极值点偏移定义及判定定理
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12(
,)2x x M b +1202
x x x +≠所示.
极值点没有偏移
一、极值点偏移判定方法
1、极值点偏移的定义
对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若
，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212
x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212
x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。
0x 2、极值点偏移的判定定理
判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点
)(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2
x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2
x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。
0x
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；
2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；
3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2
210x x x +=
，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f
三、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；
（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；
（3）确定函数)(x F 的单调性；
（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.
（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；
假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.
（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；
注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.
（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；
假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.
（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；
接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.
（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出2
21x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故
0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故02
(
'21<+x x f . 【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或02
(
'21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.
极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????
() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>
极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。
证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；
()?? ????-+++=222221x a H x H n OB n AO n L += 费马定理 费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。 费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。 光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：?∑∑ =?=?===ndl c t l n c v l t P Q i i i i i i 1111 费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。?==01ndl c t P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。?==0ndl L P Q δδ ① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。 ② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点 的面法线，且两线段长度之和相等。 用费马原理导出反射定律 如下图，PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。假设光线所处的介质为均匀介质。光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。那么点A 到点B 的光程为：
极值点偏移的判定方法和运用策略 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若02 12 x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若 02 12 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若02 1 2 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2 ( '2 1>+x x f ，则02 1)(2 x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2 x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 021x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 结论（2）证明略。 判定定理2 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则 02 1)(2x x x ><+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则 02 1)(2x x x <>+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值
世界数学难题——费马大定理 费马大定理简介： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. （(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。 这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁?怀尔斯和他的学生理查?泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。 [编辑本段] 理论发展 1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。 对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。 1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。 1983年，en:Gerd Faltings证明了Mordell猜测，从而得出当n > 2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n + b^n = c*n。 1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n + b^n = c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2 = x(x - a^n)(x + b^n) 会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被Kenneth Ribet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。 1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。 怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊（en:Annals of Mathematics）之上。 1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 2：费马自己证明了n=4的情形。 3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。 4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧
费马原理的运用 王瑞林（03010425） （东南大学能源与环境学院，南京 210010） 摘要：本文介绍了几何光学的基本定理——费马原理的定义、传统表述及运用波动光学对其本质的介绍。并且运用费马原理证明了几何光学的三大定律，并求出了最速降线。 关键词：费马原理；折射定律；圆锥曲线光学性质；最速降线；最小作用量原理 The use of Fermat’s principle Wangruilin (The college of environment and energy , Southeast University, Nanjing 210096 ) Abstract: We introduced the Fundamental theorem of geometrical optics- Fermat’s principle. We introduced the definition and presentation of Fermat's principle, analysis its essemce . we also got the three basic laws of geometrical optics, and find the brachistochrone with proof of Fermat's principle. key words: Fermat’s principle；Law of ref raction；Optical properties of coni c；Brachistochrone；Principle of least action 我们之前在初高中就已经学习过几何光学，并了解了其中的一些重要定律，但是都只是一些经验的描述和一些实验的简单验证，本文我们运用几何光学的基础原理——费马原理对已学过的几何定律做一个简单的梳理并简单介绍一下运用费马原理对最速降线问题的求解。 费马原理简介 一、费马定理的表述 关于费马原理的定义，教科书上的表述如下：“过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。”其实表述并不足够准确，因为对于某些路程，不能简单的以光程极值来加以限定，最为准确而精炼的表述要利用到数学上的泛函知识，具体描述为：“过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。”其中光程的定义为光通过的介质对光的折射率与光通过的路程的乘积。费马原理的数学表述形式为 其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。我们将路径视为一个函数，而变分则是对泛函求导，其结果类似于我们函数求导，我们可以用函数求导来类似理解变分的求解。 费马定理还有另外一种表述：“过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。”其实就是把光程换成了时间t
储备公式 1.费马大定理（Fermat Last Theore m ）： 当2n >时，n n n x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当3n =时，3 3 3 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当4n =时，4 4 4 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当5n =时，5 5 5 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 当7n =时，7 7 7 x y z +=无0xyz ≠的整数解； (2)n n n x y z n +=> 2.商高方程2 2 2 x y z +=满足(,)(,)(,)1x y y z z x ===，,x y 奇偶性不同的全体本原解为： 22222;;x pq y p q z p q ==-=+其中,p q 满足下面的条件： 0;(,)1;,p q p q p q >>=奇偶性不同 3.Fermat 无穷递降法 4.4n =时，Fermat 大定理证明过程 当4n =时，444 x y z +=无0xyz ≠的整数解； 原理：无穷递降法和毕达哥拉斯三元数组 证明：用反证法。若有正整数解，那么在所有正整数解中，必有一组解 假如存在,,x y z 满足444 x y z +=，且满足(,)(,)(,)1x y y z z x === 初等数论（P99） 定理4：不定方程：442 x y z +=无0xyz ≠的解。 证：用反证法。假若方程有正整数解，那么在全体正整数解中，必有一组解000,,x y z ，使得0z 取得最小值。我们要找出一组正整数解111,,x y z ，满足10z z <，得出矛盾。 （1）必有00(,)1x y =。若不然，就有素数00|,|p x p y 。由此及式442 x y z +=推出 42200|,|p z p z 。因此，2 000000,,x p y p z p 也是方程的正整数解，这和0z 的最小性矛盾。因此，22 000,,x y z 是方程的本原解，00,x y 必为一奇一偶，不妨设02|y ，以及00(,)1z y =
方法一、指数对数不等式 适用范围：仅用于简单的对数与幂函数，指数与幂函数 优点：计算简单，一般几步就搞定 缺点：复杂的函数难以处理，一般不用此法，灵活性强，要注意加法与乘法之间的相互转换 常用结论： 2 21212121212 1212121212121212 21 12 2121212 ln 22)(ln ln 2 2 1)(2ln ln ) (ln ln ln ln ln ,ln 2ln ln e x x x x a a x x a x x a x x x x a x x a x x x x x x x x x x a x x ax x ax x e x x x x ax x a x x b a e e b a b a b a ab b a >?∴>∴=? >+=+∴>+∴+<=--∴+<--+=+==>?=>?--<+<--< 两式相加得 证：，证明：，有两个不同解例：则将乘法转化为加法 某常数技巧：若要证明 已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2. x x +>
例2.已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 3：设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <. 证明：0f ' < 【拓展提高】 4、已知函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是（ ） A. a e > B.122x x +>
费尔马大定理及其证明 近代数学如参天大树，已是分支众多，枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。 300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑，有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开，被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。 费尔马大定理的由来 故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。 1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时，他在书中关于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和，一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。” 费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当n大于2时没有正整数解。 费尔马是一位业余数学爱好者，被誉为“业余数学家之王”。1601年，他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后，父亲送他在大学学法律，毕业后当了一名律师。从1648年起，担任图卢兹市议会议员。
极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x
1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时，
费马大定理的美妙证明 成飞 中国石油大学物理系 摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。” 0、费马大定理： 当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。 1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；a,b.c 由空间平面的线段表示，有 a b c 可见，线段a和线段b之和，就是线段c。 2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。 对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。 又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。 可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形， B c A 根据三角形余弦定理，有 c2=a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)
此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2 ，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时c2=a2+b2，既然X=a,Y=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。 3、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。a,b,c就是三次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。 此时，a,b,c也必构成三角形， B A 根据三角形余弦定理，有 c2 = a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π) 因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60o，180o），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，?）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b， 1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内正分数； 等式两边同乘以c，有 c3 = a2c + b2c + mabc 因为c>a，b，那么 c3 > a3+ b3 2、当cosɑ=?，三角形余弦定理关系式得到， c2 = a2+b2-ab 等式两边同乘以a+b，有 (a+b)c2 = a3+ b3 又因为a+b>c， 所以，c3 < a3+ b3 （根据三角形大角对大边，c>a，b，即ɑ不可能等于600） 那么，cosɑ=［0，?）时，更加满足c3 < a3+ b3 既然，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的解，又a3+ b3≠ c3， 那么，X3+Y3≠Z3，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。 即，n=3时，X3+Y3=Z3 ，三次不定方程没有正整数解。 4、n>3, X n +Y n=Z n，假设有正整数解。a,b,c就是n次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，
极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12( ,)2x x M b +1202 x x x +≠所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若 ，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212 x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212 x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。 0x 2、极值点偏移的判定定理 判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点 )(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2 x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2 x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。 0x
学院 学术论文 论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期 【摘要】：本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大
定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p 时方程n n n x y z +=无解。 【关键字】：费马大定理（FLT ）证明 Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by the situation to prove N = 4, N = p equation no solution. Keywords: Proof of FLT (FLT) 引言： 1637年，费马提出：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。”即方程 n n n x y z +=无正整数解。 当正整数指数n ＞2时，没有正整数解。当然xyz=o 除外。这就是费马大定理（FLT ），于1670年正式发表。费马还写道：“关于此，我确信已发现一种奇妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。[1] 1992年，蒋春暄用p 阶和4n 阶复双曲函数证明FLT 。 1994年，怀尔斯用模形式、谷山—志村猜想、伽罗瓦群等现代数学方法间接证明FLT ，但是他的证明明显与费马设想的证明不同。 据前人研究，任何一个大于2的正整数n ，或是4的倍数，或是一个奇素数的倍数，因此证明FLT ，只需证明两个指数n=4及n=p 时方程没有正整数解即可。方程 444x y z +=无正整数解已被费马本人及贝西、莱布尼茨、欧拉所证明。方程 n n n x y z +=无正整数解，n=3被欧拉、高斯所证明；n=5被勒让德、狄利克雷所证明；n=7被拉梅所证明；特定条件下的n 相继被数学家所证明；现在只需继续证明一般条件下方程n n n x y z +=没有正整数解，即证明FLT 。[2] 本文通过运用勾股定理，对奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析证明4n =，n p =时n n n x y z +=无正整数解。
极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠ 的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,,a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ① ln ln a b a b -< -， ln ln a b a b --， 只须证：ln a b <， 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=-<，所以()f x
费马大定理的简单证明 李联忠 （营山中学 四川 营山 637700） 费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。 证明： 当n=2时，有 222y x z += ∴ ))((222y z y z y z x +-=-= （1） 令 22)(m y z =- 则 22m y z += 代入（1）得 222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-= ∴ ml x 2= 22m l y -= 22m l z += 当n=3时，有 333y x z += ∴ ))((22333y zy z y z y z x ++-=-= （2） 令 323)(m y z =- 则 323m y z +=代入（2）得 ］ ［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +?+=)33(36332233m y m y m ++= 若方程333y x z +=有正整数解，则)33(63322m y m y ++为某正整数的三次幂，即 363322)33(l m y m y =++ ∴ )33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+ 则必有 )33(3)3(4222322m l m l m y m l y ++=+-=和，而y,m,l 都取正整数时，这两等式是不可能同时成立的。所以363322)33(l m y m y =++不成立。即x 不可能取得正整数。所以，当n=3时，方程333y x z +=无正整数解。 当n>3时，同理可证方程n n n y x z +=无正整数解。 定理得证。
1极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速 度不同,使得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值,且函数 ()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点,则AB 的中点为12(,)2 x x M b +,而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若 0212x x x ≠+,则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若0212 x x x >+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏,简称极值点0x 左偏； （3）若0212 x x x <+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏,简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理,对于可导函数)(x f y =,在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若0)2( '21>+x x f ,则021)(2 x x x ><+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ,则021)(2 x x x <>+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。
费马原理 定义： 最小光程原理。光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。 应用学科： 费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。 地震学中的费马原理 地震波沿射线传播的旅行时和沿其他路径传播的旅行时相比为最小，亦是波沿旅行时最小的路径传播。 光学中的费马原理 光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径[1]。在大部分情况下，此极值为最小值，但 有时为最大值，有时为恒定值。 费马原理详解 光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。又称最小时间原理或极短光程原理， 法国数学家费马于1657年首先提出。设介质折射率n在空间作连续变化，光传播路程ds 所需时间为式中c为真空中的光速。光沿ACB曲线从A点传播到B点所需时间为费马原理指出了光传播的实际路径，这是一条所需时间τ为极小值的路径。实际上τ除取极小值外，还可取极大值或稳定值，总之，τ应取极值。光在介质中传播时，光传播的几何路程与介质折射率之乘积称为光程。上式中的积分就是光沿ACB曲线从A点传到B点的总光程。故费马原理也可表述为：光传播的实际路径是使光程取极值（极小值、极大值或稳定值）。光程取极值的条件为光程的一级变分等于零，即此即费马原理的数学表达式。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理说，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。 费马原理对折射定律的证明 假设光从介质n1入射到介质n2。在两个介质的交界面上取一条直线为x轴，法线为y 轴，在入射光线上任取一点A(x1, y1)，光线与两介质交界面的交点为B(x, 0)，在折射光线上任取一点C(x2, y2)。
“费马大定理”的启示 “设想你进入大厦的第一间房子，里面很黑，一片漆黑，你在家具之间跌跌撞撞，但是你搞清楚了每一件家具所在的位置，最后你经过6个月或者再长些的时间，你找到了开关，拉开了灯，突然整个房间充满光明，你能确切地明白你身在何处。然后，你又进入下一个房间，又在黑暗中摸索了6个月。因此每一次这样的突破，尽管有的时候只是一瞬间的事，有时候是一两天的时间，但它们实际上是之前许多个月在黑暗中跌跌撞撞的最终结果，没有前面的这一切它们是不可能出现的”——1996年3月，维尔斯因证明费马大定理获得沃尔夫奖作为一个数学老师，数学是大多数学生讨厌的学科，而我们教师更多的只是告诉、教会学生就这么用，就这么做。怎么才能让学生不那么讨厌数学呢？我想应该从尊重数学开始。 当我第二次翻看《明朝那些事》时，我不禁又一次感慨：历史原来可以这样写？历史就应该这样写。本着这样的思维，在严谨的数学叙事中加上事件节点人物的历史，可能更有意思一些，最起码，让学生喜欢读，读的有趣味。从而使学生明白伟大的数学家是怎么影响整个世界的。尊重应该从这里开始。 这个念头一直萦绕脑海，直到我无意中打开选修3-1，才鼓舞起余勇，翻找资料，以费马大定理为主线说说几千年来数学家们前仆后继的历史。 首先，我们来看一个公式： 2 2 2z y x= +。 有人说：“这不就是勾股定理吗？直角三角形的两条直角边的平方等于斜边的平方。谁不知道？” 没错我们中国人知道勾股定理十分久远，公元前1100年，西周开国时期，周公与商高讨论测量时，商高就提到过“勾广三，股修四。径隅五”。这段话被记载于《周脾算经》中。而西方记载勾股定理的是哥伦比亚大学图书馆的泥版“普林顿322”大约公元前1900~公元前1600年的事。 但是中国人说的数学严格的说，应该叫算学。我国古代就有丰富的数学典籍[]1注，但是你看这些书籍的章节结构，就不难看出它鲜明的特点——实用。比如：《九章》中的方田、粟米、差分、少广、商功、均输等，就字面意思也能看出它就是为了解决实际问题。 我们中国就是一个实用的民族，就比如勾股定理，你拿去用就可以，不用计较为什么这样，这也就是为什么我们的典籍中很少有公理和定律的原因了。所以在世界主流数学史中，我国数学家是没有太多地位的，说起这个就不得不说有一个让国人气愤的事情，1972年，美国数学史家莫里斯·克莱因的《古今数学思想》[]2注序言里有这么一段话：“为了不让本书内容漫无目的的铺张，所以有些民族的数学我们就自动忽略了，如：日本、玛雅、中国。”他还说：“他们的数学对世界人类的主流思想是没有什么贡献的。”很让人不服气的说法，但是你回到数学历史的主流，不难发现我国的算学，跟世界主流数学的目的就不一样。 言归正传，我们回到古希腊。说道古希腊，就不得不提一个人——毕达哥拉斯。我们引以为豪的勾股定理，在初中的课本中也是用的毕达哥拉斯定理来引入的。毕达哥拉斯定理和勾股定理的区别就在于他们要证明这个结论。从这里你就可以发现东西方数学的区别，西方数学史这种死心眼般的研究精神，完全就是一种剔除了理性的宗教迷狂，是一种不出于实用的目的完全的智力上的比拼竞赛。就是佛教里的“贪嗔痴”！比如那些著名的数学问题：“四色问题”，不就是四种颜色就可以区分出复杂地图的行政区域么，放在我国，知道了就可以，但是在西方就一定要搞清楚为什么？还有“哥德堡七桥问题”，就是不重复的走过七座桥，对中国人来说
费马大定理是怎么证明的 已故数学大师陈省身说道，20世纪最杰出的数学成就有两个，一个是阿蒂亚—辛格指标定理，另一个是费马大定理。当然，20世纪的重大数学成就远不止这两个，不过这两大成就却颇具代表性，特别是从科普的角度来看。 说实在的，数学虽然总是居于科学之首，可是一般人对数学可以说几乎一无所知，尤其是说到数学有什么成就、有什么突破的时候。理、化、天、地、生，门门都有很专门的概念、知识、技术，可不久之前的大成绩很容易就可以普及到寻常百姓家。激光器制造出来还不到50年，激光唱盘早已尽人皆知了，克隆出现不到10年，克隆这字眼已经满天飞了。即使人们不太懂黑洞的来龙去脉，一般人理解起来也不会有太大障碍。可是有多少人知道最新的数学成就呢？恐怕很难很难。数学隔行都难以沟通，更何况一般人呢。正因为如此，99%的数学很难普及，成百上千的基本概念就让人不知所云，一些当前的热门，如量子群、非交换几何、椭圆上同调，听起来就让人发晕。幸好，还有1%的数学还能对普通的人说清楚，费马大定理就是其中的一个。 费马大定理在世界上引起的兴趣就正如哥德巴赫猜想在中 国引起的热潮差不多。之所以受到许多人的关注，关键在于它们不需要太多的准备知识。对于费马大定理，人们只要知道数学中头一个重要定理就行了。这个定理在中国叫勾股定
理或商高定理，在西方叫毕达哥拉斯定理。它的内涵丰富，从数论的角度看就是求不定方程（即变元数多于方程数的方程）X2+Y2=Z2的正整数解。中国在很早已知（3，4，5）是这个方程的一个解，也就是32+42=52，其后也陆续得到其他解，最后知道它的所有解。这样，一个不定方程的问题得到圆满解决。 数学家的思想方向是推广，这个问题到了17世纪数学家费马的手中，就自然问，当指数变是3,4……时，又会怎样？这样费马的问题就变成不定方程Xn+Yn=Znn=3，4，……是否有正整数解的问题。费马误以为自己证明了对于所有n≥3的情形,这个方程(不妨称为费马方程)都没有正整数解，实际上，他的方法只证明n＝4的情形。不过，这个他没有证明的定理还是被称为费马大定理。 这样一个叙述简单易懂的定理对于后来的数学家是一大挑战，其后200多年，数学家只是部分地解决了这个问题，可是却给数学带来丰富的副产品，最重要的是代数数论。原来的问题却成为一个难啃的硬骨头。20世纪初，有人悬赏10万德国马克，征求费马大定理的证明，成千上万的错误证明寄到评审机构那里，其中几乎没有什么真正的数学家。本书的第四章生动地描写了其中的故事。 有时我们把这些人称为业余数学爱好者，近来称之为民间科