§7.4基本不等式及其应用
1.基本不等式:ab≤a+b 2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R ). (2)b a +a
b ≥2(a ,b 同号). (3)ab ≤??
??a +b 22
(a ,b ∈R ).
(4)a 2+b 22≥
????a +b 22 (a ,b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a =b . 3.算术平均数与几何平均数
设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则
(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值p 2
4.(简记:和定积最大)
概念方法微思考
1.若两个正数的和为定值,则这两个正数的积一定有最大值吗?
提示 不一定.若这两个正数能相等,则这两个数的积一定有最大值;若这两个正数不相等,则这两个正数的积无最大值. 2.函数y =x +1
x
的最小值是2吗?
提示 不是.因为函数y =x +1x 的定义域是{x |x ≠0},当x <0时,y <0,所以函数y =x +1
x 无最
小值.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )=cos x +
4
cos x
,x ∈????0,π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y +y
x
≥2”的充要条件.( × )
(3)(a +b )2≥4ab (a ,b ∈R ).( √ )
(4)若a >0,则a 3+1
a 2的最小值为2a .( × )
题组二 教材改编
2.设x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A .80 B .77 C .81 D .82 答案 C
解析 ∵x >0,y >0,∴x +y
2≥xy ,
即xy ≤?
??
??x +y 22
=81,当且仅当x =y =9时,(xy )max =81. 3.若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25
解析 设矩形的一边为x m ,面积为y m 2, 则另一边为1
2×(20-2x )=(10-x )m ,其中0 ∴y =x (10-x )≤?? ?? ??x +(10-x )22 =25, 当且仅当x =10-x ,即x =5时,y max =25. 题组三 易错自纠 4.“x >0”是“x +1 x ≥2成立”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当x >0时,x +1 x ≥2 x ·1x =2. 因为x ,1x 同号,所以若x +1x ≥2,则x >0,1x >0,所以“x >0”是“x +1 x ≥2成立”的充要条件, 故选C. 5.若函数f (x )=x +1 x -2(x >2)在x =a 处取最小值,则a 等于( ) A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 答案 C 解析 当x >2时,x -2>0,f (x )=(x -2)+1 x -2 +2≥2 (x -2)×1 x -2 +2=4,当且仅当x - 2=1x -2(x >2),即x =3时取等号,即当f (x )取得最小值时,x =3,即a =3,故选C. 6.若正数x ,y 满足3x +y =5xy ,则4x +3y 的最小值是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 答案 D 解析 由3x +y =5xy ,得3x +y xy =3y +1 x =5, 所以4x +3y =(4x +3y )·15??? ?3y +1x =1 5? ???4+9+3y x +12x y ≥15(4+9+236)=5, 当且仅当3y x =12x y ,即x =1 2,y =1时,“=”成立, 故4x +3y 的最小值为5.故选D. 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法 例1 (1)已知0 解析 x (4-3x )=13·(3x )(4-3x )≤13·??????3x +(4-3x )22=4 3, 当且仅当3x =4-3x ,即x =2 3时,取等号. (2)若函数f (x )=x +1 x -2 (x >2)在x =a 处取得最小值,则a 等于( ) A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 答案 C 解析 ∵x >2,∴x -2>0, f (x )=x +1x -2=(x -2)+1 x -2 +2≥2 (x -2)·1 x -2 +2=4, 当且仅当x -2=1 x -2,即x =3时取等号,故a =3. (3)已知函数f (x )=-x 2 x +1(x <-1),则( ) A .f (x )有最小值4 B .f (x )有最小值-4 C .f (x )有最大值4 D .f (x )有最大值-4 答案 A 解析 f (x )=-x 2 x +1=-x 2-1+1 x +1 =-? ????x -1+1x +1=-? ???? x +1+1x +1-2 =-(x +1)+1-(x +1) +2. 因为x <-1,所以x +1<0,-(x +1)>0, 所以f (x )≥21+2=4, 当且仅当-(x +1)=1 -(x +1),即x =-2时,等号成立. 故f (x )有最小值4. 命题点2 常数代换法 例2 若直线2mx -ny -2=0(m >0,n >0)过点(1,-2),则1m +2 n 的最小值为( ) A .2 B .6 C .12 D .3+2 2 答案 D 解析 由题意知2m +2n =2,即m +n =1, ∴1m +2n =????1m +2n (m +n )=3+n m +2m n ≥3+22, 当且仅当n m =2m n ,即n =2-2,m =2-1时取等号. 命题点3 消元法 例3 若正数x ,y 满足x 2+6xy -1=0,则x +2y 的最小值是( ) A.223 B.23 C.33 D.233 答案 A 解析 由题意知y =1-x 26x ,由???? ? x >0,y >0,即? ?? x >0, 1-x 2 6x >0, 解得0 ∴x +2y =x +1-x 23x =2x 3+13x ≥22 3, 当且仅当2x 3=13x ,即x =2 2 时取等号. 思维升华 (1)前提:“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法:一是配凑法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是消元法. 跟踪训练1 (1)(2020·云南师大附中适应性考试)已知正数a ,b 满足a +2b +ab =6,则a +2b 的最小值为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 答案 B 解析 6=ab +(a +2b )=12×a ×2b +(a +2b )≤12×(a +2b ) 2 4 +(a +2b ), 所以a +2b ≥4或a +2b ≤-12(舍去), 当且仅当a =2b =2时取等号, 所以a +2b 的最小值为4. (2)若直线l :ax -by +2=0(a >0,b >0)过点(-1,2),当2a +1 b 取最小值时直线l 的斜率为( ) A .2 B.1 2 C. 2 D .2 2 答案 A 解析 因为直线l 过点(-1,2),所以-a -2b +2=0,即a +2b 2=1, 所以2a +1b =????2a +1b ·a +2b 2=12????4+4b a +a b ≥12??? ? 4+2 4b a ×a b =4, 当且仅当4b a =a b ,即a =1,b =1 2时取等号, 所以斜率a b =2,故选A. 基本不等式的综合应用 命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 (2020·贵州遵义第一次统考)已知函数f (x )=log a (x +3)-1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny +4=0上,其中mn >0,则1m +1+2n 的最小值为________. 答案 43 解析 函数f (x )=log a (x +3)-1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(-2,-1), 所以A (-2,-1), 将A (-2,-1)代入到直线mx +ny +4=0中, 得2m +n =4,即2(m +1)+n =6, 所以1m +1+2n =? ????1m +1+2n ×16×[2(m +1)+n ] =16???? ??2+n m +1 +4(m +1)n +2≥16(2+2×2+2)=43, 当且仅当n m +1=4(m +1)n ,即m =1 2,n =3时等号成立. 命题点2 求参数值或取值范围 例5 已知不等式(x +y )???? 1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 答案 B 解析 已知不等式(x +y )????1x +a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,只要求(x +y )????1x +a y 的最小值大于或等于9, ∵1+a +y x +ax y ≥a +2a +1, 当且仅当y =ax 时,等号成立, ∴a +2a +1≥9, ∴a ≥2或a ≤-4(舍去),∴a ≥4, 即正实数a 的最小值为4,故选B. 思维升华 求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围. 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )=ax 2+bx (a >0,b >0)的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为2,则 8a +b ab 的最小值是( ) A .10 B .9 C .8 D .3 2 答案 B 解析 由函数f (x )=ax 2+bx ,得f ′(x )=2ax +b , 由函数f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线斜率为2, 所以f ′(1)=2a +b =2, 所以8a +b ab =1a +8b =12????1a +8 b (2a +b ) =1 2? ???10+b a +16a b ≥12??? ? 10+2b a ·16a b =1 2 (10+8)=9, 当且仅当b a =16a b ,即a =13,b =4 3时等号成立, 所以8a +b ab 的最小值为9,故选B. (2)在△ABC 中,A =π6,△ABC 的面积为2,则2sin C sin C +2sin B +sin B sin C 的最小值为( ) A. 32 B.334 C.32 D.53 答案 C 解析 由△ABC 的面积为2, 所以S =12bc sin A =12bc sin π 6=2,得bc =8, 在△ABC 中,由正弦定理得 2sin C sin C +2sin B +sin B sin C =2c c +2b +b c =2·8 b 8b +2b +b 8b =168+2b 2+b 2 8 =84+b 2 +b 2+48-12 ≥2 84+b 2·b 2 +48 -12=2-12=32, 当且仅当b =2,c =4时,等号成立,故选C. 基本不等式的实际应用 例6 (1)(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________. 答案 30 解析 一年的总运费为6× 600x =3 600x (万元). 一年的总存储费用为4x 万元. 总运费与总存储费用的和为????3 600 x +4x 万元. 因为3 600 x +4x ≥2 3 600 x ·4x =240, 当且仅当3 600 x =4x ,即x =30时取得等号, 所以当x =30时,一年的总运费与总存储费用之和最小. (2)某人准备在一块占地面积为1 800 m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示),大棚总占地面积为S m 2,其中a ∶b =1∶2,则S 的最大值为________. 答案 1 568 解析 由题意可得xy =1 800,b =2a ,x >3,y >3, 则y =a +b +3=3a +3, 所以S =(x -2)a +(x -3)b =(3x -8)a =(3x -8)y -33=1 808-3x -8 3y =1 808-3x -83×1 800 x =1 808-? ???3x +4 800x ≤1 808-23x ×4 800 x =1 808-240=1 568, 当且仅当3x =4 800 x ,即x =40,y =45时等号成立,S 取得最大值, 所以当x =40,y =45时,S 取得最大值为1 568. 思维升华 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式,建立数学模型,再利用基本不等式求得函数的最值. 跟踪训练3 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为4 800 m 3,深度为3 m .如果池底每1 m 2的造价为150元,池壁每1 m 2的造价为120元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为________ m. 答案 160 解析 设水池底面一边的长度为x m ,则另一边的长度为4 800 3x m , 由题意可得水池总造价 f (x )=150×4 800 3+120????2×3x +2×3×4 8003x =240 000+720????x +1 600x (x >0), 则f (x )=720????x +1 600x +240 000 ≥720×2 x ·1 600x +240 000 =720×2×40+240 000=297 600, 当且仅当x =1 600 x ,即x =40时,f (x )有最小值297 600, 此时另一边的长度为4 800 3x =40(m), 因此,要使水池的总造价最低,水池底部的周长应为160 m. 1.函数f (x )=x 2+4 |x |的最小值为( ) A .3 B .4 C .6 D .8 答案 B 解析 f (x )=x 2+4|x |=|x |+4 |x |≥24=4, 当且仅当x =±2时,等号成立,故选B. 2.“a >b >0”是“ab 2”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由a >b >0得a 2+b 2>2ab , 但由a 2+b 2>2ab 不能得到a >b >0, 故“a >b >0”是“ab 2”的充分不必要条件. 3.已知x >0,y >0,且x +2y =2,则xy ( ) A .有最大值为1 B .有最小值为1 C .有最大值为1 2 D .有最小值为1 2 答案 C 解析 ∵x >0,y >0,且x +2y =2, ∴x +2y ≥2x ·2y , 即xy ≤12 , 当且仅当x =2y ,即x =1,y =1 2时等号成立, ∴xy 有最大值,最大值为1 2 . 4.若实数x ,y 满足xy +6x =4????0 y 的最小值为( ) A .4 B .8 C .16 D .32 答案 B 解析 实数x ,y 满足xy +6x =4????0 y +6∈????0,23,y >0, 则4x +1y =y +6+1 y ≥2+6=8, 当且仅当y =1,x =4 7时取等号. ∴4x +1 y 的最小值为8. 5.若a >0,b >0,lg a +lg b =lg(a +b ),则a +b 的最小值为( ) A .8 B .6 C .4 D .2 答案 C 解析 由lg a +lg b =lg(a +b ),得lg(ab )=lg(a +b ),即ab =a +b ,则有1a +1 b =1,所以a +b =????1a +1b (a +b )=2+b a +a b ≥2+2b a ·a b =4,当且仅当a =b =2时等号成立,所以a +b 的最小值为4,故选C. 6.(2020·西南名校联盟适应性考试)已知x >0,y >0,且x +2y =1,则x 2+y xy 的最小值是( ) A .3-2 2 B .22+1 C.2-1 D.2+1 答案 B 解析 x 2+y xy =x 2+(x +2y )y xy =x y +1+2y x ≥22+1, 当且仅当x =2y ,即x =2-1,y =1- 2 2时等号成立. 7.已知a >0,b >0,且2a +b =4,则1 ab 的最小值是________. 答案 12 解析 ∵a >0,b >0,∴4=2a +b ≥22ab ,即ab ≤2, 当且仅当a =1,b =2时等号成立, ∴1ab ≥12 . 8.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是________. 答案 6 解析 设正三棱柱的底边长为x ,高为y ,则6x +3y =12, ∴12=6x +3y ≥218xy , ∴xy ≤2,∴3xy ≤6,当且仅当x =1,y =2时取等号, 故三棱柱的侧面积的最大值为6. 9.设x ,y 均为正数,且xy +x -y -10=0,则x +y 的最小值是________. 答案 6 解析 由xy +x -y -10=0,得x =y +10y +1=9 y +1 +1, ∴x +y =9 y +1+1+y ≥2 9y +1 ·(1+y )=6, 当且仅当9 y +1=1+y ,即x =4,y =2时,等号成立. 10.函数y =x 2+2 x -1(x >1)的最小值为________. 答案 23+2 解析 ∵x >1,∴x -1>0, ∴y =x 2+2x -1=(x 2-2x +1)+(2x -2)+3x -1 =(x -1)2+2(x -1)+3x -1 =(x -1)+3 x -1 +2≥23+2. 当且仅当x -1=3 x -1 ,即x =3+1时,等号成立. 11.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,若ac =4,sin B +2sin C cos A =0,求△ABC 面积的最大值. 解 由正弦定理得,b +2c cos A =0, 由余弦定理得b +2c ·b 2+c 2-a 2 2bc =0,即2b 2=a 2-c 2, cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2 -a 2-c 2 22ac =a 2+3c 2 4ac ≥ 23ac 4ac =32 , 当且仅当c 2=433,b 2=433,a 2=43时取等号, ∴B ∈????0,π6,∴0 2, 则S △ABC =12ac sin B ≤12×4×1 2=1, ∴△ABC 面积的最大值为1. 12.已知x >0,y >0,且2x +5y =20. (1)求u =lg x +lg y 的最大值; (2)求1x +1 y 的最小值. 解 (1)∵x >0,y >0, ∴由基本不等式,得2x +5y ≥210xy . ∵2x +5y =20,∴210xy ≤20,xy ≤10, 当且仅当2x =5y 时,等号成立. 因此有????? 2x +5y =20,2x =5y ,解得????? x =5,y =2, 此时xy 有最大值10. ∴u =lg x +lg y =lg(xy )≤lg 10=1. ∴当x =5,y =2时,u =lg x +lg y 有最大值1. (2)∵x >0,y >0, ∴1x +1y =????1x +1y ·2x +5y 20=120????7+5y x +2x y ≥1 20? ?? ?7+2 5y x ·2x y =7+21020, 由????? 2x +5y =20, 5y x =2x y ,解得??? ?? x =1010-20 3,y =20-4103 . 当且仅当x =1010-203,y =20-410 3时,等号成立. ∴1x +1 y 的最小值为7+21020 . 13.在△ABC 中,点P 满足BP →=2PC → ,过点P 的直线与AB ,AC 所在直线分别交于点M ,N ,若AM →=mAB →,AN →=nAC → (m >0,n >0),则m +2n 的最小值为( ) A .3 B .4 C.83 D.10 3 答案 A 解析 ∵AP →=AB →+BP → =AB →+23 () AC →-AB → =13AB →+23AC →=13m AM →+23n AN →, ∵M ,P ,N 三点共线,∴13m +2 3n =1, ∴m +2n =(m +2n )????13m +23n =13+43+2n 3m +2m 3n ≥5 3+22n 3m ×2m 3n =53+4 3 =3, 当且仅当m =n =1时等号成立. 14.已知△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a 2=b 2+c 2-bc ,且△ABC 的面积为 33 4 ,则a 的最小值为________. 答案 3 解析 由题意得b 2+c 2-a 2=bc , ∴2bc cos A =bc ,∴cos A =12,∴A =π 3. ∵△ABC 的面积为33 4, ∴12bc sin A =3 43,∴bc =3. ∵a 2=b 2+c 2-bc , ∴a 2≥2bc -bc =bc =3(当且仅当b =c =3时,等号成立), ∴a ≥ 3. 选修4-5不等式选讲 1.两个实数大小关系的基本事实 a>b?________;a=b?________;ab,那么________;如果________,那么a>b.即a>b?________. (2)传递性:如果a>b,b>c,那么________. (3)可加性:如果a>b,那么____________. (4)可乘性:如果a>b,c>0,那么________;如果a>b,c<0,那么________. (5)乘方:如果a>b>0,那么a n________b n(n∈N,n>1). (6)开方:如果a>b>0,那么n a________ n b(n∈N,n>1). 3.绝对值三角不等式 (1)性质1:|a+b|≤________. (2)性质2:|a|-|b|≤________. 性质3:________≤|a-b|≤________. 4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集 (2)|ax+b|≤c (c>0)和|ax+b| ①|ax+b|≤c?______________; ②|ax+b|≥c?______________. (3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 5.基本不等式 (1)定理:如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. (2)定理(基本不等式):如果a ,b >0,那么a +b 2________ab ,当且仅当________时,等号成 立.也可以表述为:两个________的算术平均________________它们的几何平均. (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ,y , ①如果它们的和S 是定值,则当且仅当________时,它们的积P 取得最________值; ②如果它们的积P 是定值,则当且仅当________时,它们的和S 取得最________值. 6.三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ,b ,c 均为正数,那么a +b +c 3________3 abc ,当且仅当________时,等号 成立. 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均. (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均__________它们的几何平均,即 a 1+a 2+…+a n n ________n a 1a 2…a n , 当且仅当________________时,等号成立. 7.柯西不等式 (1)设a ,b ,c ,d 均为实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立. (2)设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则(a 21+a 22+…+a 2n )(b 21+b 22+…+b 2 n )≥(a 1b 1 +a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0(i =1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使α=k β时,等号成立. 8.证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a -b >0,a b ,只要证明________即可,这种方法称为求差比较法. ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0,b >0,因此当a >0,b >0时要证明a >b ,只要证明________即可,这 种方法称为求商比较法. 选修4-4 坐标系与参数方程 1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O ,叫做________,从O 点引一条射线Ox ,叫做________,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系. 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________,记为ρ,以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记作M (ρ,θ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x =______,y =________. 另一种关系为ρ2=________,tan θ=________. 2.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ=α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线; ρcos θ=a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; ρsin θ=b 表示过??? ?b ,π 2且平行于极轴的直线; ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)表示过(ρ1,θ1)且与极轴成α角的直线方程. (2)圆的极坐标方程 ρ=2r cos θ表示圆心在(r,0),半径为|r |的圆; ρ=2r sin θ表示圆心在????r ,π 2,半径为|r |的圆; ρ=r 表示圆心在极点,半径为|r |的圆. 3.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变量t 的函数? ???? x =f (t ), y =g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,则称上式为该曲线的________________,其中变量t 称为________. 4.一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数). (2)圆的方程(x -a )2+(y -b )2=r 2的参数方程为________________________(θ为参数). (3)椭圆方程x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数). (4)抛物线方程y 2=2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数). 1.在极坐标系中,直线ρsin(θ+π 4 )=2被圆ρ=4截得的弦长为________. 2.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________. 3.已知点P (3,m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x =4t 2 , y =4t (t 为参数)上,则PF =________. 4.直线? ???? x =-1+t sin 40° ,y =3+t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________. 5.已知曲线C 的参数方程是? ???? x =3t , y =2t 2 +1(t 为参数).则点M 1(0,1),M 2(5,4)在曲线C 上的是________. 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ-π 3)=1,M ,N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出C 的直角坐标方程,并求M 、N 的极坐标; 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1.观察下列事实:|x |+|y |=1的不同整数解(x ,y )的个数为4,|x |+|y |=2的不同整数解(x ,y )的个数为8,|x |+|y |=3的不同整数解(x ,y )的个数为12,…,则|x |+|y |=20的不同整数解(x ,y )的个数为 ( ). A .76 B .80 C .86 D .92解析 由|x |+|y |=1的不同整数解的个数为4,|x |+|y |=2的不同整数解的个数为8,|x |+|y |=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x |+|y |=n 的不同整数解的个数为4n ,故|x |+|y |=20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ).A .289 B .1 024C .1 225 D .1 378解析 观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{a n },则a 1=1,a 2=a 1+2,a 3=a 2+3,…,a n =a n -1+n .∴a 1+a 2+…+a n =(a 1+a 2+…、管路敷设技术通过管线敷设技术,不仅可以解决吊顶层配置不规范问题,而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中,要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等,要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式,为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题,合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则:在分线盒处,当不同电压回路交叉时,应采用金属隔板进行隔开处理;同一线槽内,强电回路须同时切断习题电源,线缆敷设完毕,要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系,根据生产工艺高中资料试卷要求,对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验;对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作;对于继电保护进行整核对定值,审核与校对图纸,编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案,编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案;对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题,作为调试人员,需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料,并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术,电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时,需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全,并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围,或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理,尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作,并且拒绝动作,来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此,电力高中资料试卷保护装置调试技术,要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时,需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 §5.4复数 1.复数的有关概念 (1)定义:我们把集合C ={a +b i|a ,b ∈R }中的数,即形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫做复数,其中a 叫做复数z 的实部,b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位). (2)分类: (3)复数相等:a +b i =c +d i ?a =c 且b =d (a ,b ,c ,d ∈R ). (4)共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭?a =c ,b =-d (a ,b ,c ,d ∈R ). (5)模:向量OZ → 的模叫做复数z =a +b i 的模,记作|a +b i|或|z |,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2(a ,b ∈R ). 2.复数的几何意义 复数z =a +b i 与复平面内的点Z (a ,b )及平面向量OZ → =(a ,b )(a ,b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,a ,b ,c ,d ∈R . (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ →=OZ 1→+OZ 2→ ,Z 1Z 2→=OZ 2→-OZ 1→. 概念方法微思考 1.复数a+b i的实部为a,虚部为b吗? 提示不一定.只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部. 2.如何理解复数的加法、减法的几何意义? 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )中,虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( √ ) 题组二 教材改编 2.若复数z =(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数,则实数x 的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .-1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数,∴????? x 2-1=0, x -1≠0, ∴x =-1. 3.在复平面内,向量AB →对应的复数是2+i ,向量CB →对应的复数是-1-3i ,则向量CA → 对应的复数是( ) A .1-2i B .-1+2i C .3+4i D .-3-4i 答案 D 解析 CA →=CB →+BA → =-1-3i +(-2-i)=-3-4i. 4.若复数z 满足()3+4i z =1-i(i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数z 等于( ) A .-15-75 i B .-15+75 i 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=() A.5 B.10 C.2 5 D.10 解析∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|=a2+b2+2a·b=a2+b2=4+1+1+4=10.故选B. 答案 B 2.设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C.0 D.-1 解析∵a⊥b,∴1×(-1)+cos θ·2cos θ=0,即2cos2θ-1=0.又cos 2θ=2cos2θ-1. 答案 C 3.若向量a,b,c满足a∥b,且a⊥c,则c·(a+2b)= ().A.4 B.3 C.2 D.0 解析由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 答案 D 4.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0.向量a,b的夹角为60°,且|b|=|a|,则向量a与c的夹角为() A.60°B.30° C.120°D.150°解析由a+b+c=0得c=-a-b, ∴|c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos 60°=3|a|2, ∴|c|=3|a|, 又a ·c =a ·(-a -b )=-|a |2-a ·b =-|a |2-|a ||b |cos 60°=-32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ, 则cos θ=a ·c |a ||c |= -32|a |2 |a |·3|a |=-32, ∵0°≤θ≤180°,∴θ=150°. 答案 D 5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量OA →=(2,2),OB →=(4,1),在x 轴上取一点P ,使AP →·BP →有最小值,则P 点的坐标是 ( ). A .(-3,0) B .(2,0) C .(3,0) D .(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0), 则AP →=(x -2,-2),BP →=(x -4,-1). AP →·BP →=(x -2)(x -4)+(-2)×(-1) =x 2-6x +10=(x -3)2+1. 当x =3时,AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0),故选C. 答案 C 6.对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβ=α·ββ· β.若平面向量a ,b 满足 |a |≥|b |>0,a 与b 的夹角θ∈? ????0,π4,且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中,则a b = ( ). A.12 B .1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ=α·ββ2可得b a =a ·b a 2=|a |·|b |cos θ|a |2=|b |cos θ |a |,由|a |≥|b |>0,及 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1 §3.1导数的概念及运算 1.函数y=f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx=f(x1)-f(x0) x1-x0 = f(x0+Δx)-f(x0) Δx. 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导 数,通常用符号f′(x0)表示,记作f′(x0)=lim x1→x0f(x1)-f(x0) x1-x0 =lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f′(x):f′(x)= lim Δx→0f(x+Δx)-f(x) Δx,则f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为 导数. 4.基本初等函数的导数公式 5. (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)?? ??f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0). 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同. ( × ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0). ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( × ) (5)若f (x )=a 3+2ax -x 2,则f ′(x )=3a 2+2x . ( × ) (6)函数f (x )=x 2ln x 的导函数为f ′(x )=2x ·1x =2. ( × ) 2. (2013·江西)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________. 答案 2 解析 设e x =t ,则x =ln t (t >0),∴f (t )=ln t +t ∴f ′(t )=1 t +1,∴f ′(1)=2. 3. 已知曲线y =x 3在点(a ,b )处的切线与直线x +3y +1=0垂直,则a 的值是 ( ) A .-1 B .±1 C .1 D .±3 答案 B 第2课时参数方程 1.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一 个变数与参数的关系y =g (t ),那么? ???? x =f (t ), y =g (t )就是曲线的参数方程. 2.常见曲线的参数方程和普通方程 概念方法微思考 1.在直线的参数方程? ???? x =x 0+t cos α, y =y 0+t sin α(t 为参数)中, (1)t 的几何意义是什么? (2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1,P 2的距离? 提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0,y 0)与直线上的任一点P (x ,y )构成的有向线段P 0P 的数量. (2)|P 1P 2|=|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1t 2. 2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么? 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)参数方程? ???? x =f (t ), y =g (t )中的x ,y 都是参数t 的函数.( √ ) (2)方程? ???? x =2cos θ, y =1+2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.( √ ) (3)已知椭圆的参数方程? ???? x =2cos t ,y =4sin t (t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t =π 3,点O 为原 点,则直线OM 的斜率为 3.( × ) (4)参数方程??? ?? x =2cos θ,y =5sin θ ????θ为参数且θ∈????0,π2表示的曲线为椭圆.( × ) 题组二 教材改编 2.曲线? ???? x =-1+cos θ, y =2+sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A .在直线y =2x 上 B .在直线y =-2x 上 C .在直线y =x -1上 D .在直线y =x +1上 答案 B 解析 由????? x =-1+cos θ,y =2+sin θ,得????? cos θ=x +1, sin θ=y -2. 所以(x +1)2+(y -2)2=1.曲线是以(-1,2)为圆心,1为半径的圆,所以对称中心为(-1,2),在直线y =-2x 上. 3.直线????? x =t +1,y =t (t 为参数)与圆? ???? x =2+cos θ,y =sin θ(θ为参数)的位置关系为( ) A .相离 B .相切 C .相交且直线过圆心 D .相交但直线不过圆心 答案 D 解析 消去参数,得直线方程为x -y -1=0, 圆的方程为(x -2)2+y 2=1,圆心为(2,0),半径R =1, 圆心到直线的距离为d =|2-0-1|2 =2 2<1, 专题一 高考中的导数应用问题 1. 函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,2) B .(0,3) C .(1,4) D .(2,+∞) 答案 D 解析 函数f (x )=(x -3)e x 的导数为f ′(x )=[(x -3)·e x ]′=1·e x +(x -3)·e x =(x -2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系,得当f ′(x )>0时,函数f (x )单调递增,此时由不等式f ′(x )=(x -2)e x >0,解得x >2. 2.若函数f (x )=x 3-6bx +3b 在(0,1)内有最小值,则实数b 的取值范围是 ( ) A .(0,1) B .(-∞,1) C .(0,+∞) D.??? ?0,1 2 答案 D 解析 f (x )在(0,1)内有最小值,即f (x )在(0,1)内有极小值,f ′(x )= 3x 2-6b , 由题意,得函数f ′(x )的草图如图, ∴????? f ′(0)<0,f ′(1)>0, 即????? -6b <0, 3-6b >0, 解得0 §4.4三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),????π2,1,(π,0),??? ?3π2,-1,(2π,0). (2)在余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),????π2,0,(π,-1),??? ?3π2,0,(2π,1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 概念方法微思考 1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少?相邻两个对称中心的距离呢? 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期;相邻两个对称中心的距离也为半个周期. 2.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ≠0,ω≠0)是奇函数,偶函数的充要条件分别是什么? 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ=π 2+k π(k ∈Z ). (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z ). 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y =sin x 在第一、第四象限是增函数.( × ) (2)由sin ????π6+2π3=sin π6知,2π 3是正弦函数y =sin x (x ∈R )的一个周期.( × ) (3)正切函数y =tan x 在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y =k sin x +1,x ∈R ,则y 的最大值为k +1.( × ) 题组二 教材改编 2.函数f (x )=cos ????2x +π 4的最小正周期是________. 答案 π 3.y =3sin ????2x -π6在区间????0,π 2上的值域是________. 答案 ??? ?-3 2,3 解析 当x ∈????0,π2时,2x -π 6∈????-π6,5π6, sin ????2x -π6∈????-1 2,1, 故3sin ? ???2x -π6∈????-3 2,3, 即y =3sin ????2x -π6在????0,π2上的值域为??? ?-3 2,3. 4.函数y =-tan ????2x -3π 4的单调递减区间为________________. 答案 ???? π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z ) 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 1.在极坐标系中,点P (ρ0,θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________. 解析 设点P (ρ0,θ0)关于极点的对称点为(ρ,θ),则ρ+ρ0=0,θ=θ0+π,∴对称点为(-ρ0,θ0). 答案 (-ρ0,θ0) 2.过点(2,π4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________. 解析 设直线上点坐标P (ρ,θ), 则ρsin θ=2cos (90°-45°)= 2. 答案 ρsin θ= 2 3.在极坐标系中,ρ=4sin θ是圆的极坐标方程,则点A ? ?? ??4,π6到圆心C 的距离是________. 解析 将圆的极坐标方程ρ=4sin θ化为直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0,圆心 坐标为(0,2).又易知点A ? ?? ??4,π6的直角坐标为(23,2),故点A 到圆心的距离为(0-23)2+(2-2)2=2 3. 答案 2 3 4.在极坐标系中,点M ? ????4,π3到曲线ρcos ? ????θ-π3=2上的点的距离的最小值为________. 解析 依题意知,点M 的直角坐标是(2,23),曲线的直角坐标方程是x +3y -4=0,因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离,即为 |2+23×3-4| 12+(3) 2=2. 答案 2 5.从极点作圆ρ=2a cos θ的弦,则各条弦中点的轨迹为________. 解析 设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ,φ), 由图可知???φ=θ r =12ρ . 把θ=φ和ρ=2r 代入方程ρ=2a cos θ, 得2r =2a cos φ,即r =a cos φ.(? ????-π2 ≤φ≤π2, 这就是所求的轨迹方程. 由极坐标方程可知,所求轨迹是一个以(a 2,0)为圆心,半径为a 2的圆. 答案 以(a 2,0)为圆心,以a 2为半径的圆 6.在极坐标系中,曲线C 1:ρ=2cos θ,曲线C 2:θ=π4,若曲线C 1与C 2交于A 、 B 两点,则线段AB =________. 解析 曲线C 1与C 2均经过极点,因此极点是它们的一个公共点.由??? ρ=2cos θ, θ=π4得??? ρ=2,θ=π4,即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2,因此AB = 2. 第1课时集合 1.元素与集合 (1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b?A. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (4) 2. A B或 B A ?B且B≠?3. (1) U (2) ①A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B. ②A∩A=A,A∩?=?. ③A∪A=A,A∪?=A. ④A∩?U A=?,A∪?U A=U,?U(?U A)=A. 4.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.(×) (2)若a在集合A中,则可用符号表示为a?A.(×) (3)若A B,则A?B且A≠B.(√) (4)N*N Z.(√) (5)若A∩B=A∩C,则B=C.(×) (6)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)?(A∪B)成立.(√) (7)?U(A∪B)=(?U A)∩(?U B),?U(A∩B)=(?U A)∪(?U B).(√) (8)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×) (9){x|x≤1}={t|t≤1}.(√) (10)若A∪B=A∪C,则B=C.(×) 考点一集合的概念 第一章 集合与常用逻辑用语大一轮复习 数学(理)[例1] (1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .5 D .9 解析:∵A ={0,1,2},∴B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }={0,-1,-2,1,2}.故集合B 中有5个元素. 答案:C (2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A.92 B.98 C .0 D .0或98 解析:当a =0时,显然成立;当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a =0,即a =98 . 答案:D [方法引航] (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性. 1.已知a ∈R ,若{-1,0,1}=??????1a ,a 2,0,则a =________. 解析:由题意1a ≠0,a ≠0,a 2≠-1,所以只有a 2=1. 当a =1时,1a =1,不满足互异性,∴a =-1. 答案:-1 2.(2017·福建厦门模拟)已知P ={x |2<x <k ,x ∈N },若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值范围为________. 解析:因为P 中恰有3个元素,所以P ={3,4,5},故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案:(5,6] 考点二 集合间的关系及应用 [例2] (1)设P ={y |y =-x 2+1,x ∈R }A .P ?Q B .Q ?P C .?R P ?Q D .Q ??R P 解析:因为P ={y |y =-x 2+1,x ∈R }={y |y ≤1},Q ={y |y =2x ,x ∈R }={y |y >0},所以?R P ={y |y >1},所以?R P ?Q ,选 C. 答案:C (2)已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若B ?A ,则实数m 的取值范围为________. 解析:∵B ?A , ∴①若B =?,则2m -1<m +1,此时m <2. ②若B ≠?,则????? 2m -1≥m +1,m +1≥-2, 2m -1≤5. 解得2≤m ≤3. 由①、②可得,符合题意的实数m 的取值范围为(-∞,3]. 答案:(-∞,3] [方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系 (2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系. 2.根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. (1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性; (2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到. 1.在本例(1)中,集合P 变为P ={y |y =x 2 +1},Q 不变,如何选答案. 解析:P ={y |y ≥1},Q ={y |y >0},∴P ?Q ,选A. §3.1导数的概念及运算 1.函数y=f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx=f(x1)-f(x0) x1-x0 = f(x0+Δx)-f(x0) Δx. 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数, 通常用符号f′(x0)表示,记作f′(x0)=lim x1→x0f(x1)-f(x0) x1-x0 =lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f′(x):f′(x)=lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx,则f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数.4.基本初等函数的导数公式 5. (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)?? ??f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0). 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同. ( × ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0). ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( × ) (5)若f (x )=a 3+2ax -x 2,则f ′(x )=3a 2+2x . ( × ) (6)函数f (x )=x 2ln x 的导函数为f ′(x )=2x ·1 x =2. ( × ) 2. (2013·江西)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x +e x ,则f ′(1)=________. 答案 2 解析 设e x =t ,则x =ln t (t >0),∴f (t )=ln t +t ∴f ′(t )=1 t +1,∴f ′(1)=2. 3. 已知曲线y =x 3在点(a ,b )处的切线与直线x +3y +1=0垂直,则a 的值是 ( ) A .-1 B .±1 C .1 D .±3 答案 B 解析 由y =x 3知y ′=3x 2, ∴切线斜率k =y ′|x =a =3a 2.高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修45 不等式选讲
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