极值点偏移的判定方法

极值点偏移的判定方法和运用策略 一、判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若02

12

x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若

02

12

x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若02

1

2

x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理

判定定理1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2

(

'2

1>+x x f ，则02

1)(2

x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2

x x

x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。

证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又

b x x a <<<21，有

),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2

021x a x

x ∈+，所以02

1)(2

x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 结论（2）证明略。

判定定理2 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则

02

1)(2x x x ><+，

即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则

02

1)(2x x x <>+，

即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值

点0x 左（右）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x ->< ，所以

02

1)(2

x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 应用举例

例1：函数,34)(34

x x x f -

=与直线)3

1

(->=a a y 交于),(),(21a x B a x A 、，证明：221<+x x 。

解法1:（运用定义证明）：设21x x <，由题意得,34314

1a x x =-

,3

4324

2a x x =-两式相减整理得

,)

(342

2

212

2212121x x x x x x x x +++=+设)1(1

2

>=

t x x t ，故

,21

34341)

1(34222

21<+?+=+++=+t t

t t t x x 即221<+x x 。

由于仅用a 难表示21x x +，故两式相减，构造用1

2

x x t =

表示21x x +的函数求解。 解法2:（运用判定定理1证明）：设21x x <，2

344)('x x x f -=，函数343

4)(x x x f -

=的单调递减区间为)1,(-∞，单调递增区间为),1(+∞，又,)(342

2

212

2212121x x x x x x x x +++=+有0)

(3)

()2('2

2212

222121<+--=+x x x x x x f ，则1221<+x x ，即221<+x x 。 判断)2

('2

1x x f +与0的关系，此解法用的是不等式放缩法。当然，也可构造函数求解。 解法3:（运用判定定理2证明）：设21x x <，函数34

3

4)(x x x f -=的单调递减区间为)1,(-∞，

得证。

，所以单调递减区间为（又函数又时，即时，，所以当）又单调递增区间为（故设有，单调递增区间为（,2)1,3

4

)(,12,1),2())1(1()()().1()1(0,0)0()(000(),,)(,.0)123(8)('),1()1()(,1),1213421222122x x x x x f x x x f x f x f x f x f x f x F x F x F x F x x x F x f x f x F x -<∞--=<-<->-+==->+>=>>=+∞∞->+-=--+=>∞+为此题的难点。函函数)1()1()(数，构构是构构解决极决极值点偏移的2运用判定定理 x f x f x F --+=

.0),)(()(2)()1(.11)(2013(22121212

<+≠=+-=x x x x x f x f x f e x

x x f x

）证明：当（的单调区间；

求天津文）已知函数：例

分析：构造对称函数

.

2),()(,)3();

()(11)()(2)()1().()(2010(212121>+=≠>>===∈=-x x x f x f x x x g x f x x x f y x g y x f R x xe x f x 证明：且如果时，证明：当对称，的图像关于直线的图像与函数）已知函数（的单调区间；

求函数天津理）已知函数

分析：（3）构造比较函数。

.

2

),(,)

()(ln ln ),(b

a b a L ab b a a b a b a b

a b a L b a +≤≤???

??=≠--=有如下关系：

的对数平均、定义：两个正数对数平均不等式：

2

),(,)()(),(,2

n

m n

m m n

m n m e e b a E e

n m e n m n m e e b a E e b e a +≤

≤???

??=≠--===+不等式有如下关系：根据对数平均

，则设在对数平均的定义中，指数不等式：

.

0)('2)1(.

),0,()0,),()(4212121<<∈+-=x x f x x x x B x A x R a a ax e x f x ）证明：（的取值范围；求且、（轴交于其图像与：设函数例

.

0)(')()3();

1

()1(10,02)()1(.)2(ln )()20115002<=->+<<>-+-=x f x AB B A x x f y x a

f x a f a x a x f x a ax x x f ，证明：为中点的横坐标两点，线段、轴交于的图像与若函数时，证明：当）设（的单调性；

讨论已知函数辽宁：（例

极值点偏移问题专题.(精选)

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????

() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>

极值点偏移问题

极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；

极值点偏移的判定方法

极值点偏移的判定方法和运用策略 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若02 12 x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若 02 12 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若02 1 2 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2 ( '2 1>+x x f ，则02 1)(2 x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2 x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 021x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 结论（2）证明略。 判定定理2 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则 02 1)(2x x x ><+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则 02 1)(2x x x <>+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值

极值点偏移问题的两种常见解法之比较

极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x

极值点偏移第2招--含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>， 因此只要证明：1 21 t t e t e +?>-01)1(2>+--?t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln , 1=>=，即证),1(,01 ) 1(2ln +∞∈>+-- x x x x 构造新函数2(1) ()ln 1 x F x x x -=- +，0)1(=F 求导2 ' 22 14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=- =>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.

★例 2. 已知函数()ln f x x ax =-，a为常数，若函数() f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 . x x e ?> 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 x x >， ∵ 1122 ln0,ln0 x ax x ax -=-=，∴ 12121212 ln ln(),ln ln() x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴12 12 ln ln x x a x x - = - ，欲证明2 12 x x e >，即证 12 ln ln2 x x +>. ∵ 1212 ln ln() x x a x x +=+，∴即证 12 2 a x x > + ， ∴原命题等价于证明12 1212 ln ln2 x x x x x x - > -+ ，即证：112 212 2() ln x x x x x x - > + ，令1 2 ,(1) x t t x =>，构造 2(1) ln, 1 )1 ( t t g t t t - =-> + ，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 ln ln ln , ln x x x x a x x x x ==?=设2 12 1 ,,(1) x x x t t x <=>， 则11 21 11 ln ln ln , ln ln tx t x x tx t t x x + ==?=， 反解出： 1211 ln ln ln ln,ln ln ln ln ln 111 t t t t x x tx t x t t t t ===+=+= --- ， 故2 1212 1 ln ln2ln2 1 t x x e x x t t + >?+>?> - ，转化成法二，下同，略.

极值点偏移个人方法

方法一、指数对数不等式 适用范围：仅用于简单的对数与幂函数，指数与幂函数 优点：计算简单，一般几步就搞定 缺点：复杂的函数难以处理，一般不用此法，灵活性强，要注意加法与乘法之间的相互转换 常用结论： 2 21212121212 1212121212121212 21 12 2121212 ln 22)(ln ln 2 2 1)(2ln ln ) (ln ln ln ln ln ,ln 2ln ln e x x x x a a x x a x x a x x x x a x x a x x x x x x x x x x a x x ax x ax x e x x x x ax x a x x b a e e b a b a b a ab b a >?∴>∴=? >+=+∴>+∴+<=--∴+<--+=+==>?=>?--<+<--< 两式相加得 证：，证明：，有两个不同解例：则将乘法转化为加法 某常数技巧：若要证明 已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2. x x +>

例2.已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 3：设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <. 证明：0f ' < 【拓展提高】 4、已知函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是（ ） A. a e > B.122x x +>

高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<

拓展： 1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大 值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若 则 <=>,(=0,); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+ )-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性

(完整版)极值点偏移问题专题.docx

极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x

1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时，

极值点偏移定义及判定定理

极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12( ,)2x x M b +1202 x x x +≠所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若 ，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212 x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212 x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。 0x 2、极值点偏移的判定定理 判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点 )(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2 x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2 x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。 0x

极值点偏移定义及判定定理

1极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速 度不同,使得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值,且函数 ()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点,则AB 的中点为12(,)2 x x M b +,而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若 0212x x x ≠+,则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若0212 x x x >+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏,简称极值点0x 左偏； （3）若0212 x x x <+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏,简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理,对于可导函数)(x f y =,在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若0)2( '21>+x x f ,则021)(2 x x x ><+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ,则021)(2 x x x <>+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。

高中数学极值点偏移问题

一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<

1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大 值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则 则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f( )-f( , F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f( ( f(x+) 与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 ③判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系; 假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f( ④

专题1.3 极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题-2121届高考数学压轴题讲义(解答题)

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =.证明：12 2. x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈，则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x x f x f x F ，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以122x x -<，即证12 2.x x +>学&科网

法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得2121 x x x e x -=…①，不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，得11t t x e x +=，反解出11t t x e = -，学科#网则121221t t x x x t t e +=+=+-，故要证122x x +>，即证221t t t e +>-，又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0t t t e +-->…②， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>，故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=， 从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=，学&科网

(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性; （2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 ① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2 a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)2 a x ∈- +∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证12 2 x x a +>， (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证：12 x x ( )()02 f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++（*） 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得：

极值点偏移 极值点偏移定理

极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则 021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 021)(2 x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏221x x m +?）

左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式. （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系； 假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+. （4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；

【精选】高考数学玩转压轴题专题1.3极值点偏移第一招__不含参数的极值点偏移问题

专题1.3 极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数，如果，且. 证明： 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立. 由，则， 所以， 即，又因为，且在上单调递减， 所以，即证

法三：由 ，得 ，化简得 … ， 不妨设，由法一知，. 令，则，代入式，得， 反解出， 则，故要证 ， 即证， 又因为，等价于证明： … ， 构造函数，则 ， 故在上单调递增， ， 从而 也在 上单调递增， ，

构造， 则， 又令，则， 由于对恒成立，故， 在上单调递增， 所以，从而， 故在上单调递增， 由洛比塔法则知：， 即证，即证式成立，也即原不等式成立. 【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的. 例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时， 【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减.

招式演练： ★已知函数，正实数满足. 证明：. 【解析】由，得 从而， 令，构造函数， 得，可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，也即， 解得：. ★已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若方程有两个相异实根，，且，证明：. 【答案】（Ⅰ）在 (0,1)递增，在(1,+ 递减；（Ⅱ）见解析 （2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足 且， 由题意可知 又有(1)可知在递减 故 所以，令

高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 <

2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性

高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解3---不含参数的极值点偏移问题

高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R ?=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+??∈， 则0)1()1(')1(')('21>?=??+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>?对(0,1]x ∈恒成立.

由1201x x <<<，则11(0,1]x ?∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +?=?>??==， 即12(2)()f x f x ?>，又因为122,(1,)x x ?∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x ?<，即证12 2.x x +> 法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e ??=，化简得2121x x x e x ?=… ， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =?，则210,t x t x >=+，代入 式，得11 t t x e x += ， 反解出11t t x e =?，

极值点偏移第招含参数的极值点偏移问题

极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>， 因此只要证明：1 21 t t e t e +?>-01)1(2>+--?t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln , 1=>=，即证),1(,01 ) 1(2ln +∞∈>+-- x x x x 构造新函数2(1) ()ln 1 x F x x x -=- +，0)1(=F 求导2 ' 22 14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=- =>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.

★例2. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：2 12. x x e ?> 法二：利用参数a 作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设12x x >， ∵1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，∴12121212ln ln (),ln ln ()x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴ 12 12 ln ln x x a x x -=-，欲证明212x x e >，即证12ln ln 2x x +>. ∵1212ln ln ()x x a x x +=+，∴即证12 2 a x x > +， ∴原命题等价于证明 121212ln ln 2 x x x x x x ->-+，即证：1122122()ln x x x x x x ->+，令12 ,(1)x t t x =>，构造 2(1) ln ,1 )1(t t g t t t -=- >+，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x = =?=设2121 ,,(1)x x x t t x <=>， 则11 2111 ln ln ln , ln ln tx t x x tx t t x x +==?=， 反解出：1211ln ln ln ln ,ln ln ln ln ln 111 t t t t x x tx t x t t t t ===+=+=---， 故2 12121ln ln 2ln 21 t x x e x x t t +>?+>?>-，转化成法二，下同，略.

极值点偏移问题判定定理

专题02 极值点偏移问题判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则 021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于 b x x a <<<21， 有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2 x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏221x x m +?）

左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.来源:https://www.doczj.com/doc/145583340.html,] （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系； 假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出 0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.