第 7 章 多元函数积分学 练习题
一、选择题与填空题
1.
11.交换二次积分次序，则
12.设 D ? ?x, y ? 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ，试利用二重积分的性质估计 I ?
?
? dx? f ( x, y)dy ? ? dx?
0 0
1
x2
2
2? x
?
1
0
f ( x, y)dy ? __________ __ .
?? xy?x ? y?d? 的
D
??
D
f ( x, y)d? ? lim ? f (?i ,?i )?? i 中 ? 是
? ?0
i ?1
n
值: （ B.小区域最大面积； D.小区域最大直径. （ B.区域 D 及变量 x，y 无关； D.函数 f 无关，区域 D 有关. （ ） ） ）
.
13.设区域 D 是有 x 轴、 y 轴与直线 x ? y ? 1 所围成，比较大小：
姓名
A.最大小区间长； C.小区域直径；
装
2.二重积分
?? f ( x, y)dxdy 的值与
D
?? ? x ? y ? d? ______________ ?? ? x ? y ? d? .
D D
2
3
A.函数 f 及变量 x，y 有关； C.函数 f 及区域 D 有关； 3.设 f ( x) ? g ( x) ? ?
14.比较大小：其中 D 是以 (0,0),(1, ?1),(1,1) 为顶点的三角形，
学号
?4, 0 ? x ? 1 ，D 为全平面，则 ?? f ( x) g ( y ? x)dxdy ? ?0, 其余 D
?? ( x
D
2
? y 2 )d? ______________ ?? x 2 ? y 2 d? .
D
15.设 D 是由 x ? 0, y ? ? , y ? x 所围成的区域， 则 16.设 D： x ? y ? a ,(a ? 0) ,又有
2 2 2
__ . ?? cos(x ? y)dxdy ? __________
D
A.16； B.8； C.4； D. ?? . 4.设 D1 是由 ox 轴，oy 轴及直线 x+y=1 所围成的有界闭域，f 是区域 D：|x|+|y|≤1 上的连续函 数，则二重积分
?? ( x
D
2
? y )dxdy ? 8? ，则 a =
2
.
?? f ( x
D
2
, y 2 ) dxdy ?
B.4；
?? f ( x
D1
2
, y 2 ) dxdy .
（
）
订
A.2； 5.设 I1 ? C.8；
1 D. . 2
D
二、解答与证明题
1.根据重积分的性质，比较积分 ?? ln(x ? y)d? 与 ?? ln(x ? y) 2 d? 的大小，其中积分区域 D 是：
D
2 ?? ln( x ? y)d? ，I2 ? ?? ( x ? y) d? ， I3 ? ?? ( x ? y)d? ，其中 D 是由直线 x=0， D D
D
班级
y=0， x ? y ?
1 及 x ? y ? 1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序为 2
B. I1＜I2＜I3
D
（1）以 (1, 0) ， (1, 1) ， ( 2, 0) 为顶点的三角形区域； （2）矩形区域： 3 ? x ? 5, 0 ? y ? 1 . 2.设 D ? {(x, y) x ? y ? 10} ，估计积分 I ? ??
（
）
1
2
A.I3＜I2＜I1 ；
C. I1＜I3＜I2；
D. I3＜I1＜I2. （ D. 8? . （ D. ） ）
D 100 ? cos
x ? cos 2 y
d? 的值.
2 2 6.设 D ? {( x, y ) 1 ? x ? y ? 9 } ， 则
?? dxdy ?
C. 3? ；
1
3.化二重积分 ?? f ( x, y )d? 为两种不同积分次序的二次积分，其中积分区域 D 为：由
D
线
A. ? ； 7. 顶点坐标为（0,0） ， （0,1） ， （1,1）的三角形面积可以表示为 B. 2? ； A.
y ? x, y 2 ? 4x 所围成的闭区域.
4.改变下列二次积分的积分次序. （1） ?1 dx?2? x
2 2 x? x2
x
系别
?
x
0
dy ? dx
0
y
B.
? dx?
0
1
x
1
dy
C.
? dx? dy
0 x
1
? dy ?
0
1
0
y
dx .
8.当函数 f(x，y)在闭区域 D 上______________时，则其在 D 上的二重积分必定存在. 9.二重积分
?? f ( x, y)d? 的几何意义是
D
（2） ? dx ? 2 f ( x, y )dy ? ? dx ? f ( x, y)dy ；
0 0 4
4
6
6? x
0
f ( x, y )dy .
5.计算二重积分 I ? . 6.计算二重积分 I ? 7.计算二重积分 I ?
?? x dxdy ，其中 D : x ? y ? 1.
2 D
10.交换二次积分次序，则
? dy?
0
1
2? y y
f ( x, y)dx ? __________ ___.
?? x
D
2
1 ? y 2 dxdy ，其中 D : 0 ? y ? 1 ? x2 ,0 ? x ? 1 .
?? |1 ? x ? y | dxdy ，其中 D : 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1.
D
1/2
8.计算二重积分 I ? 物线 y＝
?? xydxdy ，其中 D 由 xoy 平面上第一象限内直线 x＝0 与 y=2 抛
D
1 2 x 所围. 2
9.计算二重积分 I ?
?? xdxdy ， 其中 D 由 y ? x及y ?
D
2 x ? x 2 所围.
10.计算二重积分 I ?
?? x
D
x? y dxdy ， 其中 D 由x2 ? y 2 ? 1, x ? y ? 1所围. 2 2 ?y
dxdy ，其中 D 是圆域 x 2 ? y 2 ? 1 在第一象限部分.
11.计算二重积分 I ? 12.计算二重积分 I ? 13.计算二重积分 ??
D
?? e
D
? x2 ? y 2
?? ( x
D
2
? y 2 ? x)dxdy. 其中 D 由直线 y ? 2, y ? x 及 y ? 2 x 所围.
x2 y2
d? ，其中 D 由直线 x ? 2, y ? x 及曲线 xy ? 1 所围.
2
14.计算二重积分 I
? ?? e ? y dxdy ,
D
其中 D 由 y ? x, x ? 0, y ? 1所围.
15.求曲线. x ? 16.求曲线 x
?e
0
t
u
cos udu, y ? 2sin t ? cos t , z ? 1 ? e3t 在t ? 0处的切线和法平面方程 .
? sin 2 t , y ? sin t cost , z ? cos2t 在 t ?
2 x? z
?
4
处的切线方程.
17.求曲面 y ? e 18.证明:
? 0 在点（1,1,2）处的切平面与法线方程.
sin x dx ? 1 . x
?
?
2 0
b
dy?
x
?
2 y
1 b (b ? y ) n ?1 f ( y )dy . ?a a ? a n ?1 20. 如果二重积分 ?? f ( x, y )d? 的被积函数 f ( x, y ) 能分解为 x 的函数与 y 的函数的乘积，即
19.证明：
dx ? ( x ? y ) n f ( y )dy ?
D
f ( x, y) ? f1 ( x) ? f 2 ( y) ，且积分区域 D 为矩形区域： a ? x ? b, c ? y ? d ，证明二重积分等于
两个定积分的乘积，即 ?? f ( x, y)d? ? ? ?a f1 ( x)dx ? ? ? ?c f 2 ( y)dy ? .
D
?
b
? ?
d
?
2/2
第七、八、九章 多元函数微积分 复习测试题 一、单项选择题（每题2分） 1、在空间直角坐标系中，1=y 表示（ ）。 A 、垂直于x 轴的平面 B 、垂直于y 轴的平面 C 、垂直于z 轴的平面 D 、直线 2、用平面1=z 截曲面22y x z +=，所得截线是（ ）。 A 、圆 B 、直线 C 、抛物线 D 、双曲线 3、下列关于二元函数的说法正确的是（ ）。 A 、可偏导一定连续 B 、可微一定可偏导 C 、连续一定可偏导 D 、连续一定可微 4、设3 2 y xy x z +-=，则=???y x z 2（ ）。A 、y 612+- B 、x - C 、y - D 、1- 5．若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d sin d cos d -=，则二阶偏导数y x z ???2=（ ） A ．y sin - B ．x sin C ．x cos D ． y cos 6、函数x x y y x f 2),(22+-=在驻点（1，0）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 7．若函数),(y x f z =的一阶偏导存在，且 y y f xy x z ==??),0(,2，则=),(y x f （ ） A ．y x 2 B ．2 xy C ．y y x +2 D ．y xy +2 8、设20,10:x y x D ≤≤≤≤；则下列与 ??D dxdy 的值不相等的是（ ） 。 A 、 ?1 2 dx x B 、? 1 dy y C 、?-1 )1(dy y D 、??1 2 x dy dx 9、二次积分dy y x x dx x ? ? -+240 2220 转化为极坐标下的二次积分为（ ） A 、dr r d ??20 32 cos θθπ B 、dr r d ?? 2 22 cos θθπ C 、 dr r d ?? 2 30 cos θθπ D 、dr r d ??2 20 cos θθπ 10、x y x D ≤≤≤||,10:，则二重积分=??D dxdy （ ） 。 A 、 ? 10 ydy B 、 ? 10 xdx C 、 ? -11 ydy D 、 ? 10 2xdx 二、填空题（每空3分） 11、0242 2 2 =+++-z z y x x 的图形是球心为 的球面。
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ．
多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ． 解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ． （2011） 解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+， 故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006） 解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,
122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可 导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???． （2011） 解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????， 所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2． （2009） 解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+
多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论 （1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。
2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一） 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四） 同数学三
2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区 域；&型简单区域）一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法 儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 儿何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法 曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）； 全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克 斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
练习题 一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数y x y x z -+ += 11的定义域. 2已知xy y x xy y x f 5),(2 2 -+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1） 22) 0,1(),() ln(lim y x e x y y x ++→ （2） 442 2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→ （3） 2 43lim ) 0,0(),(-+→xy xy y x （4） x y x xy 1) 1,0(),()1(lim +→ （5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),() (2sin lim y x y x y x ++→ 4 证明极限 y x y x y x +-→)0,0(),(lim 不存在. 5 指出函数2 2),(y x y x y x f -+= 的间断点. 6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2 y x f x z = （4）)(xy x z ?= （5）y xy y x z 234 4+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2 221 z y x u ++= （10）? = 220 sin y x dt t z 7 计算下列函数的二阶偏导数 （1）2 43y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e z xy sin = （4）),(2 y x f x z = （5）2 (,)z f xy x =
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. … 3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ). A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. ] 5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ). A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则
第九章 多元函数积分学习题课 题目见幻灯片 例１ 【解】使用轮换对称性：若D 关于直线x y =对称，则 ??D d y x f σ),(??=D d x y f σ),(． ??+= D d b a σ)(21 D b a )(21+=的面积π)(21b a +=． 故选【Ｄ】． 例２ 【解】由于122≤+y x ，则≤+≤222)(0y x 2 1222 2 π < ≤+≤ +y x y x ， 又在指定区间，x cos 是减函数，则cos )cos(222≥+y x 0cos )(222 2≥+≥+y x y x ， 且等号不能总成立，由积分单调性，知 321I I I <<，故选【Ａ】． 例３ 【解】使用奇偶对称性． 积分区域D 关于x 轴是对称的，且由于)()()()(x g y f x g y f -=-，0)()(=?? D d x g y f σ， 故选【Ａ】． 例４ 【解】使用奇偶对称性，知 042==I I ；在区域1D 上，0cos ≥x y 且不总等于０，故01>I ； 在区域3D 上，0cos ≤x y 且不总等于０，故03， 0),(12 2 1 >-==??x x dx dx y x f x x T ；0),(122 1 <-==??y y dy dy y x f y y T ； =?T ds y x f ),(0>?T ds ；0),('),(' =+?T y x dy y x f dx y x f ，故选【Ｂ】 ． 例６ 【解】积分区域为如图所示梯形区域，则取y 有 原积分＝??-y dx y x f dy 41 2 1 ),(，故选【Ｃ】 ． 例７ 【解】积分区域如图，则取y 为外积分变量， 原积分＝?? -π πy dx y x f dy arcsin 1 ),(，故选【Ｂ】 ．
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义：曲顶柱体的体积 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式：x 型、y 型、极坐标（2 2 y x +） 常见计算类型： ① 选择积分顺序：能积分、少分块 ② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内 ⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”：dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证：令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- （奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 （了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）
③ 令其中一个x 变成y ，构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 （极坐标系?直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分?二次积分，了解广义定积分） （此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = ）
第七讲 多元函数积分学（一） 知识点分析： 一、二重积分 1、二重积分的概念： 设二元函数(,)f x y 定义在有界闭区域D 上，则二重积分 1 (,)lim (,)n i i i i D f x y d f λ σξησ→==?∑?? 精确定义求极限问题： 11(,)lim (,)n n n i j D b a d c b a d c f x y d f a i c j n n n n σ→∞==----=+ +?∑∑?? 先提出11n n ?，在凑出,i j n n ，可以看出n i 是0到1上的x ，j n 是0到1上的y ，n 1是0到1 上的,dx dy 注：①二重积分的存在性，也称二元函数的可积性，设平面有界闭区域D 由一条或几条逐段光滑闭曲线围成，当(,)f x y 在D 上连续时，或者(,)f x y 在D 上有界，且在D 除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则(,)f x y 在D 上可积。 ②极限存在与D 的分割方式无关。d dx dy σ=? ③几何意义曲顶柱体的体积(,)D V f x y d σ=??；物理意义D 的质量(,)D m x y d μσ=??。 2、二重积分的性质 （1）区域面积 D d A σ=??，其中A 为区域D 的面积。 （2）可积函数必有界：当(,)f x y 在闭区域D 上可积时，则(,)f x y 在D 上必有界 （3）线性性质： []1 212(,)(,)d (,)d (,)d D D D k f x y k g x y k f x y k g x y σσσ±=±??????12,k k 为常数。 （4）可加性：1212,D D D D D ==? ， 1 2 (,)d (,)d (,)d D D D f x y f x y f x y σσσ=+??????。 （5）保号性：若在D 上(,)(,)f x y g x y ≤，则 (,)(,)D D f x y d g x y d σσ≤????； 特殊的有| (,)d |(,)d D D f x y f x y σσ≤???? 。 （6）估值定理：设max (,),min (,)D D M f x y m f x y ==，D 的面积为σ,则有 (,)D m f x y d M σσσ≤≤?? （7）二重积分中值定理：设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D 的面积为σ，则至少存在一点(,)D ξη∈使得 (,)(,)D f x y d f σξησ=???。 3、二重积分的计算 （1）直角坐标系计算法 ①X 型：{} 12(,)()(),D x y x y x a x b φφ=≤≤≤≤，12(),()x x φφ在[],a b 上连续，则 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy φφσ=?? ?? ②Y 型：{} 12(,)()(),D x y y x y c y d ψψ=≤≤≤≤，12(),()y y ψψ在[],c d 上连续，则 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y d x ψψσ=?? ?? （2）极坐标系计算法
第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）
习题2-1 1、解：在任意一个面积微元 SKIPIF 1 < 0 上的压力微元 SKIPIF 1 < 0 ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力 SKIPIF 1 < 0 2、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量??=D d y x Q σμ),( 3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得 ( ) ()????≤≤≤≤≤≤≤≤++≤ ++1 01 01 010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ 4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量 3 4 )384438()()(1 0321 22 2 2 2 =-+-=+=+=??? ??-dy y y y dx y x dy d y x M y y D σ 5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以????=1 10010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy （2）积分区域如图2-1-3所示，所以? ???=x x y y dy y x f dx dx y x f dy 2 /4 22 ),(),(2 （ 3 ） 积分 区 域 如图2-1-4所示，所以 ? ???+----=1 1210 2221 22 ),(),(y y x x x dx y x f dy dy y x f dx （4）积分区域如图2-1-5所示，所以????=e e x e y dx y x f dy dy y x f dx ),(),(1 0ln 00 6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以 () ? ????=??? ??-=-==1 01 054/1134/310 55 6 5111432322x x dx x x x dy y x dx d y x x x D σ （ 2） 积 分区 域如图2-1-7所示，所以 15 64)4(2122 2240 22 2 2 2 =-==? ? ???--dy y y dx xy dy d xy y D σ
微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答 １.计算二重积分22 d D x y σ?? ，其中D 是由1 ,,2y x y x x ===所围成的闭区域． 解： 2 2 2 1 2 1 x x D x x yd dx dy y σ=???? ()2 3 1124 x x dx =-=? ２.计算二重积分D xyd σ??，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域． 解： 20 2 y y D xyd dy xydx σ=??? ? 2 2340 0333 8322 y dy y ??=== ???? ３. 作出积分区域的图形,交换积分次序, 计算10 dy ? . 解：210 2 1)9 x I dx = =? ? ４．计算二重积分 2 ,{(,) D y x d D x y x σ-=≤?? 解： 12D D D =?（1D 是所有阴影部分面积） 1 2 222D D D y x d y x d y x d σσσ-=-+-?? ???? ()()22 1 1222 10 1 x x dx x y dy dx y x dy --=-+-?? ?? 1 1424111146 (22)2215 x dx x x dx --=+-+= ??． ５.用极坐标计算D σ??，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥． 解： 32 2 33220 cos cos =cos cos =4 D D D r r rdrd r drd d r dr d r dr π πσθθθθ θθθθ=??==??????? ?? ? ６. 设D 为闭区域2 2 {(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)D f x y d σ??化为极坐标下的累 次积分． 2
多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ．
12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ． 二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的 （ ） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-