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高中数学集合与函数-名师整理

集合与函数

集合

表示形式：

1.列举法

2.描述法上面写着字，比如说：{我们班身高1.6的同学},肯定能找出来的，没有就是空集，

还有一种是{x|x 1}

3.区间法有人说区间法也是属于描述法的。如（1，2）

4.图表法韦式图

三个性质：

1.无序性

2.确定性举例：集合悖论{我只给不给自己剪头的人剪头}、不确定的例子：{一个班长的

高的同学}——基本不考

3.无异性

问：一个集合有n个元素，问子集有多少个？

真子集有多少个？

非空真子集有多少个？

高考题：例:A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，有一个映射，从A到B，可以组成多少个映射?

解答：。有关排列组合，如果是分步就是乘，1有3种选择，2有3种选择，3

有3种选择，4有3种，为什么要定4个而不是3个？是一对一和多

对一，原象的每个元素都肯定会与B中的元素对应，B中的元素可能

会没有A中元素对应。

映射（学生记不住多对一与一对一）

记住的好方法：

原象——象

1.多个x可以对应一个y，但绝对不能一个x对应多个y

2.原象里面的元素必须多对应出去，必须取满，Y可剩。Y=x方。

中国里，一夫多妻，XX表示女性，XY表示男性，多个女的可以对一个男的，但一个女的不能对多个男的。

为什么每个x都可以对应到y中的元素？

比如：中国，男的多，女的少，女的本来就少，只要愿意结婚就能嫁出去。——好记

命题和条件

原命题：a=1 则=1 （真）

逆命题：=1，则a=1 （假）

否命题：a≠1 则≠1 （假）

逆否命题：≠1则a≠1 （真）

先写出四种命题，再让学生判断命题的真假。

推导：原命题和逆否命题是同真同假的，逆命题与否命题是同真同假的

命题的否定:

如：a=1 则≠1 ——否结论不否条件

特征命题：存在；如：存在a属于R，有=1

全称命题：任意；如：任意a属于R，有=1

命题的否定（存在改成任意，任意改成存在）

任意a属于R，≠1

存在a属于R，≠1

可以讲明白：（为什么存在要改成任意，任意改成存在）但一般不讲

充分条件和必要条件(基础比较弱的同学)

其实写成A、B最好：A是B的。。。。条件，A能推出B则A是B的充分条件，B是A的必

要条件。

例子：|x-1|<1是x<3的什么条件？

解答：充分不必要，前面化为x小于2

结论：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围

函数

定义域对数里面：底数的范围：大于0而不等于1；真数大于0

例:

（1）f(x)的定义域是（-1，1），求f(2x+1)的定义域

-1<2x+1<1?-1

（2）f(2x-1)的定义域是（-2，0），求f(2x+1)的定义域

-5<2x-1<-1?-5<2x+1<-1

?-3

可以这样理解：括号的范围是一样的，定义域是x的范围

F是房子的房，房子的高度一样，所以要求进去的条件是一样的

（3）f(x)的定义域是（0，+∞），f(x)是增函数，f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=2,f(x-3)+f(x)>4,求x的取值范围

f(xy)=f(x)+f(y) ?f(x-3)+f(x)=f()>4

f(4)=f(2)+f(2)=4

?f()>f(4)

?>4 (1)

f(x) 是增函数

x-3>0

f(x)的定义域是（0，+∞）??x>3 (2)

x>0

(1)、(2) ?x>4

值域（考的形式不同，平时的考试老考，大题会考）

1.二次函数求值域

如：

（1）f(x)=3+5x-1,x[-2,0]，求f(x)的值域

一般先看对称轴x=-5/6。最低点在-5/6，最高点在-2，谁离对称轴远谁就大。

（2）求y=2的值域

换成1-?y=-2

把sinx换成t?y=-2-1≤t≤1

这是一个二次函数的应用，这个题对学生来说是难题了，他们需要做很多次才能记得住。

（3）数列中，，求最大值（很可能做错）

解答：配方后，n=4时为37.取4，4和5，4近一点，所以应该取4，注意n必须去正整数。

2.对勾函数像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了

讲这个时，先把模型告诉学生，就是两个勾，上一勾，下一勾，教完以后一定要让他亲自亲手拿笔画一下，不然他老会画不好。图形中，本来是要求有两个渐近线y=x与y=-x 的，但这个渐近线根本剧没有什么用，整个高中三年都用不着。所以只需要让学生画两个勾。

三种模型：

第一种：如y=x+

（1）单调区间

（2）x的范围[3,5]，求值域

（3）x ∈[-1,0 )?(0,4],求值域

解答：y取不到到之间的值，所以y∈（-∞，-5] ?[4，+∞)——容易出错

第二种：如y=x+

（1）求[3,7]上的值域

（2）单调递增区间

解答：（1）y=x+

=x-2++2，

把x-2换成t，=t+，1≤t≤5

把1，5分别代进去，得出：y∈[6,]

（2）先把t的单调递增区间求出来，t的单调递增区间是t≤-2或t≥2，然后再把t=x-2代进去，得：x-2 ≤-2或x-2≥2，即x≤0或x≥4

第三种：如y=2x+

（1）求[-1,1]上的值域

（2）求单调递增区间

解答：（1）y=2x+

=2x-6++6，

把2x-6换成t，=t+，-8≤t≤-4

把-8，-4分别代进去，得出：y∈[]

（2）整体法：t≤-或t≥，然后再把t=2x-6代进去，得：2x-6 ≤-或2x-6≥，即x≤(6-)/2或x≥(+6)/2

3.分离常数法

如y=

则?y

得出一个公式：y=，则y

4.反函数

（1）y=?（3x-2）y=2x+1?3xy-2y=2x+1

把y当已知数，再把x当未知数，解出x=,由于x是肯定有解的，所以3y-2y

（3）y=

解答：?（2cosа+1）y=sinа-1

?-2ycosа+sinа=y+1

因为|sin≤1?||≤1

?y≤0或y≥

方法二：因为

y==

令y=sinа，x=cosа。

如下图，表示上的点到点（-的直线的斜率。

解析几何里面求范围的三种类型：

斜率型z=，距离型z=，线性规划z=2x+y

5 “

（1）求y=的值域

解答：?

=≥0

若把“y=”改为“y=”

有方法：把t=2x-1?y==

上下同时除以t，=

因为为对勾函数，利用对勾函数的性质求出y的值域结论：只要是式子中含有二次函数，就能够使用“”法求解。

6.换元法

(1)y=2x+

解答：令=t，x=1-

?y=-2t

7.单调性

（1）y=+

因为?

y单调递增，x=3时，y=

所以y

8.分子有理化

（1）y=

解答：?

令u=，利用u的单调性，，.

???

9．图像法

（1）求y=

解答：=

图中，A与关于x轴对称

根据图像可知，当（x，0）表示点C时y取到最值

函数的性质

（1）单调性关于（0，0）点对称

（2）奇偶性f(-x)=-f(x)或=f(x)

定义域要对称

（3）周期性f(x)=f(x+T)

（4）对称性

奇偶性的例子：y=定义域是空集（因为）周期性的例子：f(x+1)=f(x-2) T=3

公式：f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|

对称性的例子：f(2-x)=f(2+x）对称轴为x=2

公式：f(a-x)=f(b+x) 则T=

关于周期性的6种题型

（1）f(x+a)=-f(x) T=2a

推导：f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)

（2）f(x+a)=T=2a

推导：f(x+2a)===f(x)

（3）f(x+a)=T=2a

推导同上

（4）f(x+a)= f(x-a) T=2a

（5）f(x+a)=T=2a

（6）f(x+a)=T=2a

结论：x与x渐变的是周期性，x与-x渐变的是对称性

三种最重要与最难的题型

（1）恒成立的问题

1.y=，对任意x恒成立

分情况：（1）（2）a-1=0成立

2.y=，，求a的范围

考虑三种情况：

（1）（2）（3）在第（3）种情况下，y取不到R中的所有值

（2）对称轴

如1：y=在[-1,1]上的最小值为3，求a

对称轴是x=-a，考虑三种情况，分别是在[-1,1]的左边、右边、中间。

又如2：f(x)=6在[0,1]上恒有，求m的范围

解答：①②③

f(0)f(1)f(

f(1)f(0)f(0),f(1)

（3）根的分类

如：y=，

①

f(1)

②

f(1)，f(-1)-1 1

③

f(2)

f(1)

1 2 ④

f(-1)>0

f(1)<0

f(2)<0

f(3)>0

高考复习函数知识点总结

高考复习函数知识点总结一．函数概念的理解以及函数的三要素（1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则

其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．（5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）

集合与函数知识点归纳

集合与函数板块公式 1.集合的运算: (1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:?U ∈=x x A |{U 且}A x ?,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系: (1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或?) (2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ?.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n 2个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f (3))()(x g x f y = ,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2 )(π π)Z 5.函数的单调性 (1)定义法: ①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1>--?>--x f x f x x x f x f x x ②)(x f 减函数? 0)]()()[(0) ()(2121212 1<--?<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法: ①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('a 为增函数; ②0