§4逻辑联结词“且”“或”“非”
(一)教学目标
※知识与技能：
①掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义；
②正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题；
③掌握真值表并会应用真值表解决问题。
※过程与方法：
在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性和语言的准确性。
※情感态度价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。
(二)教学重点与难点
重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”“”真值表，能运用真值表判定命题的真假；2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”。“”。
（三）教学过程
学生探究过程：
1、引入
在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面。数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性。如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误。其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识。
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）
2、思考、分析
问题1：下列各组命题中，命题间有什么关系？
（1）①菱形的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相平分；③菱形的对角线互相垂直且平分；
（2）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。（3）①平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；②平面内垂直于同一条直线的两条直线不平行。
学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③也是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题；在第（3）组命题中，命题②使用联结词“非”得到的新命题。
问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且、或、非”联结的命题呢？你能否举一些例子？
例如：命题p：平行四边形的对角相等且对边相等。
命题q ：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。 命题r ：正切函数不是周期函数。
3、归纳定义
一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q ，读作“p 且q ”。
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q,读作“p 或q ”。
用联结词“非”否定命题p 构成的新命题叫命题p 的非命题，记作：，读作“非p ”，即是命题p 的否定。
命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”即，命题“p 且q ”与命题“p 或q ”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义相同吗？
（1）若 x ∈A 且x ∈B ，则x ∈A ∩B 。
（2）若 x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∪B 。
定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含义是类似。但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼有，同时满足。 逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能. 说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。 注意：“p 或q”，“p 且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
4、命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“ ”的真值表
你能确定命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”的真假吗？命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”的真假和命题p ，q 的真假之间有什么联系？
引导学生分析前面所举例子中命题p ，q 以及命题p ∧q 的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。
（即一假则假） （即一真则真）
例如：在上面的例子中，第（1）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。第（2）组命题中，①②都是真命题，所以命题③是真命题。第（3）组命题中，①是真命题，所以②是假命题。
一般地： 当p ，q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题；当p ，q 两个命题中有一个是真命题时，p ∨q 是真命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题。P 真，则假，p 假，则真（真值表如上表）
5、例题
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p ∧q ” 与“p ∨q ”的形式，并判断它们的真假。
（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等。
（2）p ：，q ：；
（3）p：35是15的倍数， q：35是7的倍数.
解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等。
p∨q:平行四边形的对角线互相平分或相等。
由于p是真命题,且q是假命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．（2）p∧q：且；p∨q: 或。由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题．
（3）p∧q： 35是15的倍数且是7的倍数；
p∨q: 35是15的倍数或是7的倍数。
由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题．
说明：在用“且”或“或”联结构成新命题时，要注意组织好语言。
例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解：（略）
例3、判断下列命题的真假
（1）6是自然数且是偶数；
（2） 是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等、解略。
练习
6．巩固练习：P
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7.课堂小结：
（１）命题“p∧q”、“p∨q”“”的含义；
（２）正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题；
教学过程 一.课程导入： 在大量的数学实例的基础上，思考、探究、分析、发现，最后总结概括出相关概念和知识，是本章内容的突出特色。本章内容，重在让学生通过对常用逻辑用语的学习，体会运用逻辑用语在表述和论证中的作用，能用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。为此，教科书在安排内容时，就突出了让学生领会这些常用逻辑用语的含义，从而更好的运用这些常用逻辑用语的这一目的。本章内容与学生日常生活中的某些概念有一定关联，但就在数学上的运用和含义还有一定差别，因此数学中如何正确理解和运用这些常用逻辑用语，是本章的关键也是较难处理的，为此，教科书是从大量的丰富数学实例出发，来帮助学生认识数学中的这些常用逻辑用语的含义的。例如，对“命题”概念的阐述，就是通过总结6个数学例子的基础上概括得出的；对于四种命题及其关系，也是通过对命题“若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数”的条件与结论的互换及否定等具体例子的讨论，达到对四种命题及其关系的认识；
逻辑联结词“或”“且”“非”含义和用法的介绍，也是通过学生熟悉的数学实例讲授的；学习完命题及命题的否定后，教科书又安排了丰富的实例，使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词（全称量词和存在量词），并通过例子说明如何对含有一个量词的命题进行正确地否定。
二、复习预习 复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下．
三、知识讲解 考点1、简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表：
§4逻辑联结词“且”“或”“非” (一)教学目标 ※知识与技能： ①掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义； ②正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题； ③掌握真值表并会应用真值表解决问题。 ※过程与方法： 在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性和语言的准确性。 ※情感态度价值观： 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。 (二)教学重点与难点 重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“且、或、非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。 难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”“”真值表，能运用真值表判定命题的真假；2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”。“”。 （三）教学过程 学生探究过程： 1、引入 在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面。数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性。如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误。其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识。 在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别） 2、思考、分析 问题1：下列各组命题中，命题间有什么关系？ （1）①菱形的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相平分；③菱形的对角线互相垂直且平分； （2）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。（3）①平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；②平面内垂直于同一条直线的两条直线不平行。 学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③也是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题；在第（3）组命题中，命题②使用联结词“非”得到的新命题。 问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且、或、非”联结的命题呢？你能否举一些例子？ 例如：命题p：平行四边形的对角相等且对边相等。
第一课时1.3 简单的逻辑联结词(一) 教学目标： 1．通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2．能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容； 3．知道命题的否定与否命题的区别． 教学重点及难点： 1．掌握真值表的方法； 2．理解逻辑联结词的含义． 教学过程： 一、复习回顾 问题：判断下面的语句是否正确． ⑴125 >； ⑵3是12的约数； ⑶3是12的约数吗？ ⑷0.4是整数； ⑸5 x>． 象⑴⑵⑷这样可以判断正确或错误的语句称为命题，⑶⑸就不是命题．二、讲授新课 例1：判断下面的语句是否为命题？若是命题，指出它的真假． ⑴请全体同学起立！ ⑵20 +>； x x ⑶对于任意的实数a，都有210 a+>； ⑷x a =-； ⑸91是素数； ⑹中国是世界上人口最多的国家； ⑺这道数学题目有趣吗？ ⑻若|||| -=-，则x y a b x y a b -=-； ⑼任何无限小数都是无理数． 我们再来看几个复杂的命题：
⑴10可以被2或5整除； ⑵菱形的对角线互相垂直且平分； ⑶0.5非整数． 这里的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词． 我们常用小写拉丁字母p ，q ，r ，… 表示命题，上面命题⑴⑵⑶的构成形式分别是： p 或q ； p 且q ； 非p ． 非p 也叫做命题p 的否定．非p 记作“p ?”，“?”读作“非”（或“并非”），表示“否定”． 思考：下列三个命题间有什么关系？ ⑴12能被3整除； ⑵12能被4整除； ⑶12能被3整除且能被4整除． 一般地，用逻辑联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题， 记作p q ∧，读作“p 且q ”． 规定：当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个是假命题时，p q ∧是假命题． 全真为真，有假即假． 例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它的真假： ⑴p ：平行四边形的对角线互相平分；q ：平行四边形的对角线相等． ⑵p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分． 例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假： ⑴1既是奇数，又是素数； ⑵2和3都是素数． 例3：分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题． ⑴24既是8的倍数，又是6的倍数； ⑵李强是篮球运动员或跳水运动员； ⑶平行线不相交．
《逻辑联结词“且”“或”“非”》教学设计 陕西省丹凤中学726200 赵飞 一、教材依据 普通高中课程标准试验教科书（北师大版）选修2-1，第一章，第四节逻辑联结词“且”“或”“非”。 二、设计思想 （一）、教学设计理念：结合教学实际，依据教学时间和教学任务的要求，充分体现新课改理念。以学生学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程：充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学生的参与性，努力打造高效课堂，顺利完成教学任务. （二）、大纲分析：逻辑联结词“且”“或”“非”是简易逻辑中重要的内容之一，理解逻辑联结词的含义是考察的重点，特别是对于复合命题及其真假的判断。教学中应通过大量实例，使学生理解“且”“或”“非”的含义。 （三）、学情分析：在学习了命题的四种形式和充要条件的相关知识后，学生对简易逻辑这部分的内容并不陌生，学起来相对比较容易。本节课可以通过大量实例的分析与归纳使学生理解“且”“或”“非”的含义，并掌握复合命题的真假判断。 三、教学目标 1．知识与技能 ①理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义。 ②会判断含有逻辑联结词的命题的真假。 2．过程与方法 通过学生举例、分析、归纳增强学生自主学习的意识。提高学生的逻辑思维能力。 3．情感态度与价值观 通过自主探究与合作交流激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。通过对大量实例的分析，让学生感受和体会数学在生活中的作用，培养学生的数学应用意识 四、教学重点 能识别一个命题是否为“且”“或”“非”命题并能判断其真假。 五、教学难点 ①判断含有逻辑联结词的命题的真假 ②理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义。 六、教学方法 学案导学法。使用预习、展示、测评模式；运用多媒体辅助教学。 七、学法选择 分组学习、合作探究、归纳整理。 八、教学准备 1、制作多媒体课件片断，辅助难点突破。 2、学生课前预习学案并完成各组分配的任务；记录自己预习过程中的难点。
1.3简单的逻辑联结词 1.3.1且 1.3.2或 (一)教学目标 1.知识与技能目标： （１）掌握逻辑联结词“或、且”的含义 （２）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题 （３）掌握真值表并会应用真值表解决问题 2．过程与方法目标： 在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养． 3.情感态度价值观目标： 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． (二)教学重点与难点 重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。 难点：1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”. 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养． （三）教学过程 学生探究过程： 1、引入 在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入将会如果不学习一定的逻辑知识，所学的数学比初中更强调逻辑性．高中以后， 在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识． 在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别） 2、思考、分析 问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ （1）①12能被3整除； ②12能被4整除； ③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍数； ②27是9的倍数； ③27是7的倍数或是9的倍数。 学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”
逻辑联结词·典型例题 能力素质 例1 下列语句中不是命题的是 [ ] A．台湾是中国的 B．两军相遇勇者胜 C．上海是中国最大的城市 D．连接A、B两点 分析“D”是描述性语句． 答D． 例2 命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情 况是 [ ] A．没有使用联结词 B．使用了逻辑联结词“或” C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非” 分析注意到x＝±2是x＝2或x＝－2． 答选B． 例3 命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个 内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公 倍数，其中复合命题有 [ ] A．①③④B．③④ C．③ D．①③ 分析②是简单命题，其余的均为复合命题． 解选A． 4 3p p 5 例命题“的值不超过”看作非的形式，则为，看作是“p或q”形式，p为________，q为________． 分析“不超过”用“≤”表示，其否定是“＞”，“≤”可以看作为“＜”或“＝”的复合形式． 555 333 答依次为“＞”、“＜”、“＝”． 说明：对命题的否定要“全面”，比如“＞”的否定不是“＜”． 例5 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题： (1)4既是8的约数，也是12的约数； (2)张明是数学课代表或英语课代数；
(3)江苏省不是中国面积最大的省． 分析 先寻找逻辑联结词，再确定被联结的简单命题． 解 (1)p 且q ，p ：4是8的约数，q ：4是12的约数； (2)p 或q ，p ：张明是数学课代表，q ：张明是英语课代表； (3)非p 、p ：江苏省是中国面积最大的省． 例6 以下判断正确的是 [ ] A ．若p 是真命题，则“p 且q ”一定是真命题 B ．命题“p 且q ”是真命题，则命题p 一定是真命题 C ．命题“p 且q ”是假命题时，命题p 一定是假命题 D ．命题p 是假命题时，命题“p 且q ”不一定是假命题 解 根据真值表．选B ． 说明：在记忆真值表的时候，要体会它的合理性． 例7 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么 [ ] A ．命题p 不一定是假命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 不一定是真命题 D ．命题p 与命题q 的真值相同 分析 p 为假，从而q 为真． 解 选B ． 例8 若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有 [ ] A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 分析 利用逆否命题与原命题的等价性，结合真值表确定结论． 解 ∵“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”，这是一个真命题，所以由真值表．非p 、非q 都是真命题，那么p 假q 假．选B ． 点击思维 例9 有下列五个命题 (1)40能被3或5整除； (2)不存在实数x ，使x 2＋x ＋1＜0； (3)对任意实数x ，均有x ＋1＞x ； (4)方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根； (5)0不等式＜的解集为．x x x 211 -++?|| 其中假命题为________．(只填序号)
§1.6逻辑联结词（一） 教学目标 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及理解复合命题的结构. 教学重点 逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成. 教学难点 对“或”、“且”、“非”的含义的理解. 教学手段 粉笔、黑板 授课类型 新授课 课时安排 1课时 教学方法 讲授法 教学过程 一．情境设置 歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位文艺批评家“狭路相逢”。这位批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走，一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬局面，但见歌德笑容可掬，谦恭地闪在一旁，一边有礼貌地回答道：“呵呵，我可恰恰相反。”结果故作聪明的批评家，反倒自讨个没趣。 在这个故事里，批评家用他的语言和行动表明了这样几句语句： （1）我不给傻子让路（2）你歌德是傻子（3）我不给你让路。 歌德用语言和行动反击： （1）我给傻子让路（2）你批评家是傻子（3）我给你让路。 二、复习引入： 命题的概念：可以判断真假的语句叫命题 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题 例如：①12>5 ②3是15的约数③0.5是整数 ①②是真命题，③是假命题 反例：④3是15的约数吗？⑤ x>8 都不是命题。 注：不涉及真假和无法判断真假的语句不是命题。 又如: “这是一棵大树”；“x＜2”．都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x<2”是否成立． 注：疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。 注意： ①初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的 ②判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；不能
逻辑联结词教案 教学目标:1.了解命题的概念和含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成. 2.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。 3.培养学生观察、推理的思维能力. 教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成. 教学难点：对“或”的含义的理解. 教学方法：问题及发现教学. 教具准备：PowerPoint课件 教学过程 一、提出问题 逻辑在日常生活中有广泛的应用，比如：在我们推理的过程中;一些逻辑问题也是很有趣的例如：(三猫偷吃鱼问题)(投影) 初中已学习过一些逻辑的知识例如命题，请一位同学说出命题的概念.(判断一件事情的句子叫做命题.) 本节将继续研究和讨论命题及命题的构成. 二、新课 今天我们重新学习一下命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题命题的定义：“可以判断真假的语句叫做命题”.与初中定义说法不同，但实质是一样的. 看投影 下列语句中哪些是命题，哪些不是命题?并说明理由： (1)12>6.(2)3是15的约数. (3)0.2是整数.(4)3是12的约数吗? (5)x>2.(6)这是一棵大树. (其中(1)、(2)、(3)是命题，因为它能确定语句的真假;而(4)、(5)、(6)不是命题，其中(4)不涉及真假，(5)不能判断真假，(6)中由于“大树”没有界定，不能判断真假.)
语句是不是命题，关键在于是否能判断其真假，即判断其是否成立，而不能判断真假 的语句就不能叫命题。一般情况下，命题是陈述句，感叹句、疑问句和祈使句都不是命题。例如(4)、(5)、(6)。再分析考虑下列语句：(投影) (7)10可以被2或5整除. (8)菱形的对角线互相垂直且平分. (9)0.5非整数. 上述三个命题与(1)、(2)、(3)的区别是什么?(比前面的命题复杂了.) 上述三个命题，是由简单的命题组合成的新的比较复杂的命题.那么命题(7)中的“或”与集合中学过的哪个概念的意义相同?(这里的“或”也是可兼或;与集合并集定义中： A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.) 命题(8)中的“且”呢?(与集合交集定义中：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.) 对命题(9)中的“非”显然是否定的意思，即“0.5非整数”是对命题“0.5是整数” 进行否定而得出的新命题. 复合命题的构成： 10命题中的“或”、“且”、“非”叫做逻辑联结词. 20不含逻辑联结词的命题叫做简单命题. 30由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题. 那么，上述命题中哪些是简单命题?哪些是复合命题?其区别是什么? 复合命题构成形式的表示： 常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示命题.上述命题(7)、(8)、(9)构成的形式分别是什么? ((7)构成的形式是：p或q;(8)构成的形式是：p且q;(9)构成的形式是：非p.) 看投影2 指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数; (2)李强是篮球运动员或跳高运动员; (3)平行线不相交
1．2 简单的逻辑联结词 1．2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” 一、基础达标 1．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 2．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析p∧q是真命题?p是真命题，且q是真命题?p∨q是真命题；p∨q 是真命题D?/p∧q是真命题． 3．命题“ab≠0”是指() A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0 C．a、b中至少有一个不为0D．a、b不都为0 答案 A 4．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是() A．“p∨q”为假，“?q”为假 B．“p∨q”为真，“?q”为假 C．“p∧q”为假，“?p”为假 D．“p∧q”为真，“p∨q”为假 答案 B 解析显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“?p”为真，“?q”为假，故选B.
5．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是________． ①p假q真②“p∨q”为真 ③“p∧q”为真④“?p”为真 答案② 解析p真q假，“p∨q”为真． 6．命题“若a
高中数学逻辑联结词“且”“或”“非”参考教案2 北师 大版选修2-1 教学目标 知识与技能目标：掌握逻辑联结词“非”的含义；正确应用逻辑联结词“非”解决问题；掌握真值表并会应用真值表解决问题 过程与方法目标：观察和思考中，在解题，注重学生思维能力中严密性品质的培养．情感态度价值目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 教学重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容. 教学难点：1、正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“￢P”. 课时安排：1 授课类型：新授课 教具准备：优化。 教学过程 一、讲评作业 二、新课讲授 1．问题引入：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？ （1）①35能被5整除；②35不能被5整除； （2）①方程x2+x+1=0有实数根。②方程x2+x+1=0无实数根。 学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。 2．归纳定义 一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：￢p。 读作“非p”或“p的否定”。 3．命题“￢p”与命题p的真假间的关系 命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系？ 引导学生分析前面所举例子，概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；（还可用集合“补“理解） 4、命题的否定与否命题的区别 命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。 举例：如果命题p:5是15的约数，那么 ￢p：5不是15的约数； p的否命题：若一个数不是5，则这个数不是15的约数。 显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。 三.例题分析 例1 写出下表中各给定语的否定语。 分析：“等于”的否定语是“不等于”； “大于”的否定语是“小于或者等于”； “是”的否定语是“不是”； “都是”的否定语是“不都是”； “至多有一个”的否定语是“至少有两个”； “至少有一个”的否定语是“一个都没有”； 例2 写出下列命题的否定，判断下列命题的真假 （1）p：y ＝ sinx 是周期函数； （2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集。 解略.（1）（3）假；（2）真 例3 写出下列命题的否定和否命题，判断命题的真假（目标17页） （1）若q＜1，则方程0 2= + +q x x 有实根； （2）若 2= +y x ，则 y x,全为零； （3）若 = xy，则0 = x或0 = y；
1.3简单的逻辑联结词教案
1.3简单的逻辑联结词 1.3.1 且1.3.2 或 （一）教学目标 1.知识与技能目标： （1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义 （2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题 掌握真值表并会应用真值表解决问题 2.过程与方法目标： 在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养. 3.情感态度价值观目标： 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神. （二）教学重点与难点 重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。 难点：1、正确理解命题“ P A q” “P V q”真假的规定和判定.2、简洁、准确地表述命题“ P A q” “P V q” . 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养. （三）教学过程 学生探究过程： 1、引入 在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑.具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面.数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性.如果不学习一定的逻辑知识, 将会在我们学习
的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误?其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识. 在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中， 我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或” “非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别） 2、思考、分析 问题1:下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ （1）①12能被3整除； ②12能被4整除； ③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍数； ②27是9的倍数； ③27是7的倍数或是9的倍数。 学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且” 联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或” 联结得到的新命题，。 问题2:以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？ 例如：命题p :菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。 命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。 3、归纳定义 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 p A q 读作“ p且q”。 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记
§4逻辑联结词“且”“或”“非” 4．1逻辑联结词“且” 4．2逻辑联结词“或” 4．3逻辑联结词“非” ●三维目标 1．知识与技能 (1)理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义． (2)会判断含有逻辑联结词的命题的真假． 2．过程与方法 通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的学习，让学生会用这些逻辑联结词准确地表达相关数学内容． 3．情感、态度与价值观 能够运用逻辑联结词分析数学和日常生活中的问题，增强思维的敏锐性、准确性． ●重点难点 重点：逻辑联结词“且”“或”“非”的含义． 难点：含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假的判断． 由于逻辑联结词是逻辑知识的基础，也是学生能否掌握和判断一个事物并形成正确的逻辑思维能力的关键，所以逻辑联结词“或”“且”“非”的含义以及含有逻辑联结词的复合命题的理解和应用应是本节的重点，也是本节的难点． 为了突出重点，突破难点，在教学上可采取以下的措施： (1)从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察、探讨、联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想． (2)通过简单命题与复合命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对复合命题构成的理解，抓住其本质特点． (教师用书独具) ●教学建议
依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主、讲解法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力． 为此，在教学活动中，通过列举两组例子，让学生观察，找出两组例子的区别和联系，从中发现问题，并通过简单的指导，启发学生与已有的知识做模拟，来加深对理性知识的理解．现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键、因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察、分析讨论、模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用． ●教学流程 从分析命题中的联结词，引入课题――→探究发现 从集合角度认识逻辑联结词的数学意义――→应用通过 例题，探究简单命题的复合，深化对逻辑联结词的认识――→探究发现 含有逻辑联结词的命题的真假 判 断 方 法 ―→ 反 馈 矫 正 ―→ 归 纳 总 结 在A ∩B 的定义中，“且”的含义是什么？ 【提示】 “且”是指“x ∈A ”与“x ∈B ”这两个条件都要满足． 用“且”联结两个命题p 和q ，构成一个新命题“p 且q ”．当两个命题p 和q 都是真命题时，新命题“p 且q ”是真命题；在两个命题p 和q 之中， 只要有一个命题是假命题，新命题“p 且q ”就是假命题． 在A ∪B 的定义中，“或”的含义是什么？与生活中的“或”含义相同吗？
第一章常用逻辑用语 第4.1节逻辑联结词“且” 第4.2节逻辑联结词“或” 第4.3节逻辑联结词“非” 一、创设情境 前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。 问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式 ①11>5 ②3是15的约数吗？③0.7是整数④x>8 二、活动尝试 ①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为3是15的约数，则为真； ③是假命题 ④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。改为x2≥0，则为真； 例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。 三、师生探究 问题2：（1）6可以被2或3整除； （2）6是2的倍数且6是3的倍数； （3 上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。 命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同. 命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同. 命题（3 否定而得出的新命题. 四、数学理论 1.逻辑连接词 命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词 2. 复合命题的构成 简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 3.复合命题构成形式的表示 常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题. 复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p. 即：p或q 记作p∨q p且q 记作p∧q 非p (命题的否定) 记作?p
1.3.1 且 (一)教学目标 1.知识与技能目标： （１）掌握逻辑联结词“且”的含义 （２）正确应用逻辑联结词“且”解决问题 （３）掌握真值表并会应用真值表解决问题 2．过程与方法目标： 在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养．3.情感态度价值观目标： 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．(二)教学重点与难点 重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。难点：1、正确理解命题“P∧q”真假的规定和判定．2、简洁、准确地表述命题“P∧q”. 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养． （三）教学过程 学生探究过程： 1、引入 在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。 为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别） 2、思考、分析 问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？ ①12能被3整除； ②12能被4整除； ③12能被3整除且能被4整除。 学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题。 问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”联结的命题呢？你能否举一些例子？例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。 3、归纳定义 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作 p∧q 读作“p且q”。 命题“p∧q”即命题“p且q”中的“且”字与下面命题中的“且”字的含义相同吗？若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
课时分层作业(四)逻辑联结词 “且”“或”“非” (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是() A．使用了逻辑联结词“且” B．使用了逻辑联结词“或” C．使用了逻辑联结词“非” D．没有使用逻辑联结词 B[“方程x2－1＝0的解是x＝±1”的含义是方程x2－1＝0的解是1或－1，使用了逻辑联结词“或”．] 2．如果命题“p或q”与命题“﹁p”都是真命题，那么() A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定是真命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真假相同 B[“﹁p”是真命题，则p是假命题；又“p或q”是真命题，所以q一定是真命题．] 3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是() A．(﹁p)或q B．p且q C．(﹁p)且(﹁q) D．(﹁p)或(﹁q) D[由于p为真命题，q为假命题，所以﹁p是假命题，﹁q为真命题，故(﹁p)或(﹁q)为真命题．] 4．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数．
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数． 则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(﹁p1)或p2和q4：p1且(﹁p2)中，真命题是() A．q1，q3B．q2，q3 C．q1，q4D．q2，q4 C[p1是真命题，则﹁p1为假命题；p2是假命题，则﹁p2为真命题； ∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题． ∴q3：(﹁p1)或p2为假命题，q4：p1且(﹁p2)为真命题． ∴真命题是q1，q4.] 5．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2 ＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是() A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1} A[由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1. ∵“p且q”为真命题，∴p，q均为真命题， ∴a≤－2或a＝1.] 二、填空题 6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p或q”为________． [答案]方向相同或相反的两个向量共线 7．若“x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪[4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________． [解析]∵x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪[4，＋∞)，故x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题为假命题，所以1≤x＜2，即x∈[1,2)． [答案][1,2) 8．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p或q”、“p且q”，“﹁p”中是真命题的有________．
1.3 简单的逻辑联结词 学习 目标核心素养 1．了解逻辑联结词“且”“或”“非” 的意义．(重点) 2．能够判断命题“p∧q”“p∨q”“p”的真假．(难点) 3．会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点) 1．通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养． 2．借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养． 1．“且” (1)定义 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”． (2)真假判断 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q 是假命题． 2．“或” (1)定义 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”． (2)真假判断 当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题． 思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？ (2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？ [提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．
(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题． 3．“非” (1)定义 一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”． (2)真假判断 若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题． 思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？ [提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定． (2)命题的否定(p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系． 4．复合命题 用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断 p q p∨q p∧q p 真真真真假 真假真假假 假真真假真 假假假假真 1．“xy≠0”是指() A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0 C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0 A[xy≠0?x≠0且y≠0，故选A．] 2．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则() A．p，q都是假命题 B．p，q都是真命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是真命题，q是假命题 D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D．]
1.3简单的逻辑联结词 第1课时 1.3.1且 1.3.2或 授课人:毛庆莉授课班级:高二(8)班时间:20XX年11月5号 一、教学目标 1.知识与技能目标： （1）掌握逻辑联结词“或、且”的含义 （2）正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题 （3）掌握真值表并会应用真值表解决问题 2．过程与方法目标： 在观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养． 3.情感态度价值观目标： 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 二、教学重点与难点 重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确表述相关数学内容。 难点：1、正确理解命题“q p∨”真假的规定和判定． p∧”“q 2、简洁、准确地表述命题“q p∨”. p∧”“q 三、教学过程 1、引入 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维。常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具；在学习数学过程中需要准确全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用，所以逻辑用语在数学中也具有很重要的作用。而要正确的使用逻辑用语首要的就是准确的使用逻辑联结词. 在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。为叙述简便，今后常用小写字母 r p表示命题。（注意与上节学习命题的 q ,s , , , 条件p与结论q的区别） 2、思考、分析
第八课时简单的逻辑联结词（二）复合命题 一、教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假； 二、教学重点：判断复合命题真假的方法；教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情境：1．什么叫做命题？（可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题）2．逻辑联结词是什么？（“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号是“┑”，这些词叫做逻辑联结词）3．什么叫做简单命题和复合命题？（不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题）4．复合命题的构成形式是什么？p或q(记作“p∨q” )； p且q(记作“p∨q” )；非p(记作“┑q” ) （二）、活动尝试 问题1:判断下列复合命题的真假：（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3） 不是整数；解：（1）真；（2）真；（3）真； 命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？（三）、师生探究 1．“非p”形式的复合命题真假： 例1：写出下列命题的非，并判断真假：（1）p：方程x2+1=0有实数根；（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等 显然，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真． 2．“p且q”形式的复合命题真假： 例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的约数（3）5是10的约数且是8的约数（4）x2-5x=0的根是自然数 所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 3．“p或q”形式的复合命题真假： 例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零