初中最基本的尺规作图总结(总18
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尺规作图
一、理解“尺规作图”的含义
1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．
2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.
二、熟练掌握尺规作图题的规范语言
1.用直尺作图的几何语言：
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；
2.用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××；
②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；
③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .
三、了解尺规作图题的一般步骤
尺规作图题的步骤：
1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.
在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1）作射线AP；
（2）在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
作法：
（１）分别以M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，
两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ与ＭＮ有何关系）
题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：
（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3）作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1）作线段AB = c；
（2）以A为圆心b为半径作弧，
以B为圆心a为半径作弧与
前弧相交于C；
（3）连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
作法：
（1）作∠A=∠α；
（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；
（3）连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。
已知：如图，∠α，∠β，线段m .
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m.
作法：
（1）作线段AB=m；
（2）在AB的同旁
作∠A=∠α，作∠B=∠β，
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
初中尺规作图典型例题归纳
典型例题一
例 已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．
分析 所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．
画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段．
说明
1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去． 2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．
典型例题二
例 如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．
错解 如图（1），
（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求．
错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．
图（1） 图（2）
正解 如图（2），
（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ； （3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．
典型例题三
例 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．
图（1） 图（2）
错解 如图（2），
（1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；
（3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1．
则∠D CO 1即为所求的角．
错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．
正解 如图（2）， （1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交
OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；
（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线
D O 1．
则∠D CO 1就是所要求作的角．
典型例题四
例 如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．
分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．
作法 如下图
（1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形．
说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．
典型例题五
例如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．
分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．
作法如图（2）．
图（1）图（2）
（1）过点C作直线EF，交AB于点F；
（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；
（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；
（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．
说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．
典型例题六
例如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=，∠B=︒
36，∠C=︒
44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．
分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．
解与△ABC全等的三角形如下图所示．
典型例题七
例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．
（2003年，桂林）分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．
作法如下图，
找三等分点的依据是平行线等分线段定理．
典型例题八
例已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．
错解如图（1）
作法（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；
（2）分别以D 、E 为圆心，以大于
2
1
DE 的长为半径作弧，两弧相交于C 点；
（3）连结OC ，则OC 就是∠AOB 的平分线．
错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC ，则OC 是一条线段，而角平分线应是一条射线．
图（1） 图（2）
正解 如图（2）
（1）以点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA 、OB 于D 、E 两点；
（2）分别以D 、E 为圆心，以大于2
1
DE 的长为半径作弧，两弧交于C 点；
（3）作射线OC ，则OC 为∠AOB 的平分线．
典型例题九
例 如图（1）所示，已知线段a 、b 、h （h ＜b ）． 求作△ABC ，使BC =a ，AB =b ， BC 边上的高AD =h ．
图（1）
错解 如图（2）， （1）作线段BC =a ；
（2）作线段BA =b ，使AD ⊥BC 且AD =h ． 则△ABC 就是所求作的三角形．
错解分析 ①不能先作BC ；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD ，再作AB ，最后确定BC ．
图（2） 图（3）
正解 如图（3）．
（1）作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ； （2）在DM 上截取线段DA =h ；
（3）以A 为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于B ；
（4）以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ； （5）连结1AC 、2AC ，则△1ABC （或△2ABC ）都是所求作的三角形．
典型例题十
例 如下图，已知线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．
分析 本题解答的关键在于作出∠ACB =90°，然后确定A 、B 两点的位置，作出△ABC ．
作法 如下图
（1）作直线MN ：
（2）在MN 上任取一点C ，过点C 作CE ⊥MN ； （3）在CE 上截取CA =b ，在CM 上截取CB =a ； （4）连结AB ，△ABC 就是所求作的直角三角形．
说明 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．
典型例题十一
例 如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．
求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）． 分析 （1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线； （2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．
作法 如下图
（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁； ②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点；
③分别以G 、H 为圆心，以大于2
1
GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点；
④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．
（2）①分别以B 、C 为圆心，以大于2
1
BC 的长为半径画弧，两弧分别交于
M 、N 两点；
②作直线MN ，交BC 于点F ；
③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．
说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．
典型例题十二
例 如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．
图（1） 图（2）
分析 由题意知，点C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点C 到O 、A 两点的距离要相等，所以点C 应是∠MON 的平分线与线段OA 的垂直平分线的交点．
作法 如图（2）所示 （1）作∠MON 的平分线OP ；
（2）作线段OA 的垂直平分线EF ，交OP 于点C ，则点C 就是所要求作的点． 说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．
（2）两条直线交于一点．
典型例题十三
例如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．
求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．
分析假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．作法如下图．
（1）作线段BC=b；
（2）在BC上截取BE=b-a；
（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA 交于A；
（4）以EA、EC为邻边作AECD．
四边形ABCD就是所求作的梯形．
说明基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．
典型例题十四
例如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．
（2002年，青岛）分析依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为，就可以确定出蓝方指挥部的位置．
解如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．
典型例题十五
例如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2002年，大连）
图（1）图（2）
分析因为A、B、C三点在⊙O上，所以OA=OB=OC=R．根据到线段AB、BC 各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可．
解如图（2）
说明角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．
典型例题十六
例如图，是一块直角三角形余料，︒
∠90
C．工人师傅要把它加工成一
=
个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．
分析要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．
作法如图．
① 作ACB 的角平分线CD ，交AB 于点G ；
②过G 点分别作AC 、BC 的垂线，垂足为E 、F ．则四边形ECFG 就是所要求作的正方形．
基础训练
1、已知线段AB 和CD ，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB ＋2CD.
2、如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
3、如图作△ABC ，使得BC=a 、AC=b 、AB=c
4、如图，画一个等腰△ABC ，使得底边BC=a ，它的高AD=h
c b
a
5、如图，已知∠AOB 及M 、N 两点，求作：点P ，使点P 到∠AOB 的两边距离相等，且到M 、N 的两点也距离相等。
6.己知三角形的两条边及其夹角，求作三角形
已知一个三角形的两条边分别为a ，b ，这两条边夹角为∠a ，求作这个三角形
7.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
巳知一个三角形的两角分别为∠a ∠β夹边为a 求作这个三角形。
B
O
A N
M
8、己知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形
已知三角形的两角分别为∠a ∠β，∠a的对边为∠a,求作这个三角形
9.己知一直角边和斜边求作三角形
己知一个直角三角形的一条直角边为a，斜边长为c，求作这个三角形。
10．尺规作图：请你作出一个以线段a和线段b为对角线的菱形.
ABCD (要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)
已知：求作：a b
结论：
垂直平分线的训练
1.某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 上建一个休息点M ，使他到A ，C 两个点的距离相等. 在图中确定休息点M 的位置；
角平分线作图训练
2.如图，表示两条相交的公路，现要在∠BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1000米．
（1）若要以1：50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置P ．
解：（1） （2）
结论：
3.为美化环境，在一块三角形草坪上建一个喷水池，使得它到草坪的三边AB 、BC 、AC 的距离相等．若三角形草坪如图所示，请你在图中确定这个喷水池（用点P 表示）的位置；
作圆训练
B
A C 1cm
A B C
4．青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置； （2）若∠BAC ＝66º，则∠BPC ＝ º.
5．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（△ABC ）空地上修建一个面积
最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛． 解：
结论：
6.为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形（△ABC）空地上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求：①圆心在边BC 上，②该半圆面积最大.请你帮忙设计这一花坛.
等腰三角形、菱形作图训练
7.如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC=a ，它的高AD=h
A B C A B
C C
8.如图，线段a 和线段b 分别是菱形ABCD 的一条边和一条对角线， （1）请用尺规作出这个菱形．（2）若a=3，
b=33，试求该菱形的面积.
巩固练习
1．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．
2.如图花坛△ABC 为一等边三角形，现要将其扩建为一圆形花坛覆盖在△ABC 上，且使A 、B 、C 依然在花坛的边缘上（1）请你帮忙画出设计方案.
（2）若等边三角形的边长为6米，则花坛的面积增加了多少？
B C
A
b
a
3．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
解：
结论：
4.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把植物园A.动物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你作出这个圆，圆心用P表示.（A、B、C不在同一直线上）
A
B C
初中基本尺规作图总结与典型例题 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；
尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决 了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗顺着这思路就有了更简洁的表达.10 世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
B P A a O Q P N M O N M B P A 七年级数学期末复习资料（七） 尺规作图 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
③ ② ① P B A P （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法： （1）作射线O ’A ’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于 MN 2 1 的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ， 且CD ⊥AB 。
初中数学尺规作图知识点总结: 尺规作图：近几年直接考察尺规作图的题目很少出现。即使出现也是结合其他问题，分值一般2-3分，难易度为易。考察内容：①拼图：即图形的组合，例如用等腰梯形拼菱形②位似图形的画法。③常见图形的基本做法，例如角的平分线，突破方法：①熟练掌握基本的几何做法，②从画图本质上理解作图的原理③根据给定的条件，结合图形特点作图，注意保留作图痕迹。 线段的基本作图 做一条线段等于已知线段，圆规截取法。 初中数学角的基本作图知识点总结: 做一个角等于已知角，用圆规画弧，截取，构造三角形全等 初中数学角平分线的基本作图知识点总结: 两次画弧，注意每一次的不同，找准交点。 初中数学垂直平分线的基本作图知识点总结: 以线段的两个端点为圆心，大于线段长度的1/2为半径画4条弧，分别于两个点，过两个点做直线就可以初中数学三角形的基本作法知识点总结: 根据三角形的全等画SSS，SAS，ASA，HL 初中数学圆的基本作法知识点总结: 利用圆规根据题目要求画圆， 初中数学方位角知识点总结: 借助量角器和三角板画出相应的角度就可以。 初中数学位似图形的做法知识点总结: 先连接几个对应点，找出位似中心，再用圆规截取。 初中数学方位角知识点总结: 借助量角器和三角板画出相应的角度就可以。 初中数学正多边形的做法知识点总结:
先画圆，再对圆分割为相应的份数，连线就可以。 初中数学平行线的作法知识点总结: ①靠，用直尺靠紧三角板，②推直尺到预定位置③画，画直线就可以 初中数学尺规画五角星知识点总结: 根据圆的分割法画图 初中数学5个基本尺规作图方法1.作一个角等于已知角； 2.作已知角的角平分线； 3.做已知线段的垂直平分线； 4.过一点作已知直线的垂线； 5.过直线外一点做已知直线的平行线。
作图基本步骤及要求； 注意事项； 初中常见图形 用没有刻度的直尺和圆规来做出图形的方法，叫做尺规作图基本步骤：一是需要读懂题目要求，可将文字描述转化成数学几何语言。 二是根据要求找到满足要求的几何图形特点。 三是作图，根据基本图形做法正确使用尺、规。 注意点：尺是没有刻度的直尺，只可做未知长度的线，但可确定唯一方向用圆规做弧时要留有作图痕迹，保留一小段弧。 初中常见图形： 能作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角； 作角的平分线； 线段的垂直平分线； 会利用基本图形作三角形。
尺规作图常考题型 1．已知V ABC ，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法） （1）作BC 边上的高AD ； （2）作VABC 的平分线BE ．（尺规作图） （3）作出线段AB的垂直平分线MN ．（尺规作图） 【解析】 【分析】 （1）根据钝角三角形高的做法即可； （2）根据角平分线的尺规作图方法即可； （3）根据线段垂直平分线的尺规作图方法即可． 【详解】 解：（ 1）如图所示： AD 为 BC边上的高． （2）如图所示： BE为△ABC的平分线． 3）如图所示：MN 为线段AB 的垂直平分线． 2．尺规作图：如图，过点A作BC的平行线 EF（说明：只允许尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，要写结论．）
解析】试题分析：可作△B的内错角△DAB=△B，做直线 AD 即可． 3．已知：如图，△ ABC中， AC=3，△ ABC=30．° （1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法； （2）求（ 1）中所求作的圆的面积． 试题分析：（ 1）按如下步骤作图：① 作线段 AB的垂直平分线；② 作线段 BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点 O为圆心， OA长为半圆画圆，则圆 O即为所求作的圆．如图所示（ 2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦 AC 所对的圆周角 是△ABC=30°，所以圆心角△AOC=60°，所以?AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是 3 故可
初二数学 尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段；
尺规作图 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作 图 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： ①作射线AP ； ②在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图 形。 题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN. 求 作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）作法： ①分别以M、N 为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径 画弧，两弧相交于P，Q ； ②连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。（试问：PQ 与ＭＮ 有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB ，求 作：射线OP, 使∠ AOP ＝∠ BOP （即OP 平分∠ AOB ） 作法： ①以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M，N； ②分别以M 、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画 弧，两弧交∠ AOB 内于Ｐ； ③作射线OP。则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 （请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法） I Care Education 1 中考数学尺规作图
题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： ① 作线段AB = c ； ② 以 A 为圆心 b 为半径作弧，以 B 为圆心 a 为半径作弧与前弧相交于C； ③连接AC ，BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m ，n, ∠ . 求作：△ABC，使∠A= ∠ ，AB=m ，AC=n. 作法： ① 作∠ A= ∠ ； ② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； ③连接BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角 形 已知：如图，∠ ，∠ ，线段m . 求作：△ABC，使∠A= ∠，∠ B= ∠,AB=m. 作法： ① 作线段AB=m ； ② 在AB 的同旁作∠ A= ∠ ，作∠ B= ∠ ∠A 与∠B 的另一边相交于C 则△ABC 就是所求作的图形（三角形）
尺规作图 一、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ 与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）． （1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ； （4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．
B P A a O Q P N M O N M B P A 尺规作图 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段，使 = a . 作法： （1） 作射线； （2） 在射线上截取 . 则线段就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段. 求作：点O ，使（即O 是的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接交于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠， 求作：射线, 使∠＝∠（即平分∠）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交，于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠内于Ｐ； （3） 作射线。 则射线就是∠的角平分线。 （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠。
③ ② ① P B B A P 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠ 作法： （1）作射线O ’A ’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交于M ，交于N ； （3）以O ’为圆心，以的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线上一点。 求作：直线，是经过点P ，且⊥。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2 1 的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线。 则直线是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线及外一点P 。 求作：直线，使经过点P ， 且⊥。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交于M 、N ；
尺规作图 1、作一条线段等于已知线段（基本作图） 已知：线段a ， 求作：线段AB ，使AB=a 。 2、作一全角等于已知角（基本作图） 已知：∠MPN 求作：∠ABC ，使∠ABC=∠MPN 。 3、作角的平分线（基本作图） 已知：∠MPN 求作：∠MPN 的角平分线PO 4、作线段的垂直平分线（基本作图） 已知：线段AB 求作：线段AB 的垂直平分线MN 。 5、过定点作已知直线的垂线：（基本作图） （1）点在直线上； （2）点在直线外 6、已知三边作三角形 已知：线段a 、b 、c 求作：△ABC ，使AB=a 、BC=b 、AC=c 。 c b a
7、已知两边及其夹角作三角形 已知：线段a、b、∠α 求作：△ABC，使AB=a、BC=b、∠B=∠α。 8、已知两角及其夹边作三角形 已知：线段a、∠α、∠β 求作：△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β、AB=a。 9、已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a、BC边上的高AD=h。 10、已知底边上的高和顶角作等腰三角形 已知：线段h、∠α 求作：△ABC，使AB=AC，∠A=∠α，高AD=h。
11、已知底边及腰长作等腰三角形 已知：线段a 、b 求作：△ABC ，使AB=AC=a ，BC=b 。 12、已知一直角边及斜边作直角三角形 已知：线段a 、c 求作：Rt △ABC ，使∠C=90°、AB=c 、BC=a 13、作三角形的外接圆 14、作三角形的内切圆 已知：△ABC ， 求作：△ABC 的外接圆⊙O 。 已知：△ABC 求作：△ABC 的内切圆⊙。 14、如图，1O7国道 OA 和320国道OB 在我市相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使P 到OA 、OB 的距离相等，且使PC ＝PD ，用尺规作出货站P 的位置。 A C B A C B
中考总复习---尺规作图专项训练 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图; 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段; 题目二：作已知线段的中点; 已知：如图,线段a . 已知：如图,线段MN. 求作：线段AB,使AB = a . 求作：点O,使MO=NO即O是MN的中点. 题目三：作已知角的角平分线; 题目四：作一个角等于已知角; 已知：如图,∠AOB, 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP即OP平分∠AOB; 题目五：已知三边作三角形; 题目六：已知两边及夹角作三角形; 已知：如图,线段a,b,c. 已知：如图,线段m,n, ∠α. 求作：△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a. 求作：△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n. 题目七：已知两角及夹边作三角形; 已知：如图,∠α,∠β ,线段m .求作：△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠ β ,AB=m. 课堂测试 1.如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径. 2.如图,107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P
C B A C B A A C B B 到OA 、OB 的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P 的位置不写作法,保留作图痕迹,写出结论 三条公路两两相交,交点分别为A,B,C,现计划建一个加油站,要求到三条公路的距离相等,问满足要求的加油站地址有几种情况 3、过点C 作一条线平行于AB ； 4、过不在同一直线上的三点A 、B 、C 作圆O ； 5、过直线外一点A 作圆O 的切线; 6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案要求用尺规作图,保留作图痕迹 7、某公园有一个边长为4米的正三角形花坛,三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛,要求三棵古树不能移动,且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限． 1按圆形设计,利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图； 2按平行四边形设计,利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； 3若想新建的花坛面积较大,选择以上哪一种方案合适 请说明理由 . 8.如图,∠AOB 内有两定点C 、D,求作：一点P 使PC=PD,且P 到∠AOB 的两边之距相等;要求：用尺规作图 ,不写作法,但要保留作图痕迹; C B A
初中阶段尺规作图 一、五个基本作图： 1.作一条线段等于已知线段； 巳知：线段a a 求作：线段m，使线段m=a. 2.作一个角等于已知角； 己知：∠α 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α 3.作一个角的平分线； 己知：∠α 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α
4.作一条线段的垂直平分线； 巳知：线段AB B 求作：线段AB的垂直平分线. 5.过一点作已知直线的垂线 （1）已知直线和直线上一点 巳知：线段AB和AB外一点P P 求作：过P点作AB的垂线，重足为O （2）已知直线和直线外一点 巳知：线段AB和AB上一点P 求作：过P点作AB的垂线，重足为O
二、会作特殊三角形 1.会作等腰三角形 2.会作等边三角形 3.会作等腰直角三角形 4.会作直角三角形 三、会作一般三角形 1.知道三边，会作三角形 巳知：线段a、b、c b c 求作：△ABC，使AB=a，BC= b ，CA= c.
2.知道两边和夹角，会作三角形 巳知：线段a、b、∠α b 求作：△ABC，使AB=a，BC= b ，∠ABC=∠α 3. 知道两角和夹边，会作三角形 巳知：∠α、∠β、线段a. 求作：△ABC，使∠ABC=a，∠ACB= b ，BC= a.
4. 知道两角和其中一角的对边，会作三角形 巳知：∠α、∠β、线段a. 求作：△ABC，使∠ABC=a，∠ACB= b ，AB= a. 5. 己知直角三角形的斜边和一条直角边，作直角三角形. 6.己知等腰三角形的底边和底边上的高，作等腰三角形.
四、会作三角形的高、中线、角平分线、三边的垂直平分线
B Q P a 尺 规 作 图 初二（ ）班 姓名 学号 一、五种基本作图 1、画一条线段等于已知线段. 如图：已知线段a ，用直尺和圆规准确地画一条线段AB 等于已知线段a 作法：(1)作射线AE (2)以点A 为圆心，线段a 的长度为半径画弧，交AE 于点B 所以，线段AB 为所求线段。 画图： 2、画一个角等于已知角. 如图：已知角∠MPN ，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN. 作法：(1)画射线OA. (2)以角∠MPN 的顶点P 为圆心，以适当长。 为半径画弧，交∠MPN 的两边于E 、F. (3)以点O 为圆心，以PE 长为半径画弧，交OA 于点C. (4)以点C 为圆心，以EF 长为半径画弧，交前一条弧于点D. (5)经过点D 作射线OB. ∠AOB 就是所画的角.(如图) 【练习】如图已知角∠PMQ ，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠PMQ ，并写出作法 作法：(1) 画 (2)以 ， 以 ， 交 (3)以 ，以 ，交 . 画图： (4)以 ，以 ，交 . (5) . ∠ 就是所画的角
O A M c m A 3、平分已知角 已知：如图，∠AOB 求作：射线OC ，使∠AOC=∠BOC 作法：（1）以点O 为圆心，任意长度为半径作弧，分别交射线OA 、OB 于点D 、E （2）分别以点D 、E 为圆心，大于2 1 DE 长为半径作弧，两弧交于点C （3）作射线OC 所以，射线OC 为所求射线。（请依照画法，在图上画角平分线） 【练习】 已知：如图，∠MON 求作：射线OA ，使∠MOA=∠NOA （画图） 作法：（1）以 ， 为半径作弧，分别交 于 （2）分别以点 为圆心， 为半径作弧，两弧交于 （3）作射线OC 所以，射线OC 为所求射线。 4、过直线外一点作直线的垂线. 已知：直线a 、及直线a 外一点A.(画出直线a 、点A) 求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点A. 作法：(1)任意取一点K ，使点K 、点A 在线段a 两旁 （2）以点A 为圆心，线段AK 的长为半径作弧，交线段a 于点C 、D (3)以分别以点C 、D 为圆心，线段AK 的长为半径作弧，两弧交于点B. (4)经过点A 、B 作直线AB. 直线AB 就是所画的垂线b.(如图) 【练习】过一点作已知直线的垂线