第10讲 二元一次方程组 本讲重点：二元一次方程组的概念、解法及其应用. 【考点链接】 1．二元一次方程组的有关概念：
（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做 方程组．
（3）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的 解，叫做这个二元一次方程组的解．
2.二元一次方程组的解法：
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个 ，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个 ，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
3．列二元一次方程组解应用题的常用等量关系
（1）行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt.水中航行：v 逆水=船速－水速，v 顺水=船速+ .
（2）工程问题基本关系：工作量=工作效率×工作 （常把工作量看着单位“1”）.
（3）配料问题：溶质=溶液×溶质的 ， 溶液=溶质+溶剂.
（4）经济问题：单价×件数=价值，利息=本金× ，
标价的n 折=标价×10
n （0＜n ＜10）. 利润=成本×利润率，利润=总收入－总 .
【典例探究】
考点1 二元一次方程组解法
『例1』（1）（2012广州）解方程组；
（2）（2012湖南常德）解方程组：?
??==+1-25y x y x ； （3） （2012桂林模拟）解二元一次方程组：35382x y y x
=-??=-?.
『解析』（1） ，①+②得，4x=20，解得x=5，把x=5代入①得，5﹣y=8， 解得y=﹣3，所以方程组的解是．
（2） ①+②得：3x=6,∴ x=2.将x=2代人① y=3,∴方程组的解为??
?==3
2y x . （3） 把①代入②得：382(35)y y =-- ，2y = ，
把2y =代入①可得：325x =?- ，1x = . 所以此二元一次方程组的解为12
x y =??=?.
『备考兵法』解二元一次方程组的方法有两种：代入消元法和加减消元法，其目的都是消元，将二元一次方程转化为一元一次方程来解．
考点2 二元一次方程组的简单应用
『例2』（1）（教材练习题变式题）已知方程组?
??=++=+a y x a y x 32253的解适合x +y =8,求a 的值. （2）（2012乐山模拟）已知关于x 、y 的方程组326x y x y a -=??+=?
的解满足不等式x+y ＜3，求实数a 的取值范围．
『解析』（1）分析一：把方程组成的解用含a 的代数式表示出来，再代入x +y =8，得到关于a 的一元一次方程，解方程即可求出a .
分析二；将方程2x +3y =a 代入3x +5y =a +2，即用2x +3y 代替方程3x +5y =a +2中的a ，可
得到3x +5y =2x +3y +2，整理得x +2y =2，将新得到的方程与x +y =8组成方程组?
??=+=+,822y x y x 解方程组即可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入2x +3y =a ,便可求出a 的值.
解法一：???=++=+a y x a y x 32253 ①×2,得6x +10y =2a +4 ③
②×3,得6x +9y =3a ④
③－④，得y =4－a ,
把y =4－a 代入②，得2x +3(4－a )=a ,解得x =2a －6.
所以?
??-=-=a y a x 462代入x +y =8,得(2a +6)+(4－a )=8,解得a =10. 解法二：???=++=+a y x a y x 32253 把②代入①，得3x +5y =2x +3y +2,整理，得x +2y =2 ③
把方程③与x +y =8组成方程组， ①
② ①
②
???=+=+822y x y x ③－④，得y =－6,把y =－6代入④，得x =14.所以?
??-==614y x 把?
??-==614y x 代入②中a =2×14+3×(－6)=10.所以a =10. （2）326x y x y a -=??+=?①②， ①+②得，3x=6a+3，解得x=2a+1，将x=2a+1代入①得，y=2a ﹣2， ∵x+y＜3，∴2a+1+2a﹣2＜3，即4a ＜4，a ＜1． 『备考兵法』顺利解决此题的关键是理解二元一次方程组的解和二元一次方程的解的概念；二是灵活运用加减法或代入法解二元一次方程组. 考点3 列二元一次方程组解应用题 『例2』（2012南昌）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”； 小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）． 『解析』解法一：设上月萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价y 元/斤，根据题意得： ．解得：．
这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3， 这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18， 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤； 解法二：这天萝卜的单价是x 元/斤，排骨的单价是y 元/斤，根据题意得：
，解得：． 答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．
『备考兵法』本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题目找到等量关系并列出方程组．列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系，一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等．
【当堂过关】
③
④
1. （2012东营市模拟）方程组31
x y x y +=??-=-?的解是（ ）
A 、12x y =??=?
B 、12x y =??=-?
C 、21x y =??=?
D 、01
x y =??=-?
『解析』①+②得：2x=2，x=1，把x=1代入①得：1+y=3， y=2，∴12x y =??=?
. 『答案』A
2. （2012?德州）已知
，则a+b 等于（ ） A ． 3 B ．
C ． 2
D ． 1
『解析』①+②得：4a+4b=12，∴a+b=3．
『答案』A
3. （2012菏泽）已知??
?==12y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（ ）
A ．±2
B ． 2
C ．2
D ． 4 『解析』∵???==1
2y x 是二元一次方程组???=-=+18my nx ny mx 的解，∴2821m n n m +=??-=?，解得：32m n =??=?，
∴2m ﹣n=4，∴n m -2的算术平方根为2．
『答案』C
4. （2012滨州）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x ，y 分钟，列出的方程是（ ）
A ．14250802900
x y x y ?+=???+=? B ．158********x y x y +=+=??? C ．14802502900
x y x y ?+=???+=? D ．152********x y x y +=+=??? 『解析』他骑车和步行的时间分别为x 分钟，y 分钟，由题意得：152********x y x y +=+=???
． 『答案』D
5. （2012乌鲁木齐）甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x 吨，乙仓库原来存粮y 吨，则有（ ）
A 、???=---=+30%)401(%)601(450y x y x
B 、???=-=+30%40%60450y x y x
C 、???=---=+30%)601(%)401(450x y y x
D 、?
??=-=+30%60%0450x y y x 『解析』设甲仓库原来存粮x 吨，乙仓库原来存粮y 吨．根据题意得：???=---=+30
%)601(%)401(450x y y x ． 『答案』C
6. （2012崇左模拟）方程组???=-=+1
375y x y x 的解是 ． 『解析』(1)+(2)得：8x =8，x =1，把x =1代入(1)得：y =2，∴?
??==21y x . 『答案』???==2
1y x
7. （2012黔南模拟）已知：|2x+y ﹣3|+2)53(--y x =0，则x 2= ．
『解析』∵|2x+y﹣3|+2
)53(--y x =0，∴???=--=-+053032y x y x ，解得???-==12y x ，∴x 2=4．
『答案』4
8. （2012聊城）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？
解：设书包和文具盒的标价分别为x 元和y 元，
根据题意，得，解得．
答：书包和文具盒的标价分别为48元和18元．
9. （2012江苏苏州）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m 3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m 3）？
解：设中国人均淡水资源占有量为xm 3，美国人均淡水资源占有量为ym 3．
根据题意得：，解得：．
答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m 3，11500m 3．
10. （2012威海市模拟）为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
解：设自行车路段的长度为x 米，长跑路段的长度为y 米，则500015600200x y x y +=???+=??， 解得30002000x y =??=?
． 答：自行车路段的长度为3000米，长跑路段的长度为2000米．
【浙江两年中考】
1. （2012杭州）已知关于x ，y 的方程组x y=4a x y=3a -??-?
+3，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论： ①x=5y=1
??-?是方程组的解；②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解；④若x≤1，则1≤y≤4．其中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．②③④
D ．①③④
『解析』解方程组x y=4a x y=3a -??-?+3，得x=12a y=1a +??-?
.∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4. ①x=5y=1
??-?不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x ，y 的值互为相反数，结论正确；③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a 两边相等，结论正确；④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确.
『答案』C
2. （2012温州）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元,设其中有x 张成人票，y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是
( )
A.+=2035+70=1225x y x y ???
B.+y=2070+35=1225x x y ???
C.+=122570+35=20x y x y ???
D.+=122535+70=20x y x y ???
『解析』根据“小明买20张门票”可得方程：20x y +=；根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程：70+35=1225x y ，把两个方程组合即可. 『答案』B
3. （2012湖州）解方程组 2x y 8 x y 1
+=??-=?
解：2x y 8x y 1+=??-=?①
② ，①＋②得3x=9，解得x=3，把x=3代入②，得3－y=1，解得y=2.
∴原方程组的解是x 3y 2=??=?
. 【命题趋势提醒】
中考对方程（组）的实际应用将进一步提高，一大批具有较强的时代气息，格调清新、设计自然、紧密联系日常生活实际的应用题将会不断涌现．
【迎考精炼】
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）
1. （2012凉山模拟）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A ．12xy x y =??+=?
B ． 52313x y y x -=???+=??
C ．?????=-=+51302y x z x
D ．5723z x y =???+=?? 『解析』A 、第一个方程值的xy 是二次的，故此选项错误；B 、第二个方程有x
1，不是整式方程，故此选项错误；C 、含有3个未知数，故此选项错误；D 、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
『答案』D
2. （2012益阳模拟）二元一次方程x ﹣2y =1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A ． 012x y =???=-??
B ．11x y =??=?
C ．10x y =??=?
D ．11
x y =-??=-?
『解析』当x =1，y =1时，x ﹣2y =1﹣2×1=﹣1，不是方程的解.
『答案』B
3. （2012淄博模拟）由方程组63x m y m
+=??-=?可得出x 与y 的关系式是（ ）
A.x+y=9
B.x+y=3
C.x+y=﹣3
D.x+y=﹣9
『解析』由①得：m=6﹣x ，∴6﹣x=y ﹣3，∴x+y=9．
『答案』A
4. （2012肇庆模拟）方程组224
x y x y -=??+=?的解是（ ）
A 、12x y =??=?
B 、31x y =??=?
C 、02x y =??=-?
D 、20
x y =??=?
『解析』①+②得3x=6，x=2，把x=2代入①得：y=0，∴20x y =??
=?. 『答案』D
5. （2012十堰模拟）关于x,y 的二元一次方程组??
?=+=+p y x y x 2335的解是正整数，则整数P 的值为（ ）
A.5
B.6
C.5或7
D. 6或7
『解析』?
??=+=+②①p y x y x 2335，②×3得：3x+3y=3p ，③，①﹣③得：2x=23﹣3p ， x=2323p -，②×5得：5x+5y=5p ，④，④﹣①得：2y=5p ﹣23， y=2235-p ，∵x，y 是正整数，∴?????>->-02
23502323p p ，解得：523＜p ＜3
23，∵p 为整数，∴p=5，6，7，又∵x，y 是正整数，∴p=6时，不合题意舍去，∴p=5或7.
『答案』C
6. （2012临沂）关于x 、y 的方程组3,x y m x my n -=??
+=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（ ） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1
『解析』∵方程组3,x y m x my n -=??+=?的解是1,1,x y =??=?，∴
，解得，所以，|m ﹣n|=|2
﹣3|=1．
『答案』D
7. （2012宁夏模拟）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，所列方程组正确的是（ ）
A 、 ???=+=+yx xy y x 188
B 、???+=++=+y
x y x y x 1018108
C 、 ???=++=+yx y x y x 18108
D 、?
??=+=+yx y x y x )(108 『解析』两位数可表示为10y+x ，对调后的两位数为10x+y ，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组，求解即可．
『答案』B
8. （2012凉山州）雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/小时和y 千米/小时，则下列方程组正确的是
A ．702.5 2.5420x y x y +=??+=?
B ．702.5 2.5420x y x y -=??+=?
C ．702.5 2.5420x y x y +=??-=?
D ． 2.5 2.54202.5 2.570
x y x y +=??-=?
『解析』根据路程直接列方程组. 『答案』D
9. （2012绵阳市模拟）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包．请问这次采购派男女村民各多少人？（ ）
A 、男村民3人，女村民12人
B 、男村民5人，女村民10人
C 、男村民6人，女村民9人
D 、男村民7人，女村民8人
『解析』设男女村民各x 、y 人，由题意得1512152
x y x y +=???+=??，解得：510x y =??=?． 『答案』B
10. （2012德阳）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a+2b ，2b+c ，2c+3d ，4d ．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A ． 7，6，1，4
B ． 6，4，1，7
C ． 4，6，1，7 D.1，6，4，7
『解析』依题意，得，解得．∴明文为：6，4，1，7．
『答案』B
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）
11. (2012连云港)方程组的解为 ．
『解析』①＋②，得3x ＝9，解得x ＝3，把x ＝3代入①，得
3＋y ＝3，解得y ＝0，∴原方程组的解是?
??==0,3y x ． 『答案』???==0
,3y x
12. （2012湖南长沙）若实数a、b满足|3a﹣1|+b2=0，则a b 的值为．
『解析』根据题意得，3a ﹣1=0，b=0，解得a=，b=0，a b=（）0=1．
『答案』1
13. （2012安顺）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第象限．
『解析』①+②得，2y=3，y=，把y=代入①得，=x+1，解得：x=，因为0，＞0，
根据各象限内点的坐标特点可知，所以点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限．
『答案』一
14. （2012广东湛江）请写出一个二元一次方程组，使它的解是．『解析』此题答案不唯一，如：．
『答案』
15. （2012广东）若x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，则（）2012的值是．『解析』根据题意得：，解得：．则（）2012=（）2012=1．
『答案』1
16. （2012江苏南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种
电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了张．
『解析』设购买甲电影票x张，乙电影票y张，由题意得，x+y=40 ，20x+15y=700，
解得： x=20，y=20，即甲电影票买了20张．
『答案』20
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17.（8分）（1）（2012南昌模拟）解方程组：
21,
22.
x y
x y y
-=-
?
?
-=-
?
①
②
（2）（2012呼和浩特模拟）解方程组
4(1)3(1)2
2
23
x y y
x y
--=--
??
?+=
??
．
解：
（1）①－②，得－y=3+2y，所以y=1. 把y=1代入①得，x=1. 所以原方程组的解为
1,
1. x
y
=?
?
=?
（2）①×2+②得11x=22，∴x=2，把x=2代入①得：x=2，∴方程组的解为{23x y==．
18.（6分）（2012河北模拟）已知
2
3
x y =
??
?
=??是关于x，y的二元一次方程3x y a
=+的解，
求（a＋1）（a－1）＋7的值．
解：∵
2
3
x
y
=
??
?
=
??
是关于x，y的二元一次方程3x y a
=+的解，∴23＝3＋a，
a＝3，∴（a＋1）（a－1）＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9．
19.（8分）（2012云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已
知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？
解：设该企业捐给甲校的矿泉水件数是x，捐给乙校的矿泉水件数是y，
依题意得方程组：
2000
2400
x y
x y
+=
?
?
=-
?
，解得：x=1200，y=800.
所以，该企业捐给甲校的矿泉水是1200件，捐给乙校的矿泉水是800件.
20.（8分）（2012长春模拟）在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．
解：设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意得
210
28
x+y=
x+y=
?
?
?
，解得：
4
2
x=
y=
?
?
?
．
答：小矩形的长为4cm，宽为2cm．
21.（8分）（2012娄底）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．X kb 1.c om
篮球排球
进价（元/个）80 50
售价（元/个）95 60
（2）销售6
解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
，解得：，
答：购进篮球12个，购进排球8个；
（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：
6×（60﹣50）=（95﹣80）a，解得：a=4，
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等．
22.（8分）（2012贵州模拟）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工
资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A 、B 两种产品，工人每生产一件A 种产品可得报酬1.50元，每生产一件B 种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A 、B 两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A 产品和1件B 产品需35分钟；生产3件A 产品和2件B 产品需85分钟．
（1）小李生产1件A 产品需要 分钟，生产1件B 产品需要 分钟．
（2）求小李每月的工资收入范围．
解：（1）设小李每生产一件A 种产品、每生产一件B 种产品分别需要x 分钟和y 分钟，根据题意，得???=+=+85235y x y x ，解得，???==20
15y x .
答：小李每生产一件A 种产品、每生产一件B 种产品分别需要15分钟和20分钟；
（2）由（1）知小李生产A 种产品每分钟可获利1.50÷15=0.1元，
生产B 种产品每分钟可获利2.80÷20=0.14元，
若小李全部生产A 种产品，每月的工资数目为0.1×22×8×60=1056元，
若小李全部生产B 种产品，每月的工资数目为0.14×22×8×60=1478.4元．
∴小李每月的工资数目不低于1056元而不高于1478.4元．
《二元一次方程》教学设计 教材的地位与作用 《二元一次方程》是九年义务教育课程标准实验教科书人教版教材七年级下册第八章《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。 教学目标： (一)知识技能： 1.了解二元一次方程（组）及其解的概念； 2.会检验一对数值是否是某一个二元一次方程的解。 (二)数学思考： 体会学习二元一次方程（组)的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想； (三)问题解决： 初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性，获得求解的思路方法 (四)情感态度： 培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。 教学重点： 二元一次方程（组）及其解的概念。 教学难点： 二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解； 把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。 教法分析：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法分析：阅读、比较、探究的学习方式。 教学过程 （一）创设情境，明确目标 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 师:这个问题能用一元一次方程解决吗? 设这个队胜x场，那么负了（22-x）场，可列方程为______。 一元一次方程是怎样定义的呢？你还知道它的哪些知识？(以表格形式展示给学生，为后边学习新知提供依据) 师：在上面的问题中，要求的是两个未知数，能否根据题意直接设两个未知数，使列方程变容易呢？ 设胜x场,负了y场，这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？（学生思考后回答）胜的场数+负的场数=总场数 胜场积分+负场积分=总积分 这两个条件，可列出方程为______。 师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？ 从而揭示课题，出示学习目标。
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%） 解：设2000的存款利率是X，则1000的存款利率是3.24%-X,则有: 2000*X*(1-20%)+1000*(3.24%-X)*(1-20%)=43.92 即：1600X+25.92-800X=43.92 800X=18 X=2.25% 3.24%-2.25%=0.99% 所以,2000的存款利率是2.25%,1000的存款的利息率是0.99%. 法二：也可用二元一次方程组解。 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________．
第八章 二元一次方程组单元检测 一、选择题 1．下列方程组中是二元一次方程组的是( )． A.????? xy ＝1 x ＋y ＝2 B.????? 5x －2y ＝31x ＋y ＝3 C.? ???? 2x ＋z ＝03x －y ＝15 D.???? ? x ＝5x 2＋y 3 ＝7 2．二元一次方程3x ＋2y ＝11( )． A ．任何一对有理数都是它的解 B ．只有一个解 C ．只有两个解 D ．有无数个解 3．方程组? ???? x ＋y ＝3， x －y ＝－1的解是( )． A.? ???? x ＝1，y ＝2 B.? ???? x ＝1， y ＝－2 C.? ???? x ＝2， y ＝1 D.? ???? x ＝0， y ＝－1 4．由方程组???? ? x ＋m ＝4，y －3＝m 可得出x 与y 之间的关系是( )． A ．x ＋y ＝1 B ．x ＋y ＝－1 C ．x ＋y ＝7 D ．x ＋y ＝－7 5．方程组????? 2x ＋y ＝■，x ＋y ＝3的解为? ??? ? x ＝2，y ＝■，则被遮盖的两个数分别为( )． A ．1,2 B ．5,1 C ．2,3 D ．2,4 6．已知关于x ，y 的方程组? ??? ? x ＋2y ＝m ，x －y ＝4m 的解为3x ＋2y ＝14的一个解，那么m 的值为 ( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 7．六年前，A 的年龄是B 的年龄的3倍，现在A 的年龄是B 的年龄的2倍，A 现在的年龄是( )． A ．12岁 B ．18岁 C ．24岁 D ．30岁 8．如图所示，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )． A ．400 cm 2 B ．500 cm 2 C ．600 cm 2 D ．4 000 cm 2 9．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则方程组正确的是( )． A.????? x ＋y ＝3012x ＋16y ＝400 B.????? x ＋y ＝3016x ＋12y ＝400 C.????? 12x ＋16y ＝30x ＋y ＝400 D.? ???? 16x ＋12y ＝30x ＋y ＝400 10．(四川凉山州中考)雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/时和y 千米/时，则下列方程组正确的是( )．
第 1 页 共 13 页 全方位教学辅导教案 学 科： 数学 任课教师： 授课时间： 2020 年 月 日 （星期 ） 【针对性训练】 一、 课前检测 1、已知是方程组 的解，求k 和m 的值． 2、若方程组???-=+=-15x 4by ax y 与? ??=-=+18439 3by ax y x 有公共的解，求a ，b ． 3、代数式by ax +,当2,5==y x 时，它的值是7；当5,8==y x 时，它的值是4，试求5,7-==y x 时代数式by ax -的值． 姓 名 性 别 年 级 初一 第 次课 课题 二元一次方程组的实际应用 课程性质 预习 复习 冲刺 同步 其他 教学目标 1、 构造二元一次方程组解决实际问 题 2、 运用二元一次方程组解决问题， 提高分析能力 重点 难点 重点：列二元一次方程组解应用题 难点：寻找实际问题中已知与未知的相等关系 学生 表现 作业完成情况 签字 教学主任： 家 长：
二、知识点讲解 一、关键思路 1.列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，关键是把已知量和未知量联系起来，找 出题目中的等量关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等． 二、一般步骤 1.审题：弄清题意和题目中的数量关系； 2.设元：可以直接设，也可以间接设，常根据题意用简单设法； 3.列出方程组； 4.解方程组，并检验所得的解是否符合题意； 5.作答． 三、列方程解应用题的基本关系量 （1）行程问题：速度×时间=路程顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度—水流速度（2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量 （3）浓度问题：溶液×浓度=溶质 （4）银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间 四、列方程组解应用题的常见题型 （1）和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量 （2）产品配套问题：加工总量成比例 （3）速度问题：速度×时间=路程 （4）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类 1．顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速 2．逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速 （5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间 第2 页共13 页
2021年广东省中考数学总复习第9讲：二元一次方程组 一．选择题（共17小题） 1．（2018?深圳）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共 480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个．下列方程组正确的是（ ） A ．{x +y =708x +6y =480 B ．{x +y =706x +8y =480 C ．{x +y =4806x +8y =70 D ．{x +y =4808x +6y =70 2．（2018?广州）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九 枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（ ） A ．{11x =9y (10y +x)?(8x +y)=13 B ．{10y +x =8x +y 9x +13=11y C ．{9x =11y (8x +y)?(10y +x)=13 D ．{9x =11y (10y +x)?(8x +y)=13 3．（2020?梅州模拟）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其 中记载：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？译文：五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，以下列出的方程组正确的是（ ） A ．{5x +6y =164x +y =5y +x B ．{6x +5y =164x +y =5y +x C ．{5x +6y =165x +y =4y +x D ．{6x +5y =165x +y =4y +x 4．（2020?从化区一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人 共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x 人，物品的价格为y 元，可列方程组为（ ）
中考数学一轮复习第4讲 ----一元一次方程、二元一次方程（组） 教学目标： 1.掌握一元一次方程的定义； 2、掌握二元一次方程组的解法； 3、掌握二元一次方程解决实际问题。 教学重难点： 1.二元一次方程的应用 导学一：一次方程（组） 【考点总汇】 一、一元一次议程及其解法 1.定义；含有未知数，且未知数的，等号两边都是的方程。 2.解一元一次方程的步骤：去分母、、、、系数化为1。温馨提示： 二、二元一次方程组及其解法 1.定义：含有个未知数，并且含有的次数都是1的方程叫做二元一次方程。把具有相同未知数的两个一元一次方程组合在一起能组成一个二元一次方程组。
2.二元一次方程组的解：能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值。 3.解二元一次方程组的思想：。 4.解法：（1）消元法。（2）消元法。 温馨提示： 高频考点1、一次方程的相关计算 1.方程﹣=1可变形为﹣=． 2.适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有（） 3.“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（） A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 4.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad﹣bc，则满足等式 =1的x的值为． 高频考点2、一次方程（组）的相关概念
【范例】已知???=-=2 ,1y x 是二元一次方程组???=-=+1,23y nx m y x 的解，则n m -的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 得分要领： 1.当已知某个（对）数为一次方程（组）的解时，把解代入方程（组），消去原来的未知数，得到新的方程（组），求解方程（组），得出所求字母的取值。 2.在一元一次方程0=+b ax ，二元一次方程c by ax =+中，未知数的系数不能等于0，如03)1(2 =+-k x k 是一元一次方程的条件为1-=k ，而非1±=k 。 【考题回放】 1.方程925-=+y x 与下列方程构成的方程组的解为?? ???=-=21, 2y x 的是（ ） A.12=+y x B.823-=+y x C.345-=+y x D.843-=-y x 2.如果8243352=----+b a b a y x 是二元一次方程，那么=-b a 。 高频考点3、一次方程（组）的解法 【范例】（1）解方程：213122x x +=+-。 （2）解方程组：?????=-=-.13 2,353y x y x 得分要领：
（9）二元一次方程的整数解 【知识精读】 1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中， 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。 即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和4x－2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2、二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。 方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=111y = 1 y10y 1y 2y(1), 5 5 5 1 y 设k(k是整数），则y=1－5k(2), 5 把（2）代入（1）得x=k－2(1－5k)=11k－2 x 11k 2 ∴原方程所有的整数解是（k是整数） y 1 5k 方法二：公式法： 设ax+by=c有整数解x x0则通解是x x0bk（x0,y0可用观察法） y y0y y0ak 3、求二元一次方程的正整数解： i. 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定 k值 ii.用观察法直接写出。 【分类解析】 例1求方程5x－9y=18整数解的能通解 解：x=189y1510y3y 32y 3y 5 5 5 -1-
设3 y k （k 为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k 5 x 9 9k ∴原方程整数解是 3 （k 为整数） y 5k 又解：当 x=o 时，y=－2， x 0 x 0 9y ∴方程有一个整数解 它的通解是 y 2 （k 为整 数） y 2 5k 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= 1006y 20y y (1)， 5 5 y 设 k(k 为整数)，则y=5k,(2) 5 把（2）代入（1）得x=20－6k ， x 0 206k 0 ,k 的整数解是1，2，3， ∵ 解不等式组 5k 0 得0＜k<20 y 0 6 ∴正整数解是 x 14 x 8 x 2 y 5 y 10 y 15 例3甲种书每本 3元，乙种书每本 5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书 买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得 3x+5y=38（x,y 都是正整数） ∵x ＝1时，y=7，∴ x 1 y 是一个整数解 7 ∴通解是 x 1 5k （k 为整数） y 7 3k 1 5k 0 得解集是 1 7 ∴整数k=0，1，2 解不等式组 3k 0 k 3 7 5 x 1 x 6 x 11 把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解 y 7 y 4 y 1 答：甲、乙两种书分别买 1和7本或6和4本或11和1本。
二元一次方程组的12种应用题型归纳 类型一：行程问题 【例1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发 2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、 乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时。 {(2.5+2)x +2.5y =363x +(3+2)y =36 解得{x =6y =3.6 答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时。 【例2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求这 艘船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时。 {14(x +y)=28020(x ?y)=280 解得{x =17y =3 答：这艘船在静水中的速度为17千米/时，水流速度为3千米/时。 类型二：工程问题 【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成，需工钱5.2万元； 若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。若 只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请 你说明理由。 解：设甲公司每周的工作效率为x ，乙公司每周的工作效率为y 。
{6x +6y =14x +9y =1 解得{x =110y = 115 ∴1÷110=10(周) 1÷115=15(周) ∴甲公司单独完成这项工程需10周，乙公司单独完成这项工程需15周。 设甲公司每周的工钱为a 万元，乙公司每周的工钱为b 万元。 {6a +6b =5.24a +9b =4.8 解得{a =35b =415 此时10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4 答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。 类型三：商品销售利润问题 【例1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜 每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年种植甲、乙蔬菜各多 少亩？ 解：设李大叔去年种植甲蔬菜x 亩，乙蔬菜y 亩。 {x +y =102000x +1500y =18000 解得{x =6y =4 答：李大叔去年种植甲蔬菜x 亩，乙蔬菜y 亩。 【例2】某商场用36万元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如 下表，求该商场购进A 、B 两种商品各多少件。 注：获利 = 售价 - 进价
2020年数学中考复习每日一练 第九讲《二元一次方程组》 一．选择题 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A．B． C．D． 2．已知方程组中的x，y互为相反数，则n的值为（） A．2 B．﹣2 C．0 D．4 3．已知是方程mx﹣y＝2的解，则m的值是（） A．﹣1 B．﹣C．1 D．5 4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝7，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4 5．学校八年级师生共468人准备到飞翔教育实践基地参加研学旅行，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（） A．B． C．D． 6．若是关于x，y的方程组的解，则a+b的值为（）A．6 B．10 C．8 D．4 7．二元一次方程3x+2y＝17的正整数解的个数是（） A．2个B．3个C．4个D．5个 8．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（）
A．B． C．D． 9．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2； ②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解； ③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则y＝﹣； A．①②B．②③C．②③④D．①③④ 10．点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 二．填空题 11．已知（m﹣2）x|m|﹣1﹣3﹣3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝． 12．已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为． 13．已知（x+y+2）2+＝0，则的值是． 14．将一摞笔记本分给若干个同学，每个同学分8本，则差了7本．若设共有x个同学，y 本笔记本，则可列方程为． 15．秋天到了，花溪区高坡乡美景如画，其中露营基地吸引了不少露营爱好者，露营基地为了接待30名露营爱好者，需要搭建可容纳3人或2人的帐篷若干，若所搭建的帐篷恰好能容纳这30名露营爱好者，则不同的搭建方案有种． 16．春节即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、两三种糖果，已知销售甲糖果的利润率为10%，乙糖果的利润率为20%，丙糖果的利润率为30%，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为3：2：1时，商人得到的总利率为20%．那么当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为5：1：1时，这个商人得到的总利润率为． 17．某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售
二元一次方程组的解法 一、阶段知识点梳理 一、基本定义： 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样 的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组 成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元 一次方程组的解。 ①无解，例如：16x y x y +=??+=?，1226x y x y +=??+=?；②有且只有一组解，例如：122 x y x y +=??+=?；③有无数组 解，例如：1222 x y x y +=??+=?. 例题： 例1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y . 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？ 例4、若23 x y =??=?是方程组2315x m nx my -=??-=-?的解，求m n 、的值.例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值.
二、二元一次方程的解法： 1、代入消元法解二元一次方程组： （1）基本思路：未知数又多变少。 （2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 （3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子 表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 （4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如 y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”° ②将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 ③解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 ④把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”°5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 2、加减消元法解二元一次方程组 (1)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做 加减消元法，简称加减法。 (2)用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那 么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程， 即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数 的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联” 例题： 1、解下列方程组 （1） （2）
（10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1、二元一次方程组???=+=+2 22111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当21212 1 c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当21212 1 c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121 b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=1221211 212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按 二元一次方程整数解的求法进行。 3、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解 含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 27 5 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。