单自由度系统固有频率和阻尼比的测定实验
一、实验内容
1、学习分析系统自由衰减振动的波形；
2、验证固有频率的存在；
3、由衰减振动波形确定系统固有频率和阻尼比；
二、实验设备
振动与控制实验设备、位移传感器、测振仪、计算机与分析软件
三、实验原理
振动与控制实验设备如右上方图所示，单自由度系统的力学模型如右下方图所示。当给质量M 一定初始扰动时，系统作自由衰减振动，其运动微分方程为：
020222
22=++=++x dt
dx
n dt x d Kx dt
dx
C dt x d M ω和 或
022
22=++x dt
dx dt x d ωξω （1）
式中，为阻尼比。
为阻尼系数，为系统固有频率，ωξω/2//n M C n M K ===
)
3(1-2)sin(,1对于小阻尼情形2
2211001ξωωωω??ωξ-==---+=<-n A t Ae x m 并且有：
衰减振动圆频率。
初相位，
系统初始振幅，
式中）
（其方程有解如下：
设t=0 时，系统的位置和速度分别为x 0和v 0 , 则
)
5()(tan )
4()(2
002
202
22
002
0nx v n x n nx v x A +-=
-++
=ω?ω
其衰减振动有如下特点：
1、振动周期 大于无阻尼时的自由振动周期，即T 1>T 2
)
7(111)
6(112222
102
2
2
21
1ξξ
ξ
ωπ
ωπ
ωπ
-=
=
-=
-=
-=
=
T T f T n
T 系统固有频率为：
2、振幅按指数函数衰减，设相邻两次振动的振幅分别为A i 和A i+1，则减幅系数为：
ω
ξπωδηδηηηδηn T n M n C T
n nT e A A j nT e A A nT i i
j nT i i
=+==
=
====
====
++,)2(,2,j 11j ln 10,)
9(ln )8(212j
1
j j j j
j 11
1
1
则：
）
（）（则
振幅之比设为个周期的两次振动，其另外，相隔对数减幅系数
四、实验步骤
1. 试验1：采用1个质量块，施加较小的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。
2. 试验2：采用1个质量块，施加较大的力使得悬臂梁产生自由衰减振动。
3. 设定周期数j ，此试验取30，读出j 个波形所经历的时间t ，记录其波形的幅
值。 4. 计算系统阻尼比ξ和固定频率0f
五、数据处理与实验结果分析
表5-1 原始数据记录
试验1 试验2
X1 10.36 X1 29.60
Y11 16.75 Y11 23.11
X2 14.14 X2 33.40
Y21 10.48 Y21 18.04
dX 3.78 dX 3.80
dY1 -6.27 dY1 -5.09
试验1（单个质量块，力F 较小）：
由试验所测数据计算得到的周期为：
Hz T
f s T 936.71
,126.030/78.30==
==
则振幅之比设为,j η
60.148
.1075.16j j ===
+i i A A η 47.0)60.1ln(ln j j ===ηδ
s
jn T T
n j 126.0124
.03047
.0,124.0126.03047.0j 1j
=?===?=
=δδ则有86.49)126.02(124.0)2(
2
2212=+=+=ππωT n 310487.286
.49124
.0-?==
=
ω
ξn
试验2（单个质量块，力F 较大）： 由试验所测数据计算得到的周期为：
Hz T
f s T 936.71
,126.030/80.30==
==
则振幅之比设为,j η 28.104
.1811
.23j j ===
+i i A A η 25.0)28.1ln(ln j j ===ηδ
s
jn T T
n j 126.0074
.03028
.0,074.0126.03028.0j 1j
=?===?=
=δδ则有86.49)126.02(074.0)2(
2
2212=+=+=ππωT n 310484.186
.49074
.0-?==
=
ω
ξn
由以上数据处理结果可以得到，试验1和试验2在不同大小的作用力下，悬
臂梁的固有频率一致，均为7.69Hz 。 试验3（两个质量块）：
由试验所测数据计算得到的周期为：
Hz T
f s T 614.71
,131.030/94.30==
== 则振幅之比设为,j η 48.176
.2124
.32j j ===
+i i A A η 39.0)48.1ln(ln j j ===ηδ
s
jn T T n j 131.0099
.03039
.0,099.0131.03039.0j 1j
=?===?==δδ则有96.47)131
.02(099.0)2(
2
2212=+=+=ππωT n 31006.296
.47099
.0-?==
=
ω
ξn 六、试验思考
1、试验过程较为简单，只是通过给悬臂杆一个外力后让其振动，测量到它的振动波形图就行了。
2、关于所测得的频率是否就是结构的固有频率，怎么证明固有频率的存在性，试验通过施加不同的力，但是测量计算得到的频率保持不变，说明了固有频率的存在性。
3、根据公式，固有频率与结构的刚度和质量有关，通过改变质量块的数量，模拟质量的改变，结果表明频率发生了改变。
单自由度系统固有频率和阻尼比的测定实验 一、实验内容 1、学习分析系统自由衰减振动的波形； 2、验证固有频率的存在； 3、由衰减振动波形确定系统固有频率和阻尼比； 二、实验设备 振动与控制实验设备、位移传感器、测振仪、计算机与分析软件 三、实验原理 振动与控制实验设备如右上方图所示，单自由度系统的力学模型如右下方图所示。当给质量M 一定初始扰动时，系统作自由衰减振动，其运动微分方程为： 020222 22=++=++x dt dx n dt x d Kx dt dx C dt x d M ω和 或 022 22=++x dt dx dt x d ωξω （1） 式中，为阻尼比。 为阻尼系数，为系统固有频率，ωξω/2//n M C n M K ===
) 3(1-2)sin(,1对于小阻尼情形2 2211001ξωωωω??ωξ-==---+=<-n A t Ae x m 并且有： 衰减振动圆频率。 初相位， 系统初始振幅， 式中） （其方程有解如下： 设t=0 时，系统的位置和速度分别为x 0和v 0 , 则 ) 5()(tan ) 4()(2 002 202 22 002 0nx v n x n nx v x A +-= -++ =ω?ω 其衰减振动有如下特点： 1、振动周期 大于无阻尼时的自由振动周期，即T 1>T 2 ) 7(111) 6(112222 102 2 2 21 1ξξ ξ ωπ ωπ ωπ -= = -= -= -= = T T f T n T 系统固有频率为： 2、振幅按指数函数衰减，设相邻两次振动的振幅分别为A i 和A i+1，则减幅系数为： ω ξπωδηδηηηδηn T n M n C T n nT e A A j nT e A A nT i i j nT i i =+== = ==== ==== ++,)2(,2,j 11j ln 10,) 9(ln )8(212j 1 j j j j j 11 1 1 则： ） （）（则 振幅之比设为个周期的两次振动，其另外，相隔对数减幅系数
说明：在下面的数据处理中，如1 A，11d T，1δ，1ξ，1n T，1nω：表示第一次实 1 验中第一、幅值、对应幅值时间、变化率、阻尼比、无阻尼固有频率。第二 次和和三次就是把对应的1改成2或3.由于在编缉公式时不注意２，３与平 方，三次方会引起误会，请老师见谅！！ Ap0308104 陈2006-7-1 实验题目：悬臂梁一阶固有频率及阻尼系数测试 一、实验要求以下： 1. 用振动测试的方法，识别一阻尼结构的（悬臂梁）一阶固有频率和阻尼系数； 2. 了解小阻尼结构的衰减自由振动形态； 3. 选择传感器，设计测试方案和数据处理方案，测出悬臂梁的一阶固有频率和阻尼 根据测试曲线，读取数据，识别悬臂梁的一阶固有频率和阻尼系数。 二、实验内容 识别悬臂梁的二阶固有频率和阻尼系数。 三、测试原理概述： 1，瞬态信号可以用三种方式产生，有脉冲激振，阶跃激振，快速正弦扫描激振。 2，脉冲激励用脉冲锤敲击试件，产生近似于半正弦的脉冲信号。信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ，τ越小则频率范围越大。 3.幅值：幅值是振动强度的标志，它可以用峰值、有效值、平均值等方法来表示。 频率：不同的频率成分反映系统内不同的振源。通过频谱分析可以确定主要频率成分及其幅值大小，可以看到共振时的频率，也就可以得到悬臂梁的固有频率 4、阻尼比的测定 自由衰减法: 在结构被激起自由振动时，由于存在阻尼，其振幅呈指数衰减波形，可算出阻尼比。一阶固有频率和阻尼比的理论计算如下：
11 3 3 44 4 2 3.515(1) 2=210 ;70;4;285;7800 ; ,12 12 ,, Ix = 11.43 c m Iy= 0.04 c m 0.004 2.810,,1x y y f k g E p a b m m h m m L m m m a b a b I I I m m E L π ρρ-----------?===== = ?=?固x y ＝ 式惯性矩：把数据代入I 后求得 载面积：S ＝b h =0.07m 把S 和I 及等数据代入（）式， 求得本41.65() H Z 固理悬臂梁理论固有频率f ＝ 阻尼比计算如下： 2 2 2 1 111 220, 2,........ln , ,22;n d n n n d n d n T i i i j j i i i i j i i i j i n d i j n d n d d d d x d x c k x d t d t c e A A A A A T A T T ξωξωωξωωωξωωηη δξωωωωωπδπξ++ -++ +++ + ++=++===≈== ? ?? ==≈2 二阶系统的特征方程为S 微分方程：m 当很少时，可以把。A 减幅系数＝而A A A A A 1则：＝ j 又因为所以＝＝，所以＝即可知δξπ ＝ 2 在这个实验中，我们使用的是自由衰减法，以下是实验应该得到的曲线样本及物理模型。
实验三振动系统固有频率的测量 一、实验目的 1、了解和熟悉共振前后利萨如图形的变化规律和特点； 2、学习用“共振法”测试机械振动系统的固有频率（幅值判别法和相位判别法）； 3、学习用“锤击法”测试机械振动系统的固有频率（传函判别法）； 4、学习用“自由衰减振动波形自谱分析法”测试振动系统的固有频率（自谱分析法）。 二、实验装置框图 实验装置3-1图框图三、实验原理对于振动系统，经常要测定其固有频率，最常用的方法就是用简谐力激振，引起系统共振，从而找到系统的各阶固有频率。 另一种方法是锤击法，用冲击力激振，通过输入的力信号和输出的响应信号进行传函分析，得到各阶固有频率。以下对这两种方法加以说明：1、简谐力激振简谐力作用下的强迫振动，其运动方程为：XX?方程式的解由这两部分组成：21CC、常数由初始条件决定：式中21其中 ??22????q2?q F ee?A?A0???q?? , 212222222222????????4??4?? ，m eeee
XX代表阻尼强迫振动项。代表阻尼自由振动基，21?2?T自由振动周期：D?D． ?2?T强迫振动项周期：e?e由于阻尼的存在，自由振动基随时间不断得衰减消失。最后，只剩下后两项，也就是通常讲的定常强动，即强迫振动部分：通过变换可写成2?/q22?AA?A? 式中21222???42ee?(1?)42?????e Dw??，代入公式设频率比?2?/q?A则振幅 2222??D?1?4)(?D2?g?arct滞后相位角：2??1FFK2?00xstq/???/：成幅A可写的静位移，所以振起干为弹簧受扰力峰因为值作用引Kmm1?xx?.A? stst2222??D4)??(11???其中称为动力放大系数：222??D?）（1?42动力放大系数β是强迫振动时的动力系数即动幅值与静幅值之比。这个数值对拾振器和单自由度体系的振动的研究都是很重要的。 ??1，即强迫振动频率和系统固有频率相等时，动力系数迅速增加，引起系统共振，由式：当?)?A?sin(wtX e可知，共振时振幅和相位都有明显变化，通过对这两个参数进行测量，我们可以判别系统是否达到共振动点，从而确定出系统的各阶振动频率。 （一）幅值判别法 在激振功率输出不变的情况下，由低到高调节激振器的激振频率，通过示波器，我们可以观察到在某一频率下，任一振动量（位移、速度、加速度）幅值迅速增加，这就是机械振动系统的某阶固有频率。这种方法简单易行，但在阻尼较大的情况下，不同的测量方法的出的共振动频率稍有差别，不同类型的振动量对振幅变化敏感程度不一样，这样对于一种类型的传感器在某阶频率时不够敏感。 （二）相位判别法 相位判别是根据共振时特殊的相位值以及共振前后相位变化规律所提出来的一种共振判别法。在简谐力激振的情况下，用相位法来判定共振是一种较为敏感的方法，而且共振是的频率就是系统的无阻尼固有频率，可以排除阻尼因素的影响。 ?tFF?sin激振信号为： ??)Y sin(?ty?位移信号为：? ) ωt-=ωYcos(y速度信号为：2? ) ωt-=-ωsin(y加速度信号为：（三）位移判别法 将激振动信号输入到采集仪的第一通道（即x轴），位移传感器输出信号或通过ZJT-601A型振动教学仪积分档输出量为位移的信号输入第二通道（即y轴），此时两通道的信号分别为： F=Fsinωt 激振信号为：?) t-y=Y sin(ω位移信号为：?=π/2，πω=ω/2，根据利萨如图原理可知，y轴 信号的相位差为x，共振时，轴信号和nωω时，图象都将由正椭圆变为斜椭圆，其变化过屏幕上的图象将是一个正椭圆。当或略小于ω略大于nn程如下图所示。因此图象由斜椭圆变为正椭圆的频率就是振动体的固有频率。 ω<ωω=ωω>ωn n n 图3-2 用位移判别法共振的利萨如图形 （四）速度判别共振
图1 衰减振动波形、对经过半周期为基准的阻尼计算每经过半周期的振幅的比值为一常量，2121)2(1D D TD TD t t K K e e Ae Ae A A -+--+====πεεε?这个比例系数 表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数 常用来表示 ??振幅的减小速率。如果用衰减系数的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。?、管通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含、电气课件中对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试、电气设备调试高中资料电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒
砝码为3kg 的图像 砝码为 3.5kg的图像、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
6□ 6-1 两自由度系统有阻尼受迫振动 图6－1 两自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-2 图6－2 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2）
虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号 两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-3过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的某一选项（共7项），可使示波器显示相 应的内容。 电压表 ：选择“1号点”，显示1号传感器的输出电压。选择“2号点”， 显示2号传感器的输出电压。 频率计 ：显示加速度信号的频率。 李萨玉图 ：观察1号加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭 信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 将频率计当前的读数和1号、2号传感器当前的输出电压 同时拾取到测试数据表格中。“幅值1”为1号传感器的输出电压，“幅 值2”为2号传感器的输出电压。若重复拾取某一频率的数据，则当 前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取频率计当前的 读数和1＃、2＃传感器当前的输出电压。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图6 －3）。
图6－3
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-4一、实验目的 ? 了解和掌握两自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现 象。 ? 理解两自由度系统固有振型的物理概念。 ? 巩固基本振动测试设备的操作与使用。 二、实验仪器 ? 两自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图6－1将综合实验台装配成两自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图6－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“两自由度系统有阻 尼受迫振动”实验操作界面（图6－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放大 器的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（用
实验报告1：自由衰减法测量单自由度系统的固有频率和阻尼比 姓名：刘博恒学号：1252227专业：车辆工程(汽车) 班级：12级 日期：2014年12月25日组内成员张天河、刘嘉锐、刘博恒、马力、孙贤超、唐鑫 一、实验目的 1.了解单自由度自由衰减振动的有关概念。 2.学会用数据采集仪记录单自由度系统自由衰减振动的波形。 3.学会根据自由衰减振动波形确定系统的固有频率和阻尼比。 二、实验原理 由振动理论可知，一个单自由度质量－弹簧－阻尼系统，其质量为m(kg)，弹簧刚度为K(N m ?)，粘性阻尼系数为r(N?m s?)。当质量上承受初始条件（t=0时，位移x=x0，速度x?=x?0）激扰时，将作自由衰减振动。 在弱阻尼条件下其位移响应为： x=Ae?nt sin(√p2?n2t+φ) 式中： n=r 2m 为衰减系数（rad/s） p=√K m 为固有圆频率（rad/s） A=√x?02+2nx?0x0+p2x02 p2?n2 为响应幅值（m） φ=tan?1x0√p2?n2 x?0+nx0 为响应的相位角（rad） 引入： 阻尼比ξ=n p 对数衰减比δ=ln A1 A3 则有：n=δ T d 而T d=1 f d = √p2?n2 f d=p d 2π =√p2?n2 2π 为衰减振动的频率，p d= √p2?n2为衰减振动的圆频率。 在计算对数衰减比时，考虑到传感器的误差及系统本身迟滞，振动的平衡点位置可能不为0，因此可以使用相邻周期的峰峰值来代替振幅值计算，即δ=ln A1+A2 A3+A4 。 从衰减振动的响应曲线上可直接测量出δ、T d，然后根据n=δ T d 可计算出n；T d=1 f d = √p22计算出p；ξ=n p 可计算出ξ；n=r 2m 计算出r；f0=p 2π =1 2π √K m 计算出无阻尼时系统的 固有频率f0；T0=1 f =2π?√m K 计算出无阻尼时系统的固有周期T0。 三、实验方法 1)将系统安装成单自由度无阻尼系统，在质量块的侧臂有一个“测量平面”，用于电涡流传感器拾振。将电涡流传感器对准该平面，调节其初始位置，使得位移测量仪在ORIG 位置时限制值在1.00mm至1.5mm范围内。 2)在软件中选中“单自由度系统-用自由衰减法测量系统参数”项目，软件左侧的采集设置默认即可。打开一个时间波形观察图，设置均为默认无需修改。设置完毕后开始采集。 3)用手轻推质量块，或者用力锤轻敲质量块，采集一段信号进行分析。让质量块自由衰减时所给的力应对准质量块中心位置，否则波形可能畸变。 4)利用光标读出多个周期的时间、振幅坐标并记录，计算其对数衰减比和周期的平均值，进而计算出固有频率、阻尼比。 5)将系统安装成单自由度有阻尼系统，重复上述步骤。
第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)
实验三振动系统固有频率的测量 、实验目的 1、了解和熟悉共振前后利萨如图形的变化规律和特点； 2、学习用“共振法”测试机械振动系统的固有频率（幅值判别法和相位判别法） 3、学习用“锤击法”测试机械振动系统的固有频率（传函判别法）； 4、学习用“自由衰减振动波形自谱分析法”测试振动系统的固有频率（自谱分析法）、实验装置框图
图3-1实验装置框图 三、实验原理 对于振动系统，经常要测定其固有频率， 最常用的方法就是用简谐力激振， 引起系统共 振，从而找到系统的各阶固有频率。 另一种方法是锤击法，用冲击力激振， 通过输入的力信 号和输出的响应信号进行传函分析，得到各阶固有频率。以下对这两种方法加以说明： 1、简谐力激振 简谐力作用下的强迫振动，其运动方程为： mx Cx Kx = F o sin e t 方程式的解由X ! X 2这两部分组成： X^^t (C 1 cosw D t C 2 si nw D t) 式中C 1、C 2常数由初始条件决定: 的定常强动，即强迫振动部分: x 2 cos e t 7^ s in 'e t 2 4 2 r ；2』 通过变换可写成 其中 X 2 A cosw e t A sinw e t A = E _讯$十4名2coj 【2 2q e ； F 0 q - m X 1 代表阻尼自由振动基, x 2代表阻尼强迫振动项。 自由振动周期: T D 强迫振动项周期: T e ■D 2 二 ■e 由于阻尼的存在, 自由振动基随时间不断得衰减消失。最后， 只剩下后两项, 也就是通常讲 2q e
X = Asin （w e t - :） q/ ‘2 2 ,22 （1 -笃II CO o 2? ~2 2 皎—叽丿 滞后相位角： 二a r ct j D ； 1— y 2 F K F 因为q/ 「计齐若xst 为弹簧受干扰力峰值作用引起的静位移，所以振幅 其中［称为动力放大系数： 「 ------------ 1 — （1」2）2+442D 2 动力放大系数3是强迫振动时的动力系数即动幅值与静幅值之比。 这个数值对拾振器和 单自由度体系的振动的研究都是很重要的。 当- 1 ,即强迫振动频率和系统固有频率相等时， 动力系数迅速增加，引起系统共振， 由式： X = Asi n （W e t -】） 可知，共振时振幅和相位都有明显变化， 通过对这两个参数进行测量， 我们可以判别系统是 否达到共振动点，从而确定出系统的各阶振动频率。 （一） 幅值判别法 在激振功率输出不变的情况下， 由低到高调节激振器的激振频率， 通过示波器，我们可 以观察到在某一频率下，任一振动量（位移、速度、加速度）幅值迅速增加，这就是机械振 动系统的某阶固有频率。这种方法简单易行，但在阻尼较大的情况下，不同的测量方法的出 的共振动频率稍有差别，不同类型的振动量对振幅变化敏感程度不一样， 这样对于一种类型 的传感器在某阶频率时不够敏感。 （二） 相位判别法 相位判别是根据共振时特殊的相位值以及共振前后相位变化规律所提出来的一种共振 判别法。在简谐力激振的情况下，用相位法来判定共振是一种较为敏感的方法， 而且共振是 式中 设频率比 则振幅 」=—,；=Dw 代入公式 o q/co 2 （1 _ J .2）2 - 4」 2 D 2 写成: _______ 1 _______ （1 _」2 ）2 4」 2D 2 X st ?X st
:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向
振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η= d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξ πξ - δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块，加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面,选择单通道按钮。 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波，见图2。 3、在采样参数中设置好采样频率400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际
汽车悬挂系统的固有频率和阻尼比测量汽车悬挂系统的固有频率和阻尼比测量一、测量仪器 DH5902坚固型动态数据采集系统，DH105E加速度传感器，DHDAS基本控制分析软件，阻尼比计算软件。 二、测量方法 、试验在汽车满载时进行。根据需要可补充空载时的试验。试验前称量汽1 车总质量及前、后轴的质量。 2、DH105E加速度传感器装在前、后轴和其上方车身或车架相应的位置上。 3、可用以下三种方法使汽车悬挂系统产生自由衰减振动。
3.1 滚下法:将汽车测试端的车轮，沿斜坡驶上凸块(凸块断面如图所示，其高度根据汽车类型与悬挂结构可选取60、90、120mm，横向宽度要保证 1 车轮全部置于凸块上)，在停车挂空档发动机熄火后，再将汽车车轮从凸块上推下、滚下时应尽量保证左、右轮同时落地。 3.2 抛下法:用跌落机构将汽车测试端车轴中部由平衡位置支起60或90mm，然后跌落机构释放，汽车测试端突然抛下。 3.3 拉下法:用绳索和滑轮装置将汽车测试端车轴附近的车身或车架中部由平衡位置拉下60或90mm，然后用松脱器使绳索突然松脱。 注:用上述三种方法试验时，拉下位移量、支起高度或凸块高度的选择要保证悬架在压缩行程时不碰撞限位块，又要保证振动幅值足够大与实际使用情况比较接近。对于特殊的汽车类型与悬架结构可以选取60、90、120mm以外的值。 4、数据处理 4.1 用DH5902采集仪记录车身和车轴上自由衰减振动的加速度信号; 4.2 在DHDAS软件中对车身与车轴上的加速度信号进行自谱分析，截止频率使用20Hz低通滤波，采样频率选择50Hz，频率分辨率选择0.05Hz; 4.3 加速度自谱的峰值频率即为固有频率;
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
汽车悬挂系统的固有频率和阻尼比测量一、测量仪器 DH5902坚固型动态数据采集系统，DH105E加速度传感器，DHDAS基本控制分析软件，阻尼比计算软件。 二、测量方法 1、试验在汽车满载时进行。根据需要可补充空载时的试验。试验前称量汽车总质量及前、后轴的质量。 2、DH105E加速度传感器装在前、后轴和其上方车身或车架相应的位置上。 3、可用以下三种方法使汽车悬挂系统产生自由衰减振动。 3.1滚下法：将汽车测试端的车轮，沿斜坡驶上凸块（凸块断面如图所示，其高度根据汽车类型与悬挂结构可选取60、90、120mm，横向宽度要保证 车轮全部置于凸块上），在停车挂空档发动机熄火后，再将汽车车轮从凸块上推下、滚下时应尽量保证左、右轮同时落地。 3.2抛下法：用跌落机构将汽车测试端车轴中部由平衡位置支起60或 90mm，然后跌落机构释放，汽车测试端突然抛下。 3.3拉下法：用绳索和滑轮装置将汽车测试端车轴附近的车身或车架中部由平衡位置拉下60或90mm，然后用松脱器使绳索突然松脱。 注：用上述三种方法试验时，拉下位移量、支起高度或凸块高度的选择要保证悬架在压缩行程时不碰撞限位块，又要保证振动幅值足够大与实际使用情
况比较接近。对于特殊的汽车类型与悬架结构可以选取60、90、120mm以外的值。 4、数据处理 4.1用DH5902采集仪记录车身和车轴上自由衰减振动的加速度信号； 4.2 在DHDAS软件中对车身与车轴上的加速度信号进行自谱分析，截止频率使用20Hz低通滤波，采样频率选择50Hz，频率分辨率选择0.05Hz； 4.3加速度自谱的峰值频率即为固有频率； 4.4在DHDAS软件中选择频响分析，车轴上的信号作为输入，车身上的信号作为输出得到幅频特性曲线，采样频率选择200Hz，该曲线的峰值频率为车轮部分不运动时的车身部分的固有频率f0’,有软件中的阻尼比计算模块直接得出阻尼比。
第三章单自由度体系 直接积分法
主要内容 ?两种直接积分方法 （1）中心差分法 （2）Newmark—β法 ?数值积分的稳定性 ?了解算法阻尼（数值阻尼）现象
1. 数值积分概述（直接积分法，逐步积分法） (Direct Integration Methods, Step-by-Step Methods) 运动方程：In direct integration the equations of equilibrium are integrated using a numerical step-by-step procedure, the term ‘direct ’meaning that prior to the numerical integration, no transformation of equations into a different form is carried out. (K.J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996.)Two ideas: (1)运动方程并不在任何时间t 都得到满足，而仅仅是在以时间间隔为Δt 的离散时间点上得到满足。 (2)在时间间隔Δt 内，对位移、速度和加速度的变化作出某些假定。 ()()()mu c t u k t u p t ++=
1. 数值积分概述 常用的数值积分方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）Runge-Kutta法； （4）Houbolt法； （5）平均加速度法； （6）线性加速度法； （7）Newmark—β法； （8）Wilson —θ法； （9）HHT法(Hilber-Hughes-Taylor method)； （10）精细积分法； ……
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定 实验报告 系别：土木 班级： 姓名： 学号： 实验日期：2010.11.10
一、实验目的 1、掌握测定单自由度系统固有频率、阻尼比的几种常用方法 2、掌握常用振动仪器的正确使用方法 二、实验内容 1、记录水平振动台的自由衰减振动波形 2、测定水平振动台在简谐激励下的幅频特性 3、测定水平振动台在简谐激励下的相频特性 4、根据上面测得的数据，计算出水平振动台的固有频率、阻尼比 三、实验原理 具有粘滞阻尼的单自由度振动系统，自由振动微分方程的标准形式为 022=++q p q n q 式中q 为广义坐标，n 为阻尼系数，eq eq m C n /2=，eq C 为广义阻力系数，eq m 为等效质量；p 为固有的圆频率，eq eq m K p /2=，eq K 为等效刚度。在阻尼比 1/<=p n ζ的小阻尼情况下，运动规律为)sin(22α+-=-t n p Ae q nt ，式中A ， α由运动的起始条件决定，d f n p π222=-。 具有粘滞阻尼的单自由度振动系统，在广义简谐激振力t H t s ωsin )(=作用下，系统强迫振动微分方程的标准形式为 t h p q n q ωsin 22=++ 式中eq m H h /=。系统稳态强迫振动的运动规律)sin(?ω-=t B q ，式中 振幅2 2 2 20 2 2 2 22 4)1(4)(λ ζλω ω+-= +-= B n p h B 相位差2 2212arctg 2arctg λ ζλ ωω?-=-=p n 其中eq k H p h B == 2 0，p ω λ=。 由台面、支撑弹簧片及电磁阻尼器组成的水平振动台，可视为单自由度系统，它在瞬时或持续的干扰力作用下，台面可沿水平方向振动。 1.衰减振动：用一点电脉冲沿水平方向冲击振动台，系统获得一初始速度而作自由振动，因存在阻尼，系统的自由振动为振幅逐渐减小的衰减振动。阻尼越大，振幅衰减越快。 为了便于观察和分析运动规律，采用电动式相对速度拾振器将机械振动信号
单自由度振动系统固有频率及阻尼的测定实验报告 一、实验目的 1、掌握测定单自由度系统固有频率、阻尼比的几种常用方法 2、掌握常用振动仪器的正确使用方法 二、实验内容 1、记录水平振动台的自由衰减振动波形 2、测定水平振动台在简谐激励下的幅频特性 3、 测定水平振动台在简谐激励下的相频特性 4、 根据上面测得的数据，计算出水平振动台的固有频率、阻尼比 三、实验原理 由台面、支撑弹簧片及电磁阻尼器组成的水平振动台（见图四），可视为单自由度系统，它在瞬时或持续的干扰力作用下，台面可沿水平方向振动。 1、 衰减振动： 用一橡皮锤沿水平方向敲击振动台，系统获得一初始速度而作自由振动，因存在阻尼，系统的自由振动为振幅逐渐减小的衰减振动。阻尼越大，振幅衰减越快。 选x 为广义坐标，根据记录的曲线可分析衰减振动的周期d T ，频率d f ，对数减幅系数δ及阻尼比ζ，有 i t T d ?= ， d d T f 1= )ln( 1 11+=i X X i δd nT =， πδ δ πδζ2422≈ += 其中?t 为i 个整周期相应的时间间隔，1X 和1+i X 为相隔i 个周期的振幅。 2、 强迫振动的幅频特性测定： 保持功放的输出电流幅值不变，即保持激振力力幅不变，缓慢地由低频2Hz 到高频40Hz 改变激振频率，用相对式速度拾振器检测速度振动量，再经过积分处理后得到位移量，由测试数据可描绘出一条振幅频率特性曲线 而根据该测试曲线可由如下关系式估算系统的固有频率n f 及阻尼比ζ n f ≈m f ， 0 21B B m = ζ 或 ζm f f f 212-≈ 其中m f 为振幅达到最大m B 时的激振频率；0B 为零频率的相应振幅（约等于f =2Hz 时的振幅）；1f 和2f 为振幅m B B 707.0=的对应频率，即半功率点频率。 改变阻尼大小重新进行频率扫描可获得一组相应于不同阻尼比的幅频特性曲线。 四、实验装置
第1章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.4 求图1-33中标出参数的系统的固有频率。 1.5 求图1-34所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k. 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ，质量为M ，作纯滚动。弹簧刚度为K 。 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为A m ，半径为A r ，齿轮B 的质量为B m ，半径为B r ,杆AC 的扭转刚度为A k , ,杆BD 的扭转刚度为B k 。 1.8已知图1-37所示振动系统中，匀质杆长为l ，质量为m ，两弹簧刚度皆为K ，阻尼系数 为C ，求当初始条件00 0==θθ 时
（１）t F t f ωsin )(=的稳态解； （２）t t t f )()(δ=的解； 1.9图1-38所示盒内有一弹簧振子，其质量为m ，阻尼为C ，刚度为K ，处于静止状态，方盒距地面高度为H ，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图1-39。设m 、k 、c 已知。路面波动情况可以用正弦函数sin()y h at =表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。 1.11.若电磁激振力可写为t H t F 02sin )(ω=，求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。 1.1 2.若流体的阻尼力可写为3x b F d -=,求其等效粘性阻尼。
第三章 单自由度有阻尼系统的振动 3—1 阻尼的作用与分类 前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。 阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。 1.干摩擦阻尼： 两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。 2.粘性阻尼： 物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间 产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x c F ,式中c 为粘性阻尼系 数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。物体以较大速度 在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2 x b F ，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。 3.结构阻尼、 材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。 由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。 3－2具有粘性阻尼的自由振动 单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为 kx x c x m －＝－ 式中 ： x c 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。
单自由度系统自由衰减振动及固有频率、 阻尼比
:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。
图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。
图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η= d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξ πξ - δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。