三角函数及解三角形
一、选择题:
1.设是锐角, tan( ) 3 2 2,则c os ()
4
A.
2
2
B.
3
2
C.
3
3
D.
6
3
2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时( A )
A.5 海里B.5 3海里C.10 海里D.10 3海里
3.若函数 f (x) sin x( 0) 在区间0, 上单调递增,在区间
3
,
3 2
上单调递减,则( )
3
2 A .
3 B.2 C. D.2 3
4.已知函数 f (x) 3 sin x cos x( 0), y f (x) 的图象与直线y 2的两个相邻交点的距离等于,则f (x) 的单调递增区间是()
5
A.k ,k,k Z
12 12
5 11
B. k ,k,k Z
12 12
C. k , k ,k Z
3 6
2
D. [k ,k , k Z
6 3
5.圆的半径为4, a, b,c 为该圆的内接三角形的三边,若abc 16 2, 则三角形的面积为()
A.2 2
B.8 2
C. 2
D.
2 2
6.已知
4
cos 且, ,
5 2
则t an 等于( C )
4
A .-1
7
1
7
B.-7 C.
D.7
7.锐角三角形ABC 中, a, b,c 分别是三内角A, B, C 的对边设 B 2A, 则b
a
的取值范围是( D )
A .(﹣2,2)B.(0,2)C.(,2)D.(,)
8.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m( A>0,ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π
,直线x=
2
π
是其图象的
3
一条对称轴,则符合条件的函数解析式是(D )
π
A.y=4sin 4x+
6 B.y=2sin 2x+πππ+2 C.y=2sin 4x++2 D.y=2sin 4x++2
3 3 6
9.函数y sin( 2x ) 的图象经怎样平移后所得的图象关于点( ,0)成中心对称()
3 12
A. 向左平移
B.向左平移
C.向右平移
D.向右平移
12 6 6 12
10.如果函数y sin 2x a c os 2x 的图象关于直线x对称,那么 a ()
6
A . 3 B.-
3
3
C.- 3 D.
3
3
11.函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0< φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如右图所表示,A、B 分别为最高与最低点,并且两点间的距离为 2 2,则该函数的一条对称轴为(C )
A .x=2
π
π
B.x=2 C.x=1 D.x=2
12.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知c osA-3cosC
=
cosB
3c-a
,则
b
s inC
sin A
的值为( D )
1
3
A.2 B.
C.2 3 D.3
二、填空题:
1 7 13.已知sin( ) , 则cos( ) _____.
12 3 12
14.在ABC中角A,B ,C 的对边分别是a,b,c,若3b s in A c c os A a c osC ,则s in A ________
15.将函数f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的最小值为3π
4 ____.
16.已知函数y sin( x )( 0, x, ) 的图象如图所示,则=________.
2
17.在ABC 中, 若b 1,c 3, C,则a 。
3
18.在ABC中, A,B,C 所对的边分别为a, b, c, 且满足a b c 2 1,sin A sin B 2 sin C, 则c ;
若,
C 则S ABC
3
三、解答题:
19.已知函数 f ( x)=cos x(cos x 3 s in x) .
(Ⅰ)求f (x) 的最小正周期;
(Ⅱ)当
πx
[
2
解:(Ⅰ) ( =sin(2 ) 1
f x)x
6 2
T 2 2 | | 2
f (x) 的最小正周期为. ----------------------------------7 分
(Ⅱ)当
3
2k 2x 2k ,k Z 时,函数 f (x)单调递减,
2 6 2
即f 由
所
以
f
(
x
)
的
递
为:[ , ]
. ------------------------------------13 分6 2
π
20.向量m=(a+1,sin x),n=(1,4cos(x+
6)),设函数g(x)=m·n(a∈R,且a 为常数).
(1)若a 为任意实数,求g( x)的最小正周期;
(2)若g(x)在[0,π
)上的最大值与最小值之和为7,求 a 的值.
3
ππ
[解析] g(x)=m·n=a+1+4sin x cos(x+)=3sin2x-2sin )+a
2x+a+1=3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+
6 6
(1)g(x)=2sin(2x+π
)+a,T=π. 6
π(2)∵0≤x<
,∴
3 ππ
5π≤2x+
< 6 6 6
π当2x+
=
6 ππππ
,即x=,即x=0 时,y min=1+a,时,y max=2+a.当2x+=
2 6 6 6
故a+1+2+a=7,即a=2.
21. 在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,且bcos C=3acos B-ccos B
(1)求cos B 的值;(2)若BA ·BC =2,b=2 2 ,求a 和c
22.在ABC中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,已知向量m a c,a b , n sinB,sin A sinC ,且m ∥n .
(1)求角C 的大小;(2)求sin A sin B 的取值范围.
23.在ABC中, A, B,C 的对边分别为a,b, c, 已知a b 5,c 7, 且 4 s in
A B
2 C
cos 2
2
7
2
.
(1)求角 C 的大小;
(2)求ABC的面积.
2A+B
-cos2C=
[解析] (1)∵A+B+C=180 ,°4sin
2 72C
.∴4cos
-cos2C=
2 2
7
2
,
1+cosC 2C-1)=7
∴4·-(2cos
,
2 2
2C-4cosC+1=0,解得cosC=1
∴4cos
,
2 ∵0° 2=a2+b2-2abcosC, (2)∵c ∴7=(a+b) 2-3ab,解得ab=6. ∴S △ABC=1 absin C= 2 1 2 ×6× 3 = 2 3 3 . 2 π 24.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若f α = 2 4π ,0<α< ,求cosα的值. 5 3 [解析] (1)由图象知A=1 f(x)的最小正周期T=4×5ππ 2π-=π,故ω= =2 12 6 T 将点π ,1 代入f( x)的解析式得sin 6 π +φ=1, 3 ππ 又|φ|< ,∴φ= 2 6 故函数 f (x)的解析式为f(x)=sin 2x+π6 (2)f απ =4 =4 π,即sin α+,又0<α< ,=4 =4 π 2 5 6 5 3 ∴π 3 πππ 6< = 2 6 ,∴cos α+ 6<α+ 5. π又cosα=[(α+ 6)-π 6]=cos α+ ππ +sin α+ 6 cos 6 ππ 3 3+4 6 sin 10 . = 6 25.设△ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为a ,b,c,且b sin A 3a c os B . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b 3,sin C 2sin A ,求a,c的值. 解:(Ⅰ) b s in A 3a c os B,????? 2 分 由正弦定理得sin B sin A 3 s in A c os B, 在△ABC 中,sin A 0 ,即tan B 3 ,B (0,π) ,????? 4 分 π B .????? 6 分 3 (Ⅱ)sin C 2sin A,由正弦定理得 c 2a ,?????8 分由余弦定理 2 2 2 2 cos b a c ac B,得π 2 2 9 a 4a 2a (2a) cos ,?????10 分 3 解得a 3 ,∴ c 2a 2 3 .?????13 分 26.在△ABC 中,已知A=π ,cosB= 4 2 5 5 . (1)求cosC 的值; (2)若BC=2 5,D 为AB 的中点,求CD 的长. ππ27.已知函数f(x)=sin2 x c osφ+cos2xsinφ(|φ|<2),且函数y=f (2x+4)的图象关于直线x=7π 对称.24 (1)求φ的值; π5π ,且f(α)= (2)若<α< 3 12 4 5 ,求cos4α的值; ππ 时,不等式f(θ)+f(θ+ (3)若0<θ< )<|m-4|恒成立,试求实数m 的取值范围. 8 4 28.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,ω>0,0<φ<π,)x∈R的最大值是1,最小正周期是2π,其图象经过点M (0,1).(1)求f(x)的解析式; 3 5 ,f(B)=,求f(C )的值. (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,且f(A)= 5 13 三角函数章节测试题 一、选择题 1. 已知sinθ=53 ,sin2θ<0,则tanθ等于 ( ) A .-43 B .43 C .-43或43 D .54 2. 若20π < A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .有最大值且有最小值 D .既无最大值又无最小值 7. 函数f(x)= x x cos 2cos 1- ( ) A .在[0, 2π]、??? ??ππ,2上递增,在??????23,ππ、??? ??ππ2,23上递减 B .??????20π,、??? ??23ππ,上递增,在??? ??ππ,2、?? ? ??ππ223,上递减 C .在??????ππ,2、??? ??ππ223,上递增,在??????20π,、??? ??23ππ, 上递减 D .在?????? 23,ππ、??? ??ππ2,23上递增,在?? ????20π,、??? ??ππ,2上递减 8. y =sin(x -12π)·cos(x -12 π),正确的是 ( ) A .T =2π,对称中心为( 12π,0) B .T =π,对称中心为(12 π,0) C .T =2π,对称中心为( 6π,0) D .T =π,对称中心为(6 π,0) 9. 把曲线y cosx +2y -1=0先沿x 轴向右平移 2π,再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程为 ( ) A .(1-y)sinx +2y -3=0 B .(y -1)sinx +2y -3=0 C .(y +1)sinx +2y +1=0 D .-(y +1)sinx +2y +1=0 10.已知,函数y =2sin(ωx +θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线y =2的交点的横坐标为x 1,x 2,若| x 1-x 2|的最小值为π,则 ( ) A .ω=2,θ= 2π B .ω=2 1 ,θ=2π C .ω=21 ,θ=4π D .ω=2,θ=4 π 二、填空题 11.f (x)=A sin(ωx +?)(A>0, ω>0)的部分如图,则f (1) +f (2)+…+f (11)= . 三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°, ∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知 创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克* 三角函数 一、选择题 1.已知 α 为第三象限角,则 2 α 所在的象限是( ). A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限 D .第二或第四象限 2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第一、四象限 D .第二、四象限 3.sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4-=( ). A .- 4 3 3 B . 4 3 3 C .- 4 3 D . 4 3 4.已知tan θ+θtan 1 =2,则sin θ+cos θ等于( ). A .2 B .2 C .-2 D .±2 5.已知sin x +cos x =51 (0≤x <π),则tan x 的值等于( ). A .- 4 3 B .- 3 4 C . 4 3 D . 3 4 6.已知sin α >sin β,那么下列命题成立的是( ). A .若α,β 是第一象限角,则cos α >cos β B .若α,β 是第二象限角,则tan α >tan β C .若α,β 是第三象限角,则cos α >cos β D .若α,β 是第四象限角,则tan α >tan β 7.已知集合A ={α|α=2k π±3π2,k ∈Z },B ={β|β=4k π±3 π2,k ∈Z },C = {γ|γ=k π± 3 π 2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为( ). A .A ?B ?C B .B ?A ?C C .C ?A ?B D .B ?C ?A 8.已知cos (α+β)=1,sin α=31 ,则sin β 的值是( ). A .3 1 B .-3 1 C . 3 2 2 D .- 3 2 2 9.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ). A .??? ??2π ,4π∪??? ??4π5 ,π B .?? ? ??π ,4π C .?? ? ??4π5 ,4π D .??? ??π ,4π∪??? ? ?23π ,4π5 10.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ). A .y =sin ??? ? ? 3π - 2x ,x ∈R B .y =sin ?? ? ??6π + 2x ,x ∈R C .y =sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R D .y =sin ??? ? ? 32π + 2x ,x ∈R 二、填空题 11.函数f (x )=sin 2 x +3tan x 在区间??? ???3π4π ,上的最大值是 . 12.已知sin α= 552,2 π ≤α≤π,则tan α= . 13.若sin ??? ??α + 2π=53,则sin ?? ? ??α - 2π= . 14.若将函数y =tan ??? ? ? 4π + x ω(ω>0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y =tan ??? ? ? 6π + x ω的图象重合,则ω的最小值为 . 15.已知函数f (x )=21(sin x +cos x )-2 1 |sin x -cos x |,则f (x )的值域是 . 16.关于函数f (x )=4sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R ,有下列命题:三角函数章节测试题A
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