11-12学年第二学期A 卷评分标准
一．填空题（每题3分，共30分）
1.
设(1)2
z i =-时，则100z = -1 ； 2. 关于函数2()f z z =在复平面内的解析性为 处处不解析 ；
3. i i =(2)2()k e
k Z ππ-+∈ ； 4. 1
100:21
tan (1)C z zdz z =-??= 0 ；
5. 两个级数1()(1)2n n n n i A ∞=-∑，1
(1)()[]2n n n i B n ∞=-+∑中绝对收敛的幂级数为 A ，条件收敛的幂级数为 B ；
6. 0z =为函数
3101sin z z 的 13 级极点； 7. 函数1w z
=将z 平面上的曲线226x y +=映到w 平面上的曲线方程为 2216
u v += ； 8. 设22()(2)f z x y y i xy y =--++，则'()f z =2x i + ；
9. 函数(1)(2)
z z z ++在02z =的泰勒展开式成立的圆域半径R = 3 ； 10. 复数方程0chz i +=的解z =(2),2
i k k Z π
π+∈ . 二．(6分)设12,z z 为单位园内的任意两点，证明：12121z z z z -<- 证明：2212121z z z z --------2分
12121212()()(1)(1)z z z z z z z z =-------------4分 2222
12121z z z z =+--
2212(1)(1)0,z z =--< 因此12121z z z z -<- -------------6分
三. (10分)已知2,v xy y =+ 求解析函数()f z u iv =+使得(2) 2.f = 解：因为21u v x x y
??==+??----------3分 所以2(21)()u x dx x x g y =+=++?--------------5分 又因为'()2u v g y y y x
??==-=-?? 故2(),g y y c =-+ 22()(2)f z x x y c i xy y =+-+++--------------9分 由(2)2f =得4,c =- 所以22()4(2)f z x x y i xy y =+--++----------10分
四. 计算题(每题7分，共35分)
1. 设C 表示正向圆周22
3,x y += 2371()d , (1).C f z f z
ξξξξ++'=-?求 解：由柯西积分公式得当z 在C 内时，
22371d 2(371)(),C i z z f z z
ξξξπξ++=++=-?-------------------4分 而当1在C 内，因此1 (1)2(67)26z f i z i ππ='=+=----------7分 2. 22
C z dz z --?，其中:22,C z -= 起点为0，终点为4 解：令22,:0,i z e θθπ=+→----------2分 则022222i i C
z e dz ie d z θπθθ--=-??----------5分 022i d i π
θπ==?----------7分 3. 求21109
C dz z z ++?
?, 其中:2C z =，取逆时针方向. 解：21()109
f z z z =++在C 内的奇点有1z =-，为一级极点。--------2分 因此212{Re [(),1]109C dz i s f z z z π=-++??-------------------------------4分
2111lim(1)1098
z z z z →-=+=++-------------------------------7分 4. 0132cos d πθθ
+? 解：20011132cos 232cos d d ππθθθθ
=++?? -----------------------------2分 211231
z i dz z z ==-++??------------4分
2132Re [,]2312
i i s z z π-+=-++------------6分
5
=-----------------------------------------7分 5. 2sin 4
x x dx x +∞
-∞+? 解：24
ix xe dx x +∞-∞+?--------------2分 =22Re [,2]4
iz
ze i s i z π+---------------------4分 2ie π-=--------------------5分 因此2sin 4
x x dx x +∞-∞=+?2sin Im()4x x dx x +∞-∞+?=2e π-------------7分 五. (4分) 设()f z 在0z R <<内解析，且()()f z f z =-，证明：Re [(),0]0s f z = 证明：设当0z R <<时()n n n f z c z +∞=-∞=
∑，---------------------2分
则()(1)n n n n f z c z +∞=-∞-=-∑， 因此1()(1(1))2n n n n f z c z +∞
=-∞
=+-∑，---------------------3分 故111Re [(),0](1(1))02
s f z c --=+-=---------------------4分 六. (7分) 求出函数21()f z iz z
=-在以i 为中心的所有解析环域内对应的洛朗级数. 解：2
1()f z iz z =-在以i 为中心的所有解析环域有 01,1z z <<<<+∞。--------------2分 当01z <<时
110
111()()()()1n n n i f z i z i z i z i i z i z i i
+∞+-==-==---+--+∑--------------5分 当1z <<+∞时
3220
1111()()()()1n n n f z i z i i z i i z i z i z i
+∞--==-=-=---+--+-∑----------------7分 七．选做题(以下1,2两题必须选做一题，每题8分)
1.(1). 求3()sin 2t f t te t -=的拉氏变换；
(2)求21()413
F s s s =++的拉氏逆变换 解： (1) 33()(sin 2)((sin 2))'t t Lf t L te t L e t --==----------------2分
22'(3)4s ??=- ?++??
-------------------------4分 224(3)((3)4)
s s +=++-------------------------5分 (2) 11122113(())(
)()4133(2)9L F s L L s s s ---==++++-------------------------7分 21sin 33
t e t -=-------------------------8分 2. 设21, 1,()0, 1,
t t f t t ?-??求函数()f t 的傅氏变换
解：因为()(),f t f t =- 所以
2015年《自然辩证法概论》试题及解答 1.马克思恩格斯科学技术思想的基本内容？ 答：一、科学技术的定义：马克思、恩格斯认为，科学建立在实践基础之上，是人们批判宗教和唯心主义的精神武器，是人们通过实践对自然的认识与解释，是人类对客观世界规律的理论概括，是社会发展的一般精神产品；技术在本质上体现了人对自然的实践关系。 二、基本内容如下： （1）科学的分类恩格斯对自然科学进行了分类。每一门科学都是分析某一个别的运动形式或一系列相互转化的运动形式，因此，科学分类就是这些运动形式本身依据其内部所固有的次序的分类和排列，而它的重要性也正是在这里。恩格斯将自然科学的研究对象规定为运动着的物体，并将科学分为数学、天文学、物理学、化学、生物学等。 （2）科学技术与哲学的关系恩格斯强调科学技术对哲学的推动作用，认为推动哲学家前进的，主要是自然科学和工业的强大面日益迅猛的进步。科学的发展也受到哲学的制约和影响。科学与哲学在研究对象上具有本质上的共同点和内在的一致性。科学研究作为一种认识活动，必须通过理论思维才能揭示对象的本质和规律，这就自然地与哲学发生紧密的关系。 （3）科学技术是生产力马克思提出了科学是生产力的思想，他认为，社会生产力不仅以物质形态存在，而且以知识形态存在，自然科学就是以知识形态为特征的一般社会生产力。 （五）科学技术的生产动因马克思认为自然科学本身的发展，“仍然是在资本主义生产的基础上进行的，这种资本主义生产第一次在相当大的程度上为自然科学创造了进行研究、观察、实验的物质手段。”恩格斯认为近代以来科学“以神奇的速度发展起来，那么，我们要再次把这个奇迹归功于生产。” （六）科学技术的社会功能科学革命的出现，打破了宗教神学关于自然的观点，自然科学从神学中解放出来，从些快速前进。科学与技术的结合，推动了产业革命，产业革命促使市民社会在经济结构和社会生产关系上了发生了全面变革。 马克思认为，科学技术的发展，首先必然引起生产方式的变革，也必然引起生产关系本身的变革。 （七）科学技术与社会制度马克思、恩格斯首先揭示了新兴资产阶级与自然科学的关系。其次揭示了资本主义制度下劳动者与科学技术的关系。再次，预见了只有在劳动中，科学才起到它真正的作用。同时也肯定了科学家个人在科学发展史上的重要作用。
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。
()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=?
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a) 4结点四边形元； b) 2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大？ 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大？按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。 5． 设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A ，长度为L ，弹性模量为E ，试写出杆端力F 1，F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○ 1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1，F 2，F 3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵[K]。 7． 在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1=P ，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。 8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。 10． 设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。 11． 进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些？ 12． 针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大？ 13． 下图所示一个矩形单元，边长分别为2a 与2b ，坐标原点取在单元中心。
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数试题汇总
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《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．
西北工业大学考试试题（A卷） 2004 － 2005 学年第一学期 一、填空题：（每题 3 分，共计 30 分） 1. 塑性是指： ________________________________________________________ ________________________________________________ 。 2. 金属的超塑性可分为 _____ 超塑性和 _____ 超塑性两大类。 3. 金属单晶体变形的两种主要方式有： _____ 和 _____ 。 4. 影响金属塑性的主要因素有： _____ ， _____ ， _____ ， _____ ， _____ 。 5. 等效应力表达__________________________________________________ 。 6. 常用的摩擦条件及其数学表达式： __________________________________ ，__________________________________ 。 7. π平面是指： _____________________________________________________ ______________________________________________________________ _。 8. 一点的代数值最大的 __________ 的指向称为第一主方向，由第一主方 向顺时针转所得滑移线即为 _____线。 9. 平面变形问题中与变形平面垂直方向的应力σz=______________________ 10. 在有限元法中：应力矩阵 [S]= ________________________ ， 单元内部各点位移{U}=[ ]{ } 二、简答题（共计 30 分） 1. 提高金属塑性的主要途径有哪些？（ 8 分） 2. 纯剪切应力状态有何特点？（ 6 分） 3. 塑性变形时应力应变关系的特点？（ 8 分） 4. Levy-Mises 理论的基本假设是什么？（ 8 分） 三、计算题（共计 40 分） 1 、已知金属变形体内一点的应力张量为Mpa ，求：（ 18 分）（1）计算方向余弦为 l=1/ 2 ， m=1/2 ， n= 的斜截面上的正应力大小。（2）应力偏张量和应力球张量；
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )
2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 诚信保证 本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。本人签字： 编号： 西北工业大学考试试题（卷） 2008－2009学年第1学期 开课学院航天学院课程航天器飞行力学学时 48 考试日期考试时间 2小时考试形式（闭）（A）卷题号一二三四五六七八九十总分得分 考生班级 2162、2163 学 号姓 名 一、名词解释（20分） 1、比冲 2、过载 3、二体问题 4、轨道摄动 5、星下点轨迹 6、临界轨道 7、顺行轨道 8、轨道转移 9、再入走廊 10、总攻角 注：1. 命题纸上一般不留答题位置，试题请用小四、宋体打印且不出框。 2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。共2页 第1页 西北工业大学命题专用纸 二、简述（20分） 1、直接反作用原理 2、刚化原理（关于变质量物体质心运动方程和绕质心转动方程的描述） 3、瞬时平衡假设 4、开普勒三大定律 三、简答题（40分） 1、火箭产生控制力和控制力矩的方式有那些？写出各自的控制力和控制力矩计 算公式。 2、在什么条件下，一般空间弹道方程可以分解成纵向运动方程和侧向运动方 程？ 3、自由飞行段的运动有哪些基本特征、轨迹是什么形状、特征参数有哪些、特 征参数与主动段终点参数有什么关系？ 4、轨道要素有哪些，其意义和作用是什么？ 5、卫星轨道的摄动因素有那些？ 6、双椭圆轨道机动的特征速度的确定方法？ 7、基于状态转移矩阵的双脉冲轨道机动的过程和特征速度的求解方法? 8、航天器再入轨道有哪些类型，各有什么特点？ 四、推导题（20分） 1、推导齐奥尔柯夫斯基公式（理想速度与质量变化的关系） 2、推导二体问题基本方程 教务处印制 共2页 第2页 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第一套 第一套 一、选择题（每小题3分，共21分） 1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。 A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?（ ） 。 A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的（ ）。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。 A. 22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. k s 1 . 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 23 (1)i += [1] ； ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1复变函数试题与答案
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