质数 合数 分解质因数

质数合数分解质因数

在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．

偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．

把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．

例1两个质数的积是46，求这两个质数的和．

分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．

例2用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？

分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必

能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．

解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．

质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．

例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97÷11=8…9，97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．

判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断

400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？

例3将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．

分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．

解：将八个数分解成质因数：

40=23×544=22×11

45=32×563=32×7

65=5×1378=2×3×13

99=32×11105=3×5×7

这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．

例4360有多少个约数？

分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：

122223

32×322×323×3

322×3222×3223×32

52×522×523×5

3×52×3×522×3×523×3×5

32×52×32×522×32×523×32×5

这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个，而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：

一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：

如果A分解质因数为：

则A的全体约数的个数为：

（r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）

例5有30个约数的最小自然数是多少？

分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式：

其中a1，a2，a3为互不相同的质数．

要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样

A=24×32×5=720

解：因为30=30×1=2×15=6×5=10×3=2×3×5，而且题中要求

a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720．

例6九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．

分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得出结果．

首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：

11，13，15，17，19；

41，43，45，47，49；

71，73，75，77，79；

101，103，105，107，109；

131，133，135，137，139；

161，163，165，167，169；

191，193，195，197，199；

根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．

解：200以内另外五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．

小学奥数质数合数分解质因数

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a <<

质数 合数 分解质因数

在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2×

质数、合数、分解质因数

质数、合数、分解质因数 质数、合数、分解质因数 走进来 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。 举个简单例子，12的分解因数可以有以下几种：12=2×2×3=4×3=1×12=2×6，其中1，2，3，4，6，12都可以说是12的因数，即相乘的几个数等于一个自然数，那么这几个数就是这个自然数的因数。2，3，4中，2和3是质数，就是质因数，4不是质数。 求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法，和除法的性质差不多。短除法还可以用来求多个数的公因式。 一起做 1．判断下面各数是质数还是合数? 100l 137 1187 437 943 1359 2、判断269、439是质数还是合数? 提示：用最小的质数顺次试除，除到除数人于或等于商时为止。 3、两个质数和是20，它们的乘积最大是多少? 提示：和一定时，两数的差越？乘积越？ 4、36的全部因数有多少个?216的全部因数有多少个? 提示：写出36的全部因数，找出因数个数和质因数的关系。 5、36的全部因数的和是多少?360的全部因数的和是多少? 提示：写出36的所有因数并求和，找出和与质因数的关系。 6、李聪是个中学生，他参加了全市的数学竞赛(满分100分)。他说：“我的名次、分和我的年龄乘起来是3738。李聪得了多少分，获得了第几名? 提示：将3738分解质因数，根据年龄、名次及分数的特点组数。 7、小亚、小美和小欧是三个好朋友，他们三人的年龄依次相差2

岁，已知他们三人的年龄之积是1680，他们中年龄最大的上了初中，小亚和小欧在同一学校学习，小亚不是年龄最小的，那么三个好朋友的年龄分别是多少? 8、在1一1000自然数中，有哪些数有奇数个因数?这样的数共有多少个? 提示：从1开始列举一下，哪些数有奇数个因数，观察有奇数个因数个因数的数有什么特点？ 我能行，展现自己 (一)填空题 1．最小的质数是( )，最大的两位质数是( )。 2．两位数中最小的合数与l0以内最大的质数之积是( )。 3．在自然数中，最小的质数、最小的合数、最小的奇数之和是( )。 4．用比10小的所有质数组成的最大数是( )。用比l0小的所有合数组成的最小数是( )。 5．选用1、2、3、7四个数组成的最小三位合数是( )。 6．A、B、C是三个不同的质数，己知A+B+C：12，则A是( )，B是( )，C是( )。 (二)解答题 1．有七个不同的质数，它们的和是60，其中最小的质数是多少? 2．两个质数和是45，这两个质数的积是多少? 3．一个两位质数，将它们的十位数字和个位数字对调后仍是一个两位质数，这样的数共有几个，求它们的和是多少? 4．已知A是质数，(A十l0)与(A十14)也是质数，求质数A是几。 5．求100以内所有只有三个因数的自然数的和是多少? 6．把24、216、1008分解质因数，并求出它们因数的个数。 7．把2l0个大小相同的正方形，拼成一个长方形，有多少种不同的拼法? 8．72的所有因数的和是多少?248的所有因数的和是多少? 9．冬冬参加小学数学竞赛，满分是100分。他说：“我的分数、

数的整除 素数、合数与分解质因数

第五讲数的整除素数、合数与分解质因数 【知识点】 一、素数和合数 1.一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫质数； 如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。 2.“1”为什么既不是质数？也不是合数？ 按合数定义“1”不是合数。 “1”不是质数，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数 3. 100以内的素数 熟记20以内的全部素数 二、分解质因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。 分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。 把一个合数分解质因数有两种方法。 1 / 7

一种是利用乘法口诀分解质因数。 另一种是用短除法分解质因数 【典型例题】 一、质数和合数 例1．说出下面各数的约数，哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？ 1、2、3、4、5、6、7、8…19、20 只有1个约数的自然数有： 有两个约数（1和它本身）自然数有： 有两个以上约数的自然数有： 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 例2.下面哪些数是质数？哪些是合数？ 19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54 例3. 自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。紧靠3后面的是5，5是质 2 / 7

质数合数分解质因数

(七)质数合数分解质因数 闵识要点］ 若a能被b養除，b就是a的约数。 1. 质数与合数 自然数按其约数的个数可以分成三类： ⑴单位1:只含有1这一个约数的自然数。 ⑵质数(也称为素数)：只含有1与它本身这两个约数的自然数。 (质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2履质数中唯一的偶数。100之内有25个质数。) (3)合数：含有三个或三个以上约数的自然数。 2. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 如：12 = 2X2X3；70 = 2X5X7; 126 = 2X3X3X7; ............................ 若校大的自然数要进行分解质因数往往用短除法。 练习：把21六、107八、504()写成质因数连乘的形式： 例 1 ：a、b、c 是质数，c 是一名数，且aXb+c=1993o 那么a+b+c=( ) 。 例2:用一.二、3、4、五、六、7、八、9这九个数字组成质数, 若是每一个数字都要用到，而且只能用一次，那么这九个数字最多能1

组成多少个质数? 例3: 1500的约数有（）个。这些约数的和是（）。 例4:有8个不同约数的自然数中，最小的一个是（）。 例5: 504乘以一个自然数a,取得一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 练习： 1.36（）的约数有 __ 个，这些约数的和是________ 。 2.找出1992所有不同的的质因数，它们的和是 ______ o 3.若a、b、c、d是四个互不相等的自然数，且aXbXcXd= 1988, 那么a+b+c+d的最大值是 ______ 。 2

质数与合数 分解质因数

质数与合数分解质因数 知识要点： 自然数（不包括0）按照因数个数的不同可以分为三类：1、质数、合数。 把一个合数分解成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，这几个质数叫做这个合数的质因数。一般是用“短除法”逐级将一个合数分解成质数相乘的形式。 例1、判断103，437是质数还是合数？ 例2、有4名同学参加夏令营，他们的年龄恰好一个比一个大1岁。且他们的年龄乘积是17160，你们知道他们分别是多少岁吗？ 例3、把7、14、20、21、28、30这六个数分成两组，每组三个数相乘，使它们的积相等，使它们的积相等，应如何分？ 例4、不计算，48×925×38×435的积末几位是连续的0？ 例5、已知1176×a=b4，a，b是自然数，求a的最小值。 例6、王老师带领全班同学去植树，同学们正好平均分成了三组。结果师生每人植的树一样多，他们一共植了1073棵。求平均每人植树多少棵？ （1）你能判断出277，493是质数还是合数？ （2）三个连续奇数的乘积是1287，则这三个数的和是多少？

（3）将21、30、65、126、143、169、275分成两组，使两组数的积相等。 （4）不计算，判断一下，24×34×475×60×925的积的末尾共有几个连续的0？ （5）84×300×365×（），要使这个连乘积的最后5个数字都是0，在括号里最小应填什么数？ （6）张老师把全班同学平均分成了两组，并和全体同学一起为学校搬运新课桌。已知老师和同学每人搬的张数相同，共搬111张桌子。求这个班有多少名学生？ （7）1×2×3×4×5×……×2005×2006积的末尾一共有多少个零？ （8）一盒棋子共有96粒，如果不一次拿出，也不一粒一粒地拿出，但每次拿出的粒数要相同，最后一次正好拿完。共有多少种拿法？ （9）a、b、c、d、e这个五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次是：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30。将这个五个数从小到大排成一行，那么左起第二个数是多少？

五年级奥数 质数合数分解质因数

一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2） ＝32×35×38（合题意） 要求的三个自然数分别是32、35和38。

第四讲 质数、合数、与分解质因数

第四讲：质数、合数、分解质因数 【知识概述】 1、一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。 2、由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。 3、两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。 4、质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。 5、把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。 【例题精讲】 例题1 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数? 解要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用． 有1、4、8、9可以组成质数、，而6可以与前面的一位质数中的组合成质数。所以这9个数字最多组成了这6个质数。 例题2 四个小孩，恰好一个比一个大一岁，其年龄之积是3024，这四个小孩中最大的一个是多少岁？解：将3024分解后再重新组合，看怎么才能组合成四个连续自然数相乘 3024= 重新组合后 3024= 所以这四个小朋友中最大的一个是。 例题3月明×中秋＝（月明和中秋分别代表不同的两位数，圆圆圆表示三位数）。则“月明”和“中秋”这两个两位数各是多少？ 解：因为圆圆圆=111×圆=3×37×圆 所以圆= 所以月明= 中秋= 例题4、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少? 解有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 其中第三个最简真分数为。 例题5、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙

质数合数分解质因数

１ 质数合数分解质因数 课本知识回顾： 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____. 两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____. 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数； 除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要 大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3. 部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、质数合数的认知 【例 1】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 【巩固】 两个质数的和是49，求这两个质数的乘积是多少？

100以内的合数分解质因数

100以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 9＝3×3 10＝2×5 12＝2×2×3 14＝2×7 15＝3×5 16＝2×2×2×2 18＝2×3×3 20＝2×2×5 21＝3×7 22＝2×11 24＝2×2×2×3 25＝5×5 26＝2×13 27＝3×3×3 28＝2×2×7 30＝2×3×5 32＝2×2×2×2×2 33＝3×11 34＝2×17 35＝5×7 36＝2×2×3×3 38＝2×19 39＝3×13 40＝2×2×2×5 42＝2×3×7 44＝2×2×11 45＝3×3×5 46＝2×23 48＝2×2×2×2×3 49＝7×7 50＝2×5×5 51＝3×17 52＝2×2×13 54＝2×3×3×3 55＝5×11

56＝2×2×2×7 57＝3×19 58＝2×29 60＝2×2×3×5 62＝2×31 63＝3×3×7 64＝26 65＝5×13 66＝2×3×11 68＝2×2×17 69＝3×23 70＝2×5×10 72＝2×2×2×3×3 74＝2×37 76＝2×2×19 78＝2×3×13 80＝2×2×2×2×5 81＝3×3×3×3 82＝2×41 84＝2×2×3×7 85＝5×17 86＝2×43 87＝3×29 88＝2×2×2×11 90＝2×3×3×5 91＝7×13 92＝2×2×23 93＝3×31 94＝2×47 95＝5×19 96＝25×3 98＝2×7×7 99＝3×3×11 100＝2×2×5×5

第二讲 质数、合数和分解质因数

第二讲质数、合数和分解质因数 一．基本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37

∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（=3

(完整版)质数和合数_知识点整理

质数和合数知识要点 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. （1）、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 （2）、合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。（3）、1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 ②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 ③20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19） ④100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 2、100以内找质数、合数的技巧： 看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数 3、常见最大、最小 A的最小因数是：1；最小的奇数是：1； A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0； A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2； 最小的自然数是：0；最小的合数是：4； 4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。树状图 例： 分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。把36分解质因数是：36=2×2×3×3 5、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 例： 分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。具体步骤是：

奥数质数合数分解质因素讲义及答案

奥数质数合数分解质因素讲义及答案 数的整除（2）质数、合数、分解质因数 教室姓名学号 【知识要点】 1、质数与合数 自然数按其因数的个数可以分成三类： （1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。 （2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。 （4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（5）因数个数定理： 例如：1980=22×32×5×11 所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理： 例如：1980=22×32×5×11 所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（0 11+111） =7×13×6×12=6552 【典型例题】 例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？ 解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。 例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。 例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？ 解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。 因数的和是：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170 例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？ 解：每次拿的个数都是96的因数（除96和1之外），这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。 【精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23×32×7=22×32×（2×7），还少（2×7），使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056。 【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样 分？说明理由。 14，33，35，30，75，39，143，169. 解：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个（包括相同的），其中：质因数2有两个，质因数3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为：

质数和合数 分解质因数

质数和合数分解质因数 课题一：质数和合数 教学要求①使学生掌握质数和合数的概念 ,知道它们之间的联系和区别。②能正确判断一个常见数是质数还是合数。 ③培养学生判断、推理的能力。 教学重点质数和合数的概念。 教学难点正确判断一个常见数是质数还是合数。 教学过程 一、创设情境 1．谁能说说什么是约数？ 2．请写出自己学号的所有约数。 二、揭示课题 我们学过求一个数的约数 ,那么每个数的约数的个数又有什么规律？下面我们一起来观察。 三、探索研究 1．学习质数和合数。 〔1〕请同学报出你们学号的所有约数？〔根据学生的答复板书〕 〔2〕观察：①每个约数的个数是否完全相同？②按照每个数的约数的多少 ,可以分几种情况？〔学生讨论后归纳〕〔3〕可分为三种情况：〔让学生填〕 ①有一个约数的数是：。

这些数中②有两个约数的数是：。 ③有两个以上约数的数是：。 〔4〕再观察。 ①有两个约数的如：2、3、5、7、11、13、17、19等。这几个数的约数有什么特征？ 讲：一个数 ,如果只有1和它本身两个约数 ,我们把这样的数叫做质数〔或素数〕。 ②4、6、8、9、10、12、14、15这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？ 讲：一个数 ,如果除了1和它本身两个约数外还有别的约数 ,我们把这样的数叫做合数。〔板书合数〕 请学号是合数的同学举手 ,点两名同学板演学号 ,大家检查。 ③请学号既不是合数也不是质数的同学举手并报出学号 ,大家检查。 ④学生看书第59页 ,读书上的小结语。 2、质数、合数的判断方法。 〔1〕根据什么判断一个数是质数还是合数？ 〔2〕教学例2。 让学生独立写出后讲所写的数为什么是质数〔或合数〕。四、课堂实践 1．做教材第60页的做一做。

二讲质数合数和分解质因数

第二讲质数、合数和分解质因数 一．根本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数〔也叫做素数〕。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37 ∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数〔如：1~9中有4个质数2、3、5、7〕。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14〔=2×7〕放在第一组，那么7和6〔=2×3〕只能放在第二组，继而15〔=3×5〕只能放在第一组，那么5必须放在第二组。 这样，14×15=210=5×6×7。

四年级上册100以内的分解质因数。

四年级上册100以内的分解质因数。 每个数都可以被1和本身整除 100以内合数分解质因数：4=2*2、6=2*3 、8=2*2*2 、9=3*3 、10=2*5 、12=2*3*2 、14=2*7 、15=3*5 、16=2*2*2*2、18=2*3*3 、20=2*2*5、21=3*7、22=11*2 、24=3*2*2*2*2、25=5*5、26=13*2、27=3*3*3 、28=2*2*7、30=2*3*5 、32=2*2*2*2*2 33=11*3 、34=2*17 、35=5*7 、36=2*2*3*3 、38=2*19 、39=3*13、40=2*2*2*5 、42=2*3*7 、44=2*2*11 、45=3*3*5 、46=2*23 、48=2*2*2*2*3、49=7*7 、50=2*5*5 51=3*17 、52=2*2*13 、54=2*3*3*3、55=5*11 、56=2*2*2*7 、57=3*19 、58=2*29 60=2*2*15、62=2*31 、63=3*3*7 、64=2*2*2*2*2*2、65=5*13、66=2*3*11 68=2*2*17 、69=3*23 、70=2*5*7、72=2*2*2*3*3、74=2*37 、75=3*5*5 、76=2*2*19 77=7*11 、78=2*3*13、80=2*2*2*2*5 、81=3*3*3*3 、82=2*41 、84=2*2*3*7、85=5*17 、86=2*43、87=3*29 、88=2*2*2*11 、90=3*3*2*5 、91=7*13、92=2*2*23 93=3*31 、94=2*47、95=5*19、96=2*2*2*2*2*3 、98=2*7*7、99=3*3*11