基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题
摘要
本文研究了基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题
针对问题一，本文运用天文、地理知识和基本的几何关系，得到影长关于各个参数的函数关系子模型，并建立影长逐级代换模型。我们首先找出影响影子变化的因素，即时间、日期、地理位置、杆的高度；再根据定量分析的方法，得出影子变化与四种因素的变化规律；然后将不同地理位置均按120°E正午12点为0°时角计算当地时角，并通过构建太阳高度角与杆长的简单直角三角图形，利用MATLAB [1]软件计算得出北京时间9:00—15:00时间段内影子的变化曲线。根据曲线得出，该时间段内影长的变化范围在 3.674m—7.366m。每个整点影长如
标求出每个时刻所对应的方位角，将问题一和二中关系式联立，以1°为步长，通过编程遍历整个坐标系分别解出对应时刻不同地理位置所求出的方位角与理论方位角最接近的地理位置，每一点只对应一个时刻。再根据所给信息进行大致筛选，并通过求筛选出的任意一点同其他时刻理论方位角与实际方位角差的平方和最小时的点进行二次筛选。由于误差较大，我们需通过实数离散逐级求解模型，来分别以1分和1秒为步长对先前的二次筛选点进行小范围的遍历，遍历规则同上。最终求出最佳近似位置为：
（39°29’30”N，120°29’30”E）
针对问题三，同样利用问题二中模型，增加了日期变量，此时所需遍历参数为经度、纬度、日期,用模型二的方法初步得到21个三维坐标，然后由此21个数据定出与它们方差最小的点的坐标，再进一步减小步幅，得到新的精度更高的21个坐标（精度达到分），重复以上步骤确定经纬精度达到1秒，日期精度达到1日，以此作为我们逐层优化得到的近似最优解，也就确定了坐标。最终求出最佳近似位置和日期分别为：
附录2：（35°29’29”N，31°29’29”E） ,日期为10月6日
附录3：（53°29’29”N，124°29’30”E）,日期为2月4日针对问题四，首先对视频进行截图，取时间间隔1min，对图片进行增大对比度处理，建立空间距离矩阵，确定影子长度，位置的变化，进行相应的处理，确定坐标系，坐标点，第一小问就转化为了问题二模型进行求解了，第二小问缺少日期，符合模型三，利用模型三求解即可
关键词：逐级遍历优化、近似最优位置、控制变量法、问题归并
一、问题重述
随着定位技术的不断发展，电子定位趋于成熟，但同时依据自然条件具体定位的方式并没有太大的进步。目前我们所依赖的太阳影子定位也只是局限于通过在所求点所测正午时间影子的各种数据来计算当地的大致地理坐标，计算方法相对笨拙。测量方法的技巧性直接影响到计算时间的长短、地理位置的精确等方面。生活中，我们如果可以通过简单的工具，利用基础的数学知识建立简单的几何模型，掌握影长与各个因素的变化规律，甚至能通过分析未知时间、地点的图片或视频，估算地理坐标，就可为生活提供相当大的便捷。
因此，我们考虑根据任意时刻、任意地点太阳影子求定位的问题。所谓太阳影子定位，是指根据任意时间段太阳所照射杆子的影子相对于杆底的长度坐标的变化，来得出精确的地理坐标位置。不同时刻，杆子影子的顶点坐标不同，所对应的太阳高度角、方位角等相关因数也有所不同。本文主要根据附录所提供的数据，解决以下问题：
问题一：建立理想情况下的影长与时间、位置、杆长、日期的函数关系，单独画出各个因素的曲线，并分析影响，再与现实生活经验比较进行验证，将此模型应用于天安门广场。
问题二：将投影坐标转化为问题一中的相关参数，结合问题一，建立杆所在的经纬度关于地面上影子坐标的函数关系模型，应用在附件1所给数据中找出可能的坐标。
问题三:在问题二的基础上增加一个因变量建立地面影子坐标的函数模型，应用附件2,3所给数据找出若干可能的地点与日期。
问题四：建立以子午线为y轴（正方向为北），纬线为x轴（以东为正方向），先对视频中取等时间间距图片，增大辉度，取距离矩阵，进行影子顶点坐标测定，测出影子顶点坐标及影子长度，进而转化为问题二，后一问应用问题三模型。
二、模型假设
（1）影子的位置与海拔无关，影子的投影面是地平面
（2）影子的投影弧线基本看为直线，忽略角度的影响
（3）在一天之中太阳的赤纬角是相等的，不随时间变化
（4）一天的时间是24h，而平年365天，闰年366天
（5）直杆与地平面严格垂直
（6）太阳经过大气层时产生折射造成的偏角对投影角度无影响
（7）以直杆垂直地面的点为坐标原点，此点的以东为横轴正方向，以北为纵轴正方向
三、文中符号说明
a : 当地纬度
j ：当地经度
l0：杆长
l：影长
x : 影子顶点横坐标
y ：影子顶点纵坐标
α: 太阳高度角
β：太阳方位角
b：赤纬角
t：时角
N : 日期在年内的序号
t0 : 北京时间
四、问题分析
问题一中影子长度的参数涉及到直杆高度，日期，时间（北京），直杆经纬度等主要影响因素。为了问题分析的方便，我们忽略了地形、太阳折射等次要因素的影响。根据相关文献中的地理知识，可以引入一些地理概念，有太阳高度角、方位角、时角、赤纬角等，并建立彼此之间的函数关系，由于函数关系相对复杂，可能无法给出影长关于各个因素的具体表达式，但是影子长度关于各个因素变化的规律则可以通过控制变量法用MATLAB绘出相应的曲线，由此可以分析各因素对影长的影响。第二小问可以直接代入数据画出曲线即可。
问题二相当于在在第一问的基础上引进了太阳影子顶点坐标，由此可以得到对于确定时间此地点的太阳方位角（和影长没有关系），而对于同一个时刻，太阳相对于不同地点的方位角是不同的。根据问题一中影长与经纬度所作出的图形以及影长与方位角之间关系式的计算我们可知道在明确经纬度的情况下方位角是一定的。由于经纬度是实数取值没有穷尽，我们先选取经纬步长为1度的所有点，计算出此经纬度下的方位角，与此时杆的实际方位角（可由给定数据实际求得）进行比较求取最接近该方位角的点。所给出点为几个，我们就可求出几个相对应的地理位置。再根据所给点的时间信息等即可确定经度和维度的大概范围，就可减少点的位置，方便计算，接着通过优化模型，即为通过计算之前筛选出的点在其他时刻所对应计算出来的方位角与实际方位角差的平方和，比较平方和选出最小平方和即为最小方差，方差最小即代表坐标最稳定，再通过实数离散逐级求解，逐级地将经纬度划分为分和秒，此时分别以偏差±0.5度和1分作为步长，遍历该区域内所有的点，选取该区域内任意一点相对于给定时刻个数内的方位角理论值与实际值差的平方和最小的点，最终所求出的点即为最佳点。由于附录中出现21个时刻，因此我们所求解出的点为21个，因此我们就能得到一组实际杆
的位置的估算值。再通过上述方法即可直接求得坐标。
赤纬角的位置，而赤纬角又是跟太阳高度角相关，太阳高度角又跟方位角相关，由于问题二中已经建立出经纬度与方位角的几何函数模型，那么对于问题三，我们就可以建立日期与经纬度的立体模型，只是比问题二中再多一个变量，筛选的时候增加计算机内部筛选次数。同样，在所筛选出来的若干点中，我们按照问题二同样思想对日期和经纬度的筛选方式，筛选出问题三中所满足的点，即为所求的经纬度和日期。
问题四涉及到对视频图像的处理，视频中给出的是确定日期40分钟内的杆影长度以及位置的变化，通过取相等时间间隔的影子顶点的确切位置，以及影长的确切坐标和长度，再结合问题二和问题三所建立的模型，对数据进行优化处理得出可能的地点的经纬度。而第二小问则是利用模型三在实践中的应用，同时仔细分析视频中的一些细节信息，根据之前及文中我们所求解到的其中关系来确定大致的地理位置。
五、模型的建立与求解
5.1.1问题一模型的建立
对于影子长度变化的模型，我们涉及到太阳高度角。太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角。我们可通过杆子、影子以及它们顶点的连线即可构成简单的直角三角几何，而两顶点之间连线与影子线段的夹角即为太阳高度角。因此，我们需要用到太阳高度角的计算公式：
sinα=sinφsin b+cosφcos b cos t[2]
其中包含因数为纬度φ、赤纬角b、时角t。赤纬角是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。以地球为例，在地球上，同一时刻，对同一经度，不同纬度的人来说，太阳对应的时角是相同的。就问题一来说，纬度一般为已知，而赤纬角和时角还需要通过计算公式求得。
赤纬角的计算公式为：
b=0.3723+23.2367?sinθ+0.1149?sin(2?θ)?0.1712??0.758?
cosθ+0.3656?cos(2?θ)+0.0201?cos(3?θ)[2]
其中θ为中间变量，想要求出b，必须知道θ的具体数值或是θ表达式，从而求出b的具体数值或是b的表达式，由此我们找到θ的计算表达式为：
θ=2? ?t1
365.2422
[2]
其中t1又为中间变量，影响到θ的表示，而t1=N-NO，N和NO均为中间变量。
N为日期在年内的序号,即为：
N=1月天数+2月天数+?+所求日期在该月的日数
NO是与年份相关的函数，即为：
][2]
NO=79.6764+0.2422?(年份?1985)?[(年份?1985)
4
因此，在N,NO, θ,t1均可由已知量表示的情况下，b即可解出或者直接用已知的相关量的参数表示出来。同样，(1)式中时角t也需要具体表示，由于t 为根据当地太阳时所求出的时角，而题目中均为北京时间，因此我们将t化为北京时间后所求出的时角的计算公式如下：
+t0?20)[2]
t=15?(j
15
其中t0为当地的北京时间，j为当地的经度，按第一问一般来说，当地纬度均为给定的。因此t可明确表示出来。
对于太阳高度角有
tanα=l0
[3]
l
综上，太阳高度角就可根据各种参数进行间接的表示，影长与各个参数的关系随之确立，模型建立。
5.1.2问题一模型的求解
将上述存在的关系式输入matlab中，利用控制变量法选取较为典型的各个参数，求取影长关于另一个参数的变化规律。画出曲线图进行分析，并和日常经验作比较进行验证。结果如下：
1.①影长关于各个参数的变化规律
（1）影长—杆长
由影长—杆长曲线图知，随着杆长的增加，影长呈线性增加，存在固定的比例系数，这也符合我们的日常规律，同时同地放置直杆，影长与杆长的比例一定，因为此时太阳的高度角是一定的即有
K=tan α=l0l
（2）影长—日期
由影长—日期曲线图(附件)知，以2015年北京为例，从3.21开始，影子逐渐变短，到6.22达到最短，而后再逐渐变长，9.23影长与3.21相等，此后继续变长到12.22日达到最长，随后变短，至2016年3.20达到2015年3.21的长度。分析可以知道四个时间分别对应着春分，夏至，秋分，冬至四个节气，太阳高度角的变化正是与之对应的，这也验证了我们的模型的合理性。
（3）影长—时间
由影长—时间曲线图知,在以真太阳时为基准的情况下，影长关于中午12h 对称，
01
2
3
45
6
7一年中的日期（从1.1开始）影子长度m
北京时间影长
且在12h（太阳高度角达到最大）时达到最短影长，早上随着太阳的升高影长急剧缩短，接近12h影长变化率越来越小(12h时变化率为0)，此后太阳逐渐落山，影长急剧增加（即影长变长速率增加很快）达到无穷（光与杆垂直）。
（4）影长—经度
由影长—经度曲线图,同样以北京时间中午12:00为例，影长在东经120度达到最短，因为此时太阳的高度角最大，在经度往西递减和往东递增的过程中呈对称分布，且距离120E越远，影长越长，增加速率也越来越大。具有较好的合理性。
（5）影长—纬度
由影长—纬度曲线图可以知道，太阳赤纬处影子的长度达到最小值0，以此为基准，随着纬度向两边延伸，影长逐渐加长，符合生活经验，即直射处太阳的高度
角为90度，影长为0，沿子午线往两边影长逐渐增长。
②2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。如下图
从图中可以看出，曲线并不是关于北京时间12:00对称，这是因为北京时间并不是北京（东经116.4°）地方的时间（真太阳时），而是东经120°经线上的地方时间。即图形曲线的对称轴是北京的地方时12:00时，利用下面的公式
t =15?(j 15
+t0?20) 可以求得对称轴为北京时间12:14:26，是一个比较让人信服的结果。
5.2.1问题二模型的建立
模型二相对于模型一种多了杆子影子顶点坐标，因此在第一问中的式子会相对缺乏变量。我们需要综合考虑与影子坐标相关的影响因素。通过分析可知，影子坐标x 与y 的壁纸跟太阳方位角密切相关。太阳方位角是指即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地子午线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。
因此，我们可以通过已知的横纵坐标求解出每一时刻所对应的方位角，即模型二中太阳影子顶点坐标数据是作为已知量，结合模型一中的变量与相关的等式，可以得到太阳方位角、影长之间的相关等式。公式如下
（2）
由于问题一中提到，我们可根据经度纬度模拟出与经度纬度与太阳高度角的三维立体关系，二太阳方位角又是跟太阳高度角有一定的函数关系，因此，我们
北京时间影长
可以明确化出太阳方位角与经度和纬度的三维立体关系。同一时刻，同一个太阳方位角，我们即可确定出多个近似的经纬坐标，但是太阳方位角恰好与某时刻误差为0的点只有一个，因此我们即可根据多个时刻解出多个此刻太阳方位角误差为0的经纬度坐标，并按照给出的时刻即坐标按照简单的地理知识进行筛选，从而判断满足条件的坐标点。因此我们通过MATLAB软件进行编程。由于地球上经度在-180—180之间，纬度在-90—90之间，因此数据综合相对较大，一个一个手工计算浪费大量的时间，因此需利用程序遍历解出最满足条件的地理坐标点，因此我们遍历180*360个的点。由于计算机计算范围及计算时间相对有限，因此我们将精度和纬度的步长设为1度，所以我们可得到多个以度为单位的点坐标，我们所给出的位置A（a，j）{-180<=a<180,-90<=j<=90}的方向角计算的相关公式即为综合问题一中的式子以及问题二中（2）式，即可联合解出每个不同时刻所对应的多个方位角误差近似为0的地理位置。即联立方程组为：
解出满足min|β(a，j)?β|时的点。由于所求出的多个地理坐标之间可能误
差相当较大，我们还需要根据某些条件进行筛选。筛选的因素可包括已给数据的时间与影子顶点坐标正负的关系。若影子的纵坐标为正，则可判断出该点在太阳直射点所在纬度以北；若影子的纵坐标为负，则可判断出该点在太阳直射点所在纬度以南。同时我们还可以根据当地此时的北京时间较为大致的算出给出时刻所表示的经度的范围的大致位置。
若筛选出来的地理位置仍包含多个点，那我们要进行更具体的优化。由于方差可判断稳定性。因此我们可将根据某一时刻所求出的经纬度去跟其他时刻进行比较，若利用该经度在其他时刻所求出的方位角与实际方位角差的平方和最小，即可判断该点为最精确的点。方差表示如下：
nS2=(β?β0)2+(β?β1)2+?+(β?βn)2
目标坐标即为S2min时所对应的准确地理坐标。因此我们就可得出根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据所建立的具体模型，从而求出此直杆可能的地点。
但由于刚开始的步长是1度，而没有涉及分和秒，所以精确度相对较差，因此，我们还必须将精度更小，由于步长1度，所以我们在上述所求点的附近0.5度内先做分遍历，利用上述求方差相同的方法，再按照附近1秒内做秒的遍历，最终求出精确度最高的点即为所求的地理位置的精确经度和纬度。
5.2.2问题二模型的求解
根据模型建立的过程，我们队附录1中的点进行分析。
首先根据附录一中影子顶点坐标计算出每一个对应时刻坐标是的方位角的大小，
根据该公式可计算出每一时刻的方位角分别为：
64.3689，64.8244，65.2654，65.6901，66.1037，60.5023，66.8942，67.2720，67.6376，67.9957，68.3439，68,6877，69.0182，69.3446，69.6625，69.9735，70.2804，70.5791, 70.8719，71.1595，71.4448
当方位角已知后，代入上述（2）式，即可得知太阳方位角、赤纬角、时角之间固定的关系，再以1度为步长遍历整个180*360坐标系，求出每个时刻下方位角所对应的最相似坐标。因此可得到21个方为坐标。分别为：（纬度，经度）
(68,-167),(-34,141),(72,139),(85,142),(42,-170),(40,121),(67,136), (-58,144),(31,-172),(86,140),(86,-177),(-21,-132),(50,179),(-37,-156) (-88,139),(-65,141),(10,-166),(-81,178),(57,172),(61,171),(47,170)
但由于此21个点的范围相差较大，所以我们必须根据已知条件筛选出金丝满足条件的点。由于附录1所给日期为4月份，因此此时太阳在赤道与北回归线之间，而所给影子顶点的纵坐标均为大于0的数值，因此可得出该杆所处的纬度为太阳直射点纬度以北，即纬度大于0；再根据所给时间段内的北京时间可大致估算经度的范围是：78.5E—153.5E。有可筛选出所剩下的5个点，即为：
(72,139),(85,142), (40,121),(67,136),(86,140) 这四个点的误差范围依然相对较大，同时我们考虑到这四个点的求法是根据某一时刻所求的，数据布局给大众性，因此我们可根据方差的稳定性来确定这四个点中最满足条件的点坐标。如：坐标（72,139），它之前所对应的太阳实际方位角为65.2654，我们科利用该坐标位置反代入之前的方程组，可解出在其余20个时刻内该坐标位置所对应的方位角，再将此坐标20个方位角与实际根据影子顶点坐标求出的方位角求方差，即为每个时刻方位角所对应的差的平方和，这样
我们就可解出此时刻该坐标相对于21个时刻内的方位角方差。利用同样的方法求出其余三个点相对于21个时刻内的方位角方差。当方差最小时，即该点为最满足此21个时间方位角的点。这5个点所求出的方差大小分别为：
301.2480 285.0153 108.4333 163.7304 131.1483
因此我们取方差最小的点(40,121)。
深层优化正是我们现在所需要进行的，考虑到刚开始以1度为步长，因此计算出来的经纬度会有较多的误差。但同时由于直接划分到秒，计算机计算难度相对较大，于是我们先考虑根据(40,121)这个地理位置，以0.5度为步长，考虑到分，在该地理位置内进行遍历，并运用跟之前相同的求解方差的方法找出所遍历点中方差最小的地理位置，该位置即为问题二中所求的最佳的满足“分”的坐标。但由于由分还可以继续遍历到秒，因此我们再根据之前所算出的最佳的满足“分”的坐标，以0.5度为步长，考虑到秒，并求出最终精确地理位置。
最终求出最佳满足的地理位置为：
（39°29’30”N，120°29’30”E）
5.3.1问题三模型的建立
问题三相对于问题二来说又增加了一个日期变量，日期直接影响到太阳的高度角，为了便于分析，我们认为年份是平年，不考虑闰年，而且b在一年中是一个循环。受模型二的启发，我们可以在模型二的基础上加以改进，建立时间，经度，纬度三维坐标系，由此我们可以得到空间模型定位定时的相关函数关系式：
根据影子顶点的坐标，受限于上述函数式，经纬度步幅为1度，日期（采用积日）步幅为10天条件设定和模型二相同我们能够得到许多空间坐标（程序见附件），但是由于我们的点有限，且步幅较大，得到的结果精确度不是很高，但
是更加准确的位置一定在这些三维坐标附近，也就是说通过上一步我们已经把。为了得到更高精度的值，以得到的点为中心，将所求点经纬度±0.5这1度划分为60等分，精度就达到了分，日期在±5的范围内把步幅编程1日，这样可以大大减少使用MATLAB运行的时间。（程序见附件）
对于进一步的秒可以对分进行同样的处理得到。这样逐级进行下去，分步得到了精确的地点、日期，模型得以合理建立。
5.3.1问题三模型的求解
将附件2中的数据输入到程序变量中，满足
min||
上式的点有21个，空间坐标如下
(181,72,36),(91,24,50) ,(271,35,31) ,(91,68,31) , (1,20,-38), (1,21,-21) ,(361,62,-13),(271,37,-13),(361,-17,55) ,(181,22,28), (361,-59,5),(271,28,-30),(361,19,6) ,(181,10,16) ,(361,9,12), (91,69,-16),(361,88,-19),(91,41,-27) ,(181,-40,-57),(91,69，-25), (361,74,-34)
利用以下约束
minS2=(β?β0)2+(β?β1)2+?+(β?β20)2
可以求出唯一的β值，同时可以得到近似最优解的坐标（它的精度为度）、时间（精度为10天），利用建立的模型和前面的同样方法经度达到分再次得到21个空间坐标，再做一次
minS2=(β?β0)2+(β?β1)2+?+(β?β20)2
得到精度为分的近似最优解，重复上述步骤可以把结果精确到秒，最终
位置和日期大概为：
（35°29’29”N，31°29’29”E）,日期为10月6日
附件3即重复附件2的操作，得到的位置和日期大概为：
（53°29’29”N，124°29’30”E）,日期为2月4日
结合从网上了解到的相关信息可以验证我们的结果是比较可靠的。
5.4问题四模型的建立与求解
问题四主要是对视频中随时间变化的影子进行影长，顶点坐标的确立。首先我们可以建立空间矩阵，结合实际杆长，找到图片中距离与实际距离的关系。我们在视频上每隔1min截取一张图片，增大辉度，可以利用软件得到精度还可以的数据，转化为模型二条件下的坐标数据。进而我们可以利用已有的程序进行求解，它是满足模型二的，由此我们能得到大致的地点。程序运行出来的结果是
第二小问若不知道确切日期，则满足我们所建立的模型三，由处理后的数据我们仍然是可以大致确定测量地点的坐标和日期的。
程序运行出来的结果是
六、评价与改进
优点：
1.适用性强：该模型相对于目前依赖自然方法测量经纬度只局限于根据正午太
阳影子的变化的问题，效率有相当大的提高。既节省了测量时间，
又可以给测量带来便捷，并且可根据此模型得出任意时间段、日
期、杆长、经纬度、影长、影子顶点坐标之间的关系，而且若再
结合生活经验，可始精度提高，适用范围更广。
2.可测量性：问题二中所求即为根据任意时刻段、影子顶点坐标的变化、规定
日期即可求出该位置所对应的具体地理坐标，可测量性大。3．稳定性：问题二、三、四中都用到方差的稳定性，对所求地点进行稳定性的比较，从而
求出最佳稳定地理位置。
缺点：
1.我们所建立的模型也存在一些局限。由于我们的模型需考虑到电脑的工作效
率，所以不得不将所求地理位置的坐标分别划分为以度、分、秒为步长来做，精确度有所欠缺。
2.由于所选取精度较粗，可能会导致所求结果需要经过一定的换算才为所求结
果。
3.由于方便计算，忽略了太阳光折射和天气的影响，对于所求数据带来一定的
误差。
4.由于我们忽略海拔的影响，角度会有一定的影响。
改进
针对模型存在的缺点，我们可在之后学习中，充分考虑太阳光折射、海拔以及天气因素的影响，并且也可选择容量及计算效率相对较高的计算机或是编出更为简便的程序，方便计算，更精确的在以秒为步长时直接得到所求结果，使得结果更具准确性。同时需要完善模型，使得在知道条件更少的情况下能尽快的得出精确地理坐标。
七、参考文献：
[1]司守奎、孙玺菁，数学建模算法与应用，北京：国防工业出版社，2015年。
[2] 王炳忠，转载中国气象科学研究院王炳忠研究员编写的《太阳辐射计算讲座》，https://www.doczj.com/doc/1a16536981.html,/s/blog_4a1c6f7f0100062y.html，2015年9月13日。
[3]baidu，太阳高度角https://www.doczj.com/doc/1a16536981.html,/view/86609.htm，2015年9月13日。
A题太阳影子定位 一，摘要 （宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文） 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。 第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。 第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二，问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技 术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用 你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39 度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 三，问题分析
太阳影子定位 摘要 太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系和MATLAB编程等方法，对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。 针对问题一，确立影长变化模型。首先以经度、纬度、日期、时间、杆长为参数分析影长的变化规律，通过中间变量太阳高度角、赤纬角、时角确立影长变化模型。其次利用影长变化模型，运用MATLAB进行编程，求解出天安门在9:00-15:00影长变化曲线类似一条凹抛物线，其中最短影长出现时刻为多少分，影长为多少m。
一、问题重述 1.1问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.2问题提出 问题一：建立影子长度变化与各个参数关系的数学模型，并应用所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，据此确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点。 问题三：在前一问的基础上进一步确定影子顶点坐标与日期的变化关系，建立模型并确定所给影子顶点坐标数据的若干个可能的地点与日期。 二、问题分析 这属于竿影日照数学问题，把竿顶影子端点坐标移动轨迹， 2.1问题一的分析 针对问题一首先为了建立影子长度变化的数学模型，应先确定影响影子长度变化的因素，拟选取直杆所在经度、纬度、日期、时刻及杆长为参数建立数学模型。由于题设中未直接给出关于影长与五个参数的数据，所以拟通过中间量描述影长与上述五个参数之间的关系。查阅相关资料得到可以太阳高度角、太阳赤纬角、太阳时角及太阳方位角四个中间参量作为转换分析中间变量，再根据四个中间变量得到影长与 5 个参数的函数关系式，即影长长度变化的数学模型。最后将天安门广场的 5 个参数带入影长变化模型，可得到杆影的变化曲线，分析影子长度关于各个参数的变化规律。 2.2问题二的分析 针对问题二以直杆的太阳影子顶点为坐标数据建立数学模型，并应用于附件 1 的影子顶点坐标数据求解直杆位置。可视为已知影长坐标、日期和时刻，求影长所在的地点的问题。首先应根据影长坐标计算实际太阳影长，本文拟将附件 1
对太阳影子定位算法探究 摘要 本文是对2013年全国大学生数学建模竞赛A题的解答.随着人们对数据挖掘的深入，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期已经成为视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，进而可以促进视频分析定位技术发展。 对于问题一，我们根据地球自转公转的自然规律，建立影子长度变化的数学模型，并且分析影子长度关于各个参数的变化规律。基于对问题的分析以及理论的学习研究，画出模拟概念图，然后计算相关量（如太阳高度角、赤纬角等）的表达式，并按照相关地理知识建立起模型，得到杆子影长与时间函数表达式，再将题目所给的数据代入求解方程，并用MATLAB作出曲线图，最后检验模型的准确性。 对于问题二，我们以问题一所求出的表达式和资料作为基础，继而利用球面天文学求算太阳视坐标的简化算法建立一模型直接求解出经度，纬度的估算值。再代进数据并用利用多项式拟合出更长的时间序列曲线，用函数的特征值（最低点）加上时角，时区计算相关知识，再推算出经度值。最后利用第一问模型，经度，加上曲线获得的几组影长数据联立求解出大致纬度，最后估算杆子所在的地区。 对于问题三，结合问题一问题二所建立的模型，将附件2，附件3的数据先画出散点图并以多项式拟合出两条相对完整的曲线，通过其曲线函数求得影长的最小值以及最小值所对应的时间求得经度，纬度，将经度和纬度代入赤纬角公式以及影长公式可求得相应的具体日期。 对于问题四，首先将视频数据利用MATLAB，并且编程处理视频得到每分钟一帧的图片，再把相关图片转化为灰度图矩阵，最后用语句转化为二值图（0为黑，1为白）。下一步把二值图集分析并且分析出杆子影长的变化规律，求出视频拍摄点经度，利用模型一求出纬度，即是位置。 关键字：影长位置 MATLAB编程多项式拟合最小二乘法二值图
基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 摘要 本文研究了基于实数离散逐级优化模型的太阳影子定位问题 针对问题一，本文运用天文、地理知识和基本的几何关系，得到影长关于各个参数的函数关系子模型，并建立影长逐级代换模型。我们首先找出影响影子变化的因素，即时间、日期、地理位置、杆的高度；再根据定量分析的方法，得出影子变化与四种因素的变化规律；然后将不同地理位置均按120°E正午12点为0°时角计算当地时角，并通过构建太阳高度角与杆长的简单直角三角图形，利用MATLAB [1]软件计算得出北京时间9:00—15:00时间段内影子的变化曲线。根据曲线得出，该时间段内影长的变化范围在 3.674m—7.366m。每个整点影长如 标求出每个时刻所对应的方位角，将问题一和二中关系式联立，以1°为步长，通过编程遍历整个坐标系分别解出对应时刻不同地理位置所求出的方位角与理论方位角最接近的地理位置，每一点只对应一个时刻。再根据所给信息进行大致筛选，并通过求筛选出的任意一点同其他时刻理论方位角与实际方位角差的平方和最小时的点进行二次筛选。由于误差较大，我们需通过实数离散逐级求解模型，来分别以1分和1秒为步长对先前的二次筛选点进行小范围的遍历，遍历规则同上。最终求出最佳近似位置为： （39°29’30”N，120°29’30”E） 针对问题三，同样利用问题二中模型，增加了日期变量，此时所需遍历参数为经度、纬度、日期,用模型二的方法初步得到21个三维坐标，然后由此21个数据定出与它们方差最小的点的坐标，再进一步减小步幅，得到新的精度更高的21个坐标（精度达到分），重复以上步骤确定经纬精度达到1秒，日期精度达到1日，以此作为我们逐层优化得到的近似最优解，也就确定了坐标。最终求出最佳近似位置和日期分别为： 附录2：（35°29’29”N，31°29’29”E） ,日期为10月6日 附录3：（53°29’29”N，124°29’30”E）,日期为2月4日针对问题四，首先对视频进行截图，取时间间隔1min，对图片进行增大对比度处理，建立空间距离矩阵，确定影子长度，位置的变化，进行相应的处理，确定坐标系，坐标点，第一小问就转化为了问题二模型进行求解了，第二小问缺少日期，符合模型三，利用模型三求解即可 关键词：逐级遍历优化、近似最优位置、控制变量法、问题归并
西安邮电大学 (理学院) 数学建模报告 题目：太阳影子定位问题 班级：信息工程1403班 学号：03144079 姓名：侯思航 成绩： 2016年6月30日
一、摘要 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。 关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二、问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 三、问题分析 第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。 第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度。
太阳影子确定位置 太阳影子定位摘要太阳影子定位摘要太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置。 本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系及MATLAB软件编程、数学建模等方法，对问题一、问题二、问题三分别给出了数学模型及处理方案。 对于问题一，根据题目所给的时间，日期，地理位置，杆长等条件，首先确定影响影子长度的各个因素，然后再根据几何知识确定它们之间的数学关系，建立相关的数学模型。 再运用MATLAB软件进行编程及绘出影长与时间点的变化曲线图。 对于问题二，根据题目可知，在时间点，日期，影子坐标已知的条件下，需要求出所测点的地理位置，即经纬度。 在问题一的基础上，我们根据问题一的相关结论，做出合理的假设。 用MATLAB软件拟合出所求点的影长与当地时间的关系曲线，确定各个影长所对应的当地时间。 根据附件1中所给点求出影长，找到对应的北京时间。 得到所求地与北京的时间差，即可用时间差和经度的关系求得当地的经度。 在问题二中，我们运用相关公式转换了坐标系，分析各个公式之间的相互转换，计算出题目所求地点的纬度。
从而，确定当地的位置。 对于问题三，给定时间与影子的坐标，确定日期及地理位置。 经度的确定与问题二中求得经度的方法一样，都是通过MATLAB 软件、时间差等方法求得的。 对于纬度的求解，则是运用相关因素之间的公式，转换变化得出日期与纬度之间的关系。 再用MATLAB软件进行穷举，得出所有的纬度，来确定的。 最后，对于论文的优缺点做出了评价，还给出了客观的改进建议。 关键词MATLAB 公式一．问题重述二．问题分析1.3问题三的分析三．模型建设1.假设题目中所给的数据全都真实可靠四．符号说明五．模型的建立与解决5.1 问题一：1.模型的准备2模型的建立3模型的求解5.2 问题二：1.模型的准备2.模型的建立（1）直角坐标系的转换原直角坐标系：根据附件1给出的一系列点的坐标，用Matlab软件编写程序，输入附件1中给定的点，得到偏转角度θ。 新直角坐标系：根据原直角坐标系得到的角度θ,以此角度θ为旋转角度，建立起新的坐标系。 公式1：公式1中，θ为旋转角度，x,y分别为原直角坐标系中的横、纵坐标，x1,y1分别是新直角坐标系的横、纵坐标。
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题太阳影子定位 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 太阳影子定位 摘要 本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。 针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度?、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳
赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型：??? ????=?? ?? ????-+-=h l h l t 000tan )cos cos sin sin sin arccos(300151δ?δ?λ；其次以实例对模 型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。 针对问题二， 关键词 一、问题重述： 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
A题太阳影子定位 摘要
一.问题重述 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 二.问题分析 本题第一问是研究太阳影子长度随各个参数的变化规律，影响太阳影子长度的因素主要有时间以及地点，也就是当地的经纬度和时间来影响太阳高度角来影响太阳影子长度。 太阳高度角：对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。根据太阳高度角的计算公式： sin h=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t 即求出太阳高度角就能算出太阳影子长度。 本题第二问是根据第一问的模型通过最小二乘法拟合来判断大致的经纬度，从而确定地点。
第35卷第1期2017年2月 陕西科技太摩摩裉 Journal of Shaanxi University of Science & Technology Vol.35 No.1 Feb.2017 关 文章编号：1000-5811 (2017)01-0193-05 基于并列选择遗传算法的太阳影子定位方法 于鹏\刘泽锋2，郭改慧\陆金巧\吕杨1 (1.陕西科技大学文理学院，陕西西安710021: 2.陕西科技大学机电工程学院，陕西西安710021) 摘要：根据“立竿见影”和竿影日照图的原理，提出了一种太阳影子定位方法.首先结合太阳 高度角、太阳赤綷角，以理论影长和实际影长的相关系数最大和其误差平方和最小为目标函数 建立了求太阳影子定位的多目标优化模型，并以测量地的经綷度作为设计变量，运用并行选择 的遗传算法进行求解，实现了对测量地的精准定位.最后通过实例分析，指出与传统的枚举算 法相比，本文采用的遗传算法的求解结果无论在精度还是在收敛速度上都优于传统的枚举算法. 关键词：太阳影子定位；多目标优化；并行选择；遗传算法 中图分类号：TP391 文献标志码：A Positioning method by the shadow of the sun based on parallel selected genetic lgorithm YU Peng1，LIU Ze-feng2，GUO Gai-hui1，LU Jin-qiao1，LV Yang1 (1. School of Arts and Sciences,Shaanxi University of Science Technology,Xi^an 710021, China；2. Col- lege of Mechanical and Electrical Engineering,Shaanxi University of Science Technology,X i’an 710021，China) Abstract：According to the natural phenomenon that produces a shadow of objects under di-rect sunlight and the formation principle of stick sunlight shadow chart,the positioning method by the shadow of the sun is https://www.doczj.com/doc/1a16536981.html,bined with relevant knowledge such as solar altitude and declination of sun.The multiple object optimization model,whose objective fun-ction is the maximum of correlation coefficient and the minimum of error sum of squares a-bout practical and theoretical shadow7s length,is built.Regarding longitude and latitude of measure area as design variables,the measure area is confirmedwith parallelism selection ge-netic algorithm.In the analysis of case,compared with enumeration method，there is the truth that,the result by genetic algorithm is more accurate and the solution speed is faster than enumeration method. Key words：positioning by the shadow of the sun；multiple object optimization；parallelism selection；genetic algorithm 收稿日期=2016-07-21 基金项目：国家自然科学基金项目（11401356) 作者简介：于鹏（1981 —），男，宁夏永宁人，讲师，硕士，研究方向：不确定推理
摘要 通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS 和mathematica 等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。 针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。 1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ?θ?θ-=Ω+ 然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB 编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB 编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。 针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l 为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS 进行拟合得到多组数据，再用MATLAB 进行检验得到符合的两组经纬度。 (19.251,109.645),(24.579,98.1)N E N E 然后我们又以太阳方位角K 为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l 做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB 拟合出经度，再做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74 ,109.35)N E 和杆长 1.993L m =。综 上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。 针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m = ，得到天数307n =。利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E) 和杆长L 1.962m = ，得到天数=140n 针对问题四，首先运用MATLAB 软件，根据画面灰度，运用MATLAB 软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得的数据，运用多次拟合的方法，得到该地的经纬度为(34.32,108.72)N E ，日期未知时，得到的经纬度与其相似。 【关键字】 影子长度 多项式拟合 太阳方位角 画面灰度
太阳影子定位技术2015高教社杯数学建模获奖论文
太阳影子定位技术 摘要 本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。 第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。 第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。 在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。 这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。
为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。 第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。 运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。 关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、二值化处理、Floodfill图论算法
太阳影子定位的模型建立 摘要 太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。为了准确地确定视频拍摄的地点和日期，从而为视屏数据的分析作铺垫，本文基于太阳影子定位技术，运用天体物理学理论和数学几何知识，建立了影子长度变化的数学模型，及其参数的变化规律，并应用此模型画出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线是二次函数；利用遗传算法、三次样条插值和图像调整坐标系，建立了任一固定直杆位置的数学模型，并得到了直杆所处的地点；投影角度与太阳角速度之间的关系，以及参数估计算法，建立了任一固定直杆位置的数学模型，并得到了直杆所处的地点与日期；利用Matlab r2014b，确定了视频拍摄地点的数学模型和可能的拍摄地点。 问题一，基于天体物理学理论和数学几何知识，利用太阳高度角公式、时角公式和赤纬角公式，计算得到了影子长度变化的数学模型及其参数的变化规律，通过Matlab软件模拟仿真得到了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线图。从图中可以看到，太阳影长随时间的变化先缩短后伸长，呈现出一个较为对称的图像，并可清晰看出在中午12点左右，图像有一个最低点，此时影长大致为3.8米左右。 问题二，基于遗传算法，利用三次样条插值和图像调整坐标系，建立了直杆所处地点轨迹的数学模型。再利用二次多项式拟合影子轨迹求出当地正午时间，即可根据北京时间求出大致经度。最后建立太阳影子定位的优化模型，从而得出若干可能的地点。 问题三，基于某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，利用投影角度和太阳角速度之间的关系，参数估计算法，建立模型直杆所处的观测日期和经纬度，从而求出直杆所处地点的参数方程。运用Matlab软件编程数据拟合了附件1的影子顶点的坐标数据，得到了直杆影子的轨迹图和其长度的变化图。 问题四，利用Matlab r2014b工具箱中的视频查看器播放视频获得截图，使用图片查看器中的测距工具测量视频中的直杆长度为680，从而得到视频中尺度和实际尺度的比例尺为340：1。从北京时间8:54:20每间隔3051帧（2分钟）截取图片，测量出对应时刻的视频影长l，利用Excel记录数据并计算出实际影长L。建立模型时采用最小二乘法拟合出方程，最终得出视频拍摄点的若干可能位置。 关键词：太阳影子定位遗传算法三次样条插值法图像调整坐标系最小二乘法Matlab软件
A题太阳影子定位 令狐文艳 一，摘要 （宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文） 本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。 第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。然后，根据时差计算关系，当北京时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。 第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合北京时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定范围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的
地点。关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法 二，问题提出 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影 子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规 律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间 天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的 太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型 确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出 若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模 型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影 子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。 4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式 估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们 的模型给出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 三，问题分析 第一问：根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理, 通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。将问题中所给参数带入，解决问题。由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化，引起物体影子的长度和朝向有规律地变化第二问：通过对附件所给的影子坐标的数据，求出影子的长度，然后`1通过第一问的相关公式，对影长和时间的关系进行拟合，得到一个二次方程，得出影长的最低值，从而可知正午时间，再算出经度 四，建模过程 第一问 1．模型假设
太阳影子定位技术 摘要 本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。 第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。 第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。 在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。 这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。 为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。 第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。 运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D 图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。 关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、 二值化处理、Floodfill图论算法
高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影 子定位 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
摘要 通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS和mathematica等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。 针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。 然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。其次根据我们建立的模型，利用MATLAB编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。 针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS进行拟合得到多组数据，再用MATLAB进行检验得到符合的两组经纬度。 然后我们又以太阳方位角K为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l做回归目标时一样。我们分步做了两次拟合，先用MATLAB拟合出经度，再 N E和杆长 做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74,109.35) =。综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。 1.993 L m 针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20） =，得到天数 利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m =，得到天n=。利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E)和杆长L 1.962m 307 n 数=140 针对问题四，首先运用MATLAB软件，根据画面灰度，运用MATLAB软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。用以上方法求得
太阳影子定位 摘要：太阳影子定位技术就是通过分析物体影子变化，确定物体所在经纬度的技术。本文根据几何关系，结合穷举算法和相似度算法对给定大致经纬度范围内的物体进 行精确经纬度定位的研究。我们首先通过太阳高度角与各个参数之间的关系，确立了影子长度与经纬度、日期、时间以及杆高之间的函数关系。接着，我们探讨建立了日期已知的经纬度定位模型，优化了之前的影长变化模型，将其结合了遍历算法。先通过影子顶点变化曲线特性分析缩小遍历范围，再遍历了不同杆长所有可能的经纬度。利用欧式距离算法衡量影长与遍历计算出的影长之间的相似度，欧氏距离最小的地点为最可能的直杆所处地点。最后，我们探讨了日期未知下的经纬度定位模型。对之前的模型进行了进一步的优化：引入影子方位角变化量作为描述影子方位随时间变化特性 的参数，与影长结合共同描述影子变化特性。以影长相似度最高作为目标进行一次遍历，接着以影子方位角变化量相似度最高作为目标，对一次遍历结果进行二次遍历，以求得与其相似度最高的地点的经纬度和对应的日期，并用欧式距离检验。 关键词：经纬度、遍历算法、欧氏距离
DOI：10.16640/https://www.doczj.com/doc/1a16536981.html,ki.37-1222/t.2016.09.218 1 影长变化模型的建立 我们设直杆影子长度为l，直杆长度为z。 太阳高度角是太阳射到地面的平行光线与地面的夹角，设其为h，范围为（0°，90°）。 因为太阳光射到地面为平行光，又假设地面平整，固定直杆垂直于地面，则有影长与直杆长度z和不同时刻的太阳高度角h的三角关系。 其中，h是太阳高度角，为当地纬度，规定北纬度数为正，南纬度数为负，所以范围为（-90°，90°），δ为太阳赤纬角，即太阳直射点所在的纬度，范围为（-23°26’，23°26’），Ω为太阳时角。 由图1可以看出，太阳赤纬角就是太阳直射点所在的纬度。太阳在地球上的直射点的纬度变化以年为周期，直射点在北纬23°26’到南纬23°26’的范围内移动，太阳赤纬由日期确定，夏至时太阳照射在北回归线，即北纬23°26’，冬至时太阳照射在南回归线，即南纬23°26’。一天之中赤纬角的变化可忽略不计。因此固定日期的赤纬角δ可以当做常数。 赤纬角的计算公式可以查阅资料（资料名称见参考文献[2]）得到，如下： δ=0.006918-0.399912×cos（β）+0.0070257×sin（β）
太阳影子定位模型 摘要 针对太阳影子定位问题，本文结合地理学和天文学的相关知识，建立了不同数据类型下的太阳影子定位模型，实现了视频拍摄地点和日期的快速精准确定。 对于问题一，首先从地理学角度，基于地理坐标，直杆长度，时间这三个影 响影子长度的参数，计算出时角，赤纬角，太阳高度角，进而给出了影子长度与 三个参数之间的关系式。结果显示，影长对日期和时刻都呈现出先减小后增大的 趋势；对杆长呈正比关系增长；对经度呈现先急剧增长到峰值再突变为0，而后 突变到峰值后再急剧下降；对纬度呈缓慢上升趋势。然后，根据附件1 中提供的 数据，画出了天安门广场上直杆的太阳影子分布曲线图。 对于问题二，基于问题一中对影响影子长度因素的分析，根据地理学知识建 ∑i i∑归i 归i 20 21 立双目标规划模型，确立目标函数分别为：min | ?A - ?A' | , m in | S- S ' |。 i=1 i=1 然后在约束条件下对杆子的地点坐标应用网格逼近算法优化求解，得出最符合题目所提供数据的杆子地理位置为：(19.1?E,108.71?N ) ——海南东方市境内，此时，杆长为2.03米，太阳方向角残差比为1.8% ，影长残差比为0.9%，误差均很小。 对于问题三，首先建立了与问题二相似的目标规划模型，由于日期未知，模 型求解的时间复杂度较高。为提高计算速度，引入了粒子群算法。分别对附件2 和 3 中的数据进行分析，确定出的地点坐标分别为(80.51?E，32.13?N ) ，(110.20?E，24.83?N ) 和(81.43?E，32.24?N ) ，(111.56?E，23.68?N ) ，附件 2 为西藏阿里，日期为8 /14 或4 / 29 ，附件 3 为广西梧州市，日期为12 / 27或12 /14 。可以发现，两种算法的结果极为接近，但粒子群算法计算时间要远小于网格逼近算法。 对于问题四，首先对视频数据进行采集和预处理，由于视频拍摄角度的存在，从视频中直接得到的影长并不是实际长度，而是其投影长度，这里采用基于Hough变换和透视变换的图像矫正法，对斜视图像进行矫正，得出实际影长。然后将得到的数据带入问题二的模型中，给出视频拍摄地点为(110.70?E，42.31?N )——内蒙包头市境内；在拍摄日期未知的情况下，将变化而来的实际影长代入问 题三的基于粒子群算法的目标规划模型，求解出视频拍摄地点为(109.76?E，42.66?N ) ——内蒙包头市境内，拍摄日期为6 /11或7 /13 。 对于模型的推广，根据物体采集到的太阳地理信息进行计算，可以应用到求建筑物群合理间距问题。 关键词：双目标规划粒子群算法Hough 变换透视变换