第一讲质数和合数
例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少?
例2 数d是质数，且a+10、a+14的和也都是质数，数a是多少?
例3 三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少?
练习：
1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数?
2.两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少?
3.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少?
4.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少?
5.两个质数的和是99，这两个质数的积是多少?
第二讲分解质因数
例1 三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。
例2 小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗?
例3 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少?
例4 下面算式中，不同的字母代表不同的数字。求这个算式。
例5 1512乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。
例6 有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。
例7 有24盆花，分成几堆(至少分2堆)，使每堆的盆数都相等，可以怎样分？
例8 自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？
例9 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。
例10 有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，贝a×b×c=?
例11 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。如果每支钢笔便宜1元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。共买了多少支钢笔?
例12 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。
例13 自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少?
例14 在射箭运动中，每射一箭的环数是O(脱靶)或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少?
练习：
1.相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少?
2.下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和，
3.三个自然数的和是160，三个自然数的积是32118，这三个数是哪几个数?
4.自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值。
5.求2310除它本身以外的最大约数。
6.自然数a乘以2160，积是一个立方数，求a的最小值。
7.有4个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们年龄的乘积是5040，他们的年龄各是多少?
8.把11112222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比第一竖行的棋子数多1个，这个长方阵每一横
行有多少个棋子?
9.边长是自然数，面积是165的形状不同的长方形共有多少种?
10.如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数同时能被30整除，求这两个数。
11.一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少? 。
12.五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄。
13.用几只船分三次把90袋化肥载过河去，已知每只船栽的化肥袋数相同，且至少载6袋，每次应有多少只船?每只船载多少袋化肥?
14.学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100人到200人之间，有几种排法?
15.班主任李老师带全班同学去种树，学生恰好能分成3组，如果老师与学生每人种树一样多，共种572棵树，每人种多少棵树？
16.将一批图书分给三个班，他们所得本数一个班比一个班多3本，且他们所得图书的本数的乘积是90720本，三个班各几本?
17.求1155的两位约数中最大的一个是多少?
18.三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少?
19.将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱数化成以角作单位的数就正好是得钱人数的12倍，求获奖人数。
20.有5个连续偶数的积是3840，求这五个数各是多少?
21.有5个连续奇数的积是945，求这五个数各是多少?
22.将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等，
2，5，14，24，27，55，56，99。
23.将8个数14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组4个数，要使各组4个数的乘积相等。则其中一组的4个数是14，、、。
24.在农村，可以用鸡蛋换热水瓶，开始商店规定用55个鸡蛋换一个热水瓶，但没人来换。后来热水瓶降价，换的人多了，热水瓶全部换完了，共换了2494个鸡蛋。虽然每个热水瓶的成本高于40个鸡蛋，但商店并不亏本。降价后多少个鸡蛋可换一个热水瓶？
25.五个儿童的年龄的和是37，积是18480，如果每一个儿童的年龄都不到13岁，五个儿童的年龄各是多少？
26.一个小朋友用1.8元买画片，如果每张画片减少1分钱，那么他就可以多买2张，他原来买了几张小画片？
（完整版）质数和合数_知识点整理 质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 （2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 ③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常见最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数
就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是： 6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数：5和7 两个合数的互质数：8和9 一质一合的互质数：7和8 7、两数互质的特殊情况： ⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质； ⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质； 三、经验之谈： 书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边，把合数写在右边，比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36； 短除法是除法一种简化，利用短除法分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数 一、填空。 1、最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），
在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2×
质数、合数、分解质因数 质数、合数、分解质因数 走进来 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。 举个简单例子，12的分解因数可以有以下几种：12=2×2×3=4×3=1×12=2×6，其中1，2，3，4，6，12都可以说是12的因数，即相乘的几个数等于一个自然数，那么这几个数就是这个自然数的因数。2，3，4中，2和3是质数，就是质因数，4不是质数。 求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法，和除法的性质差不多。短除法还可以用来求多个数的公因式。 一起做 1．判断下面各数是质数还是合数? 100l 137 1187 437 943 1359 2、判断269、439是质数还是合数? 提示：用最小的质数顺次试除，除到除数人于或等于商时为止。 3、两个质数和是20，它们的乘积最大是多少? 提示：和一定时，两数的差越？乘积越？ 4、36的全部因数有多少个?216的全部因数有多少个? 提示：写出36的全部因数，找出因数个数和质因数的关系。 5、36的全部因数的和是多少?360的全部因数的和是多少? 提示：写出36的所有因数并求和，找出和与质因数的关系。 6、李聪是个中学生，他参加了全市的数学竞赛(满分100分)。他说：“我的名次、分和我的年龄乘起来是3738。李聪得了多少分，获得了第几名? 提示：将3738分解质因数，根据年龄、名次及分数的特点组数。 7、小亚、小美和小欧是三个好朋友，他们三人的年龄依次相差2
岁，已知他们三人的年龄之积是1680，他们中年龄最大的上了初中，小亚和小欧在同一学校学习，小亚不是年龄最小的，那么三个好朋友的年龄分别是多少? 8、在1一1000自然数中，有哪些数有奇数个因数?这样的数共有多少个? 提示：从1开始列举一下，哪些数有奇数个因数，观察有奇数个因数个因数的数有什么特点？ 我能行，展现自己 (一)填空题 1．最小的质数是( )，最大的两位质数是( )。 2．两位数中最小的合数与l0以内最大的质数之积是( )。 3．在自然数中，最小的质数、最小的合数、最小的奇数之和是( )。 4．用比10小的所有质数组成的最大数是( )。用比l0小的所有合数组成的最小数是( )。 5．选用1、2、3、7四个数组成的最小三位合数是( )。 6．A、B、C是三个不同的质数，己知A+B+C：12，则A是( )，B是( )，C是( )。 (二)解答题 1．有七个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少? 2．两个质数和是45，这两个质数的积是多少? 3．一个两位质数，将它们的十位数字和个位数字对调后仍是一个两位质数，这样的数共有几个，求它们的和是多少? 4．已知A是质数，(A十l0)与(A十14)也是质数，求质数A是几。 5．求100以内所有只有三个因数的自然数的和是多少? 6．把24、216、1008分解质因数，并求出它们因数的个数。 7．把2l0个大小相同的正方形，拼成一个长方形，有多少种不同的拼法? 8．72的所有因数的和是多少?248的所有因数的和是多少? 9．冬冬参加小学数学竞赛，满分是100分。他说：“我的分数、
(七)质数合数分解质因数 闵识要点］ 若a能被b養除，b就是a的约数。 1. 质数与合数 自然数按其约数的个数可以分成三类： ⑴单位1:只含有1这一个约数的自然数。 ⑵质数(也称为素数)：只含有1与它本身这两个约数的自然数。 (质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2履质数中唯一的偶数。100之内有25个质数。) (3)合数：含有三个或三个以上约数的自然数。 2. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 如：12 = 2X2X3；70 = 2X5X7; 126 = 2X3X3X7; ............................ 若校大的自然数要进行分解质因数往往用短除法。 练习：把21六、107八、504()写成质因数连乘的形式： 例 1 ：a、b、c 是质数，c 是一名数，且aXb+c=1993o 那么a+b+c=( ) 。 例2:用一.二、3、4、五、六、7、八、9这九个数字组成质数, 若是每一个数字都要用到，而且只能用一次，那么这九个数字最多能1
组成多少个质数? 例3: 1500的约数有（）个。这些约数的和是（）。 例4:有8个不同约数的自然数中，最小的一个是（）。 例5: 504乘以一个自然数a,取得一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 练习： 1.36（）的约数有 __ 个，这些约数的和是________ 。 2.找出1992所有不同的的质因数，它们的和是 ______ o 3.若a、b、c、d是四个互不相等的自然数，且aXbXcXd= 1988, 那么a+b+c+d的最大值是 ______ 。 2
质数与合数分解质因数 知识要点： 自然数（不包括0）按照因数个数的不同可以分为三类：1、质数、合数。 把一个合数分解成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，这几个质数叫做这个合数的质因数。一般是用“短除法”逐级将一个合数分解成质数相乘的形式。 例1、判断103，437是质数还是合数？ 例2、有4名同学参加夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁。且他们的年龄乘积是17160，你们知道他们分别是多少岁吗？ 例3、把7、14、20、21、28、30这六个数分成两组，每组三个数相乘，使它们的积相等，使它们的积相等，应如何分？ 例4、不计算，48×925×38×435的积末几位是连续的0？ 例5、已知1176×a=b4，a，b是自然数，求a的最小值。 例6、王老师带领全班同学去植树，同学们正好平均分成了三组。结果师生每人植的树一样多，他们一共植了1073棵。求平均每人植树多少棵？ （1）你能判断出277，493是质数还是合数？ （2）三个连续奇数的乘积是1287，则这三个数的和是多少？
（3）将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等。 （4）不计算，判断一下，24×34×475×60×925的积的末尾共有几个连续的0？ （5）84×300×365×（），要使这个连乘积的最后5个数字都是0，在括号里最小应填什么数？ （6）张老师把全班同学平均分成了两组，并和全体同学一起为学校搬运新课桌。已知老师和同学每人搬的张数相同，共搬111张桌子。求这个班有多少名学生？ （7）1×2×3×4×5×……×2005×2006积的末尾一共有多少个零？ （8）一盒棋子共有96粒，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完。共有多少种拿法？ （9）a、b、c、d、e这个五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次是：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30。将这个五个数从小到大排成一行，那么左起第二个数是多少？
第四讲：质数、合数、分解质因数 【知识概述】 1、一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。 2、由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。 3、两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。 4、质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。 5、把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。 【例题精讲】 例题1 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数? 解要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用． 有1、4、8、9可以组成质数、，而6可以与前面的一位质数中的组合成质数。所以这9个数字最多组成了这6个质数。 例题2 四个小孩，恰好一个比一个大一岁，其年龄之积是3024，这四个小孩中最大的一个是多少岁？解：将3024分解后再重新组合，看怎么才能组合成四个连续自然数相乘 3024= 重新组合后 3024= 所以这四个小朋友中最大的一个是。 例题3月明×中秋＝（月明和中秋分别代表不同的两位数，圆圆圆表示三位数）。则“月明”和“中秋”这两个两位数各是多少？ 解：因为圆圆圆=111×圆=3×37×圆 所以圆= 所以月明= 中秋= 例题4、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少? 解有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 其中第三个最简真分数为。 例题5、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙
质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 （2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 ③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常见最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是：
１ 质数合数分解质因数 课本知识回顾： 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____. 两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____. 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数； 除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要 大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3. 部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、质数合数的认知 【例 1】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 【巩固】 两个质数的和是49，求这两个质数的乘积是多少？
五年级数学培优：质数、合数、分解质因数 １、按照约数个数的多少可以把自然数分为、、。 ２、4×7=28，4是28的，7是28的，也是28的。 ３、91、25、1、87、61、54、97中，质数有，合数有。 把合数分解质因数： １、一个长方形的面积是130平方厘米，它的长和宽是互质数。这个长方形的长和宽可能是多少？ ２、用2520个棱长是1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是12厘米，长和宽都大于高。 它的长和宽各是多少厘米？ ３、26÷（）=（）……2，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？ ４、在3张牌上分别写上3个最小的连续奇数，如果随意从其中取出至少一张组成一个数，其中有几个是质数？将它们写出来。
５、小聪的姐姐参加了今年的中学数学竞赛，小聪问姐姐：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”姐姐告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？” ６、⑴两个质数的和是30，这两个质数的乘积的最小值是多少？ ⑵两个合数的和是30，这两个合数的乘积的最大值是多少？ ７、把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？ 通过本次学习，我的收获是 。 第一部分必做题 １、(☆)两个质数的和是16，这两个质数的积可能是（）或（）。 ２、(☆)前1000个自然数（不包括0）中有168个质数，那么合数的个数有（）个。３、(☆)一个长方体的体积是105立方厘米，它的长、宽、高是三个不同的质数，这个长方体的表面积是（）平方厘米。
４、(☆)判断。 ⑴一个质数的约数都是质数。（） ⑵两个质数相乘的积一定是合数。（） ⑶只有合数有质因数，质数没有质因数。（） ⑷一个质数加上2以后，结果还是质数，20以内这样的质数有5个。 （） ⑸质数与质数的和一定是合数。（） ５、(☆)有两个合数，这两个合数又是互质数，这样的数有很多个，如果这两个合数的积是一个最大的四位数，这两个合数是（）和（）。 ６、(☆☆)两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ ７、(☆☆)一包糖有224块，要分成块数相等的几包，每包块数要在5块以上、10块以下，共有几种分法？ ８、(☆☆)用105个大小相同的正方形拼成一个长方形。请设计不同的拼法。 ９、(☆☆)把504与数a相乘，正好得到一个平方数，数a是多少？ 第二部分选做题 10、(☆☆)8642013579这个数是质数还是合数？为什么？ 11、(☆☆)三个连续自然数的最小公倍数是168 ，这三个数分别是 （）、（）、（）。
质数、合数、分解质因数1．（1）求126的约数个数； （2）求126的所有约数的和。 结论： 2．A、B、C为三个小于20的质数，A+B+C=30，且A 6．连续九个自然数中最多有几个质数？为什么？ 7．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数； 8．写出13个连续自然数，它们各个都是合数； 9．要使四个数的乘积135×1925×486×（）结果的最后五位都是零，括号内的数最小是几？ 10．46305乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方。求最小的a和这个整数。 11．把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相 等。 12．有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560， 求这三个自然数。 13．有一列自然数：1、4、7、10、 (397) 400，现将这些数相乘，乘积的尾部有多少 个零？ 14．把自然数从1开始作连乘积，即1×2×3×4×……，那么当乘到多少时，乘积的最后十 位数字第一次全是零。 15．将一批图书分给三个班，他们所得的本数一个班比一个班多3本，且各班所得图书本数 的乘积为58968。那么三个班各得多少本图 书？ 16．互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。 17．已知一个数有8个约数，那么这个数最小是几？ 18．已知一个数所有约数的和为72，求所有满足条件的数。 学习必备精品知识点 质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类 . （1）、质数（或素数）：只有 1 和它本身两个因数。 （2）、合数：除了 1 和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、 1：只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：① 最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、 3。 ② 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 ③ 20 以内的质数：有 8 个（ 2、 3、5、 7、 11、 13、 17、 19） ④100 以内的质数有 25 个： 2、 3、 5、 7、 11、 13、17、 19、23、 29、31、 37、41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、73、 79、83、 89、 97 2、 100 以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、 3、 5、7、 11、 13⋯的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常见最大、最小 A 的最小因数是：1；A的最大因数是：本身； A的最小倍数是：本身；最小的自然数是： 0；最小的奇数是：1；最小的偶数是：0；最小的质数是：2；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状 图例： 分析：先把36 写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果 两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36 分解质因数是： 36=2× 2× 3× 3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30 分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是： 质数和合数知识重点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1 ）、质数（或素数）：只有1和它自己两个因数。 （2 ）、合数：除了1和它自己还有其余因数（最罕有三个因数：1、它自己、其余因数）。 （3 ）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘获取，质数相乘必定得合数。 ③20之内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100之内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100之内找质数、合数的技巧： 看是不是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常有最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：自己；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：自己；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，假如两个因数都是质数就不再进行分解了；假如两个 因数中海油合数，那我们连续分解，向来分解到所有因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上边两个例子，分别是用短除法对18,30 分解质因数，左侧的数字表示“商”，竖折 下边的表示余数，要注意步骤。详尽步骤是： 6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数： 5 和7 两个合数的互质数：8 和9 一质一合的互质数：7 和8 7、两数互质的特别状况： ⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数必定互质； ⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质； 三、经验之谈： 书写分解质因数的结果时不可以把质因数相乘写在等号左侧，把合数写在右侧，比方36=2×2×3 2×2×3×3=36； ×3 就不可以写 成 短除法是除法一种简化，利用短除法分解质因数时，除数和商都不可以是1，由于1不是质数 一、填空。 1、最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（）。 2、20之内的质数有（），20之内的偶数有（），20 之内的奇数有（）。 18 = 2x3x 3 30=2x3 x5 质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 （2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2,最小的合数是4,连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一泄得合数。 ③20 以内的质数：有8 个（2、3、5、7、11. 13. 17、19） ④ 100 以内的质数有25 个：2、3、5、7、11. 13、17、19、23、29、31、37、41. 43、47、53、59、61、67、71. 73. 79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数. 关系：奇数X 奇数二奇数 3、常见最大.最小 质数X质数二合数 A的最小因数是：1:最小的奇数是：1: A的最大因数是：本身：最小的偶数是：0： A的最小俗数是：本身；最小的质数是：2： 最小的自然数是：0；最小的合数是：4： 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例: 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海汕合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为1匕。把36分解质因数是：36=2X2X3X3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 2| 30 3| 15 5 分析：看上而两个例子，分别是用短除法对1&30分解质因数，左边的数字表示“商S 竖折下而的表示余数，要注意步骤.具体步骤是： 2X2 质数与合数学问要点 1, 自然数按因数的个数来分：质数, 合数, 1, 0四类.（1）, 质数（或素数）：只有1与它本身两个因数。（2）, 合数：除了1与它本身还有别的因数（至少有三个因数：1, 它本身, 别的因数）。 （3）, 1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：① 最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2, 3。 ② 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘确定得合数。 ③ 20以内的质数：有8个（2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19） ④ 100以内的质数有25个：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 2, 100以内找质数, 合数的技巧： 看是否是2, 3, 5, 7, 11, 13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3, 常见最大, 最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4, 分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，假如两个因数都是质数就不再进行分解了；假如两个因数中海油合数，那我们接 着分解，始终分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5, 用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要留意步骤。具体步骤是： 6, 互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数：5与7 两个合数的互质数：8与9 一质一合的互质数：7与8 7, 两数互质的特殊状况： ⑴1与任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数确定互质； ⑷2与全部奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质； 三, 阅历之谈： 书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边，把合数写在右边，比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36； 短除法是除法一种简化，利用短除法分解质因数时，除数与商都不能是1，因为1不是质数 一, 填空。 1, 最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（）。 2, 20以内的质数有（），20以内的偶数有（），20以内的奇数有（）。 3, 20以内的数中不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。 4, 三个连续奇数的与是87，这三个连续的奇数分别是（）, （）, （）。 质数和合数分解质因数 课题一：质数和合数 教学要求①使学生掌握质数和合数的概念 ,知道它们之间的联系和区别。②能正确判断一个常见数是质数还是合数。 ③培养学生判断、推理的能力。 教学重点质数和合数的概念。 教学难点正确判断一个常见数是质数还是合数。 教学过程 一、创设情境 1．谁能说说什么是约数？ 2．请写出自己学号的所有约数。 二、揭示课题 我们学过求一个数的约数 ,那么每个数的约数的个数又有什么规律？下面我们一起来观察。 三、探索研究 1．学习质数和合数。 〔1〕请同学报出你们学号的所有约数？〔根据学生的答复板书〕 〔2〕观察：①每个约数的个数是否完全相同？②按照每个数的约数的多少 ,可以分几种情况？〔学生讨论后归纳〕〔3〕可分为三种情况：〔让学生填〕 ①有一个约数的数是：。 这些数中②有两个约数的数是：。 ③有两个以上约数的数是：。 〔4〕再观察。 ①有两个约数的如：2、3、5、7、11、13、17、19等。这几个数的约数有什么特征？ 讲：一个数 ,如果只有1和它本身两个约数 ,我们把这样的数叫做质数〔或素数〕。 ②4、6、8、9、10、12、14、15这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？ 讲：一个数 ,如果除了1和它本身两个约数外还有别的约数 ,我们把这样的数叫做合数。〔板书合数〕 请学号是合数的同学举手 ,点两名同学板演学号 ,大家检查。 ③请学号既不是合数也不是质数的同学举手并报出学号 ,大家检查。 ④学生看书第59页 ,读书上的小结语。 2、质数、合数的判断方法。 〔1〕根据什么判断一个数是质数还是合数？ 〔2〕教学例2。 让学生独立写出后讲所写的数为什么是质数〔或合数〕。四、课堂实践 1．做教材第60页的做一做。 第二讲质数、合数和分解质因数 一．根本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数〔也叫做素数〕。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37 ∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数〔如：1~9中有4个质数2、3、5、7〕。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14〔=2×7〕放在第一组，那么7和6〔=2×3〕只能放在第二组，继而15〔=3×5〕只能放在第一组，那么5必须放在第二组。 这样，14×15=210=5×6×7。 24.质数、合数与因数分解 知识纵横 一个大于1的正整数,若除了1与它自身,再没有其他的约数,•这样的正整数叫做质数;一个大于1的正整数,除了1与它自身,若还有其他的约数,这样的正整数称为合数,这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类: 正整数 1⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 单位质数合数 质数、合数有下面常用的性质: 1.1不是质数,也不是合数;2是惟一的偶质数. 2.若质数p│ab,则必有p│a或p│b. 3.若正整a,b的积是质数p,则必有a=p或b=p. 4.算术基本定理:任意一个大于1的整数N能分解成k个质因数的乘积,•若不考虑质因数之间的顺序,则这种分解是惟一的,从而N可以写成标准分解形式: N=p1a1·p2a2·…p k ak 其中p1质数和合数-知识点整理
质数和合数知识点
质数和合数知识点整理
质数和合数-知识点整理
质数和合数 分解质因数
二讲质数合数和分解质因数
质数、合数与因数分解(含答案)
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