有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．
例3 已知向量组
321,,ααα线性无关, 证明向量组
211ααβ+=, 322
ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．
证 设
0=++332211βββk k k , 则有
0k k k k k k 322131=+++++321)()()(ααα
因为321,,ααα线性无关, 所以
???
??=+=+=+0
0032
2131k k k k k k , 即 ?????
?????=???????????????????
?000110011101321k k k 系数行列式 0
21100111
01≠=, 该齐次方程组只有零解．
故321,,β
ββ线性无关．
例4 判断向量组
)0,,0,0,1(1 =e , )0,,0,1,0(2 =e , …, )1,0,,0,0( =n e
的线性相关性．
解 设 0=+++2211n n e k e k e k , 则有 ?0=),,,(21n k k k 只有0,,0,021
===n k k k
故n e e e ,,,2
1 线性无关.
定理4
（1）向量组m ααα,,,2
1 )2(≥m 线性相关?其中至少有一个向量可由其余1-m 个
向量线性表示．
证 必要性 已知
m ααα,,,21 线性相关, 则存在m k k k ,,,21 不全为零,
使得
0=+++2211m m k k k ααα
不妨设01≠k , 则有 m
m k k k k
ααα)()(1
2121-++-= ．
充分性 不妨设 m m k k ααα++= 221
, 则有
0=+++)(221m m k k 1ααα -
因为
m k k ,,,)1(2 -不全为零, 所以m ααα,,,21 线性相关．
（2）若向量组m ααα,,,2
1 线性无关, βααα,,,,21m 线性相关，则β可由
m ααα,,,21 线性表示, 且表示式唯一．
证 因为
βαα,,,1m 线性相关, 所以存在数组k k k m ,,,1 不全为零,
使得 0=+++11βααk k k m m
若0=k , 则有 0=++1
1m m k k αα ?0,,01==m k k ．矛盾!
故0≠k , 从而有 m
m k k k k
ααβ)()(11-++-= ．
下面证明表示式唯一：
若 m m k k ααβ++= 11, m m l l ααβ++= 11
则有
0)l k ()l k (m m m =-++-111αα 因为m ααα,,,2
1 线性无关, 所以
0,,011
=-=-m m l k l k ?m m l k l k ==,,11
即β的表示式唯一．
（3）r αα,,1 线性相关?)(,,,,,11r m m r r >+αααα 线性相关．
证 因为r αα,,1 线性相关, 所以存在数组r k k ,,1 不全为零, 使得
0=++11r r k k αα ? 0=0++0+++1+1
1m r r r k k αααα
数组0,,0,,,1 r k k 不全为零, 故
m r r αααα,,,,,11 +线性相关．
推论 向量组线性无关?任意的部分组线性无关． 定理5 设
m i a a a in i i i ,,2,1,),,,(21 ==α
????????????=m A ααα 2
1??
?????
??
???=mn m m n n a a a a a a a a a 21
2222111211
(1) m ααα,,,2
1 线性相关m A (R)
m ααα,,,21 线性无关m A (R)=?．
证 设 0=+++221
1m m k k k ααα
比较等式两端向量的对应分量可得
????????????=????????????????????????00021212221212111 m mn n n
m m k k k a a a a a a a a a 即 0T
=x A ．由定理可得：
m ααα,,,21 线性相关0T
=?x A 有非零解
m A R(T
(1) n ααα,,,2
1 线性相关0det =?A ；
(2) n ααα,,,2
1 线性无关0det ≠?A ．
推论2 在定理5中, 当n m <时, 有
(1)
m ααα,,,21 线性相关A ?中所有的m 阶子式0=m D （m A (R)<）
；
(2) m ααα,,,2
1 线性无关A ?中至少有一个m 阶子式0≠m D (m A (R)=)．
推论3 在定理5中, 当n m >时, 必有m ααα,,,21 线性相关．
因为m n A R(<≤), 由定理5(1)即得．
推论4 向量组1T ：
m i a a a ir i i i ,,2,1,),,,(21 ==α
向量组2T ：
m i a a a a a in r i ir i i i ,,2,1,),,,,,,(1,21 ==+β
若1T 线性无关, 则2T 线性无关(即无关组添加分量仍无关).
证
????????????=?m r
m A ααα 2
1??
??
??????????=r m m m r r a a a a a a
a a a 2
1
2222111211
????????????=?m n m B βββ 21??
??
???
???????=+++n m r m r m m n r r n r r a a a a a a a a a a a a 1
,121
,222111,1111
1T 线性无关m A R(=?)
A 是
B 的子矩阵m A R(B R(=≥?)) ?=?m B R()2T 线性无关
定理6 划分
[]
n m n
m A βββααα 212
1=?????
???????=?, 则有
(1) A 中某个A D r ?≠0中“r D 所在的”r 个行向量线性无关； A 中“r D 所在的”r 个列向量线性无关． (2) A 中所有A D r ?=0中任意的r 个行向量线性相关； A 中任意的r 个列向量线性相关．
证 只证“行的情形”：
(1) 设r D 位于A 的r i i ,,1 行, 作矩阵?
????
?????=?r i i n
r B αα 1, 则有
r
i i r B αα,,rank 1 ?=线性无关．
(2) 任取A 中r 个行, 设为r i i ,,1 行, 作矩阵??????????=?r i i n
r B αα 1,
则有r
i i r B R(αα,,)1 ?<线性相关．
[注] 称
m ααα,,,21 为A 的行向量组, n βββ,,,21 为A 的列向量组．
§3 向量组的秩
定义5 向量组的秩：设向量组为A , 若
(1) 在A 中有r 个向量r ααα,,,21 线性无关；
(2) 在A 中任意1+r 个向量线性相关（如果有1+r 个向量的话）．
称r ααα,,,21 为向量组为A 的一个最大线性无关组, 称r 为向量组A 的秩, 记作：秩r A =)(．
[注] (1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．
(2) 秩r A =)(时, A 中任意r 个线性无关的向量都是A 的一个最大无关组．
例如,
??????=011α, ??????=102α, ???
???=113α, ?
?????=224α 的秩为2． 21,αα线性无关21,αα?是一个最大无关组
31,αα线性无关
31,α
α?是一个最大无关组 [注] 一个向量组的最大无关组一般不是唯一的. 定理7 设1
=)R(×≥r A n m , 则
(1) A 的行向量组（列向量组）的秩为r ；
(2) A 中某个A D r ?≠0中r D 所在的r 个行向量（列向量）是 A 的行向量组（列向量组）的最大无关组．
证 只证“行的情形”： A r A (R)?=中某个0≠r D , 而A 中所有01=+r D 由定理6A ?中r D 所在的r 个行向量线性无关 A 中任意的1+r 个行向量线性相关
由定义：A 的行向量组的秩为r , 且A 中r D 所在的r 个行向量是 A 的向量组的最大无关组．
例5 向量组A ：
??????????-=2011β, ??????????=0232β, ??????????--=1123β, ??
???
?????=5324β 求A 的一个最大无关组．
解 构造矩阵
[]43
21
ββββ=A ??
???
?????---=510231202231
求得?=2)A R(秩2=)(A
矩阵A 中位于1,2行1,2列的二阶子式0≠2=203
1
故21,ββ是A 的一个最大无关组．
[注] A 为行向量组时, 可以按行构造矩阵． 定理8
n m n m B A ??,
(1) 若B A 行
→, 则“A 的k c c ,,1
列”线性相关（线性无关）?
“B 的
k c c ,,1 列”线性相关（线性无关）
；
(2) 若B A 列
→, 则“A 的k r r ,,1
行”线性相关（线性无关）?
“B 的
k r r ,,1 行”线性相关（线性无关）
．
证 (1) 划分
[]n n m A ααα 21=?, []n n m B βββ 21=?
由B A 行
→可得
[][
]k
k c c c c ββαα
1
1
行
→
故方程组
[]
??????????=??????????0011
k c c x x k
αα
与方程组 []
??????
????=??????????0011
k c c x x k
ββ
同解．于是有
k
c c αα,,1
线性相关
?存在k x x ,,1 不全为0, 使得011=++k c k c x x αα ?存在
k
x x ,,1 不全为0, 使得
011=++k c k c x x ββ
k c c β
β,,1 ?线性相关 同理可证(2)．
[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵B ,当阶梯形 矩阵B 的秩为r 时, B 的非零行中第一个非零元素所在的r 个列 向量是线性无关的．
定义6 等价向量组：设向量组r T ααα,,,:211 , s T βββ,,,:212
若
),,2,1(r i i =α可由s βββ,,,21 线性表示, 称1T 可由2T 线性表示；
若1T 与2T 可以互相线性表示, 称1T 与2T 等价． (1) 自反性：1T 与1T 等价
(2) 对称性：1T 与2T 等价?2T 与1T 等价 (3) 传递性：1T 与2T 等价, 2T 与3T
等价?1T 与
3T 等价
定理9 向量组与它的最大无关组等价．
证 设向量组T 的秩为r , T 的一个最大无关组为r T ααα,,,:211 ． (1) 1T 中的向量都是T 中的向量?1T 可由T 线性表示； (2) 任意T ∈α, 当1T ∈α时, α可由1T 线性表示；
当1T ?α时, αααα,,,,21r 线性相关, 而r ααα,,,21 线性无关 则α可由1T 线性表示．故T 可由1T 线性表示． 因此, T 与1T 等价．
推论 向量组的任意两个最大无关组等价．
定理10 向量组r T ααα,,,:211 , 向量组s T βββ,,,:212 ．
若1T 线性无关, 且1T 可由2T 线性表示, 则s r ≤． 证 不妨设
i α与j β都是列向量, 考虑向量组
s r T βββααα,,,,,,,:2121
易见, 秩≥)(T 秩r T ≥)(1．构造矩阵
[]s r
A ββαα 11=
因为1T 可由2T 线性表示, 所以
[]s A ββ 100列
→ s A ≤?rank 于是可得 ≤r 秩s A R(T ≤=))(．
推论1 若1T 可由2T 线性表示, 则 秩≤)(1T 秩)(2T ．
证 设 秩r T =)(1, 且1T 的最大无关组为r αα,,1 ；
秩s T =)(2, 且2T 的最大无关组为s ββ,,1
, 则有
1T 可由2T 线性表示?r αα,,1 可由2T 线性表示
?r αα,,1 可由s ββ,,1 线性表示
? s r ≤ （定理10）
推论2 设向量组1T 与2T 等价, 则 秩=)(1T 秩)(2T ．
[注] 由“秩=)(1T 秩)(2T ”不能推出“1T 与2T 等价”！ 正确的结论是：
?
???
=)()(2121T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价
?
???
=)()(2112T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价 例6 设l m A ?,n l B ?, 则 )A R()AB R(≤, )B R()AB R(≤．
证 设()
l m ij a A ?=,
??????????=l b b B 1, ?????
?????==m c c C AB 1Δ
, 则 ),,2,1(11m i b a b a c l il i i
=++=
即m c
c ,,1
可由l b b ,,1 线性表示, 故 )(R )R(B C ≤．
根据上述结果可得
)))))A R(A R(A B R(C R(C R(T
T T T =≤==
§4 线性方程组解的结构
?
????
????
???=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211, ????
????????=
n x x x x 21, ????????????=m b b b b 21
齐次方程组 0=Ax
非齐次方程组 b Ax = (0≠b )
结论 (1) [][]d C
b A
行
→ , b Ax =与d Cx =同解．
(2) 0=Ax 有非零解n A
(3) b Ax =有解A A ~
rank rank =?．
(4) 设r R(R(==)~
)A A , 则
n r =时, b Ax =有唯一解； n r
<时, b Ax =有无穷多解．
定义7 (1) 0=Ax 的解空间: 解集合 {}
n x Ax x
S R ,0∈==
S y x Ay Ax y x A S y x ∈+?=+=+∈?0)(,, S x k Ax k x k A k S x ∈?==∈?∈?0)()(,R , 故S 构成向量空间, 称为0=Ax 的解空间．
(2) 0=Ax 的基础解系
不妨设0=Ax 的一般解为
???
?????
????
?===----=----=----=-++-++-++-++r n n
r r r n rn r r r r r r n n r r r n n r r k x k x k x k b k b k b x k b k b
k b x k b k b k b x 221
122,11,222,211,22
122,111,11 (
R ,,,21∈?-r n k k k )
依次令 ?????????????????
?
???????????
???????=????????????-100,,010,0
0121 r n k k k
可求得
??????????????????????--=++0011,1,11 r r r b b ξ, ??????????????????????--=++0102,2,12 r r r b b ξ, …, ?????
?????????????????--=-1001 rn n r n b b ξ 因为 (1) r n -ξξξ,,,2
1 线性无关
(2) S x ∈?, r n r n k k k x --+++=ξξξ 2211
所以
r n -ξξξ,,,21 是解空间S 的一个基, 称为0=Ax 的基础解系．
例7 设
??
????????-=2011243102
21A , 求0=Ax 的一个基础解系． 解
??????????--→0000221042
01行
A , 同解方程组为 ??
?+-=-=4324312242x x x x x x 依次取 ???
?????????=??????10,0143x x , 可求得基础解系为
????????????-=01221ξ, ???
???
??????-=10242ξ (3) b Ax =解的结构
① b A =1η, b A =2ηS A ∈-?=-?21210)(ηηηη
②b A =1η, 0=ξA ξηξη+?
=+?11)(b A 是b Ax =的解
设0=Ax 的一个基础解系为 r n -ξξξ,,,2
1
b Ax =的特解为*η, 一般解为η, 则有
?∈-*
S ηη
r n r n k k k --*+++=-ξξξηη 2211 ?
r n r n k k k --*++++=ξξξηη 2211 (R ∈?i k ) 例8 设
??
????????-=2011243102
21A , ??????????=465b , 求b Ax =的通解． 解
[]??
????????--→??????????-=0000012210342
01420116243150221行
b A 同解方程组为 ??
?+-=-+=4
324
31221423x x x x x x
0=Ax 基础解系：????????????-=01221ξ, ????????????-=10242ξ；b Ax =特解：???
???
??????=*0013η b Ax =通解：2211ξξηηk k ++=*
(R ,21∈?k k )
例9 设
2=)3×3A R(, )0(≠=b b Ax 的3个解321,,ηηη满足
??????????-=+20221ηη, ?????
?????-=+11331ηη, 求b Ax =的通解．
解 0=?2=)Ax A R(的基础解系中含有123=-个解向量 因为
0)]()[(3121=+-+ηηηηA
所以
?????
?????---=+-+=111)()(3121ηηηηξ 是0=Ax 的基础解系 又 b A =+)](21[21ηη ?
?????
?????-=+=*
101)(2121ηηη是b Ax =的特解 故b Ax =的通解为)R (∈?+=*
k k x ξη．
例10 设)<(=)×n r r A R(n n , r n -ηηη,,,10 是)0(≠=b b Ax 的解, 证明：
001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系?r n -ηηη,,,10 线性无关．
证 (1)必要性 设数组r n k k k -,,,10 使得 01100=+++--r n r n k k k ηηη
左乘A , 利用
b A i =η可得 0)(10=+++-b k k k r n
因为0≠b , 所以 )(01010
r n r n k k k k k k --++-=?=+++
由此可得 0)()(0011=-++---ηηηηr n r n k k
因为
001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系, 所以线性无关, 从而有
00,,001=?==-k k k r n
故r n -ηηη,,,1
0 线性无关．
(2)充分性 000)(ηηηη-?=-i i A 是0=Ax 的解向量
设数组r n k k -,,1 使得 0)()(0011=-++---ηηηηr n r n k k
则
0)(1101=+++++----r n r n r n k k k k ηηη 因为r n -ηηη,,,1
0 线性无关, 所以只有
0)(1=++--r n k k , 0,,01==-r n k k 故向量组001
,,ηηηη---r n 线性无关．
因此
001,,ηηηη---r n 是0=Ax 的基础解系．
§5 向量空间
定义8 (1) 向量空间：设V 是具有某些共同性质的n 维向量的集合, 若 对任意的V ∈βα,, 有V ∈+βα； （加法封闭） 对任意的V ∈α, R ∈k , 有V k ∈α． （数乘封闭） 称集合V 为向量空间．
例如
}R ),,,,({R 21∈==i n n x x ξξξξ 是向量空间
}R ),,,,0({20∈==i n x x V ξξξ 是向量空间
}),,,,1({21R x x
V i n ∈==ξξξ 不是向量空间
12)0,,0,0(),,,1(0V n ?=? ξξ, 即数乘运算不封闭．
例11 给定n 维向量组)1(,,1≥m m αα , 验证
}R ,{11∈++==i m m k k k V αααα
是向量空间．称之为由向量组m αα,,1
生成的向量空间, 记作),,(1m L αα
证 设V ∈βα,, 则
m m k k ααα++= 11, m m t t ααβ++= 11, 于是有
V t k t k m m m ∈++++=+ααβα)()(111
V k k k k k m m ∈++=ααα)()(11 R)(∈?k
由定义知, V 是向量空间．
(2) 子空间：设1V 和2V 都是向量空间, 且21V V ?, 称1V 为2V 的子空间． 例如 前面例子中的
0V 是n R 的子空间．
(3) 向量空间的基与维数：设向量空间V , 若 ① V 中有r 个向量r αα,,1 线性无关； ② V ∈?α可由r αα,,1 线性表示．
称r αα,,1 为V 的一组基, 称r 为V 的维数, 记作r V =dim 或者r
V ．
[注] 零空间}0{没有基, 规定0=}0{dim
． 由条件(2)可得：V 中任意1+r 个向量线性相关．（自证） 若r V =dim , 则V 中任意r 个线性无关的向量都可作为V 的基． 例12 设向量空间V 的基为r αα,,1 , 则),,(1r L V αα =． 证 V ∈?αL k k r r ∈++=?ααα 11L V ?? L ∈?αV k k r r ∈++=?ααα 11V L ??
(4) 向量在基下的坐标：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 对于V ∈?α,
表示式r r x x ααα++= 11唯一, 称T
),,(1r x x 为α在 基r αα,,1 下的坐标
（列向量）．
例13 设向量空间3
V 的基为
T )1,1,1,1(1=α, T
)1,1,1,1(2-=α, T )1,1,1,1(3--=α
求T
)1,1,2,1(=α在该基下的坐标． 解 设
332211ααααx x x ++=, 比较等式两端的对应分量可得：
???
???
??????=?????????????????????
?---1121111111111111321x x x ????????????-→???????????
?---0000211002101010011111111121111111 , ??????????-=??????????21211321x x x
[注] α是4维向量, α在3
V 的基
321,,ααα下的坐标为3维列向量．
向量组的线性有关性归纳
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +
平面向量线性运算教案
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
空间向量及其线性运算(教案)
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
向量组的线性相互与线性无关
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
《向量的线性运算》教案(1)
向量的线性运算 【三维目标】： 一、知识与技能 1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；培养数形结合解决问题的能力； 3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 4.初步体会数形结合在向量解题中的应用. 二、过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 三、情感、态度与价值观 通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，感受数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点与难点】： 重点：如何作两个向量的和向量 难点：对向量加法定义的理解. 【学法与教学用具】： 1. 学法： (1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.学法指导 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法；借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义；结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。
线性代数 向量组的线性相关性
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠ 三．计算题： 1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？ 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号
24.7(1)向量的线性运算
24.7向量的线性运算（1） 一、教学目标 1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果. 2．知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合． 二、教学重点及难点 线性运算的意义，线性组合的概念； 线性组合的简单应用. 三、教学用具准备 三角尺、多媒体演示设备 四、学情分析 本节内容是前面所学向量知识的整理和运用.通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算.在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合的概念． 六、教学过程设计 （一） 新课导入 我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算、并且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （二）探索新知 例题1 已知两个不平行的向量.,b a 求作：23+，2-. 解:略
例题2 已知两个不平行的向量.,b a 求作：).22 7()(--+ 揭示概念 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如23+，2-、)5(3+等，都是向量的线性运算. 如果,是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么y x +叫做,线性组合.如,两个不平行的向量，向量,23b a OE +=，这时就说OE 可由.,b a 的线性组合表示. 例题3 如图，点M 是△CAB 的边AB 的中点.设CA =a ，b CB =，试用.,b a 的线性组合表示向量CM （三）巩固练习 书本P49 练习24.7（1） （四）课堂小结 （五）作业布置 练习册24.7（1） _ C _ E →a → a →b
第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)
第四章 向量组的线性相关性目标测试题 （参考答案） 一、填空题. 1. 设向量组) , ,0( ),0 , ,( ), ,0 ,(321b a c b c a ===ααα线性无关，则c b a ,,必满足关系式0abc ≠. 2. 已知向量组)1 ,1 ,3 ,4( ),2 ,6 ,2 ,4( ),0 ,2 ,1 ,3( ),1 ,3 ,1 ,2(4321-=-=-=-=αααα，则该向量组的秩为___2__. 3. 设三阶矩阵122212304A -?? ?= ? ???，三维向量11a α?? ?= ? ??? ，若向量A α与α线性相关，则a = -1 ． 4. 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ 3 ． 5. 设321,,ααα线性无关，问=k __1_时，312312,,αααααα---k 线性相关. 6．设12,,s ηηηL 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++L 也是方程组Ax b =的解， 则12s k k k L ，，，应满足条件12s + 1k k k ++=L . 二、选择题. 1．设有向量组 ),0 ,2 ,2 ,1( ),14 ,7 ,0 ,3( ),2 ,1 ,3 ,0( ),4 ,2 ,1 ,1(4321-===-=αααα),10 ,5 ,1 ,2(5=α 则该向量组的最大线性无关组( B ). (A ) 321 , ,ααα, (B ) 421 , ,ααα, (C ) 521 , ,ααα, (D ) 5421 , , ,αααα． 2. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ). (A ) 21αα+,,32αα+13αα+, (B ) ,1α21αα+,321a ++αα, (C ) 21αα-,,32αα-13αα-, (D ) 21αα+,,231αα+133αα+.
2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算(第三课时)示范教案 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算 （第三课时）示范教案 新人教A 版必修4 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性 运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向 量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进 而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤 其是定理的前提条件：向量a 是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行 等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系． 三维目标 1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实 数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律． 2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行． 3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能 力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用． 重点难点 教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条 件及其运用． 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基 础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看 成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算． 思路 2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a ，那么在同一方向上3 秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课． 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a ，试一试作出a ＋a ＋a 和－a ＋－a ＋－a ②你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？ ③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向 量平行？与两直线平行有什么异同？ 活动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进 行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学 生特别注意0·a ＝0，而不是0·a ＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但 又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的 关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a ，λ－a 都无法进行．向 量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形 式：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa 和λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相 等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个 实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何 中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段． 对问题①，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，
向量组以及线性相关性
资料考点大提纲 请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。 注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材. 主要掌握： 1.向量的基本概念：(注意：不加说明的向量α是指列向量) 2.向量组的基本概念. 3.向量的基本运算：( 加减、数乘 ) 4.向量的线性相关性的概念： i. 线性组合的概念 ii. 线性表出的概念 iii. 线性相关和线性无关的概念. 5.矩阵秩的概念、向量组秩的概念. 4.向量的线性相关无关的基本判定方式： i. 向量β可以由向量组α1，α2，……，αn 线性表出 ? 非齐次线性方程组 []βαα=????? ?????????n n x x x a 2121,,,有解 ?.],,,,[],,,[2121βααααααn n r r ??=?? ii 向量组α1，α2，…，αn 线性相关?齐次线性方程组 0],,,[2121=???? ? ????????n n x x x ααα有解?n r n =n )必定相关. r(A)高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算教案理(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算教案理（含解析）新人教A版 第1讲平面向量的概念及其线性运算 基础知识整合 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有□01方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的□02模． (2)零向量：长度为□030的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于□041个单位的向量． 05相反的非零向量，又叫共线向量． (4)平行向量：方向相同或□ 规定：0与任一向量共线． 06相同的向量． (5)相等向量：长度相等且方向□ 07相反的向量． (6)相反向量：长度相等且方向□ 2．向量的线性运算
3．共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n → .特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB → )． 3.OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，所以a ∥b ；当a ∥b 时，不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b
＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．故选A. 2．(2019·嘉兴学科基础测试)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM → ＝( ) A.1 2a －b B.1 2a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12 b 答案 A 解析 AM →＝CM →－CA →＝12CB →－CA →＝1 2 a － b .故选A. 3．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝b C ．a 与b 共线反向 D ．存在正实数λ，使a ＝λb 答案 D 解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确． 4．已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD → ＝n i ＋j ，若A ，B ，D 三点共线，则实数 m ，n 应该满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1 D ．mn ＝－1 答案 C 解析 由A ，B ，D 共线可设AB →＝λAD → ，于是有i ＋m j ＝λ(n i ＋j )＝λn i ＋λj .又i ，j 不共线，因此? ?? ?? λn ＝1， λ＝m ，即有mn ＝1. 5．(2019·大同模拟)△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB → ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C 解析 因为PA →＋PB →＋PC →＝AB →，所以PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，所以PC →＝－2PA →＝2AP → ，即P 是AC 边的一个三等分点，且PC ＝23AC ，由三角形的面积公式可知，S △PBC S △ABC ＝PC AC ＝2 3 . 核心考向突破 考向一 平面向量的概念
平面向量线性运算教案
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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向量组线性相关性判定
安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：
向量组线性相关性的判定方法 （安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组
教案平面向量的概念及线性运算
平面向量地概念及线性运算 考纲要求 1.了解向量地实际背景． 2.理解平面向量地概念,理解两个向量相等地含义． 3.理解向量地几何表示． 4.掌握向量加法、减法地运算,并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘地运算及其几何意义,理解两个向量共线地含义． 6.了解向量线性运算地性质及其几何意义. 考情分析 1.平面向量地线性运算是考查重点． 2.共线向量定理地理解和应用是重点,也是难点． 3.题型以选择题、填空题为主,常与解析几何相联系. 教学过程 基础梳理 1．向量地有关概念 (1)向量：既有又有地量叫向量；向量地大小叫做向量地 (2)零向量：长度等于地向量,其方向是任意地． (3)单位向量：长度等于地向量． (4)平行向量：方向或地非零向量,又叫共线向量,规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且相同地向量． (6)相反向量：长度相等且相反地向量．
(1)定义：实数λ与向量a地积是一个向量,这种运算叫向量地数乘,记作,它地长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时,λa与a地方向；当λ＜0时,λa与a地方向；当λ＝0时,λa ＝0. (2)运算律：设λ,μ是两个实数,则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线地充要条件是存在唯一一个实数λ,使得 双基自测 1．下列给出地命题正确地是 () A．零向量是唯一没有方向地向量 B．平面内地单位向量有且仅有一个 C．a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向相同地向量 D．相等地向量必是共线向量 2．如右图所示,向量a－b等于 () A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 3．(教材习题改编)设a,b为不共线向量,AB＝a＋2b,BC＝ －4a－b,CD＝－5a－3b,则下列关系式中正确地是( ) A．AD＝BC B．AD＝2BC C．AD=-BCD．AD=-2BC 4．化简：AB＋DA＋CD＝________. 5．已知a与b是两个不共线向量,且向量a＋λb与－(b－3a)共线,则λ＝________. 典例分析 考点一、平面向量地基本概念 [例1] 给出下列命题： ①两个具有共同终点地向量,一定是共线向量； ②若A,B,C,D是不共线地四点,则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形地充要条件； ③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b； ④λ,μ为实数,若λa＝μb,则a与b共线． 其中假命题地个数为 () A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．设a0为单位向量,①若a为平面内地某个向量,则a＝ |a|a0；②若a与a0平行,则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1,则a＝a0.
向量组线性相关性判定
向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：
日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的
重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性
平面向量的线性运算教学设计
《平面向量的线性运算》复习教学设计 高中数学北师大版 西安交通大学第二附属中学 刘正伟
§5.1平面向量的线性运算 【教学目标】 知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观； 1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义； 2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件； 了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。 【教学重点、难点】 重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件； 难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。 【教具准备】 多媒体课件 【教学方法】 启发引导式；讲练结合 【教学设计】 （一）．复习导入 问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？ 学生：速度，加速度，位移，力 力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算 那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题 （二）知识要点 1.向量的线性运算
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n → ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB → )． 3.OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1. 题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算 例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → 等于( ) A.23b ＋13 c B.53c －23 b
2019-2020年高中数学空间向量的线性运算教案新人教B版选修2
2019-2020年高中数学空间向量的线性运算教案新人教B版 选修2 教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几 何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 预习自测： 1.空间任意四个点A、B、C、D，则等于（） A．B．C．D． 2．空间四边形ABCD中，若，，，则等于（） A．B．C．D． 3．空间四边形OABC中，E、F分别是对角线OB、AC的中点，若，，，则________________________； 4．在平行六面体中，化简的结果为______________； 学习过程 一、复习导引 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法：______________；向量的减法：_______________； 实数与向量的积：_________________,注意：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，其长度和方向规定如下：|λ|＝|λ|||(2)当λ＞0时，λ与同向；当λ＜0时，λ与反向；当λ＝0时，λ＝. 3. 向量的运算律：_____________________________________________。 二、新课讲授 在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用． 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做 ______．向量的大小叫做向量的_______. →举例？表示？（用有向线段表示）记 法？→零向量？单位向量？相反向量？ →讨论：相等向量？同向且等长的有向线 段表示同一向量或相等的向量． →讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面 向量的运算一样： =+， （指向被减向量），
向量组的线性相关性
线性相关性 一、填空题 例设向量组1234(1,2,1),(2,3,1),(,3,1),(2,,3),T T T T x y αααα====的秩为2，则x = 2 ， y = 5 ． 例已知向量组()11,2,1T α=-，()22,0,T t α=，()30,4,5T α=-线性相关，则t = 3 ． 例若向量组123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)T T T t ααα===线性相关，则t =5． 二、 选择题 例设矩阵A 、B 、C 均为n 阶方阵，若AB C =，且B 可逆，以下正确的是【Ｂ】． (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价； （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价； （C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价； （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价． 例1234123400110,1,1,1C C C C αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相 关的为（ C ） （A ） 123,,ααα；（B ）124,,ααα; (C) 134,,ααα; (D) 234,,ααα. 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【B 】． （A ）对于任意一组不全为0的数12,,,s k k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠ ，则12,,,s a a a 线性无关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,s k k k 都有 s s k a k a k a 1122,0+++= ； （C ）12,,,s a a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D ）若12,,,s a a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是【A 】． （A ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关；
