4.1微分中值定理单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
4.2函数的极值和最值单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
案例应用 案例1 求12
1312
3+++=
x x x y 的极值
案例2 讨论2
-x e y 的极值
案例3 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x 取和值时水槽的流量最大？
案例4 铁路线AB 距离为100公里，工厂C 距A 为20公里，AC 垂直于AB ，今要在AB 上选定一个点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问D 点选在何处才能使从B 到C 的运费最少？ 案例5 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图
4.3函数图像的描绘 单元教学设计
一、教案头
任务1 函数的凸凹性和拐点 任务2 函数的渐近线. 任务3 按步骤描绘函数图像
案例1（注水曲线凸凹） 设水以常数0,/3
>a s am 注入下图的容器中，请做出水上升的
高度关于时间t 的函数)(t f y =，并阐明此函数的拐点和凸凹性。
案例2 描绘函数2-)
1(42
x
x y +=
的图像。 案例3（最值问题） 要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问底半径r 和高h 等
二、教学设计
）渐近线
（1）斜渐近线
若)
(x
f满足：k
x
x
f
x
=
∞
→
)
(
lim，且b
kx]
-
[f(x)
lim=
∞
→
x
则曲线)
(x
f
y=有渐近线b
kx
y+
=
如下图：
例求曲线
3-
2
2
3
x
x
x
y
+
=的斜渐近线
例求曲线
2
2
-1
2
3
x
x
y
+
=的斜渐近线
（2）垂直渐近线
如果C
x→(或者+
→C
x或者-C
x→)时，
参考图像
案例2 描绘函数2-)
1(42
x
x y +=
的图像。
案例3 要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问
底半径r 和高h 等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r 和高h 的比值是多少？
案例4 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是V ，问当圆柱体的高h 和底半径r 为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？
6
4
2
2
4
6
5510
???? ? ??
第三章中值定理证明
1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义
1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.
5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 考研数学高数定理证明的知识点考研数学高数定理证明的知识点 这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求 会证。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推 举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想 必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导” 和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得 函数在该点的导数为0。 前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直 接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔 定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连 续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。 那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响 下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若 最值均取在区间端点，则最值不为极值。那么接下来，分两种情况 讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条 告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值 和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在 开区间上任取一点都能使结论成立。 拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明， 若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过 程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑 在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗 尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子 是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现 场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函 数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值 换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。 几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为 陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公 式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急 功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可 能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。 这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中 未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。 当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写 出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则， 因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把 考研数学中值定理五大注意事项 来源：文都图书 中值定理是考研数学得分较低的一块，可以说是考生的“灾难区”，看到一个题目怎么思考处理是个问题，下面，就给大家就这一部分讲解一下事项。 1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。 2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。 3. 积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。 4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。 5. 积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。 其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题 目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。 上述就是值定理需要注意的事项。希望大家在做题的过程中多加注意，可以配套着汤家凤的《2016考研数学绝对考场最后八套题》来进行对应的训练，掌握好上述的知识点。 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程： 六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)． 一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛; 第三章中值定理与导数 的应用 中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的泰勒公式 型 0,1,0∞∞型 21∞-∞型 ∞?0型00型∞ ∞Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 x x F =)() ()(b f a f =0 =n g f g f 1= ?2 11 2 21111∞∞∞-∞=∞-∞取对数 令g f y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法. 导数的应用 第三章中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题 1. 中值定理 泰勒中值定理 设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶 导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在 ξ ,使 （柯西中值公式） ) () ()()()()('' ξξg f b g a g b f a f =--（拉氏中值公式） )()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理 设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使 罗尔中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=0 1 0)1(0 00)() ()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n n k n n x x n f x x n x f x f ξ拉氏中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导, 那末),(b a ∈?ξ,使 微分中值定理 【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】 1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义； 2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。 3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】 1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用 2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。 3、利用导数证明不等式的技巧。 【教学过程】 一、背景及回顾 在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。 另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。 由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若 函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f = 则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)(' =c f 二、新课讲解 1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理， 但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1拉格朗日定理 若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()a b a f b f c f --= )(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。 b 、若加上)()(b f a f =，则()()00 )(' =-=--= a b a b a f b f c f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔 定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。 c 、形象认识（几何意义），易知()()a b a f b f --为过A 、B 考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A 拉格朗日中值定理教学设计 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 教学设计 第六章微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 题目：罗尔定理与拉格朗日定理 一、教学目的： 1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推 论。 2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗 日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格 朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。 3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的 思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。 二、教学重点与难点： 1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的 高。 2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别 与联系。 三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法 四、教学手段：板书与课件相结合 五、教学基本流程： 知识回顾引出定理，探究案例类比学习，理解定理 六、教学 情境设计（1学时）： 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、引出定理，探究案例 微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括 四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。 定理 6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件： (i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()0='ξf . ()1 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)． 升华、理解新知 课堂小结作业 中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。 1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 ②原函数法 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 ②柯西定理 ③k值法 ④泰勒公式法 老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理 ②柯西定理（与之前所举例类似） 有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。 一、高数解题的四种思维定势 1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分 中值定理对该积分式处理一下再说。 3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 二、线性代数解题的八种思维定势 1、题设条件与代数余子式A ij 或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4、若要证明一组向量a 1,a 2 ,…,a s 线性无关，先考虑用定义再说。 5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7、若已知A的特征向量ζ 0，则先用定义Aζ =λ ζ 处理一下再说。 8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0 根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条 2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。 最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。 第二：微分中值定理(一个引理，三个定理) 费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。 罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三：积分中值定理： 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立 高等数学中值定理的题型与解题方法 高数中值定理包含： 1.罗尔中值定理 (rolle); 2. 拉格朗日中值定理 (lagrange); 3. 柯西中值定 理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式 (taylor), 其中 (a,b) ，一定是开区间 . 全国考研的学生都害怕中值定理， 看到题目的求解过程看得懂， 但是自己不会做， 这里往往是在构造函数不会处理， 这里给总结一下中值定理所涵盖的题型， 保证拿到题目就会做。 题型一：证明： f n ( ) 0 基本思路，首先考虑的就是罗尔定理 (rolle) ，还要考虑极值的问题。 例 1. f ( x) C[ a, b] 在 ( a, b) 可导， f (a) f (b) 0， f ( ) f (a b ) 0 ， a 2 证明：存在 (a,b) ，使得 f '( ) 0 . 分析：由 f ( a) f (b) 0 ， f (a) f ( a b ) 0 ，容易想到零点定理。 2 证明： f (a) f ( a b ) 0， 存在 x 1 (a, a b ) ，使得 f (x 1 ) 0 ， 2 2 f (b) f ( a b ) 又 f (a) f (b) 0 ， f ( a), f (b) 同号， 0 ， ( a b , b) ，使得 f ( x 2 ) 2 存在 x 2 0 ， 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0，所以根据罗尔中值定理：存在 (a,b) ，使得 f '( ) 0 . 例 2. f ( x) C[0,3] 在 (0,3) 内可导， f (0) f (1) f (2) 3 ， f (3) 1 ， 证明：存在 (0,3) ，使得 f '( ) 0 证明：（ 1） f ( x) C[0,3] ， f ( x) 在 [0,3] 使得上有最大值和最小值 M , m ， 根据介值性定理 f (0) f (1) f (2) M ，即 m 1 M m 3 存在 c [0,3] ，使得 f (c) 1 ， （ 2） f (c) f (3) 1，所以根据罗尔中值定理：存在 (c,3) (0,3) ， 使得 f '( ) 0 . 例 3. f ( x) 在 (0,3) 三阶可导， x [0,1] ， f (1) 0 ， F (x) x 3 f ( x) 证明：存在 (0,1) ，使得 F '''( ) 0 证明：（ 1） F (0) F(1) 0， 存在 1 (0,1)，使得 F '( 1 ) 0 ， 1 中值定理 【本章定位】 本部分内容属于考研数学中的难点内容，而且经常被考生所忽略，往往受到课本中的误导，低估了其难度和重要性，事实证明，在历年考研中，虽不是年年必考，但是出现的几率很大，且一般作为区分题加大了试卷的难度，如 201年的真题中“证明拉格朗日中值定理”的题目，让人无从下手，有人将此归结为看书不仔细，实际上是对本该好好研究学习的内容没有认真把握和总结，没有掌握中值定理的方法和技巧。所以，请考生务必重视！ 1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 1 ()[0,1](0)(1)(0)0 2() (,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ '''''ζ--='''''''= 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口 因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0 ()(1)()() f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=?--='=--，那么把式变一下： 这时要构造的函数就看出来了②原函数法 ?-?-? ===?=?+=?='ζζζ=ζ'∈ζ?==?dx x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )() ()( ) ()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了 ，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法 造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00 总结拉格朗日中值定 理的应用 总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分 作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。 拉格朗日中值定理教 案 拉格朗日中值定理教案 授课人：*** 一、教材分析 微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。它为我 们研究函数和变量提供了重要的方法。微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。 拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论 怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。 二、教学重点和难点 教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。 教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。 三、教学目标 1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。 2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。 四、授课过程 1、知识回顾 费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为 f 的极值点，则必有0)0 (='x f 。它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。 2、新科讲授 首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。 （板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足 (1)在闭区间[]b a ,上连续; (2)在开区间()b a ,内可导; (3))()(b f a f = . 那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即 0)(='ξf . 罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。 如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。 注 （1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一 点，而不是唯一存在的。 （2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立； 接下来看下面三个函数的图像： 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 第四章 中值定理与导数的应用 §4. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →-ξξξξξ x f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+ →+ξ ξξξξ x f x f f f x , 所以f '(x )=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ
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