数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ????
使用差分方法求解下面的热传导方程 2 (,)4(,) 0100.2t xx T x t T x t x t =<<<< 初值条件：2(,0)44T x x x =- 边值条件：(0,)0(1,)0 T t T t == 使用差分公式 1,,1,2 2 2 (,)2(,)(,) 2(,)()i j i j i j i j i j i j xx i j T x h t T x t T x h t T T T T x t O h h h -+--++-+= +≈ ,1,(,)(,) (,)()i j i j i j i j t i j T x t k T x t T T T x t O k k k ++--= +≈ 上面两式带入原热传导方程 ,1,1,,1,2 2i j i j i j i j i j T T T T T k h +-+--+= 令2 24k r h =，化简上式的 ,1,1,1,(12)()i j i j i j i j T r T r T T +-+=-++ i x j t j
编程MA TLAB 程序，运行结果如下 1 x t T function mypdesolution c=1; xspan=[0 1]; tspan=[0 0.2]; ngrid=[100 10]; f=@(x)4*x-4*x.^2; g1=@(t)0; g2=@(t)0; [T,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [x,t]=meshgrid(x,t); mesh(x,t,T); xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') function [U,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid) % 热传导方程：
第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??- 23 222)( 22 52222 3 2222 2 ) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- -
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --==
应用物理软件训练 前言 MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple 并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其
他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。 本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。
题目：热传导方程的求解 目录 一、参数说明 (1) 二、基本原理 (1) 三、MATLAB程序流程图 (3) 四、源程序 (3) 五、程序调试情况 (6) 六、仿真中遇到的问题 (9) 七、结束语 (9) 八、参考文献 (10)
一、参数说明 U=zeros(21,101) 返回一个21*101的零矩阵 x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量 meshz(u)绘制矩阵打的三维图 axis([0 21 0 1]);横坐标从0到21，纵坐标从0到1 eps是MATLAB默认的最小浮点数精度 [X,Y]=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同 waterfall(RR,TT,wn)瀑布图 二、基本原理 1、一维热传导问题 （1）无限长细杆的热传导定解问题 利用傅里叶变换求得问题的解是： 取得初始温度分布如下 这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得 （2）有限长细杆的热传导定解问题
无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)() () tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>? =?? =? 解()()().() .0()1 11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=++-+ +??????? ???? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 22222220001,,,,0(,,) (,,)t t u u u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ????????? =????=??? 在球坐标变换 sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=?? =≤<+∞≤≤≤≤??=? L 21()1 () (,)44M M at r S S M M u M t dS dS a t r a r ?ψππ??''?=+??????????? 乙 (r=at) 221()1() (,)44M M at at S S M M u M t dS dS a t t a t ?ψππ??''?=+??????? ???? 乙无界三维空间自由振动的泊松公式 ()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+?? '=+≤≤≤≤??'=+? L 2()sin dS at d d θθ?= 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 2222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ???????? ?? ==??? 22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ?????= +????????? ???? 傅立叶变换
热传导方程傅里解
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热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达： 其中： ?u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。 ?/是空间中一点的温度对时间的变化率。 ?, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。 ?k决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。 如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。 热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。 热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式
其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。 热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。 就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。 以傅里叶级数解热方程[编辑] 以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下： 其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。 ?x是空间变量，所以x∈[0,L]，其中L表示棍子长度。
第五章 习题答案 5.1-1一长为l 的均匀细杆，0=x 端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长d 而静止（假定拉长在弹性限度内）。突然放手使其振动，试写出振动方程与定解条件。 解：振动方程的形式与自由杆的振动方程一样。 ()l x u a u xx tt ≤≤=-00 2 ρ Y a = 2 初始条件：()()l x x l d x U ≤≤= 00, ()00,=x U t 边界条件：()0,0=t U ()0,0=t U x （右端自由振动） 5.1-2 长为l 的弦两端固定，密度为ρ，开始时在ε<-c x 处受到冲量I 的作用，写出初始条件。 解： ()00,=x U 在ε≥-c x 处 ()00,=x U t 在ε<-c x 处 由动量定理有： [] ερ ερ2)0,(0)0,(2I x U x U I t t = ?-?= 即：()??? ??<-≥-=ε ερ εc x I c x x U t 200, 5.1-3 长为l 的均匀细杆，在振动过程中，0=x 固定，另一端受拉力0F 的作用。试写出边界条件。（横截面积S ，杨氏模量Y ）。 解：()0,0=t U 2 20),(t U S S t l P F ????=?--ρεε 当0→ε时有YS F t l U x U Y S F x l x 0 0),(= ???? ?==
5.1-4线密度为ρ，长为l 的弦两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度受阻力 t u h F ??-=，试写出其运动方程。 解：如图，取微元x d ，它的两端与x 轴间的夹角分别为21αα、，两端受力分别为 ()()t x T t x x T ,,d 、+，受力分析如下： x 轴方向： ()()0cos ,cos ,d 21=-+ααt x T t x x T 21,αα很小，则()()t x T t x x T ,,d =+， 即弦上张力不变。 y 轴方向：()()2221d d d sin ,sin ,d t u x g x x F t x T t x x T ????=??=?+-+ρραα 略去重力x g d ρ 有： x t u h x x u T t u x d d d 2222???-????=??ρ 所以：02 222=???+???-??t u h x u T t u ρρ 设2 a T =ρ 有：02 =+-t xx tt u h u a u ρ 5.1-5一均匀细圆锥杆作纵振动，锥的顶点固定在0=x 处，试导出此杆的振动方程。 解：设体密度为ρ,取微元x d （s 与s '中间一段） 则质量()?? ? ????-'?+??=s x s x x m 31d 31d ρ 而2 22 d 2d x x x x x x x s s +≈??? ??+=' 故()x s s x x x x m d d 31d 2 3 ??≈??? ?? ??-+??=ρρ 纵向上由牛顿定律有：s t x P s t x x P t u m ?-'?+=???),(),d (d 22 ()s x t x u x x x x t x x u Y t u x s ???? ???????-??? ??+??+??=???),(d ,d d 222ρ 1α 2α x l ()t x x T ,d + ()t x T , ()t x u , x x x d + x s s '
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛 定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系 中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规 律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级 小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数 学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :),(:),(:22222222==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:),(:2222==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： . 0(:0 :).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方 程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数 的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般 选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输 运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）, 而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类
§2热传导方程的初值问题 一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题) ?? ???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0 ,),,(2 2 2? （） 偏导数的多种记号xx x t u x u u x u u t u =??=??=??22,,. 问题也可记为 ?? ?+∞ <<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0 ,,),(2?. Fourier 变换 我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可 积，若积分 ? +∞ ∞ -dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。 将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1 +∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{ } ∞<=+∞-∞=+∞-∞? +∞ ∞ -dx x f f L L )(| ),(),(1 ，称为可积函数空间. 连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C , {}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。 定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分 ),(?)(21 λπ λf dx e x f x i =? +∞ ∞ -- 有意义,称为Fourier 变换, )(? λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ? +∞ ∞ --= =dx e x f f Ff x i λπ λλ)(21)(?)( 定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1 +∞-∞?+∞-∞∈C L f ,那么我们有
第一章 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 +x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两 端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其 相 对 伸 长 等 于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克 定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于 是 得 运 动 方 程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=) (x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3) 端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条 件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件 为 .0),(,0),0(==t l u t u (2)若l x =为自由端，则杆在 l x =的张力 x u x E t l T ??=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若 0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣ 00 ==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某 点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支 承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件 )( u x u σ+??∣ ) (t f l x == 其中 E k = σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件 )( u x u σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E ??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x u σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2 222)1(])1[(t u h x x u h x x E ??-=??-??ρ 其中h 为圆锥的高(如图1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：
第四章导热问题的数值解法 1 、重点内容：①掌握导热问题数值解法的基本思路； ②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 §4—1导热问题数值求解的基本思想及内节点方程的建立由前述 3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种： （１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法 数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 一．分析解法与数值解法的异同点： ?相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ， y ， z) ；② 。 ?不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立 二．解法的基本概念 ?实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图 4-1 表示。 由此可见： 1 ）物理模型简化成数学模型是基础； 2 ）建立节点离散方程是关键； 3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。 ?数值求解的步骤 如图 4-2 （ a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：（1）建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（ a ） 边界条件： x=0 时， x=H 时， 当 y=0 时，
第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问 题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §5?1 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广. 设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在 Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实 函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去. 如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P x ??或x P 等等. 设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式 ( )P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω ?Ω ???++=++???????? (1.1) 或者 ( )(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ ?Ω ???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： ( ,,)x y z ??? ?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式 ???????=??Ω Ω ds n F dv F (1.3) 其中(cos ,cos ,cos )n αβγ= 为?Ω的单位外法向量. 注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R = 时，其运算定义为 (,,)(,,) , F P Q R x y z P Q R x y z ??? ??=???????=++???
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆 在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为
数学物理方程第一章答案
第一章 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 ),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 +x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两 端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其 相 对 伸 长 等 于 ) ,()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克 定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于 是 得 运 动 方 程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=) (x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3) 端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条 件为 .0),(,0),0(==t l u t u (2)若l x =为自由端，则杆在 l x =的张力 x u x E t l T ??=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若 0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣ 00 ==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某 点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支 承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件 )( u x u σ+??∣ ) (t f l x == 其中 E k = σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件 )( u x u σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E ??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x u σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为
《数学物理方程》课程 教学大纲 课程代码：B0110040 课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics 课程类型：学科基础课 学时学分：64学时/4学分 适用专业：地球物理学 开课部门：基础课教学部 一、课程的地位、目的和任务 课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。 课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。 二、课程与相关课程的联系与分工 学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。
三、教学内容与基本要求 第一章绪论 1.教学内容 第一节偏微分方程的基本概念 第二节弦振动方程及定解条件 第三节热传导方程及定解条件 第四节拉普拉斯方程及定解条件 第五节二阶线性偏微分方程的分类 第六节线性算子 2.重点难点 重点：物理规律“翻译”成数学物理方程的思路和步骤，实际问题近似于抽象为理想问题 难点：数学物理方程的数学模型建立及数学物理方程的解空间是无限维的函数空间 3.基本要求 （1）了解数学物理方程研究的基本内容，偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念；了解算子的定义。了解三类典型方程的建立及其定解问题（初值问题、边值问题和混合问题）的提法，定解条件的物理意义。 （2）掌握微分算子的运算规律，理解线性问题的叠加原理 （3）了解二阶线性方程的特征理论 （4）掌握两个变量二阶线性偏微分方程分类方法及化简方法 （5）掌握三类方程的标准形式及其化简过程，会三类方程的比较，并能通过标准形式求得某些方程的通解。 第二章分离变量法 1.教学内容 第一节有界弦的自由振动。 第二节有界长杆的热传导问题。 第三节二维拉普拉斯方程的边值问题。 第四节非齐次方程得求解问题。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。 定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则 x 点处的张力)(x T 为 ) ()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)] ([22ρ∣ x u x l g x x ??--?+] [ρ∣ g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 2 2 1),,(y x t t y x u --=在锥2 22 y x t -->0中都 满足波动方程 2 22222y u x u t u ??+??=??证：函数 2 2 2 1),,(y x t t y x u --= 在锥 2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 2 2 52222 32222 2)(3) (t y x t y x t t u ?--+---=??-- ) 2()(22223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 2 25222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )( )2 22 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()22225222222y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题