空间向量教案
一:两个向量的数量积(关键要设基底,把要求的量用基底表示) 考点一：空间向量数量积的定义、运算律及性质
例1：已知向量,,,,,3
6
a b a c b c π
π
⊥<>=
<>=
且||1,||2,||3a b c ===，求向量a b c ++的模
解：依题意22||()17a b c a b c ++=++=+，所以||176a b c ++=+。
考点二：垂直问题
例1：已知空间四边形OABC 中，M 、N 、P 、Q 分别为BC 、AC 、OA 、OB 的中点,若AB=OC,求证: .PM QN ⊥
证明:如图,设,,,OA a OB b OC c ===又P 、M 分别为OA 、BC 的中点，
221
[()].
21
[()].21
[||||]
4
PM OM OP b a c QN b a c PM QN b a c ∴=-=-+=---∴?=---同理， 又AB=OC ，即||||,b a c -=
0,,.PM QN PM QN PM QN ∴?=∴⊥⊥即
考点三：夹角问题
例1：如图，已知E 是正方体111111ABCD A B C D C D -的棱的中点，试求向量11AC 与DE 所成的角。 解:设正方体的棱长为m, 1,,,AB a AD b AA c ===
||||||,0a b c m a b b c a c ===?=?=?=则
又111111111
,2AC A B B C a b DE DD D E C a =+=+=+=+ 221111
115
,||2,||22AC DE a m AC m DE m ∴?====又
1111111110cos ,10||||
cos
10
AC DE AC DE AC DE AC DE arc ?∴<>=
=
?∴与所成的角为
考点四：长度问题
例1：如图（1），在60ABC C CD C ?
?∠∠中，＝，为的平分线，AC=4，BC ＝２.过B 点作,BN CD ⊥ 垂足为N ，BN 的延长线交CA 于点E,将图形沿CD 折起，使120,BNE ?
∠=求折后所得线段AB
的长度。
解：如图（2），s i n 302A A M C D M A M A C ?
⊥=
?=过点作，垂足为，则
4cos302cos302sin301MN MC CN NB ???=-=-===
O P A M B N
Q
C A B
D C A 1
E
C 1
B 1
D 1
60∴又AM ∥NE,〈
AM ,NB 〉
=〈
EN ,NB 〉
=
||||10AB AM MN NB ∴=++=即AB
二:空间向量的坐标运算 考点一：平行问题
例1：如图所示，在长方体1111OAEB O A E B -1
中，|OA|=3,|OB|=4,|OO|=2,点P 在棱AA 1上，且1||2||,AP PA =点S 在棱BB 1上，且1||2||,SB BS =点Q 、Ｒ分别是棱O 1B 1、AE 的中点。
求证：PQ ∥RS
证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0),B(0,4,0),O 1(0,0,2),A 1(3,0,2),B 1
()()42,0,2,2,3,2,0,0,4,.33Q R S ???? ? ??
?
?
?
由定比分点公式得，P 3,0,
23,2,,.,3PQ RS PQ RS R PQ PQ ?
?=-=∴?∴ ??
?于是∥∥RS.
评析：利用向量坐标运算证明线线平行时，（1）需证明两向量共线
【312123123123
(,,)(,,)a a
a b b a a a a a b b b b a b b b b λ?===?==∥或者若，，则∥】
（2）证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上。
例2：在如图所示的正方体AC 1中，P 是C 1D 1的中点，M 、N 分别是面对角线AC 、DA 1上的点，且满足AM :MC=DN:NA 1=1:2.
11(1);(2).BD MND PBC MND 证明：∥平面证明：平面∥平面 证明：如图，建立空间直角坐标系，并设正方体棱长为3.
()()()()()()()()11111(1)3,0,0,0,3,0,1,1,1,1,
3,3,0,0,0,3,3,3,33..
A C AM MC MN
B D BD MN
MN BD BD MND BD MND =∴∴=--∴=--=∴??∶∶2,M 2,1,0， 同理可得N 1,0,1 又∥又平面∥平面
()11333(2)0,,30,,3., 3.
2223
.2
3,0,33,P CP CP xDM DN x y CP DM DN CP DM DN CP DMN CP DMN DN DN CB DMN CB ???
??=-?=-= ? ????
?-???==???11令＝＋y 则＝＋3、
、共面。又平面∥平面 同理可得CB CB ∥又平面.
DMN ∥平面 A
B C
D N
E
(1)
A
B
C
D
N
E
M
(2)
1.C P B C
M N D ?=?1又C P C B 平面∥平面 ,,,.(2)b p b x y p x yb AB AB αα?评析：(1)共面向量定理：如果a 不共线，与a 共面存在唯一实数对、使＝a ＋要证直线平行于平面，只需证明与平面中的一组基向量共面。
考点二：垂直问题
例1：在如图所示的正方体AC 1中，已知E 、F 、G 、H 分别是CC 1、BC 、CD 和A 1C 1的中点。
（1） 证明：11
;(2).AB EH AG EFD ⊥⊥证明：平面 证明：以A 点为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A 1(0,0,1),B 1(1,0,1),C 1(1,1,1),D 1(0,1,1)
由中点性质得 111111,1,,1,,0,,1,0,,,1,22222E F G H ???????? ? ? ? ?????????
()111111(1)1,0,1,,,,0,
222,AB EH AB EH AB EH EH
??∴==--∴?= ???
∴⊥⊥1即AB 11111
111(2),1,1,1,,0,1,0,0,0222,AG DF DE AG
DF AG DE AG DE AG DF EFD ?????
?∴=-=-=∴?=?= ? ? ???????∴⊥⊥⊥1，，即A G 平面 评析：123123112233(,,)(,,).a a a a b b b b a b a b a b a b ==⊥?++若，，
三:用空间向量求直线和平面所成的角与二面角
（法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于
平面α，记作.a α⊥如果,a α⊥那么向量a 叫做平面α的法向量。
用向量法求二面角：过棱上一点作棱的两个垂直向量，利用其夹角。也
可以借助于两个半平面的法向量的夹角求解，但一定要注意向量的方向与二面角的平面角的关系。）
考点一：线面角的向量求法
例1：已知正方体AC 1的棱长为2，求DD 1与平面A 1BD 所成的角。
解：如图，建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,0,2,0,2,0,2,0,0,0,2.D D B A
()()()112,2,0,2,0,2,0,0,2.DB DA DD ∴=-=-=
()
110220110220
BD n x y DB n x y x y DA n x =?=?-+==?????
==?-+=???1设平面A 的法向量，，，则 (
)11111111cos ||23
2DD DD DD DD A BD π∴=>=
==∴-=平面的法向量为n ，，。n <，
n ||n 与平面所成的角为
§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 二、教学过程： （一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？ 新课引入：本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的 物理背景及其含义 （二）新课： 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析： 问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图
定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析： 问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义： 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解： 例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹 角θ=00，求→a ·→ b ；
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排：
2课时 五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π）
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
§2.4平面向量的数量积 教学目的： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识 点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积 的运算律. 教学过程： 一、复习引入： 1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λa . 2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
公开课教案 课 题：6．8 向量的数量积 教学目标：1）向量的数量积 2）使学生理解向量的数量积和运算法则 3）使学生能初步利用向量的数量积的概念。 教学重点：理解向量的数量积 教学难点：：理解向量的数量积 教学方法：讲授法，启发引导教学 课堂类型：新授课 教学步骤： （一）复习巩固 1、提问：向量的线性运算都包括哪些运算？ 2、举两个向量的线性运算的例子，并计算出结果。 3、提问：向量的线性运算，其结果有什么特点？ （二）引入新课： 我们学过向量的线性运算，知道其计算结果都是向量，那么有没有一些向量的运算其计算结果不是向量呢？我们先来看一个物理上的知识，关于力做功的的 问题，功W=|F |·|S |cos θ这是一个由两个向量的模和它们的夹角余弦的乘积确定的，这节课我们就来学习这个内容。 （三）讲授新课 1、关于向量的规定： 1）、两个向量的夹角θ，记＜a ，b ＞。 0≤＜a ，b ＞≤π，＜a ，b ＞=＜b ，a ＞。 2）、规定：a ·b =|a | |b |（0≤θ≤π） 或者表示成：a ·b =|a | |b |cos ＜a ，b ＞（0≤＜a ，b ＞≤π） a ·b 表示向量a 与b 的数量积。 3）、思考：如果a 与b 是两个非零向量，那么在什么条件下 ①a ·b ＞0 ②a ·b ＜0 ③a ·b =0 4）、练一练 1）如果|a |=3，|b |=2，cos θ= - 2 1，那么a ·b = 。 2）|a |=21，|b |=4，θ=3 ，那么a ·b = 。 2、例题讲解 例1、根据下列条件分别求出＜a ，b ＞： 1）|a |=3，|b |=4，a ·b =6； 2）|a |=|b |=2，a ·b = -2。 例2：已知|a |=4，|b |=3，＜a ，b ＞=3 ，计算： 1）（a +b ）2 ； 2）（2a - b ）·（3a +2b ）。 3、向量的数量积运算的运算律 1）满足交换律及分配律 ①a ·b = b ·a ；②a ·（b +c ）=a ·b +a ·c 2）不满足结合律 （a ·b ）·c ≠a ·（b ·c ） 3）实数与向量相乘时，满足结合律 （k a ）·b =k （ a ·b ） 课堂练习： 书P93 1~3 课堂小结：1、向量的数量积定义； 2、向量数量积运算的运算律； 3、向量数量积的运算的特点：结果是一个实数。 课后作业：书P93 4 板书设计 6．8 向量的数量积 1、规定：1）、两个向量的夹角 2、例题讲解 2）、规定：两个向量的数量积 3、运算律
欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
3.1.3-空间向量的数量积运算教案。
高二年级数学学 科 课题§3.1.3空间向量的数量积运算 授课时间2012 年 12月 24日第 1 课时授课类型新授课 教学目标知识与技能：①掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式； ②运用公式解决立体几何中的有关问题。 过程与方法：①比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转 化的能力； ②探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、 解决问题的能力。 情感态度与价值观：①通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主 体的教学模式； ②通过空间向量在立体几何中的应用， 提高学生的空间想象力，培养学生探索 精神和创新意识，让学生感受数学，体 会数学美的魅力，激发学生学数学、用 数学的热情。 教学重点空间向量数量积公式及其应用 教学难点 如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。 板书设计§3.1.3空间向量的数量积运算 1. 两个向量 的夹角 3.数量积的 性质 例 题解答2. 两个向量 的数量积 4.数量积满 足的运算律
教学反思 教学 环节及时间分配 教学过程 （教学内容的呈现及教学方法） 学生活动 （学习活动的设 计） 设计意 图
复习引入3分 合作探究8分 一、回顾平面向量数量积的相关内容： ①平面向量的夹角； ②空间向量的数量积； 二、讲授新课 1）两个向量的夹角的定义 2）两个向量的数量积 > < = ? ? > < b,a cos b a b a .b a b,a b,a cos b a ,b,a 即： 记作 的数量积， 叫做 则 已知两个非零向量 注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量； ②零向量与任意向量的数量积等于零； 思考：类比平面向量的几何意义，空间中 的几何意思是什么？ 答：空间中的几何意义是a的长度|a|与 在b的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 学生 口答 类比 平面 向量 的数 量积 的有 关概 念、 计算 方法 和运 算律 推导 出空 间向 以问 题的 形式 引导 学生 回顾 复习 前面 所学 的平 面向 量的 相关 知 识， 为学 习好 空间 向量 做好 铺 垫。 明确 空间 向量 O A B a a b b ? ? ∠ = = b a b a AOB b OB a OA O b a , , , . , 记作： 的夹角， 与 叫做向量 则角 作 ， 在空间任取一点 量 如图，已知两个非零向 ? ? ? ? ≤ ? ? ≤ a b b a b a , , , ＝ 被唯一确定了，并且 的夹角就 在这个规定下，两向量 范围：π b a b a b a⊥ = ? ?互相垂直，并记作： 与 则称 如果, 2 , π b a? b a? b a?
《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的
《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应
2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 教材分析： 教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标： 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点： 平面向量的数量积定义. 教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法： 1. 问题引导法 2. 师生共同探究法 教学过程： 一．回顾旧知 向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下： （1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()λμ ② (λ+μ)=μλ+ ③ λ(+)=λλ+ 二．情景创设 问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，
那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 三．学生活动 联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？ W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角. 若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念. 四．建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ 说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定 （2）θ是a 与b 的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量 必须是同起点的.） 当θ＝0时，a 与b 同向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0＝｜a ｜｜b ｜ 当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 2 π=0 当θ＝π时，a 与b 反向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos π=－｜a ｜｜b ｜ （3）规定· a ＝0；a 2＝a ·a ＝｜a ｜2或｜a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 2. 向量数量积的运算律 已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a ·b ＝b · a (交换律) ②(λa )· b ＝λ (a ·b )＝a · (λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·＝a ·＋b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b · c ) （一般不满足结合律） 五．例题剖析 加深对数量积定义的理解 例1 判断正误，并简要说明理由.
空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
2.4平面向量的数量积
α，我们把数量︱a︱·︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b， 即：a·b=︱a︱·︱b︱cosα 在强调记法和“规定”后，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5 问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 3、探究数量积的几何意义 如图，我们把│b│cosα（│a│cosα）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=│b│cosα 问题6：数量积的几何意义是什么？ 4、研究数量积的物理意义 数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。 问题7： (1)请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。 （2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动： ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米； 分别求重力做的功。 通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好准备。 这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。好铺垫。 我设计问题一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。 探究数量积的运算性质 1、性质的发现 教材中关于数量积的三条性质是以探究 的形式出现的，为了很好地完成这一探究活 动，在完成上述练习后，我不失时机地提出问 题8： （1）将尝试练习中的①②③的结论推 广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的 大小，你有什么结论？ 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明 晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的 定义给予证明，完成探究活动。 2、明晰数量积的性质 设a和b都是非零向量，则 这样设计体现了教师只是 教学活动的引领者，而学生才 是学习活动的主体，让学生成 为学习的研究者，不断地体验 到成功的喜悦，激发学生参与 学习活动的热情，不仅使学生 获得了知识，更培养了学生由 特殊到一般的思维品质.
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
人教版新课标普通高中◎数学④必修 2.4 平面向量的数量积 教案 A 第1课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力． 教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的定义． 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用. 教学关键：平面向量数量积的定义的理解． 教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．学习方法 通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学准备 教师准备: 多媒体、尺规. 学生准备: 练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算： W=| F | | s | cosθ， 其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）．故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题 1
教师备课系统──多媒体教案 2 ①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？ ②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？ 师生活动:已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即 a · b =|a ||b |cosθ（0≤θ≤π）． 其中θ是a 与b 的夹角，|a |cosθ（|b |cosθ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影． 在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意: （1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积； （2）零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0=0； （3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； （4）当0≤θ< 2π时cosθ>0，从而a ·b >0；当2 π <θ≤π时，cosθ<0，从而a ·b <0．与学生共同探究并证明数量积的运算律． 已知a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a （交换律）； ②（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）（数乘结合律）； ③（a +b ）·c =a ·c +b ·c （分配律）． 特别是:（1）当a ≠0时，由a ·b =0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0． 注意：已知实数a 、b 、c （b ≠0），则ab =bc ?a =c ．但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b =b ·c 不能推出a =c ．由上图很容易看出，虽然a ·b =b ·c ，但a ≠c ． 对于实数a 、b 、c 有（a ·b ）c =a （b ·c ）；但对于向量a 、b 、c ，（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．这是因为（a ·b ）c 表示一个与c 共线的向量，而a （b ·c ）表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立． 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？ 师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结，提出注意点“投影”的概念，如下图．
2.4 《平面向量的数量积》教案（第一课时） 教材分析： 教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的 5 个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标： 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点： 平面向量的数量积定义 . 教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法： 1.问题引导法 2.师生共同探究法 教学过程： 一．回顾旧知 向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作 a ， 它的长度和方向规定如下： （1）a a （2）当λ >0 时 , a 的方向与a方向相同，当λ<0时, a 的方向与a方向相反特别地，当0 或a0 时，a0 向量的数乘运算律：设 a , b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ( μa )=a ② ( λ+μ) a = a a ③λ( a +b )=a b 二．情景创设 问题 1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，
那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 三．学生活动 联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题 2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功为多少？ W 可由下式计算： W＝｜ F ｜·｜s｜cosθ，其中θ是 F 与 s 的夹角 . 若把功 W 看成是两向量 F 和 S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算， 我们引入向量数量积的概念 . 四．建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 与b，它们的夹角是θ，则数量｜ a ｜｜b｜cosθ叫 a 与b的数量积， 记作· ，即有· ＝｜ a ｜｜ b ｜cosθ a b a b 说明：（ 1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定 （ 2）是a与b的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.） 当θ＝ 0 时，a与 b 同向；a·b＝｜ a｜｜ b ｜cos0＝｜a｜｜ b ｜ 当θ＝π 时，a与 b 垂直，记a⊥ b ；· ＝｜a｜｜ b ｜cos=0 2 a 2 当θ＝π 时， a 与 b 反向； a ·＝｜ a ｜｜ b ｜cos=－｜ a ｜｜b ｜ b （3）规定0·a＝0；a2＝a·＝｜a｜2或｜a｜＝ a a＝2 a a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 2.向量数量积的运算律 已知 a ，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ① a ·b＝b·(交换律 ) a ② (λa ) ·b＝λ ( a·b )＝a·(λb ) (数乘结合律 ) ③ ( a＋b ) ·＝·＋ b ·(分配律 ) c a cc ④ (≠( b· )（一般不满足结合律） a c a c 五．例题剖析 加深对数量积定义的理解 例 1判断正误，并简要说明理由.