初中数学尺规作图讲解
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴经过两已知点可以画一条直线；
⑵已知圆心和半径可以作一圆；
⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.
历史上，最着名的尺规作图不能问题是：
⑴三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺号π(即当圆半径1
规作图不能问题.
若干着名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.
还有另外两个着名问题：
⑴正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多着名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一
个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的
费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.
⑵四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.
尺规作图的相关延伸：
用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形
==.
2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA
3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作
直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的
几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作
的，单用直尺也能作出！.
五种基本作图：
初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线
4.过一点做一已知线段的垂线
5.做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法：
⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的
位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形
成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个
轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、
轨迹交截法、轨迹法.
【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的
距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？
【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是
在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.
【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；
⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位
置.
【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点
P ，使AOP ∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？
【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.
其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与
直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当
PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.
【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.
【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹
确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的
圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，
当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.
【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：
⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.
⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点.
⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点.
⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆.
∴12,M M ⊙⊙即为所求.
【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其
与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？
⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法
求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.
【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.
【分析】 设半径为1.，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就
是做出这个长度..设法构造斜边为1的
的长度自然就出来了.
【解析】 具体做法：
⑴ 随便画一个圆.设半径为1.
⑵ 先六等分圆周.
⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为
2.）
⑷
【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.
【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =
，所以x 是1
2
a 与h 的比例中项.
【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，
求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形
作法：
⑴ 作线段12
MD a =； ⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；
⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙；
⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ，
⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG .
正方形DEFG 即为所求.
【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .
【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l
的交点即为所求.
【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.
⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.
若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M .
1M ，2M 即为所求.
若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.
若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .
⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形
与所求图形发生联系，从而发现作图途径.
【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.
求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.
【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，
将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点
C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.
【解析】 作法：
⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；
⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；
⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；
⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).
⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.
ABC ∆即为所求.
【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.
求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.
【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .
⑵ 过P 作直线l OB ∥;
⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)；
⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；
⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).
则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.
⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与
其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.
【例9】 已知：一锐角ABC ∆.
求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.
【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后
利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .
【解析】 作法：
⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D
⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.
⑶ 作直线'BF 交AC 于F .
⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .
⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .
则四边形DEFG 即为所求.
⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，
再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所
作图形.
【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.
【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在
AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.
【解析】 作法：
⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;
⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；
⑶ 过P 、N 作直线l .
直线l 即为所求.
【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.
⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积；
⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.
【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点
O ，'O 的
直线l 即为所求；
⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与
线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.
【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC
=，那么称点C 为线段
AB 的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121
S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． ⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是
ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线
DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．
⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点． 【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下： 设ABC △的边AB 上的高为h ． 12ADC S AD h
=△，12
BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， ∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD S AD
=△△． 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，
∴AD BD AB AD =．∴ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△．
∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．
⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
此时1212
S S S ==，即121S S S S ≠， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
⑶ ∵DF CE ∥，
∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，
∴DEC FCE S S =△△．
A C
B 图1 A
D
B 图2
C A
D B 图3 C F
E 图4
设直线EF 与CD 交于点G ，∴
DGE FGC S S =△△． ∴ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形
DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，
BDC BEFC S S =△四边形． 又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．
⑷ 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图1，取EF 中点G ，再过点G 作一直线分别交AB ，DC 于M ，N 点，
则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM NE ∥交AB 于点
M ，
连接MN ，则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．
E M （答案图1）
E M （答案图2）
初中尺规作图典型例题归纳 典型例题一 例 已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+． 分析 所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++． 画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段． 说明 1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去． 2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图． 典型例题二 例 如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ． 错解 如图（1）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求． 错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向． 图（1） 图（2） 正解 如图（2）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ； （3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段． 典型例题三 例 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）． 图（1） 图（2）
错解 如图（2）， （1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1． 则∠D CO 1即为所求的角． 错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧． 正解 如图（2）， （1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ； （4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1． 则∠D CO 1就是所要求作的角． 典型例题四 例 如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ． 分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ． 作法 如下图 （1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形． 说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤． 典型例题五 例 如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）．
尺规作图 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： ①作射线AP ； ②在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）作法： ①分别以M、N 为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径 画弧，两弧相交于P，Q ； ②连接PQ 交MN 于O ． 则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。（试问：PQ 与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠ AOP ＝∠ BOP （即OP 平分∠ AOB ）作法： ①以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M，N； ②分别以M 、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画 弧，两弧交∠ AOB 内于Ｐ； ③作射线OP。则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 （请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a，b，c. 求作：△ ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： ① 作线段AB = c ； ② 以 A 为圆心 b 为半径作弧，以 B 为圆心 a 为半径作弧与前弧相交于C； ③连接AC ，BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m ，n, ∠ . 求作：△ABC，使∠A= ∠ ，AB=m ，AC=n. 作法： ① 作∠ A= ∠ ； ② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； ③连接BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 题目七：已知两角及夹边作三角 形 已知：如图，∠ ，∠ ，线段m . 求作：△ABC，使∠A= ∠，∠ B= ∠,AB=m. 作法： ① 作线段AB=m ； ② 在AB 的同旁作∠ A= ∠ ，作∠ B= ∠ ∠A 与∠B 的另一边相交于C 则△ABC 就是所求作的图形（三角形）
专题32 尺规作图问题 专题知识回顾 1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。 2.尺规作图的五种基本情况： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知线段的垂直平分线； （4）作已知角的角平分线； （5）过一点作已知直线的垂线。 3.对尺规作图题解法： 写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。 4.中考要求： （1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线. （2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形. （3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. （4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）. 专题典型题考法及解析 【例题1】（2019?湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）
A．20°B．30°C．45°D．60° 【答案】B 【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， 由作图可知MN为AB的中垂线， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。 【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°， （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 【答案】见解析。 【解析】（1）分别以A.B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。 如图所示，直线EF即为所求； （2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可。 ∵四边形ABCD是菱形，
中考总复习---尺规作图专项训练 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 五种基本作图： 1作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 题目一：作一条线段等于已知线段。题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段 a . 已知：如图，线段 MN. 求作：线段 AB,使AB = a . 求作：点0,使M0=N0 （即 0是MN的中点） :作已知角的角平分线。 题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，/ A0B , 求作：射线 0P,使/ A0P = Z B0P （即0P平分/ A0B ）。 题目五：已知三边作三角形。题目六：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段 a, b, c. 已知：如图，线段 m, n, Z ?. 求作：△ ABC，使 AB = c , AC = b , BC = a. 求作：△ ABC，使Z A= Z ： , AB=m , AC=n.
题目七：已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，Z 〉，Z 一，线段 m •求作：△ ABC，使Z A= Z ? , Z B= Z ' ,AB=m.
课堂测试 1•如图，有一破残的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计一种方案， 确定这个圆形零件的半径. 2•如图，107国道OA和320国道OB在某市相交于点 O,在/ AOB的内部有工厂 C和D,现要修建一个货站 P, 使P到OA、OB的距离相等且 PC=PD,用尺规作出货站 P的位置(不写作法，保留作图痕迹，写出结论) 三条公路两两相交，交点分别为A, B, C,现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求 的加油站地址有几种情况？ A 3、过点C作一条线平行于 AB ; 4、过不在同一直线上的三点 A、B、C作圆O ; 5、过直线外一点 A作圆O的切线。 6、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图，保留作图痕迹) 7、某公园有一个边长为 4米的正三角形花坛，三角形的顶点 A、B、C上各有一棵古树•现决定把原来的花坛 扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上. 以下设计过程中画图工具不限. (1)按圆形设计，利用图 1画出你所设计的圆形花坛示意图； (2)按平行四边形设计，利用图 2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； (3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。最简单的尺规作图有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆; ⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法。用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍; ⑶化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。直至1837年,万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规,作正六边形。 ·只使用直尺和圆规，作正七边形-—这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的。 ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决:高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两 千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==。 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点. 4。尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单"这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。1672年，有人证明：如果把“作直线"解释为“作出直线上的2点"，那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出!。
a ③ ② ① P B 尺规作图（含练习与答案）-word 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a . 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的垂直平分线。 已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： （１）分别以M、N为圆心，大于MN 2 1的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于MN 2 1的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP。 则射线OP就是∠AOB的角平分线。 （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB。 求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB 作法： （1）作射线O’A’； （2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M， 交OB于N； （3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’ 于M’； （4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于 N’；
B Q P a 尺 规 作 图 初二（ ）班 姓名 学号 一、五种基本作图 1、画一条线段等于已知线段. 如图：已知线段a ，用直尺和圆规准确地画一条线段AB 等于已知线段a 作法：(1)作射线AE (2)以点A 为圆心，线段a 的长度为半径画弧，交AE 于点B 所以，线段AB 为所求线段。 画图： 2、画一个角等于已知角. 如图：已知角∠MPN ，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN. 作法：(1)画射线OA. (2)以角∠MPN 的顶点P 为圆心，以适当长。 为半径画弧，交∠MPN 的两边于E 、F. (3)以点O 为圆心，以PE 长为半径画弧，交OA 于点C. (4)以点C 为圆心，以EF 长为半径画弧，交前一条弧于点D. (5)经过点D 作射线OB. ∠AOB 就是所画的角.(如图) 【练习】如图已知角∠PMQ ，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠PMQ ，并写出作法 作法：(1) 画 (2)以 ， 以 ， 交 (3)以 ，以 ，交 . 画图： (4)以 ，以 ，交 . (5) . ∠ 就是所画的角
O A M c m A 3、平分已知角 已知：如图，∠AOB 求作：射线OC ，使∠AOC=∠BOC 作法：（1）以点O 为圆心，任意长度为半径作弧，分别交射线OA 、OB 于点D 、E （2）分别以点D 、E 为圆心，大于2 1 DE 长为半径作弧，两弧交于点C （3）作射线OC 所以，射线OC 为所求射线。（请依照画法，在图上画角平分线） 【练习】 已知：如图，∠MON 求作：射线OA ，使∠MOA=∠NOA （画图） 作法：（1）以 ， 为半径作弧，分别交 于 （2）分别以点 为圆心， 为半径作弧，两弧交于 （3）作射线OC 所以，射线OC 为所求射线。 4、过直线外一点作直线的垂线. 已知：直线a 、及直线a 外一点A.(画出直线a 、点A) 求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点A. 作法：(1)任意取一点K ，使点K 、点A 在线段a 两旁 （2）以点A 为圆心，线段AK 的长为半径作弧，交线段a 于点C 、D (3)以分别以点C 、D 为圆心，线段AK 的长为半径作弧，两弧交于点B. (4)经过点A 、B 作直线AB. 直线AB 就是所画的垂线b.(如图) 【练习】过一点作已知直线的垂线
尺规作图 1作一条线段等于已知线段 已知：线段a，求作：线段AB，使AB=a。 2作一全角等于已知角 已知：∠MPN 求作：∠ABC，使∠ABC=∠MPN。 3作角的平分线 已知：∠MPN 求作：∠MPN的角平分线PO 4作线段的垂直平分线 已知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线MN。 5过定点作已知直线的垂线： （1）点在直线上；（2）点在直线外6过定点作已知直线的平行线
7已知三边作三角形 已知：线段a 、b 、c 求作：△ABC ，使AB=a 、BC=b 、AC=c 。 8已知两边及其夹角作三角形 已知：线段a 、b 、∠α 求作：△ABC ，使AB=a 、BC=b 、∠B=∠α。 9已知两角及其夹边作三角形 已知：线段a 、∠α、∠β 求作：△ABC ，使∠A=∠α、∠B=∠β、AB=a 。 10已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：线段a 、h 求作：△ABC ，使AB=AC ，BC=a 、BC 边上的高AD=h 。 c b a
11已知底边上的高和顶角作等腰三角形 已知：线段h、∠α 求作：△ABC，使AB=AC，∠A=∠α，高AD=h。12已知底边及腰长作等腰三角形 已知：线段a、b 求作：△ABC，使AB=AC=a，BC=b。 13已知一直角边及斜边作直角三角形 已知：线段a、c 求作：Rt△ABC，使∠C=90°、AB=c、BC=a 14作三角形的外接圆 已知：△ABC 求作：△ABC的外接圆⊙O 15作三角形的内切圆 已知：△ABC 求作：△ABC的内切圆⊙O A A B C B C
16如图，直线AB⊥CD，垂足为P，∠ACP=45°, 利用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与直线AB和CD相切。 17已知，矩形ABCD （1）作图：作出点C关于BD所在直线的对称点E 18已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º， ∠BAC的角平分线AD交BC边于D，以 AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙ O 20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，请 在△ABC内部裁出一个半圆，圆心在AC 边上，且与AB、BC都相切。 （角B的角平分线）A B D C
初中尺规作图典型例题归纳 典型例题一 例 已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+． 分析 所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++． 画法：1．画线段a AB =．2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段． 说明 1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去． 2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图． 典型例题二 例 如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ． 错解 如图（1）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求． 错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向． 图（1） 图（2） 正解 如图（2）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ； （3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段． 典型例题三 例 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）． 图（1） 图（2）
错解 如图（2）， （1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1． 则∠D CO 1即为所求的角． 错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧． 正解 如图（2）， （1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ； （4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1． 则∠D CO 1就是所要求作的角． 典型例题四 例 如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ． 分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ． 作法 如下图 （1）∠MBN =∠α；（2）在射线BM 上截取BC =a ；（3）以C 为顶点作∠PCB =∠α，射线CP 交BN 于点A ．△ABC 就是所要求作的等腰三角形． 说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤． 典型例题五 例 如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）．
尺规作图 §1考点导航 1、基本尺规作图 2、尺规作图的应用 §2 考点剖析 年份考点 2016 已知线段作中点 2015 过一点作已知直线的垂线 2014 作角平分线 2013 作一条线段等于已知线段 2012 作角平分线 2011 坐标系中，圆的平移作图 2010 坐标系中，三角形的平移、旋转作图 2009 过一点作已知直线的垂线 2008 作等腰三角形底边上中线 2007 作垂直平分线 中考大纲 尺规作图能用尺规完成一下基本作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 作一个角的平分线 作一条线段的垂直平分线 过一点作已知直线的垂线 会利用基本作图，作三角形、圆以及三角形、多边形和圆的组合图形 其他作图包括：①三视图作图；②图形变换作图；③坐标系作图及函数作图§3 典题精讲 板块一：基本尺规作图 作一条线段等于已知线段. 【范例】已知：如图，线段a .
N M B O A ③ ② ① A'A' N' O' B' M'O' A' N'M' M' O' 求作：线段AB ，使AB = a . 做法： （1）作射线AP ； （2）在射线AP 上截取AB =a ，则线段AB 就是所求作的图形。 【练习】已知线段AB 和CD ，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB ＋2CD . 作一个角等于已知角. 【范例】已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ′O ′B ′，使A ′O ′B ′=∠ AOB 作法： （1）作射线O ′A ′； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ′为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ′A ′于M ′； （4）以M ′为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ′； （5）连接O ′N ′并延长到B ′。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 【练习】如图，已知∠A 、∠B ，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
尺规作图 一：作已知角的平分线 （1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N； （2）分别以点M，N为圆心，以大于1 2 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P； （3）作射线OP，OP即为所作的角平分线. 二：作已知线段的垂直平分线 （1）分别以M、N为圆心，大于1 2 MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （2）连接PQ，交MN于O． 则PQ就是所求作的MN的垂直平分线. 1．（2019年河南中考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A， C为圆心，大于1 2 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若 点O是AC的中点，则CD的长为（）
A．22B．4 C．3 D．10【答案】A 【解析】如图，连接FC，则AF=FC． ∵AD ∥BC，∴∠FAO=∠BCO． 在△FOA与△BOC中， FAO BCO OA OC AOF COB ∠=∠ ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪∠=∠ ⎩ ，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF=BC=3， ∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32， ∴CD=22．故选A． 【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键． 2．（2019年北京中考）已知锐角∠AOB，如图， （1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N； （3）连接OM，MN．
第24讲 尺规作图 1．尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2．基本尺规作图 类型一：作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线OP ； ②以O 为圆心，a 为半径作弧，交OP 于A ，OA 即为所求线段． 图示： 类型三：作线段的垂直平分线 步骤：①分别以点A ，B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径，在AB 两侧作弧，两弧交于M ，N 点； ②连接MN ，直线MN 即为所求垂直平分线． 图示： 类型四：作一个角等于已知角： 步骤：①以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P ，Q ； ②作射线O′A； ③以O′为圆心，OP 长为半径作弧，交O′A 于点M ； ④以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ； ⑤过点N 作射线O′B，∠AO ′B 即为所求角． 图示： 类型五：过一点作已知直线的垂线 步骤：点在直线上：①以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A ，B 两点； ②分别以点A ，B 为圆心，以大于1 2 AB 长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M ，N ；
③连接MN ，MN 即为所求垂线． 点在直线外：①在直线另一侧取点M ； ②以PM 为半径画弧，交直线于A ，B 两点； ③分别以A ，B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径画弧，交M 同侧于点N ； ④连接PN ，则直线PN 即为所求的垂线． 图示： 3．常见几种基本尺规作图作三角形 ①已知三边作三角形； ②已知两边及其夹角作三角形； ③已知两角及其夹边作三角形； ④已知底边及底边上的高作等腰三角形； ⑤已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．作图的一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论． 步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 考点1：简单尺规作图 【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：如图，∠α，线段a. 求作：△ABC ，使AB ＝AC ，∠BAC＝α，AD⊥BC 于D ，且AD ＝a. 【解析】：作图如图，(1)作∠EAF ＝∠α；(2)作AG 平分∠EAF ，并在AG 上截取AD ＝a ；(3)过D 作MN⊥AG，
考点 20 尺规作图 一、尺规作图 1．尺规作图的定义 在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 2．五种基本作图 （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作一个角的平分线； （4）作一条线段的垂直平分线； （5）过一点作已知直线的垂线． 3．根据基本作图作三角形 （1）已知三角形的三边，求作三角形； （2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； （3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形； （4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； （5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）； （2）作三角形的内切圆． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型． 6．作图题的一般步骤 （1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 二、尺规作图的方法 1．尺规作图的关键 （1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； （2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题． 2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角． 考向一基本作图 1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图． 2．基本作图有五种： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作一个角的平分线； （4）作一条线段的垂直平分线； （5）过一点作已知直线的垂线． 典例 1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于1 2 AB）为半径作弧， 两弧相交于点M和N，作直线M N交AB于点D，交BC于点E，连接C D，下列结论错误的是 A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 【答案】 D 【解析】∵M N为A B的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°， ∵∠ACB=90°，∴C D=BD， ∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED，∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．典例 2 如图，已知∠MAN，点B在射线A M上． （1）尺规作图： ①在A N上取一点C，使BC=BA； ②作∠MBC的平分线BD，（保留作图痕迹，不写作法）