第五章小波变换基本原理
问题
①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？—尺度
②小波发展史
1910 Harr 小波
80 年代初兴起Meyer—小波解析形式
小波80 年代末 Mallat 多分辨率分析— WT 无须尺度
构造？和小波函数—滤波器组实现
90 年代初 Daubechies 正交小波变换
90 年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
③小波变换与短时傅里叶变换比较
a．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数WT（要容许性条件）
④小波相关概念，数值实现算法
多分辨率分析（哈尔小波为例）Daubechies正交小波构造
MRA 的滤波器实现
⑤小波的历史地位仍不如FT，并不是万能的
5.1连续小波变换
一． CWT 与时频分析
1t b
1.概念： CWT (a, b)S(t) * ()dt
a
a
2.小波变换与 STFT 用于时频分析的区别
STFT小波变换
基函数
(t )(t mT )e jwt(t)1* ( t b )
a a
时频轴平移 +调制（线性频轴）平移+伸缩 a —尺度—对数频
轴
基函数特包络恒定，振荡不同振荡恒定，包络恒定
征
时频分辨(t mT )e jwt，[mT,w]附近w0
附近
b, 率 a
适用情况渐变信号突变信号
2 轴spectrogram scalogram
结果复数实数
3.WT 与 STFT 对比举例（ Fig5–6, Fig5–7）
二． WT 几个注意的问题
1.WT 与(t) 选择有关—应用信号分析还是信号复原
2.母小波(t ) 必须满足容许性条件
2
( w)
C dw
w
①隐含要求(0) 0,即(t) 具有带通特性
②利用 C可推出反变换表达式
S(t) 1 1 CWT (a,b) (t b
)dadb
C a 2 a
3.CWT 高度冗余（与 CSTFT 相似）
4.二进小波变换（对平移量 b 和尺度进行离散化）
2 m , b n 2 m 1 ( t b
)
m
(2m t n)
a a,
b (t )
m,n (t ) 2 2
a a
d
m,n CWT (2 m , n 2 m ) S(t ) m,n * (t) dt 5.小波变换具有时移不变性
S(t ) C W T(a, b)
S(t b0 ) C WT(a,b b0 )
6.用小波重构信号
S(t)
? ?
d m,n m,n (t )正交小波 d m,n m,n (t ) m n mn
中心问题：如何构建对偶框架?
m, n
如何构建正交小波？
5.2 分段逼近
学习目的—理解 MRA
一．分段逼近的引入
很显然采样率越高，T s越小，PAM
逼近误差越小，采样率无误信号近似
ADC 差
T s 1
t f s
1.采样率增大的尺度体现
1
1, 0 t 1
(t)
0,其它
1 t 用平移的(t ) 版本对S(t)作近似
逼近函数(t n) 2 ( 2t n)
S(t) C0,n (t n) S(t) 2 C1, n (2t n)
1 尺度 a
n n 2
m
一般式： S(t) 2 2 C m,n (2m t n) 尺度 a 2 m
n
m ,a 0, 逼近收敛于S( )
m 0, a , 逼近0
(t)
2.两尺度函数间关系 1 张成 V0空间
(t)(2t)(2t 1)
1 ①张成空间满足 V0 V1
1 (2t)
空间
②两尺度空间差异在哪？张成 V
1
3.表征细节的小波变换的引入
1
2
1 (2t 1)
(t )
(2t)
(t ) (t)
2 (t ) 表细节发现
(t) (t )
(2t 1)
2
S( t)2 C1, n (2t n)
n
n 2m,2m 1
2
C
1, 2 m (2t 2m) C1, 2 m 1 (2t 2m 1)
m m
2 C1,2m
(t m) (t m) (t m) (t m)
2
C1, 2m 1
2 m m
m
C
1,2 n
C
1, 2 n 1
(t
C
1,2 n
C
1, 2n 1
(t n) n
2
n)
2
m n
V1 V0 W0 4.推广
m=-1 V 1
尺
度
m=0V0
m=1V0
m=2V1 W0V1
W1
V2
V1V1W0V
V1V W 1
W
1
W
V
m
W
m W 2 W 1 W0 2
W
1
W
V m W
m 3
W
m 2 W m 1, m
m , 逼近精度V lim V m W 2 W 1 W0 W1
m
m , 逼近精度V 0
m
2 2 (2m t n) 包含信息量决定形成最简单的 MRA
二．分段逼近与小波变换（哈尔小波）
1.信号的尺度逼近与小波表示
m
尺度逼近 2 2
C m,n ( 2m t n)
S(t )
n
m
小波表示 S(t )
d m,n 2 2 (2m t n)
Harr 小波
m
n
2.Harr 小波特性
①同一尺度平移正交性：
(t n) * (t n )dt
( n n )
同尺度 m 也满足
m,n
(t )
m,n * (t) dt
(n n )
作变量替换即可证明
②尺度，平移均正交
(m m )
m,n (t ), m , n (t )
2 2
(2m t n) * ( 2m t n ) dt
m, m n ,n
m
信号在正交基函数上投 影即为小波系数
2 2 (2m t n) 形成正交基
m
S(t) * (2 m t n)dt
d m ,n 2 2
分段逼近的推广 —MRA 一．多分辨率分析含义
①由内空间 0 V m 1
V m
V
m 1
组成
②若 V 0 空间尺度函数 (t) 平移正交： (t ) * (t n) ( n)
则
(t )
为 V 0 空间尺度函数 ,任一函数 S(t)可用 (t) 表示
S(t )
C n (t n)
n
C n S(t) * (t n)dt
③ S(t) V m 当且仅当 S( 2t) V m 1成立
④ V m 交集为 0
V m
m
⑤平方可积空间即为 V m 并集逼近
lim V m
L 2 (R)
m
问题： Harr 小波构成最简单 MRA
如何构造选其它具体的 MRA 体系
二．正交小波函数的系统构造
1.两尺度方程引入
①低通滤波器与尺度关系
Harr 小波满足
(t)
(2t )
(2t 1) 2 1 (2t ) 1
(2t 1)
2
2 h 0
1 1
满足 ( t
) 2 h 0 (n) (t n) 卷积关系
2 2
2 n
②频域反映
令 h 0 (n)
H 0 (w)
(t)
(w)
( t
2 ( 2w)
)
2
h 0 H 0 ( w) (w)
2 (2w) 2H 0 (w) ( w)
即 (2w) H 0 (w) ( w)
③含义
a. H 0 (0) 1, h 0 (n)为 LPF
b ．根据 MRA ， ( w) H 0
w w H 0 ( w
( ) ( ) 2 k ) (0)
2
2
k 1
c. (0) 1
2.QMF 的引入
① (t) 的尺度正交关系的频域反映
(t) * (t
n)(n)
(t n)e j n w (w)
频域也正交
1 ( w) * (w) e jnw dw
(n)
2
n
两边对 n 求和
1 ( w) * (w) e inw dw 1
2
n
利用泊松求和公式
f ( n)e jnw
F (w 2n )
n
n
（令 f (n) 1,则 F ( w)
2 (w) ） 有
e
jnw
2
( w 2n )
n
n
1 e jnw
( w
2n )
2
n
n
(w) * ( w)
n
( w 2n ) dw 1
2
( w 2n ) dw 1
(w)
n
即：
(w 2n 2
1
(w
2
1
)
2k )
n
k
② QMF 正交镜像滤波器组的导出利用两尺度关系
(
w
k ) H 0 (
w
2
k )
1
k
2
2
对 k 分奇偶讨论
w
w
2
w
w
2
n
H 0 ( 2 2n ) ( 2 2n )
n
H 0 ( 2 (2n
1) ) ( 2
(2n 1) )1
2
2
2
2
H 0 ( w
)
(
w
2n )
H 0 (
w
)
(
w
(2n 1) )
1
2
n
2
2
n
2
( w
) 2
(
w
2
H 0
H 0 )
1
2
2
H 0 ( w) 2
H 0 (w
2
H 0 (w) H 0 * ( w) H 0 ( w )H 0 * (w 2
) 1
)
③含义
a.H 0 (0) 1 H 0 ( ) 1, H 0 (w ) 为H 0 (w)镜像
b.功率互补条件 —半带条件
P( w) H 0 (w) H 0 * ( w)
1
H 0 (w
2
)
H 0 (w) 2
2
3.正交小波滤波器满足的条件
①频域关系
根据
( x), ( x k) 0 可推出
H 0 (w)H 1 * (w) H 0 (w
) H 1 * ( w
) 0
上式的解为 H 1 (w)
e jw H 0 * (w
)
②时域关系
令 h 1 ( n)
H 1 ( w) h 0 ( n) H 0 (w) 根据 H (w)
h( n)e jnw
n
h 0 ( n) H 0 * ( w)
( 1)n h 0 ( n) H 0 * ( w
) ( 1) n 1 h 0 (1 n) e jw H 0 * (w ) h 1 (n) ( 1) n h 0 (1 n)
e jw H 0 * ( w
)
③易证 H 1 (w)也为 QMF
④小波滤波器同样满足两尺度关系
(t)
2
h 1 ( k) (2t k)
k
( w) H 1 ( w
) ( w
) H 1 ( w ) H 0 ( w
)
2 2 2 k 2 2k 4.尺度与小波滤波器频域关系的矩阵表示
H 0 (w) H 1 ( w) H 0 ( w) H 0 ( w ) H 0 (w
) H 1 * (W
) H 1 ( w) H 1 ( w ) 5. m,n (t) 与 m ,n (t ) 的 MRA 解释
m,n
(t )
W m
正交补
L
2
W
m,n
(t )
V m
m 1
S(t )
d m,n
m,n
(t )
m
n
d m, n S(t ) m,n * (t)dt
1 0 0 1
W
m
W
m 1
例：求 Harr 小波的频域尺度函数和小波函数
1 1 h 1
1 1 h 0
2
2
2 2
w
j w 2
w
j
w
解： ( w)
H 0 ( e Cos(
2
2 k )
2 k 1
)e
k 1
k 1
Sin( w
2)
w 2
h 1 (n)e jnw
1 (1 e jw )
j
w
w ) H 1 (w)
j e 2 Sin(
n
2
2
w
w w 4) 2
(S i n
(w) H 1 ( 2 ) ( 2 )
(w) w
4
其频域幅值图如 Fig5–13 所示
可发现其缺陷在于波纹太大 （原因 —时域紧支撑）
例：理想 LPF 也构成正交小波
1
w H 0 ( w)
2 0
其它
Sin
2 (1 n)
解： h 0 (n) IFT H 0 ( w)
(1 n)
Sinc( )函数 Sinc 小波
三．有关小波函数的一些概念
1.小波消失矩 （vanishing moment ）
满足
m 1 (k )
t k (t) dt
0, k 0,1, N 1 则称 (t )具有 N 阶 消 失 矩
①母小波 (t ) 平滑度由消失矩决定，消失矩越大，则
(w) 频域衰减越快
(t ) 越平滑
②消失矩越大，小波振荡程度越高
2.小波正则度（ regularity ） ①定义：小波 (t) 的连续可导次数
②正则度为 n 的小波
(t) 具有（ n+1）阶消失矩（必要条件）
1.根据 MRA 理论
①小波和尺度函数均可由无穷频域次乘积得出，最终由h0 ( n) 决定
②不关心其解析表达式
2.MRA 理论离散小波的数值实现
滤波器组
5.4 小波变换与数字滤波器组
一．时间离散小波变换的实现途径
1.不能直接对定义式离散化实现
m
d
m,n S(t), m, n (t) S(t ),2 2 (2m t n)
令l kT (T采样周期)
当 m 较小时，2m t n 不为整数
2.第一代小波变换：根据MRA 理论，由数字滤波器组实现
（ Mallat 算法）（根据尺度函数和小波函数）
3.第二代小波变换： Swelden算法
二． Mallat 算法
1.两个近似假设
① S(t)由某一尺度空间函数近似
② C m,n由采样数据直接近似
m
C m,n 2 2S(t) * ( 2m t n)dt
(t)( w)(t n) e (2m t n) e 由预测和更新滤波器进行交替提升实现
n 1
S(t ) C m0n m0n (t ) d k ,n kn (t) n k m0 n
jnw(w)
jn
w
2m(2 m w) 2m
m m
2 2 ( 2m t n)
2 2 e jn 2 m w (2 m w)
1 m
n
C m,n
2 2
S( w) * (2 m w)e j 2m w dw
2
当分辨率 m 足够高时
* (2 m w) 0
m
C m,n
2
2
1
S( w)e j 2 m nw dw
2
m
m
2 2 S(2 m n) 2
2
S(t ) t 2
m n
故可直接用样本数据取代
2.Mallat 算法
①分解算法
a.推导
m
*
m 1
S(t ) * ( 2m 1 t
C
m 1,n
S(t )
1 , n
(t )dt 2 2 n) dt 2m 1
S(t )
* ( 2
m
t
2n
)dt
2
m 1
两 尺 度 关 系 2 2
S(t ) 2 h 0 (i ) * ( 2m t (2n i)) dt
i
m
h 0 (i )
S(t )2 2 * ( 2m t (2n
i ))dt
i
2 h 0 (i)
S(t),
m, 2n i
(t)
2 h 0 (i )C m, 2 n i
i
i
i 2n i
2 h 0 (i 2n)C m ,i
i
同理 d m 1, n 2
h 1 (i 2n)C m, i
i
b.滤波器组实现（滑动内积 +下采样）
C
m,n
H 0 * (w) 2
C
m 1,n
h 0 ( n)
H 1 * (w) 2
d
m 1,n
h 1 ( n)
②重构算法
a.推导（由两尺度关系，正交关系，及奇偶讨论可导出）
C m,n2h0 (n 2i )C m 1,i h1 (n 2i )d m 1,i
i i
b.滤波器组实现（上采样 +滤波）
d
m 1, n
2H 1 (w)S(i) C
m 1, n
2H 0 (w)
5.5小波变换的应用
一．小波地位
小波曾火热一时，但小波不是万能的，在某些应用场合特别适用小波无法求解微分方程纯数字和物理地位不如FT
二．信号检测方面应用
发动机声音中的撞击声检测
傅里叶分析：时间平均作用模糊了信号局部特性
Gabor 变换：仍需长窗去包含振荡波形
小波变换：小波基可任意窄
三．降噪应用
1.适用场合
经典滤波：要求信号与噪声频率足够窄且不重合
高斯类噪声和脉冲噪声宽带噪声小波去噪
2.滤波效果
①经典滤波：丢失波形尖锐处信息
②小波降噪：基本保留波形尖锐处信息（与小波基选择有关）
3.滤波手段
①传统方法： Prony 参数建模法
②小波降噪
a. 信号
系数阈值比较反变换输出小波变换
分解重构
b.可证明其统计最优性
c.阈值比较（阈值 T 可基于信号标准差得出）
硬阈值：比较 d m,n
软阈值：考虑 d m,n符号，及其其它系数相关性
4.小波基选择：小波基应与主体信号量相近
相似度越高，主小波系数越大，噪声系数则越小NI 信号处理工具箱
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
混凝土结构设计基本原理复习重点(总结很好) 第 1 章绪论 1.钢筋与混凝土为什么能共同工作： （1）钢筋与混凝土间有着良好的粘结力，使两者能可靠地结合成一个整体，在荷载作用下能够很好地共同变形，完成其结构功能。 （2）钢筋与混凝土的温度线膨胀系数也较为接近，因此，当温度变化时，不致产生较大的温度应力而破坏两者之间的粘结。 （3）包围在钢筋外面的混凝土，起着保护钢筋免遭锈蚀的作用，保证了钢筋与混凝土的共同作用。 1、混凝土的主要优点：1)材料利用合理2 )可模性好3)耐久性和耐火性较好4)现浇混凝土结构的整体性好5)刚度大、阻尼大6)易于就地取材 2、混凝土的主要缺点：1)自重大2)抗裂性差3 )承载力有限4)施工复杂、施工周期较长5 )修复、加固、补强较困难 建筑结构的功能包括安全性、适用性和耐久性三个方面 作用的分类：按时间的变异，分为永久作用、可变作用、偶然作用 结构的极限状态：承载力极限状态和正常使用极限状态 结构的目标可靠度指标与结构的安全等级和破坏形式有关。 荷载的标准值小于荷载设计值；材料强度的标准值大于材料强度的设计值 第2章钢筋与混凝土材料物理力学性能 一、混凝土 立方体抗压强度（f cu,k）：用150mm×150mm×150mm的立方体试件作为标准试件，在温度为（20±3）℃，相对湿度在90%以上的潮湿空气中养护28d，按照标准试验方法加压到破坏，所测得的具有95%保证率的抗压强度。（f cu,k为确定混凝土强度等级的依据） 1.强度轴心抗压强度（f c）：由150mm×150mm×300mm的棱柱体标准试件经标准养护后用标准试验方法测得的。（f ck=0.67 f cu,k） 轴心抗拉强度（f t）：相当于f cu,k的1/8～1/17, f cu,k越大，这个比值越低。 复合应力下的强度：三向受压时，可以使轴心抗压强度与轴心受压变形能力都得到提高。 双向受力时，（双向受压：一向抗压强度随另一向压应力的增加而增加；双向受拉：混凝土的抗拉强度与单向受拉的基本一样； 一向受拉一向受压：混凝土的抗拉强度随另一向压应力的增加而降低，混凝土的抗压强度随另一向拉应力的增加而降低） 受力变形：（弹性模量：通过曲线上的原点O引切线，此切线的斜率即为弹性模量。反映材料抵2.变形抗弹性变形的能力） 体积变形（温度和干湿变化引起的）：收缩和徐变等。 混凝土单轴向受压应力-应变曲线数学模型 1、美国E.Hognestad建议的模型 2、德国Rusch建议的模型 混凝土的弹性模量、变形模量和剪变模量 弹性模量 变形模量 切线模量 3、（1）徐变：混凝土的应力不变，应变随时间而增长的现象。 混凝土产生徐变的原因： 1、填充在结晶体间尚未水化的凝胶体具有粘性流动性质 2、混凝土内部的微裂缝在载荷长期作用下不断发展和增加的结果 线性徐变：当应力较小时，徐变变形与应力成正比；非线性徐变：当混凝土应力较大时，徐变变形与应力不成正比，徐变比应力增长更快。影响因素：应力越大，徐变越大；初始加载时混凝土的龄期愈小，徐变愈大；混凝土组成成分水灰比大、水泥用量大，徐变大；骨料愈坚硬、弹性模量高，徐变小；温度愈高、湿度愈低，徐变愈大；尺寸大小，尺寸大的构件，徐变减小。养护和使用条件 对结构的影响：受弯构件的长期挠度为短期挠度的两倍或更多；长细比较大的偏心受压构件，侧向挠度增大，承载力下降；由于徐变产生预应力损失。（不利）截面应力重分布或结构内力重分布，使构件截面应力分布或结构内力分布趋于均匀。（有利） （2）收缩：混凝土在空气中结硬时体积减小的现象，在水中体积膨胀。 影响因素：1、水泥的品种：水泥强度等级越高，则混凝土的收缩量越大； 2、水泥的用量：水泥越多，收缩越大；水灰比越大，收缩也越大； 3、骨料的性质：骨料的弹性模量大，则收缩小； 4、养护条件：在结硬过程中，周围的温、湿度越大，收缩越小； 5、混凝土制作方法：混凝土越密实，收缩越小； 6、使用环境：使用环境的温度、湿度大时，收缩小； 7、构件的体积与表面积比值：比值大时，收缩小。 对结构的影响：会使构件产生表面的或内部的收缩裂缝，会导致预应力混凝土的预应力损失等。 措施：加强养护，减少水灰比，减少水泥用量，采用弹性模量大的骨料，加强振捣等。 混凝土的疲劳是荷载重复作用下产生的。（200万次及其以上） 二、钢筋 光圆钢筋：HPB235 表面形状 带肋钢筋：HRB335、HRB400、RRB400 有明显屈服点的钢筋：四个阶段（弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、破坏阶段），屈服强度力学性能是主要的强度指标。 （软钢）
我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：
《混凝土结构基本原理》练习题 一、单选题 1．与素混凝土梁相比，钢筋混凝土梁承载能力（C ）。 A.相同B、有所降低 C.提高很多 D.提高很少 2．与素混凝土梁相比，钢筋混凝土梁抵抗开裂的能力（C）。 Ａ.相同 B.有所降低 C.提高不多 D.提高很多 3．就混凝土的徐变而言，下列几种叙述中（ D ）不正确。 A.徐变是在荷载长期作用下，混凝土的变形随时间的延长而增长的现象。 B.持续应力的大小对徐变有重要影响。 C.徐变对结构的影响，多数情况下是不利的。 D.水灰比和水泥用量越大，徐变越小。 4．线性徐变是指（C ）。 A.徐变与荷载持续时间为线性关系 B.徐变系数与初应力为线性关系 C.徐变与初应力为线性关系 D.瞬时变形与初应力为线性关系 5．对于无明显屈服点的钢筋，其强度取值的依据是（ D ）。 A.最大应变对应的应力 B.极限抗拉强度 C.0.9极限强度 D.条件屈服强度 6．钢筋的混凝土保护层厚度是指：(A) A.纵向受力钢筋外表面到构件外表面的最小距离 B.纵向受力钢筋形心到构件外表面的距离 C.箍筋外表面到构件外表面的最小距离 D.纵向受力钢筋的合力点到构件外表面的最小距离 7．超筋梁正截面受弯承载力与（A）。 A.混凝土强度有关 B.配筋强度f y A s有关 C.混凝土强度和配筋强度都有关 D.混凝土强度和配筋强度都无关 8．受弯构件正截面弯曲破坏形态的决定性因素是（C）。 A.荷载大小 B.混凝土强度等级 C.计算受压区高度 D.箍筋用量 9．钢筋混凝土单筋矩形截面适筋梁，若截面尺寸给定，混凝土及钢筋强度给定，则配筋率ρ越大（A ）。 A.破坏时受压区高度越大 B.破坏时的变形越大 Ｃ.破坏时受压区边缘的压应变越大 D.破坏时受拉钢筋的应变越大 10．提高梁的配箍率可以（D ）。 A.显著提高斜裂缝开裂荷载 B.防止斜压破坏的出现 C.使斜压破坏转化为剪压破坏 D.在一定范围内可以提高抗剪承载力 11．双筋矩形截面受弯构件设计时，当受压区x<2a s’时，表明（B ）。 A.受拉钢筋不屈服 B.受压钢筋不屈服 C.受拉、受压钢筋均不屈服 D.应加大截面尺寸 12．钢筋与混凝土之间的粘结强度（D）。 A.随外荷载增大而增大 B.随钢筋强度增加而增大 C.随钢筋埋入混凝土中的长度增加而增大 D.随混凝土强度等级提高而增大 13．限制箍筋最大间距的目的主要是（B ）。 A.控制箍筋的配筋率 B.保证箍筋和斜裂缝相交 C.防止出现斜压破坏 D.保证箍筋的直径不致太大 14．提高受弯构件抗弯刚度最有效的措施是（ C ）。 A.增加受拉钢筋截面面积 B.采用高强钢筋 C.增大构件截面有效高度 D.采用高强度等级混凝土
.钢筋和混凝土是两种物理、力学性能很不同的材料，它们为什么能结合在一起共同工作？答：（1）混凝土结硬后，能与钢筋牢固地粘结在一起，互相传递内力。粘结力是这两种性质不同的材料能够共同工作的基础。（2）钢筋的线膨胀系数1.2×10^(-5) ℃-1，混凝土的线膨胀系数为1.0×10^(-5)~1.5×10^(-5) ℃-1，二者数值相近。因此，当温度变化时，钢筋与混凝土之间不会存在较大的相对变形和温度应力而发生粘结破坏。 1-2.钢筋冷拉和冷拔的抗拉、抗压强度都能提高吗？为什么？答：冷拉能提高抗拉强度。冷拉是在常温条件下，以超过原来钢筋屈服点强度的拉应力，强行拉伸钢筋，使钢筋产生塑性变形达到提高钢筋屈服点强度和节约钢材的目的。冷拔能提高抗拉、抗压强度。冷拔是指钢筋同时经受张拉和挤压而发生塑性变形，截面变小而长度增加，从而同时提高抗拉、抗压强度。 1-7.简述混凝土在三向受压情况下强度和变形的特点。 答：在三向受压状态中，由于侧向压应力的存在，混凝土受压后的侧向变受到了约束，延迟和限制了沿轴线方向的内部微裂缝的发生和发展，因而极限抗压强度和极限压缩应变均有显著提高，并显示了较大的塑性。 1-8.影响混凝土的收缩和徐变的因素有哪些？ 答：（1）影响徐变的因素：混凝土的组成和配合比；养护及使用条件下的温湿度；混凝土的应力条件。（2）影响收缩的因素：养护条件；使用环境的温湿度；水灰比；水泥用量；骨料的配级；弹性模量；构件的体积与表面积比值。 1-13.伸入支座的锚固长度越长，粘结强度是否越高？为什么？答：不是锚固长度越大，粘结力越大，粘结强度是和混凝土级配以及钢筋面有关系。 2-2.荷载按随时间的变异分为几类？荷载有哪些代表值？在结构设计中，如何应用荷载代表值？答：荷载按随时间的变异分为三类：永久作用；可变作用；偶然作用。永久作用的代表值采用标准值；可变作用的代表值有标准值、准永久值和频遇值，其中标准值为基本代表值；偶然作用的代表值采用标准值。 2-5.什么是结构的预定功能？什么是结构的可靠度？可靠度如何度量和表达？答：预定功能：1.在正常施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用。2.在正常维护下具有足够的耐久性能。3.在正常使用时具有良好的工作性能。 4.在设计规定的偶然事件发生时及发生后，仍能保持必须的整体稳定性。结构的可靠度是结构可靠性（安全性、适用性和耐久性的总称）的概率度量。用失效概率度量结构可靠性有明确的物理意义，但目前采用可靠指标β 来度量可靠性。 2-6.什么是结构的极限状态？极限状态分几类？各有什么标志和限值？答：结构的极限状态：整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求。极限状态分为两类：承载能力极限状态和正常使用极限状态。 3-3..螺旋箍筋柱应满足的条件有哪些？ 答：螺旋箍筋柱截面形式一般多做成圆形或多边形，仅在特殊情况下才采用矩形或方形。（1）螺旋箍筋柱的纵向受力钢筋为了能抵抗偶然出现的弯矩，其配筋率ρ 应不小于箍筋圈内核心混凝土截面面积的0.5%，构件的核心截面面积应不小于构件整个截面面积的2/3.但配筋率ρ 也不宜大于3%，一般为核心面积的0.8%~1.2%之间。（2）纵向受力钢筋的直径要求同普通箍筋柱，但为了构成圆形截面，纵筋至少要采用6 根，实用根数经常为6~8 根，并沿圆周作等距离布置。箍筋太细有可能引起混凝土承压时的局部损坏，箍筋太粗则又会增加钢筋弯制的困难，螺旋箍筋的常用直径为不应小于纵向钢筋直径的1/4，且不小于8mm。螺旋箍筋或环形箍筋的螺距S（或间距）应不大于混凝土核心直径dcov 的1/5；且不大于80mm。为了保证混凝土的浇筑质量，其间距也不宜小于40mm。 ★为什么螺旋箍筋柱能提高承载力？答：混凝土三向受压强度试验表明，由于侧向压应力
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
第四版混凝土结构设计原理试题库及其参考答案 一、判断题（请在你认为正确陈述的各题干后的括号内打“√”，否则打“×”。每小题1分。） 第1章 钢筋和混凝土的力学性能 1．混凝土立方体试块的尺寸越大，强度越高。（ ） 2．混凝土在三向压力作用下的强度可以提高。（ ） 3．普通热轧钢筋受压时的屈服强度与受拉时基本相同。（ ） 4．钢筋经冷拉后，强度和塑性均可提高。（ ） 5．冷拉钢筋不宜用作受压钢筋。（ ） 6．C20表示f cu =20N/mm 。（ ） 7．混凝土受压破坏是由于内部微裂缝扩展的结果。（ ） 8．混凝土抗拉强度随着混凝土强度等级提高而增大。（ ） 9．混凝土在剪应力和法向应力双向作用下，抗剪强度随拉应力的增大而增大。（ ） 10．混凝土受拉时的弹性模量与受压时相同。（ ） 11．线性徐变是指压应力较小时，徐变与应力成正比，而非线性徐变是指混凝土应力较大时，徐变增长与应力不成正比。（ ） 12．混凝土强度等级愈高，胶结力也愈大（ ） 13．混凝土收缩、徐变与时间有关，且互相影响。（ ） 第1章 钢筋和混凝土的力学性能判断题答案 1. 错；对；对；错；对； 2. 错；对；对；错；对；对;对；对； 第3章 轴心受力构件承载力 1．轴心受压构件纵向受压钢筋配置越多越好。（ ） 2．轴心受压构件中的箍筋应作成封闭式的。（ ） 3．实际工程中没有真正的轴心受压构件。（ ） 4．轴心受压构件的长细比越大，稳定系数值越高。（ ） 5．轴心受压构件计算中，考虑受压时纵筋容易压曲，所以钢筋的抗压强度设计值最大取为2/400mm N 。（ ） 6．螺旋箍筋柱既能提高轴心受压构件的承载力，又能提高柱的稳定性。（ ） 第3章 轴心受力构件承载力判断题答案 1． 错；对；对；错；错；错； 第4章 受弯构件正截面承载力 1．混凝土保护层厚度越大越好。（ ） 2．对于' f h x 的T 形截面梁，因为其正截面受弯承载力相当于宽度为' f b 的
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
《混凝土结构基本原理》模拟题（补） 一、单项选择题 1．当某剪力墙连梁刚度较小，墙肢刚度较大时(相当于α<10 的情况)，说明该剪力墙为（C ） A.整体墙 B. 小开口剪力墙 C. 联肢墙 D. 壁式框架 2．在确定高层建筑防震缝最小宽度时，下列说法不正确的是（D ） A.设防烈度越高，最小缝宽取值越大 B. 结构抗侧移刚度越小，最小缝宽取值越大 C. 相邻结构单元中较低单元屋面高度越高，最小缝宽取值越大 D. 相邻结构单元中较高单元屋面高度越高，最小缝宽取值越大 3．有4 个单质点弹性体系，其质量与刚度分别为mA =120t,K A =6 ×103 kN/m; mB =180t, KB =9 ×103kN/m. mC =240t, KC=12 ×103 kN/m；mD =300t, K D =15×103 kN/m 若它们的自振周期分别为TA 、TB 、TC 、TD ，则自振周期之间的关系是（D ） A. TA>TB>TC>TD B. TA 第二章 一、填空题 1、结构包括素混凝土结构、（钢筋混凝土结构）、（预应力混凝土结构）和其他形式加筋混凝土结构。 2 钢筋混凝土结构由很多受力构件组合而成，主要受力构件有楼板（梁）、（柱）、墙、基础等。 3. 在测定混凝土的立方体抗压强度时，我国通常采用的立方体标准试件的尺寸为（150mm×150mm×150mm）。 4.长期荷载作用下，混凝土的应力保持不变，它的应变随着时间的增长而增大的现象称为混凝土的（徐变）。 5.混凝土在凝结过程中，体积会发生变化。在空气中结硬时，体积要（缩小）；在水中结硬时，则体积（膨胀）。 6.在钢筋混凝土结构的设计中，（屈服强度）和（延伸率）是选择钢筋的重要指标。 7.在浇筑混凝土之前，构件中的钢筋由单根钢筋按设计位置构成空间受力骨架，构成骨架的方法主要有两种：（绑扎骨架）与（焊接骨架）。 8.当构件上作用轴向拉力，且拉力作用于构件截面的形心时，称为（轴心受拉）构件。 9、轴心受拉构件的受拉承载力公式为（N≤fyAs或Nu=fyAs ）。 10．钢筋混凝土轴心受压柱根据箍筋配置方式和受力特点可分为（普通钢箍）柱和（螺旋钢箍）柱两种。 11．钢筋混凝土轴心受压柱的稳定系数为（长柱）承载力与（短柱）承载力的比值。 12.长柱轴心受压时的承载力（小于）具有相同材料，截面尺寸及配筋的短柱轴心受压时的承载力。 13.钢筋混凝土轴心受压构件，稳定性系数是考虑了（附加弯矩的影响）。 二：简答题 1.混凝土的强度等级是怎样划分的？ 答：混凝土强度等级按立方体抗压强度标准值划分为C15、C20、C25、C30、C35、C40、C45、C50、C55、C60、C65、C70、C75、C80等14个 2．钢筋混凝土结构对钢筋性能的要求。 答：1.采用高强度钢筋可以节约刚材，取得较好的经济效果；2.为了使钢筋在断裂前有足够的变形，要求钢材有一定的塑性；3.可焊性好；4满足结构或构件的耐火性要求；5.为了保证钢筋与混凝土共同工作，钢筋与混凝土之间必须有足够的粘结力。 3徐变定义；减少徐变的方法。 答:长期荷载作用下,混凝土的应力保持不变,它的应变随着时间的增长而增大的现象称为混凝土的徐变。 4．钢筋混凝土共同工作的基础。 1).二者具有相近的线膨胀系数； 2).在混凝土硬化后，二者之间产生了良好的粘结力，包括a. 钢筋与混凝土接触面上的化学吸附作用力; b混凝土收缩握裹钢筋而产生摩阻力; c 钢筋表面凹凸不平与混凝土之间产生的机械咬合作用力 3). 钢筋至构件边缘之间的混凝土保护层，起着防止钢筋发生锈蚀的作用，保证结构的耐久性。 第3次作业 一、单项选择题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分） 1. 我国规范规定，钢筋混凝土结构室内一般构件的最大裂缝宽度允许值为：（）。 A. 0.1mm B. 0.2mm C. 0.3mm D. 0.5mm 2. 下列哪种荷载不属于《建筑结构荷载规范》中规定的结构荷载的范围（）。 A. 永久荷载； B. 温度荷载； C. 可变荷载； D. 偶然荷载； 3. 《规范》规定验算的受弯构件裂缝宽度是指()。 A. 纵筋表面的裂缝宽度 B. 纵筋水平处构件侧表面的裂缝宽度 C. 构件底面的裂缝宽度 D. 钢筋合力作用点的裂缝宽度 4. 以下从N-M承载力试验相关曲线得出的说法正确的是()。 A. 大偏心受压破坏时，构件的受弯承载力随构件作用压力的提高而降低。 B. 小偏心受压破坏时，构件的受弯承载力随构件作用压力的提高而提高。 C. 大偏心受压破坏时，构件的受弯承载力随构件作用压力的提高而提高。 D. 小偏心受压破坏时，构件的受压承载力随构件作用弯矩的提高而提高。 5. 钢筋混凝土纯扭构件的开裂扭矩（） A. 等于按弹性材料计算的开裂扭矩 B. 等于按理想塑性材料计算的开裂扭矩 C. 介于之间 D. 低于 6. 对无腹筋梁的三种破坏形式，以下说法正确的是（） A. 只有斜压破坏属于脆性破坏 B. 只有斜拉破坏属于脆性破坏 C. 只有剪压破坏属于脆性破坏 D. 三种破坏都属于脆性破坏 7. 钢材抗拉设计强度的取值依据对有明显流幅和没有明显流幅的钢材分别为：（）。 A. 前者为屈服应力，后者为条件屈服点对应的应力 B. 均为条件屈服点对应的应力 C. 前者为条件屈服点对应的应力，后者为屈服应力 D. 均为屈服应力 8. 钢筋与混凝土的粘结性能中，下列说法不正确的是（）。 A. 钢筋与混凝土表面的化学吸附作用对其粘结强度影响不大 B. 光面钢筋主要靠摩擦作用提供粘结强度 C. 变形钢筋主要靠机械咬合作用提供粘结强度 D. 箍筋对粘结作用的影响主要是提高钢筋与混凝土表面的抗剪切滑移能力 9. 一般来讲，提高混凝土梁极限承载力的最经济有效方法是（） 思考题 3.1 混凝土弯曲受压时的极限压应变cu ε取为多少？ 答：混凝土弯曲受压时的极限压应变cu ε取为：因混凝土为弯曲受压，正截面处于非均匀受压，即存在应力梯度，cu ε的取值随混凝土的强度等级不同而不同， 取为5 ,=0.0033(50)100.0033cu cu k f ε---?≤。 3.2 什么叫“界限破坏”？“界限破坏”时的s ε和cu ε各等于多少？ 答：“界限破坏”就是正截面上钢筋应力达到屈服的同时，受压区边缘纤维应变也恰好达到混凝土受弯时的极限压应变值； “界限破坏”时受拉钢筋拉应变为=/s y s f E ε，受压区混凝土边缘纤维极限压 应变为5 ,=0.0033(50)100.0033cu cu k f ε---?≤。 3.3 适筋梁的受弯全过程经历了哪几个阶段？各阶段的主要特点是什么？与计算或验算有何联系？ 答：适筋梁的受弯全过程经历了未裂阶段、裂缝阶段以及破坏阶段； 未裂阶段：①混凝土没有开裂；②受压区混凝土的应力图形是直线，受拉区混凝土的应力图形在第I 阶段前期是直线，后期是曲线；③弯矩与截面曲率基本上是直线关系； 裂缝阶段：①在裂缝截面处，受拉区大部分混凝土退出工作，拉力主要由纵向受拉钢筋承担，但钢筋没有屈服；②受压区混凝土已有塑性变形，但不充分，压应力图形为只有上升段的曲线；③弯矩与截面曲率是曲线关系，截面曲率与挠度的增长加快； 破坏阶段：①纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；裂缝截面处，受拉区大 部分混凝土已经退出工作，受压区混凝土压应力曲线图形比较丰满，有上升段曲线，也有下降段曲线；②由于受压区混凝土合压力作用点外移使内力臂增大，故弯矩还略有增加；③受压区边缘混凝土压应变达到其极限压应变实验值0 cu ε时，混凝土被压碎，截面破坏；④弯矩和截面曲率关系为接近水平的曲线； 未裂阶段可作为受弯构件抗裂度的计算依据；裂缝阶段可作为正常使用阶段验算变形和裂缝开展宽度的依据；破坏阶段可作为正截面受弯承载力计算的依据。 3.4 正截面承载力计算的基本假定有哪些？单筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算简图是怎样的？它是怎样得到的？ 答：正截面承载力计算的基本假定： ①截面应变保持平面，即平均应变平截面假定； ②不考虑混凝土的抗拉强度； ③混凝土受压的应力与应变关系曲线按下列规定取用： 当0c εε≤时（上升段） ()011/n c c c f σεε??=--?? 当0c cu εεε<≤时（水平段） c c f σ= 式中，参数n 、0ε和cu ε的取值如下，,cu k f 为混凝土立方体抗压强度标准值。 ,2(50)/60 2.0cu k n f =--≤ 50,0.0020.5(50)100.002cu k f ε-=+?-?≥ 5,0.0033(50)100.0033cu cu k f ε-=--?≤ ④纵向受拉钢筋的极限拉应变取为0.01； ⑤纵向钢筋的应力取钢筋应变与其弹性模量的乘积，但其值应符合下列要求： 'y si y f f σ-≤≤ 单筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算简图如下图所示： 其中受压区应力分布取等效矩形应力图来代换受压区混凝土理论应力图形，两个图形的等效条件是： ①混凝土压应力的合力C 大小相等； 一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用 混凝土结构基本原理 实 验 指 导 书 建筑工程学院土木工程系 实验一：钢筋混凝土梁受弯试验 一、试验目的： 1、了解受弯构件正截面的承载力大小、挠度变化及裂缝出现和发展过程； 2、观察了解受弯构件受力和变形过程的三个工作阶段及适筋梁的破坏特征； 3、通过钢筋砼简支梁破坏试验，熟悉钢筋砼结构静载试验的全过程。 4、进一步学习静载试验中常用仪器设备的使用方法。 二、试验内容和要求： 1、量测试件在各级荷载下的跨中挠度值，绘制梁跨中的M —f 图。 2、量测试件在纯弯曲段沿截面高度的平均应变受拉钢筋的应变，绘制沿梁高的应变分布图。 3、观察试件在纯弯曲段的裂缝出现和开展过程，记下开裂荷载P t cr (M t cr )，并与理论值比较。 4、观察和描绘梁的破坏情况和特征，记下破坏荷载P u (M u )，并与理论值比较。 三、试验设备及仪表： 1、加载设备一套。 2、百分表及磁性表座若干。 3、压力传感器及电子秤一套。 4、静态电阻应变仪一套。 5、电阻应变片及导线若干。 6、手持式应变仪一套。 四、试件和试验方法： 1、试件： 试件为钢筋砼适筋梁，尺寸和配筋如图1所示。 图1.1 实验梁 2、试验方法： (1) 采用分级加载，开裂前每级加载量取5%～10%的破坏荷载，开裂后每级加载量增为15%的破坏荷载。 (2) 试验准备就绪后，首先预加一级荷载，观察所有仪器是否工作正常。 (3) 每次加载后持荷时间为不少于10分钟，使试件变形趋于稳定后，再仔细测读仪表读数，待校核无误，方可进行下一级加荷。加荷时间间隔控制为15分钟，直至加到破坏为止。 3、试验步骤： （1）安装试件，安装仪器仪表并联线调试。 （2）加载前读百分表和应变仪，用放大镜检查有无初始裂缝并记录。 （3）在估计的开裂荷载前分三级加载，每级荷载下认真读取应变仪读数，以确定沿载面高度的应变分布。在加第三级荷载时应仔细观察梁受拉区有无裂缝出现，并随时记下开裂荷载Ptcr。每次加载后五分钟读百分表，以确定梁跨中及支座的位移值。 （4）开裂载荷至标准荷载分两级加载，加至标准荷载后十五分钟读百分表和应变仪，并用读数放大镜测读最大裂缝宽度。 （5）标准荷载至计算破坏荷载Pu (Mu)之间分三级加载，加第三级荷载时拆除百分表，至完全破坏时，记下破坏荷载值Ptu (Mtu)。 五、注意事项： 1、试验前应明确本次试验的目的、要求，熟悉试验步骤及有关事项，对不清楚的地方 应首先进行研究、讨论或向指导老师请教，严禁盲目操作。 2、试验时要听从指导老师的指挥，试件破坏时要特别注意安全。 3、对与本试验无关的仪器设备不要乱动，否则损坏仪器由自己负责。 1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值 思考题 9-1冲切破坏的主要特点是什么？ 答：破坏时，在板上、下表面的局部范围内存在环状的裂缝，环状裂缝内部的锥台状块体在荷载作用方向相对于其外围部分的板向板面外脱落（或有这样的趋势）。 9-2影响受冲切承载力的因素有哪些？ 答：（1）混凝土强度； （2）板的有效高度； （3）荷载面积； （4）尺寸效应； （5）抗弯钢筋； （6）边界条件。 9-3为什么设置柱帽和托板能提高板的受冲切承载力？ 答：柱帽增加局部荷载的作用面积；托板增大冲切破坏区域的板的厚度，提高受冲切承载力。 9-4常用的抗冲切钢筋有哪些形式？ 答：箍筋，弯起钢筋。 9-5局部受压破坏的机理是什么？ 答：在局部受压面上纵向压应力的数值较大，经过一定长度的过渡区段后（这个过渡区段的长度约等于构件截面的宽度2b），纵向压应力在整个截面中变成均匀分布。在端部的区段内，还存在横向应力。在局部受压荷载的表面附近，横向应力为压应力，往下逐渐转为拉应力，且在（0.5-1.0）b处出现最大拉应力，再往下趋近于零。 构件局部受压端范围内的这种应力状态可以分为三个区域：荷载面积下的混凝土在竖向压应力作用下产生横向膨胀变形，受到周围混凝土的约束而处于三轴受压状态；周围混凝土则因受向外级压力而产生沿周边的水平拉应力，处于二轴或三轴拉压状态；在主应力轨迹线和水平拉应力范围内则为三轴拉压状态。各区域的具体划分和应力值的大小主要取决于构件 截面面积和局部受压面积的比值，并因此决定了构件的局部受压破坏形态。当 较小（一般小于9）时，劈裂破坏的特征较明显；当很大（一般大于36）时， 局部荷载下混凝土的陷落现象较明显。 9-6间接钢筋有哪些形式？对局部受压承载力有何影响？ 答：方格网配筋、螺旋式配筋。 可提高局部受压承载力。 练习题 9-1板柱借点的情况同例9-1，但柱子的轴压力为N=600kN。如果抗冲切钢筋分别采用配置箍筋和弯起钢筋两种方案，试确定所需的抗冲切钢筋面积各为多少，并画出配筋构造图。解:根据题意得,钢筋混凝土结构基本原理
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