一、选择题
1．2
6
1
(12)()x x x
+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40- B ．25- C ．25 D ．55
2．若2021
220210122021(12)x a a x a x a x -=+++
+，则1232021a a a a +++
+=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
3．已知231(1)n
x x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
4．若()
()()()()
2019
232019
01232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则
01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．1
5．如图中每个小方格均为面积相等的正方形，则该图中正方形共有（ ）个
A ．30
B ．32
C ．36
D ．24
6．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0
m
n m
k n k n k C
C --==∑（ ）
A ．2m n +
B ．2
m
n m C
C ．2n m
n C D ．2m m
n C
7．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．26
B ．18
C ．12
D ．9
8．已知*n N ∈，设215n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）
A ．-250
B ．250
C ．-500
D ．500
9．设5n
x x ⎛
- ⎝
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若
M N -=240，则展开式中x 的系数为（ ）
A ．300
B ．150
C ．－150
D ．－300
10．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899k
k C -- B ．82
99k C -
C ．1899k
k A --
D ．82
99k A -
11．如果2
1()2n
x x
-
的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )
A ．0
B ．256
C ．64
D ．
164
12．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，
134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的
值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525
B ．1050
C ．432
D ．864
二、填空题
13．已知13n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含10
x 项的系数是
___________.
14．在()()()23
8
111x x x ++++
++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.
15．已知()()()()()2
3
n
2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，
且012126n a a a a +++⋯+=，那么n
x x ⎛
⎪⎝
⎭-的展开式中的常数项为______．
16．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n
x x
++展开式中常数项为_______．
17．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）
18．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.
19．()6
221x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为______． 20．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个
队，则不同的安排方案有______种.
参考答案
三、解答题
21．（1）求证:当n *∈N 时，((11n
n
+为偶数；
（2）当n *∈N 时，(3n
的整数部分是奇数，还是偶数?请证明你的结论.
22．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题． （1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；
（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；
（3）若直线方程0ax by +=中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条? 23．在2
(n x
+
的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.
（1）求n 的值；
（2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项.
24．已知二项式n
⎛
⎝
的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a 为常数.
（1）求n 的值；
（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a 的值.
25．已知4530
n
n
A C =，设()n
f x x ⎛
= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；
（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．
26．在
n
的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项.
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一、选择题 1．B
解析：B 【分析】
写出二项式6
1()x x
-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是(
)2
12x
+中
的1与6
1()x x
-中的二次项相乘得到，一种是(
)2
12x
+中的2
2x
与6
1()x x
-中的常数项相
乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】
二项式61()x x
-的展开式中的通项662166()1C (1)C k k
k k k k k T x x x
--+=-=-，含2x 的项的系数为2
2
3
3
66(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
2．D
解析：D 【分析】
分别令0x =和1x =，即可解出所求． 【详解】
解：由2021220210122021(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =得01a =；令1x =得01220211a a a a -=+++⋯+， 1220212a a a ∴++⋯+=-．
故选：D ． 【点睛】
本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．
3．C
解析：C 【分析】
将条件转化为31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】
因为231(1)n
x x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中没有2x 项，
所以31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项 31n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,r
r n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭
所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解
检验可得7n = 故选：C 【点睛】
本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.
4．B
解析：B 【分析】
令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】
解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()2019
0123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，
即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】
本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.
5．A
解析：A 【分析】
设方格纸上的小方格的边长为1，按正方形的边长进行分类讨论，求出每种情况下正方形的个数，由加法原理即可得答案． 【详解】
设方格纸上的小方格的边长为1，
当正方形的边长为1时，有4×4＝16个正方形， 当正方形的边长为2时，有3×3＝9个正方形， 当正方形的边长为3时，有2×2＝4个正方形， 当正方形的边长为4时，有1×1＝1个正方形， 则有16+9+1+4＝30个正方形； 故选：A ． 【点睛】
本题涉及分类计数原理的应用，属于基础题，进行分类讨论是解题的关键.
6．D
解析：D 【分析】
先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，
C
C C C 1m
n m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令
1m =，1011
10C C C C C C 2m
n m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，
()!!
()!()!!()!m
m
n m k n k
n
k k n k n C
C n m m k k n k --==-=⋅---∑∑
000
!!2()!!!()!m
m m
m k m k m m
n m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D
【点睛】
本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.
7．B
解析：B 【分析】
取1x =解得3a =，展开式中含3x 项有两种情况，相加得到答案. 【详解】
令1x =得4
(1)264a +⋅=，所以3a =．
所以4
(3)(1)x x ++展开式中含3x 项为
33223
443C C 18x x x x ⋅+⋅=，
所以展开式中含3x 项的系数为18， 故选B ． 【点睛】
本题考查了二项式定理，把握展开式中含3x 项的两种情况是解题的关键.
8．A
解析：A 【分析】
分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】
215n
x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的展开式
取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N =
429925n n M N n -=-=⇒=
5251031551
(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x
---+=-=- 取3r = 值为-250
故答案选A 【点睛】
本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.
9．B
解析：B 【分析】
分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入240M N -=，解出n 的值，进而求得展开式中x 的系数. 【详解】
令1x =，得4n M =，故42240n n M N -=-=，解得4n =.二项式为4
5x
⎛
⎝
，展
开式的通项公式为()()13
44422
44515r
r r r r r r C x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，令3412r -=，解得
2r
，故x 的系数为()2
422
4
15150C --⋅⋅=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.
10．D
解析：D 【解析】
分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()82
9999!181920...9917!
k k k k k k A k ------==-.
故选：D.
点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.
11．D
解析：D 【解析】
分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.
详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是6
11(1)2
64
-=, 选D.
点睛：二项式系数最大项的确定方法
①如果n 是偶数，则中间一项(第12
n
+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第
12
n +项与第1
(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 12．B
解析：B 【分析】
由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】
由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，
第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4
根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】
解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
二、填空题
13．【分析】首先由二项式系数相等求再根据通项公式求指定项的系数【详解】由条件可知所以所以的通项公式是令解得：所以函数的系数是故答案为：-4【点睛】易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数其中二项式系数与 解析：4-
【分析】
首先由二项式系数相等求n ，再根据通项公式求指定项的系数. 【详解】
由条件可知57
n n C C =，所以5712n =+=，
所以1213x x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
的通项公式是12122112121133r r
r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
令12210r -=，解得：1r =， 所以函数10x 的系数是1
12143C ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭
. 故答案为：-4 【点睛】
易错点睛：本题考查二项式定理求指定项系数，其中二项式系数与项的关系是第1r +项的系数是r
n C ，这一点容易记错，需注意.
14．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项
解析：84 【分析】
通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】
()()
()23
8
111x x x ++++
++的展开式中，含2x 项的系数为：
2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++
39987
8432
C ⨯⨯==
=⨯， 故答案是：84. 【点睛】
该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.
15．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二
解析：-20 【分析】
由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】
∵已知()()()()(
)2
3
2
*
0121111n
n
n x x x x a a x a x a x n N
++++++⋯++=+++⋯+∈，
且012126n a a a a +++⋯+=，
∴令1x =，可得(
)21
0122122222
212612
n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+=
=-=-，
∴6n =，
那么
6
n
=的展开式的通项公式为()3
16
1r
r r
r
T C x-
+
=⋅-⋅，
令30
r
-=，求得3
r=，可得展开式中的常数项为3
6
20
C
-=-，
故答案为﹣20．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．
16．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式
中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项
解析：61
【解析】
分析：根据题设可列出关于n的不等式，求出6
n=，代入可求
2
1
(1)(12)n
x
x
++展开式中常数项为61.
详解：(12)n
x
+的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3
n
C最大，32
34
n n
n n
C C
C C
⎧>
∴⎨
>
⎩
，解得57
n
<<，
又*,6
n N n
∈∴=，
则
2
1
(1)(12)n
x
x
++展开式中常数项为022
66
261
C C
+⋅=.
点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T+.
17．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为
解析：8
【解析】
当C在最右边位置时，由336
A=种排法符合条件；当C在从右数第二个位置时，由
2
2
2
A=种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.
18．【分析】根据题意假设正五角星的区域依此为分析6个区域的涂色方案数再根据分步计数原理计算即可【详解】根据题意假设正五角星的区域依此为如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事由分步计数原理先对区域涂色有
解析：96
【分析】
根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可. 【详解】
根据题意，假设正五角星的区域依此为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图所示：
要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A 区域涂色有3种方法，
B 、
C 、
D 、
E 、
F 这5个区域都与A 相邻，每个区域都有2种涂色方法，
所以共有32222296⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案. 故答案为：96 【点睛】
方法点睛：涂色问题常用方法：
(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法； (2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.
19．80【分析】先求出展开式中的常数项与含的系数再求展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式为: 令解得 令解得 展开式中常数项为: 故答案为：80【点睛】本题考查二项展开式常数项的求解属于基础题
解析：80 【分析】
先求出6
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项与含21x 的系数,再求(
)6
221x x x ⎛⎫
+- ⎪⎝
⎭展开式中的常数
项. 【详解】
6
2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为: 662166(2)2r
r r r r
r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭
, 令620r -=，解得3r =,
33
316(2)160T C +∴=-⋅=-，
令622r -=-，解得4r =,
444162211
(2)240T C x x
+∴=-⋅⋅
=⋅，
()6
2
12x x x ⎛
⎫∴+- ⎪⎝
⎭展开式中常数项为: (160)24080-+=.
故答案为：80. 【点睛】
本题考查二项展开式常数项的求解，属于基础题.
20．【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论并计算出每种情况下的安排方案种数利用分类加法计数原理可得结果【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇若甲乡镇派遣三名医生则共有种 解析：68
【分析】
设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】
设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，
若甲乡镇派遣三名医生，则共有11221
4242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；
若甲乡镇派遣四名医生，则共有2111322
24242420428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有031223
24242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案.
综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种. 故答案为：68. 【点睛】
本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）证明见详解；（2）奇数，证明见详解. 【分析】
（1）根据二项展开式的通项公式，将(1n +和(1n
-写出二项展开式的形式，分别
讨论n 为正奇数和n 为正偶数两种情况，即可证明结论成立；
（2）同（1）利用分类讨论法，先判断((33n
n
+为偶数，根据
(
031n
<-<，即可得出结果.
【详解】
（1）因为(
1
2
0121n
n
n n
n
n
n
C
C C C +=+++⋅⋅⋅+，
(((((0
1
2
0121n
n
n n
n
n
n
C
C C C -=+++⋅⋅⋅+，
当n 为正奇数时，
((1
2
1
2
10212112233n n
n
n n n n
n
n
n n n C C
C
C C C ----⎛⎫
⎡⎤+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭
，
而10
212
33
n n n
n
n
C C C --++⋅⋅⋅+显然为正整数，所以((1
021211233n n
n
n n n n C C C --⎛⎫+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
为偶数； 当n 为正偶数时，
((0
2
02
022112233n
n
n
n
n n n
n
n
n n n C C
C
C C C ⎛⎫⎡⎤+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
而022
33n
n n n n C C C ++⋅⋅⋅+显然为正整数，所以((02211233n
n
n
n n n n C C C ⎛⎫+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
为偶数；
综上，当n *∈N 时，((11n
n
+为偶数；
（2）因为
(0
1
2
011
22
33333n
n
n
n n n n
n
n
n
C C C C --=⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅， (((((0
1
2
011
22
33333n
n
n
n n n n
n
n
n
C C C C --=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅，
当n 为正奇数时，
(
(
2
1
2
21
1332333n
n
n n n n n n n C C C ---⎡⎤
+=⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
⎢⎥⎣⎦
，其
中0
2
1
2
2
11
33
3n n n n n n
n
C C C
---⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
显然为正整数，
所以((0
2
1
22
1
1
33233
3n
n
n n n n n n
n
C C C
---⎡⎤++-=⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
⎢⎥⎣
⎦
为偶数，
记0
2
1
2
21
1333n n n n n n n k C C C ---=⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
，则
((
32113n
n
k =-+-，
因为031<-<，则(031n <-<，因此(0131n
<-<，所以(3n
的整
数部分是21k -，为奇数； 当n 为正偶数时，
(
(
2
2
20332333n
n
n
n n n
n n n C C C -⎡⎤+=⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
⎢⎥⎣⎦
，其中
2
22
333n
n
n n
n
n
n
C C C -⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
显然为正整数，
所以((0
2
2
2
33233
3n
n
n
n n n n n
n
C C C -⎡⎤++=⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
⎢⎥⎣
⎦
为偶数，
记0
2
2
20333n
n n n
n n n m C C C -=⋅⋅
+⋅⋅
+⋅⋅⋅+⋅⋅
，则
((
32113n
n
m =-+--
，
因为(0131n
<-<，所以(3n
的整数部分是21m -，为奇数；
综上，当n *∈N 时，(3n
的整数部分是奇数. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于利用二次展开式的通项公式，将二项式展开，再讨论n 为正奇数和n 为正偶数两种情况，即可结合题中条件求解. 22．（1）3240个（2）174个（3）20条 【分析】
（1）根据分步计数原理和题设条件，即可求得组成的不同的五位偶数；
（2）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，利用分类计数原理，即可求解； （3）根据数字0，分为两类：当,a b 都不取0和当,a b 中有一个取0，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】
（1）由题意，数字允许重复，根据分步计数原理， 可得不同的五位偶数共有：566633240⨯⨯⨯⨯=(个)．
（2）当首位数字是5，而末位数字是0时，有2
33118A A =(个)；
当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有13
2448A A =(个)；
当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有1112
3233108A A A A =(个)；
故共有1848108174++=(个)．
（3）分两类：第一类：当,a b 都不取0时，有2
520A =(条)；
当1,2a b ==与2,4a b ==重复， 当2,1a b ==与4,2a b ==重复， 所以此时共有18条不同的直线；
第二类：当,a b 中有一个取0时，则不同的直线仅有0x =和0y =，有2条； 由分类计数原理，可得共有18220+=(条)． 【点睛】
本题主要考查了分类计数原理和分布计算原理，以及排列与排列数的应用，其中解答中认真审题，合理分类、分步求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 23．（1）7n =； （2）14x ，984x ，4560x ，1448x -； (3)
3
2672x .
【分析】
(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果 (2)由通项公式分别计算当0246r =、、、时的有理项 (3)设展开式中第1r +项的系数最大，列出不等式求出结果 【详解】 （1）由题意知：5
22
1
2n r
r r
r n
T
C x
-+=，则第4项的系数为33
2n C ，
倒数第4项的系数为33
2
n n n
C --， 则有33332122n n n n C C --=即611
22n -=，7n ∴=.
（2）由（1）可得()5
142
1
720,1,,7r
r r r T
C x
r -+==，
当0,2,4,6r =时所有的有理项为1357,,,T T T T
即001414172T C x x ==，2299
37284T C x x ==，
4444572560T C x x ==，661
1772448T C x x --==.
（3）设展开式中第1r +项的系数最大，则
117711
7
72222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⇒⎨≥⎩ ()()12728r r r r ⎧+≥-⎪⎨-≥⎪⎩ 131633r ⇒≤≤， 5r ∴=，故系数最大项为335
5
22
67
2672T C x x ==.
【点睛】
本题考查了二项式定理的展开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法． 24．（1）8n =；（2）12
a =±. 【分析】
（1）根据二项式系数和列方程，解方程求得n 的值.
（2）根据二项式系数最大项为70，结合二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得a 的值. 【详解】
（1）由题知，二项式系数和12
02256n n n n n n C C C C ++++==，故8n =；
（2）二项式系数分别为0
1
2
8
8888,,,
,C C C C ，根据其单调性知其中48C 最大，
即为展开式中第5项，∴444
82()70C a -⋅⋅=，即12
a =±
. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式有关计算，属于中档题. 25．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．
【分析】
（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简45
30n n A C =即可得n 的值.
（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】
（Ⅰ）由已知4530n
n A C =得：
!
30!
4!
5!5!n n n n ，
!
30!
45!1205!
n n n
n n
解得:8n =．
（Ⅱ）8
x ⎛
⎝
展开式的通项为48
83
1
8
8
31k
k k
k
k
k k T C x
C
x
x
由48
03
k 得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T ．
【点睛】
本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题. 26．（1）6n =，34
160x ；（2）3
x 和240.
【分析】
（1）根据前3项系数和，建立方程求出n ，结合二项式系数的性质进行求解即可． （2）求出展开式的通项公式，结合x 的次数进行求解即可． 【详解】 （1）依题意得：
0122473n n n C C C ++=，即22173n +=，得236n =
6n ∴=-或6n = *n N ∈
∴6n =.
∴展开式中二项式系数最大的项为第四项，
即3
33
3
4
46
=160T C x =.
（2）展开式的通项公式为：334
1
6
=2()
,(0,1,...,6)r r r
r T
C x r -+=，
展开式的通项公式为：6
1662k k k k
k T C C -+==334k k x -，
当0k =时，3334
k
-=，此时为有理项31T x =， 当1k =时，39
344
k -=，此时不是有理项， 当2k =时，33
342
k -=，此时不是有理项， 当3k =时，33
344
k -
=，此时不是有理项，
当4k =时，3304
k
-=，此时为有理项5240T =， 当5k =时，33
344
k -=-，此时不是有理项， 当6k =时，33
342
k -
=-，此时不是有理项， ∴展开式中的有理项为3x 和240．
【点睛】
本题主要考查二项式定理､有理项等基础知识，考查观察能力､运算求解能力､推理能力和函数与方程思想，属于中档题.
一、选择题 1．2 6 1 (12)()x x x +-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40- B ．25- C ．25 D ．55 2．若2021 220210122021(12)x a a x a x a x -=+++ +，则1232021a a a a +++ +=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 3．已知231(1)n x x x ⎛⎫++ ⎪⎝ ⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 4．若() ()()()() 2019 232019 01232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则 01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 5．如图中每个小方格均为面积相等的正方形，则该图中正方形共有（ ）个 A ．30 B ．32 C ．36 D ．24 6．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0 m n m k n k n k C C --==∑（ ） A ．2m n + B ．2 m n m C C ．2n m n C D ．2m m n C 7．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．26 B ．18 C ．12 D ．9 8．已知*n N ∈，设215n x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ） A ．-250 B ．250 C ．-500 D ．500 9．设5n x x ⎛ - ⎝ 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若 M N -=240，则展开式中x 的系数为（ ） A ．300 B ．150 C ．－150 D ．－300
高中数学《计数原理与概率统计》知识点归纳 一、选择题 1．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28 C ．38 D ．42 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】 根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有 2887 282 C ?= =种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法； 故选B ． 【点睛】 本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题． 2．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()() 221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ） A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ= B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】
由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2= 1.99，故D 不正确．故选D ． 3．若不等式组2302400x y x y y +-≤?? -+≥??≥? 表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的 区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ． 4 π B ． 8 π C ． 5 π D ． 10 π 【答案】D 【解析】 【分析】 作出不等式组2302400x y x y y +-≤?? -+≥??≥? 对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公 式即可得到结论． 【详解】 作出不等式组2302400x y x y y +-≤?? -+≥??≥? 表示的区域Ω， 不等式2 2 2210x y x y +--+≤化为()()22 111x y -+-≤ 它表示的区域为T ，如图所示； 则区域Ω表示ABC V ，由240 230 x y x y -+=??--=?，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，） ，∴()1 32252 ABC S =?+?=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，
一、选择题 1．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（ ） A ．8种 B ．10种 C ．12种 D ．14种 2．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法 有（ ） A ．120种 B ．60种 C ．12种 D ．6种 3．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则 012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．8l D ．－81 4．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7 B ．8 C ．11 D ．14 5．由0,1,2,3,,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的 绝对值等于8的个数为（ ） A ．180 B ．196 C ．210 D ．224 6．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48 B ．72 C ．84 D ．168 7．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24 B ．27 C ．30 D ．36
一、选择题 1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种 2．若1n x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792 D ．792- 3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A ． 166 B ． 155 C ． 566 D ． 511 4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）． A ．420 B ．180 C ．64 D ．25 5．在二项式(1)n x +的展开式中，存在系数之比为2:3的相邻两项，则指数*()n n N ∈的最小值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 6．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7 B ．8 C ．11 D ．14 7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 8．已知67 017(1)()...x a x a a x a x +-=+++，若017...0a a a +++=，则3a =（ ） A ．5- B ．20- C ．15 D ．35
一、选择题 1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444 B ．0.008 C ．0.7 D ．0.233 2．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 3．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1 2 ，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ） A ．6 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．4 46 12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．6 26 12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．6 246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且1 4 pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( ) A ．1.4,0.2 B ．0.44,1.4 C ．1.4,0.44 D ．0.44,0.2 6．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ． 110 B ．0 C ．110 - D ． 15 7．设一随机试验的结果只有A 和A ,且A 发生的概率为m ，令随机变量 11A X A 发生发生⎧=⎨-⎩ ，则()D X =（ ） A ．1 B ．(1)m m - C ．4(1) m m - D ．4(1)(21)m m m -- 8．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为 123 ,,234 ，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）
一、选择题 1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50 B ．40 C ．35 D ．30 2．在（1－x 3）（1＋x ）10的展开式中x 5的系数是（ ） A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 3．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： 1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则 21S 的值为（ ） A ．66 B ．153 C ．295 D ．361 4．若2020 220200122020(12) x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ） A ．01220201a a a a +++⋯+= B ．2020 1352019132 a a a a -++++⋯+= C ．2020 0242020 132a a a a ++++⋯+= D ． 202012 220201222 a a a ++⋯+=- 5．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ） A ．48种 B ．72种 C ．96种 D ．144种 6．二项式3n x x 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ） A ．18 B ．21 C ．20 D ．30 7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 (0)a b m m >，，为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为
一、选择题 1．若1n x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792 D ．792- 2．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法有（ ） A ．120种 B ．60种 C ．12种 D ．6种 3．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 展开式中常数项是（ ） A ．15 B ．-15 C ．7 D ．-7 4．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种 B ．6种 C ．5种 D ．4种 5．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320 B ．720 C ．316 D ．25 6．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．32种 D ．36种 7．411()x y x y +- -的展开式的常数项为（ ） A ．36 B ．36- C ．48 D ．48- 8．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式 342()(1)x x x +⋅-的展开式中的常数项是
第一章测评 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若A m4=18C m3,则m等于() A.9 B.8 C.7 D.6 ,得m-3=3,m=6. A m4=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·m(m-1)(m-2) 3×2×1 2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A.10 B.11 C.12 D.15 :分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=C42+C41+1=11. 3.若实数a=2-√2,则a10-2C101a9+22C102a8-…+210等于() A.32 B.-32 C.1 024 D.512 ,得a10-2C101a9+22C102a8-…+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+… +C 10(-2)10=(a-2)10=(-√2)10=25=32. 10
4.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( ) A.A 43种 B .A 33A 31 种 C .C 42A 33种 D .C 41C 31A 33种 4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家, 故有C 42A 33 种. 5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是( ) A.18 B.16 C.14 D.10 N 1=2×2+2×2=8(个), 第二象限的不同点有N 2=1×2+2×2=6(个), 故N=N 1+N 2=14(个). 故答案为C . 6.将A,B,C,D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球,且A,B 不能放入同一个盒子中,则不同的放法有( ) A.15种 B.18种 C.30种 D.36种 A,B 放入不同盒中,有3×2=6(种)放法,再放C,D, 若C,D 在同一盒中,有1种放法;
一、选择题 1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ） A ．5050 B ．4851 C ．4950 D ．5000 2．若13n x x ⎛ ⎫+ ⎪⎝ ⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ） A ．1215 B ．135 C ．18 D ．9 3．把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（ ） A ．1 3 33C A B ．32 42C A C ．132 442C C C D ．23 43C A 4．设() 22201221n n n x x a a x a x a x ++=+++ +，则02 2n a a a 的值是（ ） A ． ()1312n - B ． 1312 n C ．3n D ．31n + 5．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ） A ．48种 B ．72种 C ．96种 D ．144种 6．二项式3n x x 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ） A ．18 B ．21 C ．20 D ．30 7．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）
一、选择题 1．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A 班，丁不能分配到B 班，则共有分配方案的种数为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．24 2．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ） A ．5050 B ．4851 C ．4950 D ．5000 3．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100 4．新冠疫情期间，为支援社区抗疫工作，现将6名医护人员安排到4个社区，每个社区至少安排1名医护人员，则不同的安排方案共有（ ） A ．2640种 B ．4800种 C ．1560种 D ．7200种 5．22n x x ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．180- D ．90- 6．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A ．40 B ．36 C ．32 D ．20 7．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．264种 B ．480种 C ．240种 D ．720种 8．451)(1)x x -的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．－40 B ．10 C ．40 D ．45 9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ）
一、选择题 1．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ） A ．15种 B ．90种 C ．120种 D ．180种 2．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540 3．二项式5 1(2)x x -的展开式中含3x 项的系数是 A ．80 B ．48 C ．−40 D ．−80 4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则 不同的取法种数为（ ） A ．40 B ．50 C ．60 D ．70 5．二项式n 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ） A ．18 B ．21 C ．20 D ．30 6．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10 B ．40- C ．200 D ．240 7．3450(1)(1)(1)x x x ++++ ++的展开式中3x 的系数是（ ） A ．3 51C B ．4 50C C ．4 51C D ．4 47C 8．用6个字母,,,,,A B C a b c 编拟某种信号程序（大小写有区别），把这6个字母全部排列如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”的总数为( ) A ．144 B ．288 C ．432 D ．576 9．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A ，B ，C 三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（ ） A ．116 B ．100 C ．124 D ．90 10．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取
一、选择题 1．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 2．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的 概率为（ ） A ．0.2484 B ．0.25 C ．0.90 D ．0.3924 3．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为 2 3 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ． 2027 B ． 5281 C ． 1627 D ． 79 4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1 2 ，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ） A ．6 12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．4 46 12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．6 26 12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．6 246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且1 4 pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题中真命题是（ ） （1）在18 的二项式展开式中，共有4项有理项； （2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件； （3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3） 7．设1 02 x << ，随机变量ξ的分布列如下：
一、选择题 1．4(12)x -的展开式中2x 的系数为（ ） A ．6 B ．24 C ．32 D ．48 2．在（1－x 3）（1＋x ）10的展开式中x 5的系数是（ ） A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 3．7 33x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 展开式中含32x -的项是（ ） A ．第8项 B ．第7项 C ．第6项 D ．第5项 4．有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（ ） A ．240种 B ．144种 C ．72种 D ．24种 5．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ） A ．12 B ．16 C ．24 D ．36 6．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A ．720 B ．360 C ．72 D ．以上都不对 7．某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） A ．226 4A C B ．22642 A C C ．22 64A A D ．2 62A 8．二项式3n x x 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ） A ．18 B ．21 C ．20 D ．30 9．在12 202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝ ⎭的展开式中, 2x 项的系数为( ) A ．10 B ．25 C ．35 D ．66 10．有4个不同的小球放入3个盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 11．2 10 1()x x +的展开式中含5x 项的系数为（ ） A ．160 B ．210 C ．120 D ．252
一、选择题 1．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．11 2．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且1 4 pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．随机变量X 的取值为0，1，2，若1 (0)5 P X ==，()1E X =，则()D X =（ ） A ． 15 B ． 25 C D 4．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量 |()|E ηξξ=-，则（ ） A ．()()E E ηξ> B ．()()E E ηξ< C ．()() D D ηξ> D ．()()D D ηξ< 5．将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX 等于 ( ) A ． 6227 B ． 73 C ． 6427 D ． 6527 6．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ） A ．9m B ．3m C ．m D ．32m + 7．设X 为随机变量，且1:,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，若随机变量X 的方差()4 3 D X = ，则()2P X == ( ) A ． 4729 B ． 16 C ． 20 243 D ． 80 243 8．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32i P X i i a ===，则()2P X ≥= ( ) A ． 16 B ． 56 C ． 13 D ． 23 9．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（ ）． A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 10．如果()20,X B p ，当12 p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11
一、选择题 1．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()4 3 D X =，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为 4 5 ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（ ） A ． 112 125 B ． 80125 C ． 113 125 D ． 124 125 3．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 13 ，乙获胜的概率为2 3各局 比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（ ） A ． 1781 B ． 5681 C ． 6481 D ． 25 81 4．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为 1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考 数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027% B ．99.9973% C ．0 D ．91.2673% 5．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ． 5108 B ． 113 C ． 17 D ． 710 6．星期天上午，甲、乙、丙、丁到绿博园、四牟园、湿地公园、蟹岛游玩，每人只去一个地方，设事件A 为“4个人去的地方各不相同”，事件B 为“甲独自去一个地方”，则 ()P A B =（ ） A ． 29 B ． 13 C ． 49 D ． 59 7．随机变量X 的分布列如表所示，若1 ()3 E X = ，则(32)D X -=（ ）
一、选择题 1．关于 6 2 1 2 x x ⎛⎫ - ⎪ ⎝⎭ 的展开式，下列说法中正确的是（） A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1 C．展开式中二项式系数最大的项为第3项D．展开式中系数最大的项为第4项 2．二项式 2 ()n x x -的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（） A．160 -B．80 -C．80D．160 3．已知2 3 1 (1) n x x x ⎛⎫ ++ ⎪ ⎝⎭ 的展开式中没有2x项，* n N ∈，则n的值可以是（） A．5 B．6 C．7 D．8 4．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（） A．180 B．192 C．420 D．480 5．若0k m n ≤≤≤，且,, m n k N ∈，则 m n m k n k n k C C - - = = ∑（） A．2m n+B． 2 m n m C C．2n m n C D．2m m n C 6．已知()()()() 15215 01215 111 x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0 a>，若 13 945 a=-，则a的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若4 ()(1) a x x ++的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含3x项的系数为（）A．26 B．18 C．12 D．9 8．在二项式( 2 n x x 的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A．第6项B．第5项C．第4项D．第3项 9．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人
一、选择题 1．7 12x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448 B ．448- C ．672 D ．672- 2．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30 B ．36 C ．360 D ．1296 3．在10 3 2x x ⎛ - ⎪⎝ ⎭的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．105 32 B ．5 6638x - C ．531058 x D ． 5 215x - 4．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ． 320 B ． 720 C ． 316 D ． 25 5．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48 B ．72 C ．84 D ．168 6．设2019 220190122019(12) x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则 201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ） A ．20192 B ．1 C ．0 D ．-1 7．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（） A ．36 B ．64 C ．80 D ．96 8．若4()(1)a x x ++的展开式关于x 的系数和为64，则展开式中含3x 项的系数为（ ） A ．26 B ．18 C ．12 D ．9
一、选择题 1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．() D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 2．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ． 49 B ． 427 C ． 1927 D ． 48125 3．一批产品（数量很大）中，次品率为 1 3 ，现连续地抽取4次，其次品数记为X ，则()E X 等于（ ） A ． 13 B ． 23 C ． 89 D ． 43 4．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．11 5．设随机变量X 服从正态分布()0,9N ，则()36P X <<=（ ） （附：若() 2 ~,X N μσ，则( )0.6826P X μσμσ-<<+≈， (2)0.9544P X μσμσ+<<+=） A ．0.0456 B ．0.1359 C ．0.2718 D ．0.3174 6．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ） A ．3.56 B C ．3.2 D 7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸
取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 8．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 14 D ．38 9．将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX 等于( ) A ． 6227 B ． 73 C ． 6427 D ． 6527 10．在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ． 542 B ． 435 C ． 1942 D ． 821 11．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．() D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小 12．将3颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，事件B 为“至少出现一个1点”，则条件概率(A |B)P 和(|)P B A 分别为（ ） A ．160 , 291 B ． 560 , 1891 C ． 601,912 D ． 911,2162 二、填空题 13．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是1 3 （个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________． 14．如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___________.