情况得出的，但却是普遍成立的。下面来讨论普遍情况：当回路相对于观察者（实验室）以速度v 沿着某一方向运动时，dt 时间内回路上
线元dl v 运动过的位移dl vdt v v
，则
()s s s s
d B d S B d B d dS B S dS B dl dl dt t dt t dt u r u r v v v v v v v
v v
()
()s s
s s
B dS B dl v t B dS v B dl
t v
v v
v v v
v v v
v 所以 ()L s s
B E dl dS v B dl t v
v v v v v v ? 第一项代表回路L 不动,而磁场B 变化产生的感生电动势.第二项代表磁场B 恒定
不变而回路L 运动产生的动生电动势，但等式左端的E v
是相对于回路L 的感生电场，不是相对于实验室的，磁场B 是实验室参考系中的测量结果。
()L s
B E v B dl dS t v
v v v v v ?， 令 E E v B v v v
v ，
则有：
L s
B E dl dS t v
v v v ? 其中E E v B v v v
v 即是实验室参考系中的测量的感生电场。变换式就是不考虑相
对论效应时，不同参考系中电磁场的变换关系，参阅第七章狭义相对论内容。
四、 计算与证明
1. 若干运算公式的证明
c c c c )()()(
f f f f f f f )()()()()(c c c c f f f f f f f )()()()()(c c c c )()()(
g f g f g f c c )()(g f f g c c
)()(g f g f
)()()(g f g f g f c c
g f f g g f f g )()()()( c c c c g f f g g f f g )()()()(
)()()(c c g f g f g f )()(c c g f f g
（利用公式b a c b a c c b a )()()( 得）
f g f g g f g f )()()()( c c c c f g f g g f g f )()()()(
2. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式：
B A B A A B A B B A )()()()()(
A A A A )()(2
21 A
解：（1）)()()(c c A B B A B A
B A B A A B A B )()()()( c c c c
B A B A A B A B )()()()(
（2）在（1）中令B A 得：
A A A A A A )(2)(2)( ， 所以 A A A A A A )()()(21
即 A A A A )()(221 A
3. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：
u u f u f d d )( ， u u u d d )(A A
， u
u u d d )(A
A 证明：
（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e
)()()()(z y x z u
u f y u u f x u u f e e e d d d d d d u u
f z u y u x u u f z y x d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x )()()()(A z
u
u A y u u A x u u A z y x d d d d d d
u
u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A
e e e e e e （3）u
A u A u A z u y u x u u
u z y x z
y x d /d d /d d /d ///d d
e e e A
z
x y y z x x y z y
u u A x u u A x u u A z u u A z u
u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (
z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])
()([
)(u A 4. 设2
22)'()'()'(z z y y x x r 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规
定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r ； 3/)/1(')/1(r r r r ； 0)/(3 r r ； 0)/(')/(33 r r r r ， )0( r 。
（2）求r ，r ，r a )( ，)(r a ，)]sin([0r k E 及
)]sin([0r k E ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
（1）证明：222)'()'()'(z z y y x x r
○
1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e
可见 r r '
○2 3
211d d 1r r r r r r r r
32'1'1d d 1'r r r r r r r r
可见 r r /1'/1
○
3 r r r r )/1()/1(])/1[()/(3333r r r r 0301d d 43
r r
r r
r r r r ○
4 r r r r 33331
)/1(])/1[()/(r
r r r 03
334 r
r r r r ， )0( r
（2）解：
○
13])'()'()'[()(
z y x z y x z z y y x x z y x e e e e e e r ○
2 0'''/// z z y y x x z y x z
y x e e e r ○
3 ])'()'()')[(()(z y x z y x z z y y x x z
a y a x a e e e r a
a e e e z z y y x x a a a
○
4 r a r a a r a r r a )()()()()( 因为，a 为常向量，所以，0 a ， 0)( a r ， 又0 r ，a r a r a )()(
○
5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E 0E 为常向量，00 E ，而k r k r k r k r k )cos()()cos()sin( ， 所以 )cos()]sin([00r k E k r k E
○
6 )]cos()]sin([)]sin([000r k E k E r k r k E 5. 应用高斯定理证明f S f S
V
V d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明
L
S
l S d d
证明：（I ）设c 为任意非零常矢量，则
V
V
V V )]([d d f c f c
根据矢量分析公式 )()()(B A B A B A ，
令其中f A ，c B ，便得
c f c f c f c f )()()()(
所以 V
V
V
V V V )(d )]([d d c f f c f c S c f d )(
f S c f S c d )d (
因为c 是任意非零常向量，所以
f S f d d V
V
（II ）设a 为任意非零常向量，令a F ，代入斯托克斯公式，得
l F S F S
d d （1）
（1）式左边为： S
S
S a a S a d ][d )(
S
S
S a S a d d S
S S a S a d d
S
S a d
（2）
（1）式右边为： l a l a d d
（3）
所以 l a S a d d S
（4）
因为a 为任意非零常向量，所以
l S d d S
6. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 '
d '),'()(V t t V x x p ，利用电荷守恒定
律0 t J 证明p 的变化率为： V V
t t d ),'(d d x J p
证明：方法（I ）
V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p V V V V t
t 'd )'('d ),(x'J x'x'
V V V 'x V t
'd )'('d )'(d d 1111J e 'x J e p
'd ])'()('[11V 'x 'x V J J
V
x S
V J 'x 'd 'd 1S J 1
因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故
0'd 1 S 'x S J ， V x V J t 'd d d 11e p
同理
V x V J t 'd d d 22e p ， V x V J t
'd d d 33e p 所以 V V t
'd d d J p
方法（II ）
V V V t t V t t t 'd ]),(['d ),(d d d d x'x'x'x'p V V V V t
t 'd )'('d ),(x'J x'x'
根据并矢的散度公式g f g f fg )()()( 得： J x J x J x J Jx ')(')(')()'( V V V V t
'd 'd )('d d J Jx'p
V V 'd )'(d J Jx S V V 'd J
7. 若m 是常向量，证明除0 R 点以外，向量3/R ）（R m A
的旋度等于标量3/R R m 的梯度的负值，即 A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
证明：3/)/1r r r （
])1
[()]1([)(3m m r m A r
r r
m m m m ])1
[()]1([1)(1)( r r r r
m m ]1
[1)(2r
r
其中 0)/1(2 r ， （0 r ）
r
1
)( m A ， （0 r ）
又 )]1
([)(3r
r m r m
m m m m ])1
[()1)(()()1()]1([ r r r r
)1
)((r
m
所以，当0 r 时， A
8. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为 ，使介质球内
均匀带静止自由电荷f
，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为r 。以球心为中心，以r 为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r 处场强大小相同。
当1r r 时，01 D ， 01 E 。
当21r r r 时， f r r D r )(3
443
1322
231323)(r r r D f ， 2
3
1323)(r r r E f
，
向量式为 r E 3
3
1323)(r r r f
当2r r 时， f r r D r )(3
443
13232
2
3
13
233)(r r r D f
2
03
13
233)(r
r r E f
向量式为 r E 3
03
13
233)(r
r r f
（2）当21r r r 时，
)()(2
2202D D E D P
p f
)1()1(020
D 当1r r 时，
0)1()()(1
2020212 r r p D D D n P P n
当2r r 时，
f r r p r r r
2
2
3
13202
023)1()1(2
D P n 9. 内外半径分别为1r 和2r 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电
流f J
，导体的磁导率为 ，求磁感应强度和磁化电流。 解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，
设其半径为r 。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。
当 1r r 时，由安培环路定理得：0,011 B H
当 21r r r 时，由环路定理得：)(22122r r J rH f 所以 r r r J H f 2)
(2122
， f J r
r r B 2)
(2122
向量式为 r J e B f f r
r r J r r r 2
21221222)
(?2)( 当 2r r 时，)(221223r r J rH f
所以 r
r r J H f 2)
(21223
， f J r
r r B 2)
(212203
向量式为 r J e B f f r
r r J r r r 2
2122
021
22
032)
(?2)( （2）当 21r r r 时，磁化强度为
r J H M f r
r r 2
2120202)()1()1(
所以 f M J H H M J )1()1(])1[(02020
在 1r r 处，磁化面电流密度为
0d 21
1
l M r M 在 2r r 处，磁化面电流密度为
f M
J r r r r 22
2122022)()1(d 210
l M 向量式为 f M
r r r J α2
2
212202)()1(
10. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度p
总是等于体自由电荷密度f
的
)
/1(0 倍。
证明：在均匀介质中 E E P )()1/(000
所以 D E P )/1)(()(00 p
f f )/1(]/)[(00
11. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力:
21112B l F d I d ,
而
2
3
12
12
22024l r d I r l B ，
12
12
31212212
103
12
122211012)
(4)(4l l l l r d d I I r d I d I r l l r l l F )(412
2131212
3121212210
l l d d r r d d I I l l r r l l
(1)
同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：
)(4211232121
321212121021
l l d d r r d d I I l l r r l l F (2)
(1)式中：
0)1(122
121212221212231212123121212＝一周 l l l l l l l r d r dr d r d d r d d l l r l l r l l 同理(2)式中：
21
03212121l l r d d r l l
)(412213
12
122102112 l l d d r I I l l r
F F 12. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1 和2 ，
今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1
f
和2f ；（2）介质分界面上的自由电荷面密度3f 。(若介质是漏电的，电导率分别为1 和2 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)
解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强
分段均匀，分别设为1E 和2E ，电位移分别设为1D 和2D ，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为 03 f
取高斯柱面，使其一端在极板A 内，另一端在介质1内，由高斯定理得：
11f D 同理，在极板B 内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：22f D 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：21D D
所以有 111 f E
， 2
1
2 f E 由于 E )(d 2
2111221111 l
l l l l E f f f
所以 21f f E
)(
2
2
11
l l
当介质漏电时，重复上述步骤，可得：
11f D ， 22f D ， 312f D D 213f f f
介质1中电流密度 111111111// f D E J
介质2中电流密度 2312222222/)(/ f f D E J 由于电流恒定，21J J ， 2312111/)(/ f f f
11
21212211223)1()(f f f
再由 E 221
1l E l
E d
l E 得
E )(22
1111122112111l l l f f f
221111/ l l f E 2
1121
2l l E
)(312f f f 211221l l E 2
1121
2213l l f E
13. 证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足
1
2
12tan tan 其中1 和2 分别为两种介质的介电常数，1 和2 分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足
12
12tan tan 其中1 和2 分别为两种介质的电导率。 证明：（1）由E 的切向分量连续，得 2211sin sin E E （1）
交界面处无自由电荷，所以D 的法向分量连续，即
2211cos cos D D 222111cos cos E E （2）
（1）、（2）式相除，得 1
2
12tan tan （2）当两种电介质内流有恒定电流时
222111,E J E J
由J 的法向分量连续，得 222111cos cos E E （3）
（1）、（3）式相除，即得 1
2
12tan tan 14. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。 证明：（1）设导体外表面处电场强度为E ，其方向与法线之间夹角为 ，则其
切向分量为 sin E 。在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E 的切向分量连续，所以 0sin E 因此 0 即E 只有法向分量，电场线与导体表面垂直。 （2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为 ，则电流密度E J 与导体表面夹角也是 。导体外的电流密度0 J ，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以
0sin E 因此 0
即J 只有切向分量，从而E 只有切向分量，电场线与导体表面平行。
15. 内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f
，板间填充电导率为 的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。 （2）求f 随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度。
（4）求长度l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。 解：（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r ，长度为L ，其中
b r a 则由高斯定理得：
L D rL f 2 （1） 所以 r D f 2
， t
r J f
D 21 （2） 再由电流连续性方程得：)/(/2t L t q J rL f f （3）
所以 D f
f J t
r J 21 （4）
即f J 与D J 严格抵消，因此内部无磁场。 （2）由 E J f 得：
r
D J f
f 2 （5）
联立（2）（4）（5）得
0d d
f f t
（6） 所以
0d d t f
f
t f Ce
（7） 设初始条件为 00
f t f ，则由（7）式得0f C
所以，t
f f e
0 （8）
（3） 2
2
2
r E p f （9）
（4） 将上式在长度为l 的一段介质内积分，得
V
b a f f f a b l r rl r V r P ln 2d 22d 2222
2 （10）
由 2
21E w 得：a b l r rl r V w W f b
a f V ln 4d 2221d 212
2
所以 t
a b l t W f
f d d ln 2d d （11） 由（6）（10）（11）得 ：t
W
P d d
即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。
16. 有一个金属圆环，由电阻分别为R1和R2的两个半圆环组成，R1>R2。此圆环放在如图所示的均匀磁场B 中，当B 增加时，比较A 、B 两分界面电势的高低。
解:由法拉第电磁感应定律知,金属环内的感生电场方向是逆时针的,而且在R 1段，R 2段中的电动势相等,与材料无关.相当于两个电动势顺接串联
11A B U U IR －＋.
由闭合电路欧姆定律, 1
12
2I R R
,
所以 11
11112
2A B R U U IR R R
（)＝-+ 17. 在介质中存在稳恒电流条件下，导出介质分界面上电流密度j
的边值关系；并证明在界面上电流线的偏折为： 2211 ctg ctg 式中1 、2 分别为
介质的电导率，1 、2 为界面两侧电流线与界面法线的夹角。
证明：(1)对稳恒电流：0 J ，在介质界面上J 满足 0s d J
作如图
所是的圆柱形闭合曲面，
上下底面无限靠近界面，则有：
021 s n J s n J
，
即：0)(12 J J n
（2）利用（1）的结果及电场E
的边值关系：
0)(12 E E n
得：22112211sin sin ,cos cos E E J J ，两式相除便得：
22
2111 ctg E J
ctg E J ，即：2211 ctg ctg 18. 半径为R,厚为h(h< 量P 与盘的一个直径平行,求盘中心的总电场强度和极化电荷在盘中心激发的电场强度。 解:（1）由于,)(0E P 得:0 P E （2）极化电荷面密度： cos P n P ，分布于盘的边缘， hRd ds dq ，极化电荷在中心的场为：R hP R dq E 020 2 04cos 4 ， 方向与极化方向相反. 19. 已知某一区域给定电流密度) (333z y x e z e y e x c J ,其中c 为大于零的常 数。 1）在此瞬间电荷密度的时间变化率是多少？(2)求此时以原点为球心,a 为半径的球的总电荷的时间变化率. 解: )(333z y x e z e y e x c J ，根据电荷守恒定律：0 t J )(3222z y x c J t dv t t Q v 220 34a cr r dr 43ca 。 20. 有一介质球，半径为a ，沿矢径极化，极化强度与矢径之长度成正比，P kr v v ，求极化电荷体密度和表面电荷密度，并证明总电荷为零。 解:（1）极化电荷体密度3p P k r k v v 1题4-17图 （2）表面极化电荷密度ka P n P P n P )(12 （3）介质球总电荷 0434 323 a ka a k S V q p p p 说明介质球在电场作用下发生极化电荷分布发生变化，但电荷总量不变。 21. 一个电介质圆柱，电容率为 ，绕其轴以角速度 旋转。设圆柱置于均匀外 磁场B v 中，B v 的方向与圆柱轴线平行，试问介质圆柱内及表面有极化电荷分布吗？若有，计算极化电荷密度。 解:介质圆柱内及表面都有极化电荷分布。在由于介质圆柱 内取一体积元dv ，它受到的磁场力 ()r dF dqv B dq r B dq rBe v v v v v v v ， 此力等效于一电场作用于体积元dv 上，等效电场 r dF E v B rBe dq v v v v v 极化强度 00()()r P E rBe v v v 极化体电荷密度 000()()1()()2()P r P B re B r r r r B v v 极化面电荷密度 2110()()P r r R r R n P P e P BR v v v v v 22. 如图4-22所示，假如静电场某一部分的电场线的形状是以O 点为中心的同心圆弧,该部分上每点的电场强度都与该点离O 点距离成反比吗? 试加以证明. 解: 该部分每点的电场强度都应与该点离O 点距离成反比.证明如下: 取以O 为原点的柱坐标系,z 轴垂直于纸面.分析知: 电场方向沿e v 方向,且电场E v 与z 无关.只是r 的函数, 即()E E r e v v ,静电场满足 0E v ,即:()()110r z z E rE rE E e e e r r r r r v v v v 于是,得 ()rE C 常量, C E r 结论: 此区域内的电场强度与该点离O 点距离成反比. 23. 由毕—萨定律出发证明磁场的”高斯”定理 . 题4-22图 题4-21图 郭硕鸿《电动力学》课后答案 第 40 页 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明： （1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++= 污染环境修复技术复习（自己总结，非准确答案，供参考） 一、名词解释 1、物理修复：利用污染物与环境之间各种物理特性的差异，达到将污染物从环境中去除、分离的目的。 2、化学修复:利用化学清除剂的物理化学性质及对污染物的吸附、吸收、迁移、淋溶、挥发、扩散和降解，改变污染物在环境中的残留积累，清除污染物或降低污染物的浓度至安全标准范围，且所施化学药剂不对环境系统造成二次污染。 3、生物修复（广义）：指利用细菌、真菌、水生藻类、陆生植物等的代谢活性降解有机污染物，减轻其毒性，改变重金属的活性或在土壤中的结合态，通过改变污染物的化学或物理特性而影响他们在环境中的迁移、转化和降解速率。 4、植物修复：以植物耐受和超量积累某种或某些化学元素的理论为基础，利用植物及其根际圈微生物体系的吸收、挥发、降解和转化作用来清除环境中污染物质的一项新兴的污染治理技术。 5、生态工程：应用生态系统中物种共生与物质循环再生原理，结构与功能协调原则，结合系统最优化方法设计的分层多级利用物质的生产工艺系统。 6、污染土壤修复技术：通过物理、化学、生物和生态学等方法和原理，并采用人工调控措施，使土壤污染物浓（活）度降低，实现污染物无害化和稳定化，以达到人们期望的解毒效果的技术和措施。 7、土壤玻璃化修复技术：通过高强度能量输入，使污染土壤熔化，将含有挥发性污染物的蒸汽回收处理，同时污染土壤冷却后成玻璃状团块固定。 8、电动力学修复：向污染土壤中插入两个电极，形成低压直流电场，通过电化学和电动力学的复合作用，使水溶态和吸附于土壤的颗粒态污染物根据自身带电特性在电场内定向移动，在电极附近富集或收集回收而去除的过程。 9、蒸汽浸提修复技术：在污染土壤内引入清洁空气产生驱动力，利用土壤固相、液相和气相之间的浓度梯度，在气压降低的情况下，将其转化为气态污染物排出土壤的过程。 10、化学淋洗修复：包括原位和异位化学淋洗，是指借助于能促进土壤环境中污染物浓度或迁移的溶解剂（既冲洗助剂）通过水利压头推动清洗液，将其注 电动力学习题 第一章 习题 练习一 1. 若a 为常矢量, k z z j y y i x x r )'()'()'(-+-+-=为从源点指向场点的矢量, k E ,0为常 矢量,则=??)(2a r _____ , =???)(r a ___,=??r ___,=??r ,=?r _____, =??)(r a ______, =? ?r r ______, =? ?r r ______，=????)(A _______. =???)]sin([0r k E ________, 当0≠r 时,=??)/(3r r ______. =???)(0r k i e E _______, =??)]([r f r ________. =??)]([r f r ____________ 2. 矢量场f 的唯一性定理是说：在以 s 为界面的区域V 内,若已知矢量场在V 内各点的_______ 和____________,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 f 在V 内唯一确定. 练习二 3. 当下列四个选项(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 4. 电荷守恒定律的微分形式为_______________,若J 为稳恒电流情况下的电流密度,则J 满足 _______________. 5. 场强与电势梯度的关系式为__________.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为 )4/(30R R P πε? ?=，则该点的场强为__________. 6. 自由电荷Q 均匀分布于一个半径为 a 的球体内,则在球外)(a r >任意一点D 的散度为 _____________, 内)(a r <任意一点D 的散度为 ____________. 7. 已知空间电场为b a r r b r r a E ,(3 2 +=为常数），则空间电荷分布为______. 8. 电流I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线内，则在导线外)(a r >任意一点B 的旋度的大 小为 ________, 导线内)(a r <任意一点B 的旋度的大小为___________. 9. 均匀电介质（介电常数为 ε ）中,自由电荷体密度为f ρ与电位移矢量D 的微分关系为 _____________, 缚电荷体密度为P ρ与电极化矢量P 的微分关系为____________,则P ρ与 f ρ间的关系为________________________________. 10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为P ，若在介质中挖去半径为R 的球形区域，设空 心球的球心到球面某处的矢径为R ，则该处的极化电荷面密度为_____________. 11. 电量为q 的点电荷处于介电常数为ε的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷为___________. 12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为f J ,磁化电流密度为M J ,磁导率μ,磁场强度为H ，磁 第一章 一、总结 1．电磁场的六大基本方程及其对应的边值关系 2．介质的特性 欧姆定律： 焦耳定律： 另外常用： ； （可由上面相关公式推出） 3．洛仑兹力密度公式、电荷守恒定律 洛仑兹力密度公式： 由此式可导出： 电荷守恒定律： 稳恒条件下： 4．能量的转化与守恒定律 积分式： 其中， 微分式： 或 5．重要推导及例题 (1) .六个边值关系的导出； (2) .由真空中的麦克斯韦方程推出介质中的麦克斯韦方程； (3) .能流密度和能量密度公式的推导； (4) .单根导线及平行双导线的能量传输图象； (5) .例题：所有课堂例题。 6．几个重要的概念、定义 (1) ； (2) ； (3) .矢量场的“三量三度”（见《矢量场论和张量知识》）和麦克斯韦电磁理论的“四、三、二、一”，其中“三量三度”见《矢量场论和张量知识》。 第二章 (1).唯一性定理的两种叙述 一般介质情况下的唯一性定理 有导体存在时的唯一性定理 (2).引入静电场标势的根据，的物理意义，的积 分表式 (3).与静电场标势有关的公式 (4).电多极展开的思想与表式，Dij=? a. 小区域电荷系在远区的电势 其中 为体系总电量集中在原点激发的电势； 为系统电偶极矩激发的电势； 为四极矩激发的势。 b. 电偶极矩、电四极矩 为体系的总电量 为体系的总电偶极矩 为体系的总电四极矩 c. 小电荷系在外电场中的能量 为电荷集中于原点时在外电场中的能量； 电力线 ； 为偶极矩在外场中的能量 为四极矩在外场中的能量 d. 用函数表示偶极矩的计算公式 其中；的定义满足 2．本章重要的推导 (1).静电场泊松方程和拉普拉斯方程导出：(1).；(2). (2).势函数的边值关系：(1)；(2) (3).静电场能量： (4).静电场的引出。 由于静电场与静磁场的理论在许多情况下具有很强的对称性的，许多概念、知识点及公式也具有类似的形式，所以我们将第二、第三章的小结编排在一起，以利于巩固和复习。 第三章 1．基本内容 (1).引入的根据，的积分表式，的物理意义 (2).引入的根据及条件，的积分表式及物理意义 (3).磁标势与电标势（）的比较及解题对照 标势 引入根据； ； 等势面电力线等势面磁力线等势面 势位差 微分方程 ； ； 边值关系 (4).磁多极展开与有关公式， a. 小区域电流在外场中的矢势 第二章 静 电 场 一、 填空题 1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。 答案： 02a R ε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数， 球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 . 答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v v r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。 答案： σφ εφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=- =?n c n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。 答案：z y x e b e ax e axy ? ??+--22 5、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。 答案：0n ? σε?=-? 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。 答案： -（1- ε ε0 ） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1 ()() 8x x W dv dv r ρρπε''= ??v v 的适用于 情 形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。 答案： 3 4qR R πεv 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生 的电势为等于 . 答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：212014() R q a R a a πε- 二、 选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =?2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B 3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．a q q 0214πε B. a q q 0218πε C. a q q 0212πε D. a q q 02132πε 答案：A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ? ??21; C. ρφ D. E D ??? 答案：B 5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的 A. 16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1 ,16倍 答案： A 第一章电磁现象的普遍规律 一、主要容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出 , 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。 介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明： 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。 第二章 静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）P ?-?=p ρ2 222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内 （3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 2002 00 )(4d εεεεπερε-= = = ?外 外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εε εε?+-= ?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内 （4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势： （1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为 极轴，球心为原点建立球坐标系。 当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当 0R R →时，0Φ→? 所以 010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即： 002010000/, /R E R b R b =Φ=+? 【热门】个人自我鉴定范文合集五篇 个人自我鉴定范文合集五篇 一般来说，自我鉴定即是自我总结，自我鉴定可以让我们对自己有个正确的认知，因此我们是时候写一份自我鉴定了。但是自我鉴定有什么要求呢？下面是小编帮大家整理的个人自我鉴定5篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。个人自我鉴定篇1 本人目前就读于北航材料科学与工程学院，主要从事激光粉末沉积钛合金结构材料的研究，重点在于激光粉末沉积加工过程中复杂的热-力变化与耦合以及固态相变问题。对于理论知识，我始终有着浓厚的兴趣，在本科学习期间我选修了应用物理专业的四大力学和有关课程，并且获取了辅修第二专业的资格。最令人激动的是电动力学的中求解的精致和理论力学所揭示的优美，由于用心投入，我的成绩一直十分突出。那时我是计算机学院的一名学生，当时之所以选择了软件工程专业是因为那是我的喜好以及当时的热门。后来不久我意识到依此来作出选择有考虑不周全的地方，脱离了数学、逻辑的基础的计算机相关工作几乎只能是索然无味的重复劳动，因为对操作系统、编译器乃至中央处理器的研究离不开这些知识。于是怀着对科学的热爱我考进了北航理学院凝聚态物理专业，在读硕期间学习了许多更深入的理论课，论文课题的研究对象是氧化锡气敏材料及与其制备相关的多孔阳极氧化铝。计算机便成为了我的一项业余爱好。我对计算机知识的学习绝对是值得的，这不但使创造力得以施展而且锻炼了逻辑思维。作为个人兴趣我编写过一些小游戏还有简单的编程语言解释器;架设了学院的上海市精品课程网站;编写的数据库操作演示系统也被列为了学院的教学评估成果之一。能够熟练运用C++ .NET语言，这对许多工作都是有益的，能够使某些劳动时间降至可以忽略不计的程度。此外与计算机的接触使我会基本操作常见的2D、3D软件，还能够使用一些数学、有限元软件，可以在需要使用的时候迅速上手。在英语水平方面可以一提的是曾经为了准备GRE考试我背完了一本包含约两万单词的字典，现在拥有词汇量15000～20000，在英文阅读与写作中不会遇到任何障碍。个人自我鉴定篇2 第一章 电磁现象的普遍规律 一、 填空题 1.已知介质中的极化强度Z e A P =，其中A 为常数，介质外为真空，介质中的极 化电荷体密度=P ρ ；与P 垂直的表面处的极化电荷面密度P σ分别等于 和 。 答案: 0, A, -A 2.已知真空中的的电位移矢量D =（5xy x e +2z y e ）cos500t ，空间的自由电荷体 密度为 。 答案: 5cos500y t 3.变化磁场激发的感应电场的旋度等于 。 答案: B t ?-? 4.介电常数为ε的均匀介质球，极化强度z e A P =A 为常数，则球内的极化电荷 密度为 ，表面极化电荷密度等于 答案0,cos A θ 5.一个半径为R 的电介质球,极化强度为ε，电容率为2r r K P =,则介质中的自由电荷体密度为 ,介质中的电场强度等于 . 答案: 20r K f ）（εεερ-= 2 0r r K εε- 二、 选择题 1.半径为R 的均匀磁化介质球，磁化强度为M ，则介质球的总磁矩为 A ．M B. M R 334π C.3 43R M π D. 0 答案:B 2.下列函数中能描述静电场电场强度的是 A ．z y x e x e y e x ++32 B.φθe cos 8 C.y x e y e xy 236+ D.z e a （a 为非零常数） 答案: D 3.充满电容率为ε的介质平行板电容器，当两极板上的电量t q q ωsin 0=（ω很小），若电容器的电容为C ，两极板间距离为d ，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为： A ．t dC q ωω εcos 0 B. t dC q ωωsin 0 C. t dC q ωωεsin 0 D. t q ωωcos 0 答案:A 4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的a 为非零常数 A ．r e ar (柱坐标) B.y x e ax e ay +- C. y x e ay e ax - D.φe ar 答案:A 5.变化磁场激发的感应电场是 A.有旋场,电场线不闭和 B.无旋场,电场线闭和 C.有旋场,电场线闭和 D.无旋场,电场线不闭和 答案: C 6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度ρ满足 A.J ??=ρ B.0=??t ρ C.0=ρ D. 0≠??t ρ 答案: D 7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是: A.只有法向分量; B.只有切向分量 ; C.表面外无电场 ; D.既有法向分量,又有切向分量 答案:A 8.介质中静电场满足的微分方程是 A.;,0t B E E ??-=??=?? ερ B.0,=??=??E D ρ; C.;0,0=??=??E E ερ D.;,t B E D ??-=??=?? ρ 答案:B 9.对于铁磁质成立的关系是 A.H B μ= B.H B 0μ= C.)(0 M H B +=μ D.)(M H B +=μ 答案:C 10.线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ?2 1; C. ρφ D. E D ? 答案:B 习题二 1．将一个位于真空中的带电导体球切成两半，求它们之间的排斥力．设球的半径为 0R ，球的电势为0V ． 答案： .?2 2 00z e V F πε= 解：0 004R q V πε= ， 0004V R q πε=，.0 0R V εσ= z z e V e R F ?2 ?22002 002πεπεσ=?= ２．内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f λ，板间填充 电导率为σ的非磁性物质． ⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场． ⑵求f λ随时间的衰减规律． ⑶求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度． ⑷求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率． ⑵;0t f e ε σλλ-= ⑶2 2??? ? ??r f πελσ； ⑷.ln 22 2a b l f πε λσ 解：⑴r f e r D ?2πλ= ，.?2r f e r D E πελε== .?2r f f e r E J πεσλσ= = .?21r f D e t r t D J ??=??=λπ 对两式求散度，并且由 f D ρ=?? ，0=??+??t J f f ρ 得 f f t λε σ λ- =??，所以 0=??+t D J f 。 因为介质是非磁性的，即H B μ=，故任意一点，任意时刻有 000=??? ? ????+=??=??t D J H B f μμ ⑵由 f f t λε σ λ- =??，解这个微分方程得 ()t f e t ε σ λλ-=0 ⑶()2 22/r E E J p f f πελσσ==?= ⑷长度为l 的一段介质耗散的功率为 .ln 222222 a b l rldr r f b a f πελσππελσ=??? ? ??? 能量密度()2 2/, 21r t w D E w f πελσ-=???= 长度为l 的一段介质内能量减少率为 .ln 2222a b l rldr t w f b a πελσπ? =??- ３．一很长的直圆筒，半径为R ，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为σ．在 外力矩的作用下，从0=t 时刻开始，以匀角加速度α绕它的几何轴转动，如图所示． ⑴试求筒内的磁感应强度B ； ⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E 和玻印廷矢量S ； ⑶试证明：进入这圆筒长为l 一段的S 的通量为??? ? ??2022B l R dt d μπ． 答案： ⑴ωσμ R B 0=； ⑵ωασμe e Rr E r ??21 0?= ； r e r R S ?2 1 2320ασμ-= ． 洛仑兹力密度< f=/?+^x§ 三.内容提要: 1. 电磁场的基本实捡定律, (1)库仑定律* 二、知识体躺 库仑定理'脸订警壬 电童■应定体毎事孑―半丄@?抜/尸n 涡険电场假设 介质的极化焕律，0=#“ V*fi = p ▽4遁 at 仪鲁电涛fit 设 比真#伐尔定律，s= 介 M?4tM 律： ft^~a Co n Vxff = J + — a 能童守恒定律 缢性介JR 能*??> 能淹密度： S^ExH 対可个点电荷e 空间块点的场强爭丁各点电佔单越力在时徃该点场强的伕城和, （2）毕臭一萨伐尔定律（电沱决崔感场的实於疋律） （3）电耐应定律 ￡& - 其中： 几 1址介质中普适的41底场钛木方用.适用于任盘介丿鼠 2当14=0=0.过渡到真 空怙况: -aff at +?e —J dt v 7 5=0 2o￡o 3当N N 时.回到挣场惜况: 扭方=0 ￡b ?恣=J 妙 F 护云=0 I 有12个未知塑.6个独立方秤，求解时必须给出二与M, 2与?的关系。 介时： 3、介贯中的电恿性廣方程 若为却铁雄介质 I 、电哦场较弱时"与丘&与臣 b 与2万与"均呈线性关系. 向同性均匀介质, P= Q=岭耳 9 9 2、导体中的欧姆定律 在存电源时?电源内部亠八海?)?直?为怖电力的等效场, 4. 洛伦兹力公式 II 7xfl = O 7xH=/ Q ?D 0p 7ft = 第一章电磁现象的普遍规律 一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 第二章 习 题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位 为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R 本章总结 一、总结 1 .电磁场的六大基本方程及其对应的边值关系 欧姆定律：■ p = J E = ^― — cE 2 P P = -(1 )p f - - 另外常用：. 「 ； 「一 (可由上面相关公式 推出) 3. 洛仑兹力密度公式、电荷守恒定律 电荷守恒定律: 萌 di = J r 4一 dt IS^dl =-f — dS □ b 忍 lH di =l f -^- — Ib dS 页 J dt h 炒罰=0 护廳=-张 ju 厶 妄 X （总2 - Sj ） - 0 沁風-戸1） = S 址〔万立-￡） = J 乳（ & - 5J = 0 乳（￡ 一尺2 — 口」 2. 介质的特性 D = E ￡ f5 = E 05+F= （1+监）窃直=右电丘=压 P = 1 屁盪=（S — 1）% 盪=（e-￡0）S 焦耳定律: 洛仑兹力密度公式: f - p （S + vx 由此式可导出: V ■ D = Py V 直=0 Vx ^ = f M B = [i 0S + + 唧誘二四 4. 能量的转化与守恒定律 积分式: 5. 重要推导及例题 (1) .六个边值关系的导出； (2) .由真空中的麦克斯韦方程推出介质中的麦克斯韦方程; (3) .能流密度和能量密度公式的推导； (4) .单根导线及平行双导线的能量传输图象； (5) .例题：所有课堂例题 6. 几个重要的概念、定义 (1). ''V - ■.- --； (2). (3) .矢量场的“三量三度”(见《矢量场论和张量知识》)和麦 克斯韦电磁 理论的“四、三、二、一”，其中“三量三度”见《矢量 场论和张量知识》。 本章内容归纳 (1) .唯一性定理的两种叙述 一般介质情况下的唯一性定理 St 占 dt 稳恒条件下: V 0 ( [J dS=O 微分式: 5譽—总 其中, 9p =了疔 电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则 ！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理， ？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以 为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 在 内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为 第四章 电磁波的传播 一、 填空题 1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ 2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。答案：S wv = 3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。答案：0x E e α-? 4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。 答案：变化的电场和磁场相互激发 5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案： 1>>ωε σ , 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以 ( )波模传播。答案： 10TE 波 7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为 ( )，它对时间的平均值为( )。答案：2E ε, 202 1E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。它们的相位( )。 答案：E vB =,相等 9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部 是( )的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为( )。 答案： ω σεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-??-= , 10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率= n m c ,,ω( )，当电磁 波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。 答案： 22,,)()(b n a m n m c += μεπω，ω＜n m c ,,ω，με πb ，01TE 11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( ) 时,反射波是完全偏振波.答案：2 01 n i arctg n = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t e σε ρρ-= 二、 选择题 1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t ???-=?-=?? ,只有在下列那种情况下 成立（ ） A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A 2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ） A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C 3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A 4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ） A ．4π B.π C.0 D. 2π 答案：C 5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ） A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C 6、 平面电磁波E 、B 、k 三个矢量的方向关系是（ ） A ． B E ?沿矢量k 方向 B. E B ?沿矢量k 方向 C.B E ?的方向垂直于k D. k E ?的方向沿矢量B 的方向 答案：A 7、 矩形波导管尺寸为b a ? ,若b a >,则最低截止频率为（ ） 第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律： 对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中： 1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布， 单位体积受的力： 洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。 说明：① ② 5.电磁场的边值关系 其它物理量的边值关系： 2．一平面电磁波以045=θ从真空入射到24=ε的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。 解：由 1 122sin sin εμεμθθ = ' ' 1r 2r 12sin sin εεεεθθ=='' 1 2 s i n s i n 450= ''∴θ 解得 030=''θ 由菲涅耳公式： θ εθεθεθε''+''-=' sin sin sin sin E E 2121 = =+= 3 12cos cos cos 2E E 211+= ''+=' 'θεθεθε 由定义: 3 2323131E E R 2 2 +-=? ??? ??+-='== 3 2321 22 223312cos cos E E T 2 1 22 +=???? ??+=''''= = εεθθ 7．已知海水的1 1m 1s ,1-?==σμ,试计算频率ν为50,9 61010和Hz 的三种电磁波在海 水中的透入深度. 解: ωμσ α δ2 1 = = , 72m 1 1042502 7 50 =????= -=ππδ γ , 5m .01 1042102 7610 r 6 =????= -=ππδ 16mm 1 1042102 7 910r 9 =????= -=ππδ 2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是 )/1/(2'22c v v v += （1） ∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为 220/'1c v l l -= （2） 将（1）代入（2）即得： )/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3） 此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。 3. 静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。 解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S ’，于是相对于地面参考系S ，车长为 220/1c v l l -=， （1） 车速为v ，球速为 )/1/()(200c v u v u u ++= （2） 所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁 l t v t u +?=? 所以 )/(v u l t -=? （3） 将（1）（2）代入（3）得：2 2 0200/1)/1(c v u c v u l t -+= ? （4） 4. 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。 解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参 考系'∑。 取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。 在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左 右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标为 ) /1(/1/1'2 2 02 2 0c v c v l c v vt l x --=--=右 )/1(/1/1'2 20 220c v c v l c v vt l x +--= ---= 左 即：)/1(/1'220c v c v l d --=右,)/1(/1'2 20 c v c v l d +--=左 时间差为 2220 /12''c v c vl c d c d t -= -= ?右左 5. 有一光源S 与接收器R 相对静止，距离为0l ,S-R 装置浸在均匀无限的液体介质（静止折射 率n ）中。试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间。 （1）液体介质相对于S-R 装置静止；郭硕鸿《电动力学》课后答案
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