概述
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域 北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点 菱形的性质
菱形的轴对称性（最值问题）和面积
菱形的判定
菱形的性质与判定
教学目标 1、掌握菱形的性质与判定.
2、学会应用菱形的性质解决最值问题.
教学重点 能熟练掌握菱形的性质与判定.
教学难点 菱形综合题.
【教学建议】 菱形这种图形在生活中也比较常见，在教学过程中，结合现实生活中的菱形物体给学生讲解，必能收到
事半功倍的效果. 【知识导图】
1
教学过程
一、导入
【教学建议】 在这一部分知识的学习中，要重视学生灵活运用所学知识点的能力培养. 在七八年级的学习中我们已经学习过了平行四边形的性质和判定，在本讲中我们将会学习平行四边形
中的特殊图形之一——菱形，它在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置.
二、知识讲解
考点 1 菱形的定义和性质
定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形． 性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一 组对角．
考点 2 菱形的判定
让学生拿出准备好的长方形纸片，剪出一个四边都相等的四边形，根据这个条件首先证它是平行四边 形，再由一组邻边相等，依定义即知为菱形．
菱形判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形 1、已知：如图，在 ABCD 中，BD⊥AC，O 为垂足． 求证： ABCD 是菱形. 启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要 证明一组邻边相等． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）． ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD ∴ ABCD 是菱形（菱形的定义）． 结论：菱形判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？
2
启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等． 结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
三 、例题精析 类型一 菱形的定义与性质
例题 1
如图，菱形 ABCD 的周长为 24cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长等 于【 】
A.3cm
B.4cm
C.2.5cm
D.2cm
【解析】A.
∵菱形 ABCD 的周长为 24cm，∴边长 AB=24÷4=6cm.
∵对角线 AC、BD 相交于 O 点，∴BO=DO.
又∵E 是 AD 的中点，∴OE 是△ABD 的中位线.∴OE= 1 AB= 1 ×6=3（cm）.故选 A. 22
【总结与反思】此题运用了菱形的定义与性质：四边相等、对角线相互平分.
类型二 菱形的轴对称性（最值问题）和面积
例题 1
如图，已知菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=8，过线段 BD 上的一个动点 P（不与 B、D 重合）分别向直线 AB、AD 作垂线，垂足分别为 E、F． （1）BD 的长是______ （2）连接 PC，当 PE+PF+PC 取得最小值时，此时 PB 的长是______．
【解析】 8 3 ； 4 3 ．
（1）连接 AC，交 BD 与点 O， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
3
∴△ABC 为等边三角形，AC=AB=8，
根据菱形性质得：AO=CO= 1 AC=4，OB=OD，AC⊥BD， 2
根据勾股定理得：BD=2OB=2× 82 - 42 =8 3 ；
（2）延长 FP 交 BC 于点 M，则 FM⊥BC． ∴PE+PF=PF+PM=FM， 又∵S 菱形 ABCD=AC?BD=BC?FM，
∴ 1 ×8×8 3 =8?FM，即 FM=4 3 ， 2
∴要使 PE+PF+PC 取最小值，只要 PC 取最小值． 当 CP⊥BD，即点 P 与点 O 重合时，PE+PF+PC 的值最小．
此时 PB=BO=DO= 1 BD=4 3 ． 2
故答案为：8 3 ；4 3 ．
【总结与反思】 此题是对菱形定义和性质的灵活运用，通过菱形性质求出了最值.
∵PM=PE，
类型三 菱形的判定
例题 1
如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是（ ）
A、AB=BC
B、AC=BC
C、∠B=60°
D、∠ACB=60°
． 【解析】A 首先根据平移的性质得出 AB 平行且等于 CD，得出四边形 ABCD 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形 是菱形可得添加条件 AB=BC 即可即可． 试题解析：∵将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE， ∴AB 平行且等于 CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， 当 AB=BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．
4
故选 A． 【总结与反思】先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明四边形是菱形..
四 、课堂运用
基础
1.在菱形 ABCD 中，若∠ADC=120°，对角线 AC=6，则菱形的周长是（ ）
A．4 3
B．24
C．8 3
D．24 3
2.如图，菱形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上一动点，E,F 分别为 AB、BC 中点，若 AC=8，BD=6，则 PE+PF 的最
小值为___________.
答案与解析 1.【答案】C 【解析】试题分析：先根据菱形的性质求得∠BAD=60°，AO=3，即可得到△ABD 为等边三角形，根据等边三 角形可得 AB 的长，从而求得结果. ∵菱形 ABCD，∠ADC=120°，AC=6， ∴AB=AD，∠BAD=60°，AO=3，∠AOB=90° ∴△ABD 为等边三角形，∠BAO=30°， ∴AB=2BO，
∵ AB2 AO2 BO2 ，解得 AB 2 3 ， ∴菱形的周长是 8 3 ，
故选 C.
2.【答案】1、5
【解析】设 AC 交 BD 于 O，作 E 关于 AC 的对称点 N，连接 NF，交 AC 于 P，则此时 EP+FP 的值最小，根据菱 形的性质推出 N 是 AD 中点，P 与 O 重合，推出 PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出 AB 的长即可．
5
设 AC 交 BD 于 O，作 E 关于 AC 的对称点 N，连接 NF，交 AC 于 P，则此时 EP+FP 的值最小， ∴PN=PE， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC， ∵E 为 AB 的中点， ∴N 在 AD 上，且 N 为 AD 的中点， ∵AD∥CB， ∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP， ∵AD=BC，N 为 AD 中点，F 为 BC 中点， ∴AN=CF， 在△ANP 和△CFP 中 ∠ANP=∠CFP，AN=CF，∠NAP=∠CFP， ∴△ANP≌△CFP（ASA）， ∴AP=CP， 即 P 为 AC 中点， ∵O 为 AC 中点， ∴P、O 重合， 即 NF 过 O 点， ∵AN∥BF，AN=BF， ∴四边形 ANFB 是平行四边形， ∴NF=AB， ∵菱形 ABCD，AC=8，BD=6， ∴AC⊥BD，OA=4，OB=3，
AB OA2 OB2 5，
则 PE+PF 的最小值为 5.
巩固
6
1.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=12，BD=16，E 为 AD 中点，点 P 在 x 轴上移动.小
明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐标（-5,0）和（5,0）.请你写出其余所有符合这个条件的
P 点坐标
.
2.如图所示，在 Rt△ABC 中，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，CH⊥AB 于 H，交 AD 于 F，DE⊥AB 垂足为 E，求证： 四边形 CFDE 是菱形.
答案与解析
1.【答案】（ 8 ， 0 ）和（ 25 ， 0 ） 8
【解析】由在菱形 ABCD 中，AC=12，BD=16，E 为 AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得 OE
的长，然后分别从①当 OP= OE 时，②当 OE=PE 时，③当 OP=EP 时去分析求解即可求得答案．
∵四边形 ABCD 是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，OA= 1 AC=6，OD= 1 BD=8，
2
2
∴在 Rt△AOD 中， AD OA2 OD2 10
∵E 为 AD 中点，
∴OE= 1 AD=5， 2
①当 OP=OE 时，P 点坐标（-5，0）和（5，0）；
②当 OE=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（8，0）；
③如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EK⊥BD 于 K，作 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK= 1 OA=3， 2
7
∴ OK OE2 EK2 4
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK， ∴△POF∽△EOK， ∴OP：OE=OF：OK，
即 OP：5= 5 ：4， 2
解得 OP 25 ， 8
∴P 点坐标为（ 25 ，0）． 8
∴其余所有符合这个条件的 P 点坐标为：（8，0）或（ 25 ，0）． 8
2.【答案】证明：∵AD 平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵在 Rt△ABC 中，CH⊥AB 于 H， ∴∠1+∠AFH=90°，∠2+∠4=90°， ∵∠3=∠AFH，∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∴FC=CD， ∵DE⊥AB 垂足为 E，∠ACD=90°，∠1=∠2， ∴CD=DE，∴FC=DE， ∵CH⊥AB，DE⊥AB， ∴FC∥DE， ∴四边形 CFED 是平行四边形， ∵FC=CD， ∴四边形 CFED 是菱形
拔高
1.如图，边长为 4 的菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，E 是 AD 上的动点（与 A，D 不重合），F 是 CD 上的动点， 且 AE+CF=4． （1）求证：不论点 E，F 的位置如何变化，△BEF 是正三角形； （2）设 AE=x，△BEF 的面积是 S，求 S 与 x 的函数关系式．
8
2.已知 AC 是菱形 ABCD 的对角线，∠BAC=60°，点 E 是直线 BC 上的一个动点，连接 AE，以 AE 为边作菱形 AEFG，并且使∠EAG=60°，连接 CG，当点 E 在线段 BC 上时（如图 1）易证：AB=CG+CE．当点在 E 线段 BC 的 延长线上时（如图 2），猜想 AB、CG、CE 之间的关系并证明；当点在 E 线段 CB 的延长线上时（如图 3）， 猜想 AB、CG、CE 之间的关系．
答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）证明：连接 BD， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∠ADC=120°， ∴△ABD 是正三角形． ∴∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD， 又因 AE+CF=4，DF+CF=4， ∴AE=DF， 而∠FDB=∠ADC-∠ADB=60°=∠DAB， ∴△AEB≌△DBF， ∴BE=BF，∠ABE=∠DBF， ∵∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60° ∴△BEF 是正三角形． （2）解：过 E 作 EG⊥AB 于点 G， ∵AE=x，∠DAB=60°，
∴EG= 3 x，AG= 1 x，
2
2
BG=4- 1 x， 2
BE2=EG2+BG2=（ 3 x）2 +（4 - 1 x）2 = x2 4x 16
2
2
9
∴ ∴ 作 FH
⊥EB 垂足为点 H，
S△BEF= 1 BE?FH= 1 BE ? 3 BE= 3 BE 2 = 3 （ x2 4x 16）．
2
22 4
4
2.【答案】见解析
【解析】（1）AB=CG-CE
证明：∵AC 是菱形 ABCD 的对角线且∠BAC=60°，
∴AC=AD．
∵四边形 AEFG 菱形，
∴∠DAC=∠GAE=60°，
∴∠DAG=∠CAE．
在△ACE 和△ADG 中
∴△ACE≌△ADG（SAS）， ∴CE=DG． ∴AB=CD=CG-DG=CG-CE； （2）AB=CE-CG． 同理可证△ACG≌△ABE， ∴BE=CG． ∴AB=CB=CE-BE=CE-CG．
五 、课堂小结
本节的重要内容：菱形的性质与判定. ①四边都相等的四边形是菱形； ②在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
六 、课后作业
10
基础
1.如图所示，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=10，BD=24，AE⊥BC 于 E，则 AE 的长是（ ）
A． 120
B. 60
C. 240
D．8
13
13
13
2.如图，四边形 ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OB=OD，请你添加一个适当的条件
，
使四边形 ABCD 成为菱形.（只需添加一个条件即可）
3.如图，在菱形 ABCD 中，∠B=60°，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 AE=DF． （1）试猜想△ECF 的形状，并说明理由． （2）若 AB=10，那么△ECF 的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请说明理由．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】根据菱形的性质得出 BO、CO 的长，在 RT△BOC 中求出 BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，
也等于 BC×AE，可得出 AE 的长度．
∵四边形 ABCD 是菱形，AC=10，BD=24，
∴CO= 1 AC=5，BO= 1 BD=12，AO⊥BO，
2
2
∴ BC BO2 CO2 13 ，
∵ S菱形ABCD
1 2
AC BD
BC
AE
，
11
1 10 24 13AE ，解得 AE 120 ，
2
13
故选 A.
2.【答案】OA=OC（答案不唯一）
【解析】根据菱形的判定，平行的性质，全等三角形的判定和性质，由已知，添加 OA=OC 或 AD=BC 或 AD//BC
或 AB=BC 等即可判定 ABCD 成为菱形.
3.【答案】见解析.
【解析】△ECF 是等边三角形．
证明：连接 AC，
∵∠B=60°，
∴AC=AB=CD，∠D=∠CAE=60°
又∵AE=FD，
∴△CDF≌△CEA（SAS），
∴CE=EF，∠ACE=∠DCF，
而∠DCF+∠FCA=60°，
∴∠ACE+FCA=60°=∠ECF，
∴△ECF 是等边三角形．
（2）存在．
很明显当 CE⊥AB 时长度最小，
此时 CE=BCsin∠B=5 ，
∴最小周长=15 ．
巩固
1. 如图，在四边形 ABCD 中，AC=BD=6，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则 EG2+FH2=
.
12
2.（2011?福州）已知，矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂 足为 O． （1）如图 1，连接 AF、CE．求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长； （2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点 P 自 A→F →B→A 停止，点 Q 自 C→D→E→C 停止．在运动过程中， ① 已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，当 A、C、P、Q 四点为顶点的四 边形是平行四边形时，求 t 的值． ②若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab≠0），已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四 边形，求 a 与 b 满足的数量关系式．
答案与解析
1.【答案】36.
【解析】如图，连接 EF，FG，GH，EH，EG 与 FH 相交于点 O.
∵E、H 分别是 AB、DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线.
∴EH= 1 BD=3. 2
同理可得 EF=GH= 1 AC=3，FG= 1 BD=3.
2
2
∴EH=EF=GH=FG=3.∴四边形 EFGH 为菱形.
∴EG⊥HF，且垂足为 O.∴EG=2OE，FH=2OH.
在 Rt△OEH 中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9.
等式两边同时乘以 4 得：4OE2+4OH2=9×4=36.
∴（2OE）2+（2OH）2=36，即 EG2+FH2=36.
2.【答案】见解析.
13
【解析】（1）证明：①∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF 垂直平分 AC，垂足为 O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形 AFCE 为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形 AFCE 为菱形，
②设菱形的边长 AF=CF=xcm，则 BF=（8﹣x）cm，
在 Rt△ABF 中，AB=4cm，
由勾股定理得 42+（8﹣x）2=x2，
解得 x=5，
∴AF=5cm．
（2）①显然当 P 点在 AF 上时，Q 点在 CD 上，此时 A、C、P、Q 四点不可能构成平行四边形；
同理 P 点在 AB 上时，Q 点在 DE 或 CE 上，也不能构成平行四边形．
因此只有当 P 点在 BF 上、Q 点在 ED 上时，才能构成平 行四边形，
∴以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，
∴PC=5t，QA=12﹣4t，
∴5t=12﹣4t，
解得 t= 4 ，∴以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t= 4 秒．
3
3
②由题意得，以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 P、Q 在互相平行的对应边上．
分三种情况：
i）如图 1，当 P 点在 AF 上、Q 点在 CE 上时，AP=CQ，即 a=12﹣b，得 a+b=12；
ii）如图 2，当 P 点在 BF 上、Q 点在 DE 上时，AQ=CP，即 12﹣b=a，得 a+b=12；
iii）如图 3，当 P 点在 AB 上、Q 点在 CD 上时，AP=CQ，即 12﹣a=b，得 a+b=12．
综上所述，a 与 b 满足的数量关系式是 a+b=12（ab≠0）．
14
拔高
1.在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，E 是对角线 AC 上一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF=AE，连接 BE、 EF. （1）若 E 是线段 AC 的中点，如图 1，求证：BE=EF； （2）若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变， 如图 2、图 3，线段 BE、EF 有怎样的数 量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明.
2.如图①，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC．若 BD GE 3 AC BF （1）请写出线段 PG 与 PC 所满足的关系；并加以证明． （2）若将图①中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同 一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图②．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化， 直接写出结论，若有变化，写出变化的结果． （3）若将图①中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请猜想（1）中的结 论有没有变化？
15
答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】（1）延长 GP 交 DC 于 H， ∵DC∥GF， ∴∠DHP=∠PGF，∠DPH=∠GPF， ∵DP=PF， ∴△DHP≌△PGF， ∴HD=GF， ∵四边形 ABCD 和四边形 GFEB 是菱形， ∴DC=CB，FG=GB， ∴DH=GB ∴DC-DH=CB-GB， ∴CH=CG， ∴△CHG 就是等腰三角形且 CP 是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点， 即可得出 CP⊥PG； ∴线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC； （2）线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG⊥PC； 证明：如图②，延长 GP 到 H，使 PH=PG， 连接 CH，CG，DH， ∵P 是线段 DF 的中点， ∴FP=DP， ∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵ BD GE 3 , AC BF
∴∠ADC=∠ABC=60°，∠GBF=60°， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点 A、B、F 又在一条直线上， ∴∠FBC=120°， ∴∠HDC=∠CBG=60°， ∵四边形 BEFG 是菱形 ∴GF=GB，
CD BC ∴HD=GB，即在△HDC 与△GBC 中， HDC CBG
DH BG
，
16
∴△HDC≌△GBC（SAS）， ∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°， ∵CH=CG，PH=PG， （3）将图①中的菱形 BEFG 饶点 B 顺时针旋转任意角 （1）中的结论没有变化，PG⊥PC． 2.【答案】见解析 【解析】（1）图 2：BE=EF.图 3. 图 2 证明如下：过点 E 作 EG∥BC，交 AB 于点 G，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG， 即∠HCG=120° ∴PG⊥PC． 度，
∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB=BC. 又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=AC，∠ACB=60°. 又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°. 又∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形.∴AG=AE.∴BG=CE. 又∵CF=AE，∴GE=CF. 又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS）.∴BE=EF. （2）图 2，过点 E 作 EG∥BC，交 AB 于点 G，
根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 AB=AC，∠ACB=60°， 再求出△AGE 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 AG=AE，从而可以求出 BG=CE，再根据等角的补角 相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE 和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等 即可得证. 图 3，证明思路与方法与图 2 完全相同， 证明如下：
17
过点 E 作 EG∥BC 交 AB 延长线于点 G，
∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB=BC. 又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=AC∠ACB=60°. 又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°. 又∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形.∴AG=AE.∴BG=CE. 又∵CF=AE，∴GE=CF. 又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS）.∴BE=EF.
七 、教学反思
18
《菱形的性质与判定》 《菱形的性质与判定》一课是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 【知识与能力目标】 1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的关系。 2、理解并掌握菱形的性质定理；在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力。 【过程与方法目标】 1、经历探索菱形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； 2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。 【情感态度价值观目标】 1、在观察、操作、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。 2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 【教学重点】
菱形的性质定理证明及运用。 【教学难点】 菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转化。 课前布置学生复习平行四边形的性质，并每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、菱形纸片； 教师准备课件，搜集好菱形的相关图片，三角板等。 一、情景导入 1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？ 2．观察发现：观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 3．与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？通过平行四边形演变为菱形的动态演示过程，引出本课题及矩形定义。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。 二、合作探究 1.既然菱形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性质？ 在同学回答的基础上进行归纳：
菱形的性质导学案（9） 一、菱形的认识： 1、定义：有一组边相等的形叫做菱形 2、（1）打开后的四边形是 （2）菱形是不是轴对称图形？若是那有几条对称轴？ （3）菱形的条边都。 （4）菱形的两条对角线，并且 每一条对角线。 二、例题讲解： 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长（精确到0.01）和花坛的面积（精确到0.1） 练习： １、菱形是轴对称图形，对称轴共有（） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 ２、下列性质中，菱形所具有而平行四边形不一定具有的是（） A、对角线互相平分 B、对角线相等 C、邻角互补 D、邻边相等 ３、下面性质中菱形有而矩形没有的是（） A、邻角互补 B、内角和为360° C、对角线相等 D、对角线互相垂直 ４、在菱形ABCD中，不一定成立的是（） A、四边形ABCD是平行四边形 B、AC⊥BD C、△ABD是等边三角形 D、∠CAB=∠CAD ５、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示， ∠AOC＝60°，OC=２，则点B的坐标为。 ６、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=4cm，求两条对角线AC和BD的长。
７、如图菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积。 ８、如图，已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E 且BE=CE ，AB=2. （1）求证：△ABC 是等边三角形 （2）求对角线BD 的长及菱形ABCD 的面积。 9、如右图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF.求证：①△ABE ≌△ADF ；②∠AEF=∠AFE. 10、如图，菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF 的度数。 D
菱形的性质学案 学习目标：1、掌握菱形的概念和性质 2、发展合情推理能力和主动探索习惯 学习过程： 一、自主学习，初步感知 1、菱形的定义： 2、菱形的性质： 边: 角: 对角线: 对称性: 二、合作交流，探究新知（看课本） 相比于一般的平行四边形，菱形所特有的性质： 性质1： 性质2： 1、验证猜想 ⑴已知四边形ABCD是菱形。 求证：AB=BC=CD=DA ⑵已知AC、BD是菱形ABCD的两条对角线，AC、BD相交于点Ｏ。 求证：①ＡＣ⊥ＢＤ。 ②AC平分∠BAD和∠BCD。 A B C D O A B C D O A B C D
2、例题．如图，菱形花坛ABCD 的边长为20m ， ∠ABC ＝60o ，沿着菱形的对角线修建了两条小 路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m 和0. 1m 2 ） 3、学以致用 （1）如图，四边形ABCD 是菱形。点O 是两条对角线 的交点，AB=5cm ，AO=3cm ，求AC 与BD 的长。 （2）在菱形ABCD 中，对角线AC=6,BD=8,则菱形的面积是多少？周长是多少？ 例3如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。 求证：△AC E ≌△ACF 三、精讲总结，反思提炼。 菱形的定义：菱形的性质：菱形的面积公式： 四、达标检测，收获成功。 1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ． 2．已知菱形ABCD 的周长为20cm ，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积． 3．已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF ．求证：∠AEF=∠AFE ． A B C D O A D F E B C
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1、探究菱形的面积计算方法： 练一练： 1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（） A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm 2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF 等于（）A.75° B.60° C.45° D.30° 3、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是（） A.4 cm B.3cm C.2 cm D.23cm 精讲精练 例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH. 变式：菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.
例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E ，连接EB 。（1）求证：APD EBC ∠=∠;(2)若60DAB ∠=?,试问：P 点运动到什么位置时，ADP V 的面积等于菱形ABCD 面积的 1 4 ？为什么？ 例3：如图，在菱形ABCD 中，AB=4a ，E 在BC 上，BE=2a ，120BAD ∠=?,P 点在BD 上，求PE+PC 的最小值。 三、用中学习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC = 2 1 ∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为_______.
个性化教学辅导 教学 内容 菱形 教学目标1、掌握菱形的定义和性质； 2、学会判定菱形； 3、平行四边形和菱形的区别和联系； 重点难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握； 2、利用菱形的性质综合解决问题； 教学过程知识讲解 一、菱形的定义 如图，如果一个平行四边形有一组邻边相等，那么这个平行四边形会有怎样的变化？ 定义：叫做菱形。 二，菱形的性质。 菱形性质： 1．两条对角线互相垂直平分； 2．四条边都相等； 3．每条对角线平分一组对角； 4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
以上菱形的性质你能给出证明吗？ 练习：1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______。 2、菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______。 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______。 4、菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为_____cm，边长为_____cm， 高为_____cm。 三、菱形的判定 根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？ 猜想1：如果一个平行四边形的两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是菱形。 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直。 求证：四边形ABCD是菱形． 例1：如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE 是菱形．
猜想2四条边都相等的四边形是菱形． 已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD是菱形 猜想3：如果一个四边形的每条对角线平分一组对角，那么这个四边形是菱形。 已知：四边形ABCD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC 求证：四边形ABCD是菱形 总结：菱形的判定定理： 1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线） 3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边） 4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系） 练习：1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（） Ａ、等腰梯形Ｂ、正方形Ｃ、矩形Ｄ、菱形 2、下列说法中正确的是（） Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形。Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形Ｄ、四个角相等的四边形是菱形
菱形的性质 【教学目标】 1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系。 2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2，会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积。 3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。 4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想。 【教学重难点】 1．重点：菱形的性质1、2。 2．难点菱形的性质及菱形知识的综合应用。 【教学过程】 一、课堂引入 1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？ 2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教学准备进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念。 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 强调：菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等。 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子。 二、例习题分析 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交 AC于E。求证：∠AFD=∠CBE。 证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD，CA平分∠BCD。
∴∠BCE=∠DCE。又CE=CE， ∴△BCE≌△COB（SAS）。 ∴∠CBE=∠CDE。 ∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC ∴∠AFD=∠CBE。 三、随堂练习 1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为。 2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积。 3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱 形的对角线的长和面积。 4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且 BE=DF。求证：∠AEF=∠AFE。 【作业布置】 1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高。 2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积。
§1.1 菱形的性质与判定 邵爱平 沈阳市博才中学
菱形的性质与判定第一课时 教学设计 沈阳市博才中学邵爱平 教学目标： 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理. 3.应用菱形的性质定理解决相关问题. 教学重点：菱形性质的探究与应用. 教学难点：利用菱形的性质解决问题. 教学环境: 一对一数字化教室，包括学生人手一个终端及教师一体机. 教学过程： 一、课前展示 小组同学合作选题和全体同学共同复习平行四边形性质的相关习题 . 1.平行四边形的性质有哪些？（利用终端全体答题） 对称性：平行四边形是 ______ 对称图形 边：平行四边形的______ 相等 角：平行四边形的______ 相等 对角线：平行四边形的对角线______ 2．已知平行四边形ABCD的周长为40m，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长为______cm．（利用终端全体抢答） 3．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是（）．（全体答题统测） A．AD>1 B．1
1.教师引导学生想一想：你在什么地方见过菱形？学生寻找身边的实例，并将在课前下载到终点的照片资源与同学们分享，同学分享后教师也利用用课件展示生活中的菱形图案，学生在欣赏的同时初步感知菱形的魅力，通过身边的事物引入,使学生感受到菱形为我们的衣食住行增添了色彩. 2.在平行四边形的基础上进行动画演示，使之变成一个菱形，得菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形. 小结：由定义可知，菱形是强化了“边”的特殊性的平行四边形，那么菱形具有什么样的特殊性质呢？让我们带着这个问题进入菱形性质的探究之旅. 设计意图:营造一种轻松愉快的学习氛围，拉进学生与数学的距离,学生在观察与实践后得出菱形的定义. 三、合作探究 1．教师介绍菱形性质的研究方向与平行四边形相同为：边、角、对角线、对称性. 做一做：将菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？ （2）菱形中有哪些相等线段？ 通过折叠并引导学生类比平行四边形性质的探究方法来探究菱形的性质. 小组交流进行探究，得菱形的特殊性：（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两对角线所在的直线；菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心..（2）四条边都相等.（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 2．验证猜想：以上菱形的特殊性是通过观察、实验操作、猜想得到的，还需要进一步从数学的角度加以验证. 概括出两条性质之后，引导学生把两条性质作为命题加以演绎证明. 菱形的性质1：菱形的四条边相等. 已知:四边形ABCD 是菱形,AB=BC. 求证:AB=BC=CD=AD. 菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角. 已知:四边形ABCD 是菱形对角线相交于O 点 求证:(1)AC ⊥BD. B C D
《菱形的性质》——教学设计 刘倩淮安市凌桥中学 一、教材分析 1、在教材中的作用与地位 《菱形》一节是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，具备了初步的观察、操作和推理等活动经验的基础上学习的，这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习正方形等知识的基础，所以在知识的前后联系上起着承前启后的作用。 2、教学目标 （1）经历探索菱形的概念性质及菱形的面积公式的推导的过程，掌握菱形的概念和性质。 （2）能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明； （3）在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一步体会证明的必要性. 教学重点：菱形的概念和菱形的性质，菱形的面积公式的推导。 教学难点：菱形的性质灵活运用。 二、设计理念 为进一步深化生命化的课堂，让学生成为学生的主体，把问题贯穿于学生学习的全过程，使思维训练渗透于课前、课中，课后的各环节。而本节课菱形是特殊的平行四边形，后继课要学的正方形具有菱形的一切性质。这节课教学时注重学生的探索过程，让学生操作、观察、猜测、验证，获得知识，培养主动探究的能力，和用多种方法解决问题的能力。 三、教学流程 （一）课前准备 剪一个菱形，.观察并回答： (1)什么是菱形？ (2)菱形是不是中心对称图形?对称中心是_______. (3)是不是轴对称图形?对称轴有几条?_______. 【设计意图】通过学生自己操作剪菱形，探索菱形的对称性，不仅增加学生
兴趣，并为新课中归纳菱形性质作铺垫。 （二）探索学习 1、探索菱形的性质。 （1）让学生交流剪菱形的方法，观察菱形，归纳菱形的性质。 （2）让学生画菱形，进一步强化菱形的性质。 【设计意图】剪菱形有多种方法，学生可畅所欲言，这样可引起学生学习兴趣，在实际操作中发现归纳菱形的特殊性质，培养学生用多种方法解决问题的能力，也为下面学习中证明菱形有关定理打下基础。 现将典型方法展示如下： 将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，便得到菱形。 【设计意图】本方法直观得到了菱形的重要性质——菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.同时为下面证明菱形性质作铺垫。 2、证明菱形性质。 （1）先让学生分析证明思路。 （2）指名让学生板演。 【设计意图】让学生分析思路可培养学生语言表达能力，学生可以利用平行四边形对角线互相平分及等腰三角形三线合一的性质来证明，也可以证明三角形全等。培养了学生用多种方法解题的能力，通过讨论，选择最简单的方法进行板演，这样有助于提高学生的解题能力，并可以规范学生的书写格式。 现将典型方法展示如下：
菱形的性质 教学目标 知识与技能： 1．掌握菱形的定义与性质定理； 2．掌握菱形的轴对称性． 过程与方法： 1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，加深对菱形概念的理解以及与平行四边形的关系； 2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力； 3．在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力． 情感态度与价值观： 使学生通过运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦． 重点难点 重点：掌握菱形的性质． 难点：运用菱形的性质解决与菱形有关的问题． 课时安排 1课时 过程设计 设题导入： 观察衣帽架和窗户等实物图片．
老师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？它们有什么样的共同特征呢？ 学生：图片中有八年级学过的平行四边形． 图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等． 老师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”．这节课我们将探究菱形的相关知识． 导学过程： 新知探究 1．想一想 ①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？ 学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分． ②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流． 学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，尽可能多的让组员发言，并汇总结果． 2．做一做 教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： (1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ (2)菱形中有哪些相等的线段？ 学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案．组长组织，并汇总结果． 师生结论：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等． 合作探究
菱形的性质与判定》 《菱形的性质与判定》一课是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平 行四边形” 之后的一个学习内容。九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 【知识与能力目标】 1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的关系。 2、理解并掌握菱形的性质定理；在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展 学生的逻辑推理能力。 【过程与方法目标】 1、经历探索菱形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； 2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。 【情感态度价值观目标】 1、在观察、操作、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。 2、通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 教学重点】
菱形的性质定理证明及运用。 教学难点】 菱形的性质定理证明、运用，生活数学与理论数学的相互转化。 课前布置学生复习平行四边形的性质，并每人准备好草稿纸、铅笔、直尺、菱形纸片； 教师准备课件，搜集好菱形的相关图片，三角板等。 、情景导入 1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？ 2．观察发现：观察下列图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 3．与一般的平行四边形相比较，这种平行四边形特殊在哪里？你能给菱形下定义吗？通过平行四边形演变为菱形的动态演示过程，引出本课题及矩形定义。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。但平行四边形不一定是菱形。 二、合作探究 1. 既然菱形是平行四边形，那么它具有平行四边形的哪些性质？
菱形学案 19.3 菱形 第一课时 1、自主学习 ● 目标导学 1、理解菱形的定义； 2、探究菱形的性质，并能运用性质解决实际问题。 ● 自学生疑 1、叫菱形 2、菱形的性质 1)边 2）角 3）对角线 4）对称性 二、合作学习 ● 合作探究 1、看书了解什么叫菱形？ 。 2、通过量一量，折一折，看看菱形的边、角、对角线存在哪些性质？如何证明？ 归 纳： 用几何语言叙述： 3、探究菱形的面积计算方法：
练一练： 1、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是 （） A.6 cm B.1.5 cm C.3 cm D.0.75 cm 2.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A.75° B.60° C.45° D.30° 3、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是2 cm,则另一条对角线的长是 （） A.4 cm B. cm C.2 cm D.2 cm ● 精讲精练 例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH. 变式：菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积. 例2：（09贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB。（1）求证：;(2)若,试问：P点运动到什么位置时，的面积等于菱形ABCD面积的 ？为什么？
例3：如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，,P点在BD 上，求PE+PC的最小值。 三、用中学习 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.菱形ABCD中，AC、BD相交于O点，若∠OBC=∠BAC，则菱形的四个内角的度数为_______. 3、.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm2. 4.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（） A.168 cm2 B.336 cm2 C.672 cm2 D.84 cm2 5.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（） A.4 B.8 C.10 D.12 6.下列语句中，错误的是（） A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴 B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到 7.菱形的面积为8平方厘米，两条对角线的比为1∶,那么菱形的边长为_______. 8、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，则菱形周长的最小值是，最大值是。
第一章特殊平行四边形 1．菱形的性质与判定（1） 一、学情与教材分析 1.学情分析 “菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容. 学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形的平移旋转及平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质. 其次，经历了七年级下册“相交线与平行线”、“三角形”和八年级下册“平行四边形”的学习和推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础. 再次，本章第4节将学习“正方形的性质与判定”，正方形是菱形的特殊情形，本节课学习将为正方形性质与判定的学习打下良好的基础. 2.教材分析 教科书在学生学习了“平行四边形”的基础上，提出了本课的学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度，会求菱形的周长和面积.本节课通过观察、分析、类比、动手操作，推论论证等活动过程探究菱形的定义和性质，进一步提高了学生的观察分析能力和类比探究能力. 二、教学目标： 1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，理解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2. 经历利用折纸等活动探索菱形的轴对称性和菱形的其他性质，发展合情推理能力； 3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中探究菱形的周长公式和面积公式，进一步发展学生的逻辑推理能力. 三、教学重难点： 重点：菱形的性质
难点：菱形性质的综合运用 四、教法建议（探究法） 教师可采用“探索——发现——猜想——论证”的教学方法，引导学习探索菱形的定义和性质. 五、教学设计 （一）课前设计 1、预习任务 任务1：我们已经学习了平行四边形这个特殊的四边形了，小红想，如果平行四边形再特殊一些，如果一个平行四边形邻边相等，那么这个四边形是什么样子呢？请按照小红的要求，画出一个邻边相等的平行四边形，并观察生活，举出生活中类似的图形的例子？ 任务2：学习课本第2页想一想上面内容，初步了解菱形的定义. 任务3：既然菱形是特殊的平行四边形，那么它肯定具有平行四边形的所有性质了，你能就你目前的认识，写出菱形的性质么？ 任务4：既然菱形是特殊的平行四边形，那么，菱形肯定还有它特殊的性质，请用菱形纸片探究猜测以下问题： （1）菱形的对称性； （2）菱形的边之间的关系； （3）菱形的对角线的关系； （4）菱形的周长与面积的求法. 2、预习自测 一、填空题 1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变成菱形，需要添加条件为_____________. B 答案：AB=BC或BC=CD或CD=DA或AB=AD.
菱形的性质 学习目标：1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系． 2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计 算，会计算菱形的面积． 学习重点：：菱形的性质1、2． 学习难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用． 学习过程： 一、自主预习（10分钟）自学课本例题以上的内容，完成下列问题： 1. 如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来 定义 的四边形叫做菱形，生活中的菱形有。 2. 按探究步骤剪下一个四边形。 ①所得四边形为什么一定是菱形？ ②菱形为什么是轴对称图形？ 有对称轴。 图中相等的线段有：相等的角有： ③能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明。 性质： 证明： 二、合作解疑（20分钟） 菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm ，求菱形的周长和面积。 2.如图，菱形花坛ABCD 的边长为20cm ，∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC 和BD ， 求两条小路的长和花坛的面积。 1 C B A
3.如图是边长为16cm的活动菱形衣帽架， 4.若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=. 三、限时检测（10分钟） 1．的平行四边形叫做菱形． 2．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD可得菱形，由此可以得 到的四边形是菱形． 3．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是，面积是． 4．下面性质中，菱形不一定具有的是（） A．对角线相等B．是中心对称图形C．是轴对称图形D．对角线互相平分 5．菱形的周长为20 cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是；一组对边的距离是 6．以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，则此菱形各角是．A B C D
正方形的性质与判定优 秀教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
课题：1．3．1正方形的性质与判定 课型：新授课年级：九年级 教学目标： 1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重、难点： 重点：理解正方形的定义和性质． 难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题． 教学过程： 一、回忆童年，情境引入 师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形． 学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 师：结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？ 学生思考回答
正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形） 所以说正方形既是菱形又是矩形． （几何画板演示动画） 我们这节课就来深入了解正方形． 【板书课题1．3．1正方形的性质与判定】 设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程． 二、实践探究，交流新知 师：正方形都具有什么性质呢？ 生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质． 设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端． 师：你能详细说一说吗？ 生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． （多媒体显示）
19.3.1 菱形的性质 学习目标：1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2； 3．会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积． 学习重点、难点：菱形的性质．菱形的性质及菱形知识的综合应用．学习过程： 一、自主预习:自学课本97-98例题以上的内容，完成下列问题： 1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来 的四边形叫做菱形，生活中的菱形有。 2.菱形为什么是轴对称图形？有对称轴。 3.你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？ 二、合作解疑 菱形性质的应用 1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。 2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60° 沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD， 求两条小路的长和花坛的面积。 二、课堂练习 1.如图是边长为16cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= . 第1题第2题 2.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF. 求证：①△ABE≌△ADF；②∠AEF=∠AFE. 3、如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积． 1 C B A D
三、限时检测（10分钟） 1．按图示的虚线折纸，然后连接ABCD 可得菱形，由此可以得到 _____________的四边形是菱形． 2．木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长，道理是 __________________________________ ． 3．菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______，面 积是______． 4．下面性质中，菱形不一定具有的是（ ） A 对角线相等B 是中心对称图形C 是轴对称图形D 对角线互相平 分 5．菱形的周长为20 cm ，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是 _____________；一组对边的距离是____________． 6、以菱形ABCD 的钝角顶点A 引BC 边的垂线，恰好平分BC ，则 此菱形各角是____________． 课 后 作 业 1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ． 2．已知菱形ABCD 的周长为20cm ，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积． 3．菱形ABCD 中，∠D ∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm ， 求菱形的高． 4.已知：如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是CB CD ，上的点，且 BE DF =． （1）求证：AE AF =． （2）若60B ∠=，点E F ，分别为BC 和CD 的中点．求证：AEF △为等边三角形． 5、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD =2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE +CF =2． （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； A B C D A B D E F
第一章特殊平行四边形 菱形的性质与判定（一） 一、学生知识状况分析 “菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。 九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。 其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。 再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。 在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。 综上所述，本节的教学目标为： 1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行 四边形的关系； 2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发 展合情推理能力； 3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推
江苏省无锡市八年级数学上册第三章中心对称 9 菱形的性质学案（无答 案）北师大版 生生互动： 5．菱形两邻角的度数之比为1：3，边长为 ________． （画图） 6. 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离(比如AC两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？ 7．证明：菱形的面积是它两条对角线长乘积的一半. 8．已知菱形的面积为 30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米
H G E F O C D B A 9．菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，求：菱形的高 师生互动 11．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且垂足E 、F 分别为BC 、CD 的中点，?求∠EAF 的度数 12.如图，在菱形 ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且△AEF 是等边三角形，AE ＝AB ，则 ∠BAD 的度数 课堂检测 1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 2．菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________． 3．已知菱形的边长是5cm ，一条对角线长为8cm ，则另一条对角线长为______cm ． 第1题图 第2题图 第3题 3．己知：如图，菱形ABCD 中，∠B=600 ，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 . 4．已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点，求证：OE=OF E C B A F D B A D
19.2.1菱形的性质 一、教学目标： 掌握菱形的性质判定，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力 通过把矩形和菱形的定义、性质将易混淆的知识点分清楚，并以此培养学生辨正观点 二、教学重点：菱形的性质 教学难点：性质定理的运用 生活数学与理论数学的相互转化。 三、教学过程 一 以旧引新 你能从一个平行四边形中剪出一个菱形来吗？ 学生活动，由平行四边形较短的边折叠到较长的边上，剪去不重合部分，可得到一个菱形。 有的学生可由其他方式得到一个菱形，也认可。 小组内互相交流学习，拓展思维，并由语言叙述自己的发现，学生归纳）。 菱形概念： 组邻边相等 1. ____________________________________________________________叫菱形。 菱形也是特殊的平行四边形，它有平行四边形的性质 ①________________________________________②___________________________________ ③______________________________________ 且具特有性质① —————————————————————————————— ②———————————————————————————————— ———— 2、菱形的面积计算公式：① S=底×高 ② S=对角线乘积的一半 二．定理探索： 证明: 菱形四条边相等 平行四边形 菱形 平行四边菱形
1. 已知平行四边形ABCD ，且AB=AD ，求证 ① AB=BC=CD=DA 2. 已知菱形ABCD ， 对角线相交于O ，求证：对角线互相 垂直，且每一条对角线平分一组内角。 三．例题讲解 例1．如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A 、E 、F 、C 、G 、H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC 两点可以自由上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间 的距离为24厘米，并在点B 、M 处固定，则B 、M 之间的距离是多少？ 例2、如图是菱形花坛ABCD ，它的边长为20m ，∠ABC =60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的 长和花坛的面积（分别精确到0.01m 和0.01m 2 ）. 四．巩固练习 1若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 2菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________． 3．已知四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，AC=8cm ，DB=6cm ，?菱形的边长是________cm ． 4．菱形ABCD 的周长为40cm ，两条对角线AC ：BD=4：3，那么对角线AC=______cm ，BD=______cm ． 5．已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米 6．菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，求：菱形的高 7．课本P113 练习1 8．已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF ．求证：∠AEF=∠AFE ． 五：课后小结 矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表： 矩 形 菱 形 共有性质 A B C D O A B C D M F E H G D C B A A D C O B
教学设计 1.1 菱形的性质与判定 第一课时 北师大版 | 九年级数学上 | 2018年 湘东区腊市中学 lashizhongxue 设计 执教：杨毫
1.1《菱形的性质与判定》教学设计 学情分析： 纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行四边形的性质与判定，已具备了初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习矩形、正方形等知识的基础，起着承前启后的作用。 教材分析： 本节课是菱形的第1课时，主要内容是菱形的性质，为了体现新课标的要求，在性质的教学方面，采用直观操作和几何论证相结合的探究式的教学方法，即关注学生学习的结果，更关注他们学习的过程，进一步培养学生的形象思维和逻辑推理能力．在学生的学习方式上，采用动手实验、自主探索与合作交流相结合的方式，使学习过程直观化、形象化。此外，生活中菱形的广泛应用反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 教学目标： 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。 2．能够用综合法证明菱形的性质定理和判定定理等。 3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 教学重点： 掌握菱形的性质和定理，以及证明方法。 教学难点： 运用综合法证明菱形的性质定理。 教学方法：动手实验、自主探索与合作交流相结合。 教学工具：赣教云教学通、赣教云APP、CEEWO白板课件、导学案。 教学过程： 活动一：情境引入 1.生活中经常看到由一些简单的平面图形组成的美丽图案，而它们也都各自具有一些独特的性质。（如：平行四边形） 回顾平行四边形的性质（边、角、对角线、对称性） 2.提出质疑：平行四边形的邻边可能存在哪些数量关系？ 3.动画演示： 如图，在平行四边形ABCD中，AB
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