求曲线方程的常用方法
曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．
1．定义法
求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆
周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点
N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝
4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .
(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；
(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离
心率e ∈???
?12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围． 解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，
∴|NA |＝|NM |.
∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，
∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆．
当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，
∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23
＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)． 由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，
∴直线l 的方程为x －1＋y b
＝1，即bx －y ＋b ＝0. 设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，
∴????? y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y 2＋b ＝0， 消去x 得y ＝4b b 2＋1
.
∵离心率e ∈???
?12，32，∴14≤e 2≤34， 即14≤1a 2≤34.∴43
≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33
≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1
b
≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33
时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．
2．直接法
若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．
例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，
则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2，
∴d 22－d 21＝25，
即?
????3x －2y ＋3132－? ????2x －3y ＋2132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65. 点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可．
3．待定系数法
若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．
例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆
的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23
，求椭圆的方程． 解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23
， 所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，
所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2
求曲线方程的几种常用方法 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2 224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y ∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2） 化简得：222 x y a += ， （3） 由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。 ∵1||||2 CO AB =， a =，即222x y a +=。 轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：
第一章 曲线论 §1.1 曲线方程的表示方法 曲线的概念：曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。 现实中的各种轨迹曲线图形。 在空间直角坐标系Oxyz 中， 点P 的坐标表示为(,,)x y z ，x 轴、y 轴、z 轴上的单位向量分别记为,,i j k 。 向量r OP xi yj zk ==++ ，可简记 为),,(z y x r = 。 222z y x r ++= 。
对任意向量,a b ，成立三角形不 等式 ||||||||||||a b a b +≤+ ， ||||a b a b -≤- 。 补充知识： （1） 向量的内积 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a b a ?=?→→，称为向量→a 与→b 的内积；记为→→?b a 或),(→→b a ，其中θ是向量→a 与→b 的夹角。 可以证明：332211b a b a b a b a ++=?→→ 。 23 22212),(||||a a a a a a ++==→→→； ),(||||2→ →→→→→++=+b a b a b a 22||||),(2||||→→→→++=b b a a 。
（2） 向量的外积（或叉积） 定义向量→ c 的大小为 θsin ||||||||b a ?，(0)θπ≤≤， 且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→?b a ； 在直角坐标系中，可以证明： 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 则1231 23i j k a b a a a b b b →→?= 2 31312231312 ()a a a a a a i j k b b b b b b =+-+ ???? ??-=2121313132 32,,b b a a b b a a b b a a 。 外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算
求曲线方程的常用方法 1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表 达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。 2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。 （1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。故只须选择恰当的坐标系， 就可直接写出椭圆的方程。 （2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。当122||a F F =时，P 点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。故只 须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。 3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点 P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。 4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方 法。 5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与 所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。 如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。 5．定义法—— 注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。 思路方法技巧： 1．“直接法”求动点的轨迹方程 例1． 在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC| 且满足22||||||P A P B P C =+，求动点P 的轨迹方程。 222()4(0(2)x y a y +=<≤ 例2． 互相垂直的两条直线1l 、2l 的交点为P(a,b)，长为2r 的线段MN 的两端点分别在1l 、 2l 上滑动，求线段MN 的中点Q 的轨迹。 （|PQ|=1/2|MN|222()()x a y b r -+-=） 例3． 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的
典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．
求曲线方程的几种常见方法 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计） 教学目标： 知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点. 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标: 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标： 1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点 1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点 1. 寻找“几何关系”. 2. 转化为“动点坐标”关系. 教学方法 启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程 一、复习回顾： 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{} ()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂). 说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法： 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程； (2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．
曲线方程的表示方法 Prepared on 22 November 2020
第一章 曲线论 §曲线方程的表示方法 曲线的概念：曲线是点按照某 一规律在空间中运动的轨迹。 现实中的各种轨迹曲线图形。 在空间直角坐标系Oxyz 中， 点P 的坐标表示为(,,)x y z ，x 轴、y 轴、z 轴上的单位向量分别记为,,i j k 。 向量r OP xi yj zk ==++，可简记 为),,(z y x r = 。 222z y x r ++= 。 对任意向量,a b ，成立三角形不等式 ||||||||||||a b a b +≤+， ||||a b a b -≤-。 补充知识：
（1） 向量的内积 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a b a ?=?→→，称为向量→a 与→b 的内积；记为→→?b a 或),(→→b a ，其 中θ是向量→a 与→b 的夹角。 可以证明：332211b a b a b a b a ++=?→→。 2322212),(||||a a a a a a ++==→→→； 22||||),(2||||→ →→→++=b b a a 。 （2） 向量的外积（或叉积） 定义向量→ c 的大小为 θsin ||||||||?，(0)θπ≤≤， 且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→?b a ； 在直角坐标系中，可以证明：
设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 则12312 3i j k a b a a a b b b →→?= ??? ? ??-=212131313232,,b b a a b b a a b b a a 。 外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算 2 22),(||||||||→→→→-=b a b a 。 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 123(,,)c c c c →=。 混合积 1 231 23123()a a a a b c b b b c c c ??=， 记()(,,)a b c a b c ??=， 显然有()()()a b c a b c c a b ??=??=??。 几何意义
求曲线轨迹方程的常用 方法 Hessen was revised in January 2021
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 张昕 陕西省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定 义法求方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.
（4） 参数法：若动点的坐标（x ，y ）中的x ，y 分别随另一变量的 变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程. （5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式 求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法. （6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示范讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点
第一章 曲线论 §1.1曲线方程的表示方法 曲线的概念：曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。 现实中的各种轨迹曲线图形。 在空间直角坐标系Oxyz 中， 点P 的坐标表示为(,,)x y z ，x 轴、y 轴、z 轴上的单位向量分别记为,,i j k 。 向量r OP xi yj zk ==++，可简记为),,(z y x r = 。 222z y x r ++= 。 对任意向量,a b ，成立三角形不等式 ||||||||||||a b a b +≤+， ||||a b a b -≤-。 补充知识：
（1） 向量的内积 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a b a ?=?→→，称为向量→a 与→b 的内积；记为→→?b a 或),(→→b a ，其中θ是向量→a 与→b 的夹角。 可以证明：332211b a b a b a b a ++=?→→。 2322212),(||||a a a a a a ++==→→→； 22||||),(2||||→ →→→++=b b a a 。 （2） 向量的外积（或叉积） 定义向量→ c 的大小为 θsin ||||||||b a ?，(0)θπ≤≤， 且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→ c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→?b a ； 在直角坐标系中，可以证明：
设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 则12312 3i j k a b a a a b b b →→?= ??? ? ??-=212131313232,,b b a a b b a a b b a a 。 外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算 2 22),(||||||||→→→→-=b a b a 。 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 123(,,)c c c c →=。 混合积 1 231 23123()a a a a b c b b b c c c ??=， 记()(,,)a b c a b c ??=， 显然有()()()a b c a b c c a b ??=??=??。 几何意义
求曲线方程（导学案） 选编：万立勇审核：吴海燕 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 a>，求直角顶点C的轨迹方程。 例1：在直角△ABC中，斜边是定长2a(0) Array 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(,) x y表示曲线上任意点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合{|()} =； p M p m (3)用坐标表示() p m，列出方程(,)0 f x y=； (4)化简方程(,)0 f x y=为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。）。 这种按照上述五个步骤来求曲线方程的方法，又称“五步法”或“条件直译 法”，这是求曲线方程的基本方程。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2：已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，AM MB=，求动点M的轨迹方程。 且:1:2 3．几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。 -），B（2,0），O为原点，动点P与线段AO、BO所例3：如图，已知两定点A（6,0 张的角相等，求动点P的轨迹方程。
曲线方程试?表示有N种方法； 表示用UG3.0可以实现。 双外摆线 b=2.5 l=2.5 t=1 xt=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) yt=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360) 星形线 a=5 t=1 xt=a*(cos(360*t))^3 yt=a*(sin(360*t))^3 叶形线 a=10 t=1 xt=3*a*t/(1+(t^3)) yt=3*a*(t^2)/(1+(t^3))
螺纹线 t=1 xt=4*cos(t*(5*360)) yt=4*sin(t*(5*360)) zt=6*t 蛇形线 ?t=1 xt=2*cos(t*360*3)*t yt=2*sin(t*360*3)*t zt=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5 ?t=1 r=t*3 theta=t*360*3 zt=sqrt(t)*7 ?t=1 rho=360*sqrt(t)*2 theta=t*25 phi=360*t*4
双余弦线 t=1 xt=-(9.5*6.5)+t*(9.5*6.5*2) yt=cos(t*360*6.5)*(6.35/2)-(6.35/2) zt=cos(t*360*8)*5 对数线 t=1 xt=10*t yt=log(10*t+0.0001) 抛物线 t=1 xt=(4*t) yt=(3*t)+(5*t^2) 勾形线 t=1 xt=(5*(cos(t*360))^3)*t yt=(5*(sin(t*360))^3)*t
次声波 t=1 xt=t*5 yt=cos(t*360*8)*t 正弦波 t=1 xt=5*t*t yt=sin(t*8*360)*0.5 渐开线 pitch_diameter=10 pressure_angle=20 r=(pitch_diameter/2)*cos(pressure_angle) t=1 xt=r*cos(90*t*t)+r*(90*t*t)*(pi/180)*sin(90*t*t) yt=r*sin(90*t*t)-r*(90*t*t)*(pi/180)*cos(90*t*t)
求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法就是解析几何的重要内容与高考的常考点.求曲线方程时,应根据曲线的不同背景,不同的结构特征,选用不同的思路与方法,才能简捷明快地解决问题.下面对其求法进行探究. 1.定义法 求曲线方程时,如果动点轨迹满足已知曲线的定义,则可根据题设条件与图形的特点,恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系,再由曲线定义直接写出方程,这种方法叫做定义法. 例1 如图,点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点,动点M 在圆周上, 将纸片折起,使点M 与点A 重合,设折痕m 交线段CM 于点N 、现将圆 形纸片放在平面直角坐标系xOy 中,设圆C :(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1),A (1,0),记点N 的轨迹为曲线E 、 (1)证明曲线E 就是椭圆,并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程; (2)设直线l 过点C 与椭圆E 的上顶点B ,点A 关于直线l 的对称点为点Q ,若椭圆E 的离心率e ∈???? ?? 1 232,求点Q 的纵坐标的取值范围. 解 (1)依题意,直线m 为线段AM 的垂直平分线, ∴|NA |＝|NM |、 ∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2, ∴N 的轨迹就是以C 、A 为焦点,长轴长为2a ,焦距为2的椭圆. 当a ＝2时,长轴长为2a ＝4,焦距为2c ＝2, ∴b 2＝a 2－c 2＝3、 ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1、 (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0). 由(1)知:a 2－b 2＝1、又C (－1,0),B (0,b ), ∴直线l 的方程为x －1＋y b ＝1,即bx －y ＋b ＝0、 设Q (x ,y ),∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称,
求轨迹方程的常用方法: 题型一直接法 此法是求轨迹方程最基本的方法， 根据所满足的几何条件， 将几何条件｛M | P(M )｝直接翻 译成x, y 的形式f(x, y) 0 ,然后进行等价变换，化简 f (x,y) 0，要注意轨迹方程的纯 粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点， 也就是说曲线上所有的点适合这个条件 而毫无例外(纯粹性)；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性) 。 例1过点A(2,3)任作互相垂直的两直线 AM 和AN ，分别交x,y 轴于点M , N ，求线段 MN 中点P 的轨迹方程。 解：设P 点坐标为P(x, y)，由中点坐标公式及M,N 在轴上得M (0,2y)， AM AN k AM k AN 所以中点P 的轨迹方程为4x 6y 13 0。 变式1 已知动点M (x, y)到直线l : x 4的距离是它到点 (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点。若A 是PB 的中点，求直线 m 的斜 率。 题型二定义法 圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要， 应特别重视利用圆锥曲线的定义解题， 包括用定 义法求轨迹方程。 2 2 例2 动圆M 过定点P( 4,0)，且与圆C :x y 8x 0相切，求动圆圆心 M 的轨迹 方程。 解：根据题意|| MC | |MP || 4，说明点M 到定点C 、P 的距离之差的绝对值为定值, N(2x,0)(x,y R) 0 3 2y 2x 2 0 2 3 1 (x 1)，化简得 4x 6y 13 0 (x 1) 当x 1时，M(0,3)，N(2,0)，此时MN 的中点 P(1,|)它也满足方程4x 6y 13 0， N (1,0)的距离的2倍。
求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考 点. 背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法， 才能简捷明快地解决问题.下面对其求法 进行探究. 1定义法 求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义， 则可根据题设条件和图形的特点， 恰当 运用平面几何的知识去寻求其数量关系， 再由曲线定义直接写出方程, 例1如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点，动点M 在圆周 上，将纸片折起，使点 M 与点A 重合，设折痕 m 交线段CM 于点N 现 . . . . 2 2 2 将圆形纸片放在平面直角坐标系 xOy 中，设圆C ： (X + 1) + y = 4a (a >1) , A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线 E (1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a = 2时该椭圆的标准方程; (2)设直线I 过点C 和椭圆E 的上顶点B,点A 关于直线I 的对称点为点 Q 若椭圆E 的离心 ???I NC + I NA = I NC + I NM = I CM = 2a >2, ? N 的轨迹是以C 、A 为焦 点，长轴长为 2a ,焦距为2的椭圆. 当a = 2时，长轴长为 2a = 4,焦距为2c = 2, 2 2 ?椭圆的标准方程为X 4+ 3 =1- 2 2 X y ⑵设椭圆的标准方程为 a + b = 1 ( a >b >0). ???离心率 e € 1，字，??? !e 2 <4, 2 2 由(1)知：a — b = 1.又 q — 1,0),耳0 , b ), ???直线I 的方程为二1+ b = 1，即卩bx —y + b = 0. 设Qx , y ) ,???点Q 与点A (1,0)关于直线I 对称, 占 b =- 1, 4b 消去X 得y =乔T 求曲线方程时，应根据曲线的不同 率e € 1 ，字，求点Q 的纵坐标的取值范围. 2' 解(1)依题意，直线 m 为线段AM 的垂直平分线, 这种方法叫做定义法.
求曲线轨迹方程的五种 方法 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为（x，y）， 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得 2) 2 x- 2(y + -=2a 2 0( )0 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则 |x+4|-2 2 -=2 x+ (y )2
当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得 当时，y 2=8x 当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。 例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19 1622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。 解：设P （x 0，y 0），G （x ，y ），则有 ??? ????++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即???==y y x x 3300，代入 191622=-y x 得19 91692 2=-y x 即116 922 =-y x 由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0
曲线方程的求法 建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点就和有序数对建立了一一对应的关系。点动成线，当点运动的时候，其坐标就会发生变化，这种变化并不是毫无章法的，其横，纵坐标是相互依懒的，对这种关系的定量刻画就是曲线的方程。 （在前面的学习中我们已经做过了很多求曲线方程的题，下面我们归类，总结一下之前所用到的方法。） 一．待定系数法 这种方法需要预先知道曲线的方程，先设出来，然后根据条件列出方程（组）求解未知数。 例1 求与x 轴相切，圆心在直线x 30=-y 上，且截直线0=-y x 得弦长为72的圆的方程。 练习1求与双曲线1342 2 =-y x 有共同的渐近线，且过点（2，32）的双曲线标 准方程。 思考：若改为共焦点，又该如何设方程？ 二．直译法 就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来，从而得到其横、纵坐标之间的关系式。 例2．若N M ,为两个定点且MN =6，动点P 满足PM ?PN =0 则P 点的轨迹是（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 思考：求轨迹与轨迹方程的区别？ 练习2．设O 为坐标原点，P 为直线1=y 上动点，OP //OQ ，OP ?OQ =1，求Q 点的轨迹方程。
三．定义法 就是由曲线的定义直接得到曲线方程。 例3．已知动圆M 与圆1C ：2)4(22=++y x 外切，与圆2C ：2)4(22=+-y x 内 切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 练习3 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点为1F ，2F 。点Q 为双曲线左支 上除顶点外的任一点，过1F 作21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨 迹是（ ） A 椭圆的一部分 B 双曲线的一部分 C 抛物线的一部分 D 圆的一部分 总结：用定义法来求解的题，其过程都很简便，快捷。 练习4 已知圆422=+y x ，过点)0,4(A 做圆的割线ABC ，求弦BC 的中点的轨迹方程。 法一： 思考：还有其他方法吗？ 法二： 交轨法：就是在求两动曲线交点轨迹方程时，联立方程组消去参数，得到交点的轨迹方程。在求交点问题时常用此法。 法三： 总结： 求解方程时要注意不要漏解或增解。主要注意两方面。一：题设中某些隐含条件。二：方程的变形是否为等价变换。
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 昕 省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：（1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程 的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性 质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系 数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方 程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法. （4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方 程，消去参数来求轨迹方程. （5）几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.
（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+= （x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点 所以∠OBC= 90?, 则B 在以OC 为直径的圆上， 故B 点的轨迹方程是2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法三：（代入法） 设A （1x ，1y ），B （x ，y ），
求曲线方程的基本方法——坐标法 借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫做解析几何的学科． 平面解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质． 例1 设A 、B 两点的坐标是(10)(10)-，，，，若1MA MB k k =- ，求动点M 的轨迹方程． 解：设M 的坐标为()x y ，，M 属于集合{}|1MA MB P M k k ==- ． 由斜率公式，点M 所适合的条件可表示为 1(1)11 y y x x x =-≠±-+ ，整理后得 221(1)x y x +=≠±． 下面证明221(1)x y x +=≠±是点M 的轨迹方程． （1）由求方程的过程可知，M 的坐标都是方程221(1)x y x +=≠±的解； （2）设点1M 的坐标11()x y ，是方程221(1)x y x +=≠±的解， 即221111(1)x y x +=≠±，221111(1)y x x =-≠±，11 11111 y y x x =--+ ， ∴111M A M B k k =- ． 由上述证明可知，方程221(1)x y x +=≠±是点M 的轨迹方程． 点评：所求的方程221x y +=后面应加上条件1x ≠±． 例2 点M 到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M 的轨迹方程． 解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系，如图1所示． 设点M 的坐标为()x y ，，点M 的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合{}|P M MR MQ ==，其中Q R ，分别是x 轴、y 轴上的过点M 的垂线的垂足． 因为点M 到x 轴、y 轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件MR MQ =可写成x y =， 即0x y ±=．①
求曲线方程的几种常用方法 宜君县高级中学 马卫娟 已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。 一.直接法：即课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。 例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{2 2 2 AB BC AC C P =+= 所以( )( ) ()2 2 2 2 2 2 22)()(a y a x y a x =+-+++ 即222a y x =+ 因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既a x ±≠。 故所求点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+()a x ±≠。 解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=?BC AC K K ∴ 1-=-? +a x y a x y （1）
化简得：2 22a y x =+（2） 由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价, 所以所求点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+()a x ±≠。 解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 2 1= 所以 a a y x =?= +22 12 2 即2 2 2 a y x =+ 轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+()a x ±≠。 说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤 (1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式; (5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(此步骤常省略不写，但一定要注意所求方程中所表示的点是否都在曲线上，注意特殊点)。 直接法是求曲线方程的基本方法。本例虽给出了三种解法，但实质上都是利用等量关系，直接求出轨迹方程。 二 .中间变量法(相关点法) 如果所求轨迹上的动点P(x,y)与已知曲线上的动点M(x,y)相互制约，
平面解析几何中---求轨迹方程的常用方法 （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 ,sin 4 5sin sin C A B = +求点C 的轨迹。 【变式】：已知圆 的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。