初三数学 二次函数与圆 综合专题
1、扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为 。
2、直角三角形的两条直角边分别为5cm 和12cm ，则其外接圆半径长为
3、如下最右图，在⊙O 中，弦 1.8AB cm =，圆周角30ACB ∠=︒，则⊙O 的直径等于 cm ．
4、若三角形面积为18，周长为36，则内切圆的半径为 。
5、把一个半径为2cm 的圆片，剪去一个圆心角为90°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为
6、ΔABC 是半径为2cm 的一个圆的内接三角形，若BC=23，则∠A 的度数是 。
7、如图AD 、AE 、CB 都是⊙O 的切线，AD=4，则ΔABC 的周长是
8、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点。∠APC=30°，OC=1，则PA 的长是 。 9、如果21,x x 是两不相等的实数，且12121=-x x ，12222=-x x 满足，那么21x x ⋅等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1 10．已知,21,x x 是 03422=--x x 的两根, 则
2
11
1x x += ; )1)(1(21++x x = ． 11、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，那么_______,2121=⋅=+x x x x 。 12、在实数范围内分解因式：22--2
x x ＝ ；
13、一元二次方程032
=--a ax x 的两根之和为2a-1，则两根之积为_________.
14、已知1x 、2x 是关于x 的方程
01)1(2
2=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝3
1，则21x x ⋅＝ 。 15、（03舟山）若x 1，x 2是一元二次方程3x 2
＋x ―1＝0的两个根，则2
11
1x x +
的值是（ ） A 2 B 1 C ―1 D 3 16、下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A 、0122=-+x x
B 、02222=++x x
C 、0122
=++x x D 、022
=++-x x
17、一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 A ．2>k B ．12≠
18、设1x 、2x 是方程03622
=+-x x 的两个根，那么2
2
21x x +的值为（ ） （A ）3 （B ）－3 （C ）6 （D ）－6
19、如果一元二次方程0232
=-x x 的两个根是x 1，x 2，那么x 1·x 2等于（ ）．
（A ） 2 （B ）0 （C ）
32 （D ）3
2
- 20、关于x 的方程2210x k x +=＋有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ）
A ．k ＞-1
B ．k ≥-1
C ．k ＞1
D ．k ≥0
21、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有实数根，则下列结论正确的是（ ）．
（A ）当k ＝
2
1
时方程两根互为相反数 （B ）当k ＝0时方程的根是x ＝－1 （C ）当k ＝士1时方程两根互为倒数 （D ）当k ≤4
1
时方程有实数根
22、设1x ，2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，11+x ，12+x 是关于x 的方程02
=++p qx x 的两根，则p ，q 的
值分别等于（ ）
（A ）1，－3 （B ）1，3 （C ）－1，－3 （D ）－1，3 23、AB 是⊙O 的弦，∠ AOB = 80︒，则AB 所对的圆周角是（ ）
A ．40︒
B ．40︒ 或140︒
C ．20︒
D ．80︒或100︒
24、已知：在ΔABC 中，∠A ：∠B ：∠C = 1：2：3，以B 为圆心，BC 长为半径的⊙B 与AC 边的位置关系是 （ ）
A 、外离
B 、相切
C 、相交
D 、不能确定
25、与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ）
A 、 三条中线的交点
B 、三条角平分线的交点
C 、三条高的交点
D 、三边的垂直平分线的交点 26、圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ）
A 、有两个交点，
B 、有一个交点，
C 、没有交点，
D 、交点个数不定。
27、两圆的半径比为2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ）
A 、相离，
B 、外切，
C 、相交，
D 、内切或内含
28、如图，已知⊙O 的半径为２，弦AB 的长为２3，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上的任一点（点Ｃ、Ｄ均不与Ａ、Ｂ重合）．
（１）求∠ＡＣＢ；（２）求△ＡＢＤ的最大面积．
29、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，连结BD 、CD 、AC 、BD 交于点E ．
（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；
（2）若∠D ＝45°，BC ＝2，求⊙O 的面积．
30、设方程组⎩⎨⎧-==--1
202x y y x x 的解是⎩⎨⎧==11y y x x ；⎩⎨⎧==22y y x x 。求211
1x x +
和21y y ⋅的值。
31、已知α，β是方程012=--x x 的两根，抛物线c bx ax y ++=2经过两点（α，β）（β，α），且1=++c b a ，求c b a ,,的值。
32、设x 1，x 2是关于x 的方程()012=---m x m x （m ≠0）的两个根，且满足03
21121=++x x ，求m 的值．
33、已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-0
10
22y x a y x 的两个解为
⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨
⎧==2
2
y y x x 且1x 、2x 是两个不相等的实数，若116832212
221--=-+a a x x x x ，
⑴ 求a 的值； ⑵ 不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数，为什么？
34、已知方程()()x x a x a -=+12的两个实数根为21,x x ，设21x x S +=
（1）当a=–2时，求S 的值；
（2）当a 取什么整数时，S 的值为1？
（3）是否存在负数a ，使S 2
的值不小于25？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
35、关于x 的方程()04
12
=+
++k
x k kx 有两个不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．
O
A B C D
作业
1、下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆 B 、一个三角形只有一个外接圆 C 、和半径垂直的直线是圆的切线 D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
2、在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ） A 、60º或120º B. 30º或120º C. 60º D. 120º
3、已知,一直角三角形的三边分别为a 、b 、c ，∠B
90=，那么关于x 的方程0)1(2)
1(22=++--x b cx x a 根的情况是
A.有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.以上三种情况都有可能. 4、若一元二次方程022
=--m x x
无实数根，则一次函数)1()1(-++=m x m y 的图象不经过（ ）.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 5、已知,21,x x 是 062
=++kx x
的两实根,同时5,521++x x 是 062=+-kx x 的两实根，则k 等于（ ）．
A ．5
B ． -5
C ． 7
D ． -7
6、如图点P 在y 轴上，⊙P 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交⊙P 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且⊙P
的半径为5，4AB =． （1）求点B P C ，，的坐标； （2）求证：CD 是⊙P 的切线；
（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的 解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．
7、如图1，已知直线12y x =-与抛物线21
64
y x =-+交于A B ，两点．
（1）求A B ，两点的坐标；
（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；
8、AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一动点，延长AD 到C 使CD ＝AD ，连结BC 、BD 。 (1)证明：当D 点与A 点不重合时，总有AB ＝BC 。
(2)设⊙O 的半径为2，AD ＝x ，BD ＝y ，用含x 的式子表示y 。
(3)BC 与⊙O 是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，
则指出x 为何值时相切。
Ｄ
Ａ Ｃ
Ｐ
ＣＢ
ＯＣ
x
y
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考） 例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明． 练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是； （2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”） （3）若DQ恰好为⊙C的切线， ①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想； ②求二次函数的表达式． 例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．
练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F 两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由． 练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式． 练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
2021年中考数学复习：与圆相关的二次函数综合型压轴题解题技巧方法提炼： 1、运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题。 2、综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。 典例引领： 19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，对称轴为直线x＝1，且OB＝OC， （1）求抛物线的表达式； （2）D是直线BC上方抛物线上一点，DE⊥BC于E，若CE＝3DE，求点D的坐标； （3）将抛物线向左平移，使顶点P落在y轴上，直线l与抛物线相交于M、N两点（点M，N都不与点P重合），若以MN为直径的圆恰好经过O，P两点，求直线l的表达式．分析：（1）x＝﹣，则b＝2，设点C（0，c），则点B（c，0），将点B的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）3DE＝3×DH，CE＝CH﹣EH＝m﹣DH，即可求解；
（3）在点O处，，在点P处，，即可求解．解：（1）x＝﹣，则b＝2， 设点C（0，c），则点B（c，0）， 将点B的坐标代入二次函数表达式并解得：c＝3， 故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 函数的顶点为（1，4）； （2）过点D作y轴的平行线交直线BC与点H， 过点C作x轴的平行线交DH于点R， 将点C、B的坐标代入一次函数表达式得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点D（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，3﹣m）， ∵OB＝OB＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴CR＝CH＝m，DH＝﹣m2+2m+3﹣3+m＝﹣m2+3m， 3DE＝3×DH， CE＝CH﹣EH＝m﹣DH， ∵CE＝3DE，即RH＝2DH，
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆、二次函数压轴题》解答题专题训练（附答案）1．（1）已知AC是半圆O的直径，∠AOB＝（）°（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角． 【操作】如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【交流】当n＝11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分吗？ 从上面的操作我发现，就是利用60°、（）°所对的弧去找（）°的三分之一 即（）°所对的弧 我发现了它们之间的数量关系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再试试：当n＝28时，（）°、60°、（）°之间存在数量关系．因此可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分． 【探究】你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB＝（）°所对的弧三等分？说说你的理由； （2）如图2，⊙O的圆周角∠PMQ＝（）°．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
2．一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B（m，）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数y＝x+n（n＞﹣，n≠1）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D 作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F． ①x1＝，x2＝（分别用含n的代数式表示）； ②证明：AE＝BF； （3）如图2，二次函数y＝a（x﹣t）2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q（点P在点Q的左侧），过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N． ①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由； ②若A′M+3B′N＝2，求t的值．
2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与圆综合压轴题》 专题突破训练（附答案） 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣6x+6与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B． （1）抛物线解析式为； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度； （3）如图2，以B为圆心、2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若点P是⊙B上一动点，连接P A，以P A为腰作等腰Rt△P AD，使∠P AD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD． ①将线段AB绕点A顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点B′的坐标； ②求FD长度的取值范围． 2．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）经过点A（﹣3，5），B（5，3），交y轴于点C，以AB为直径的圆，经过点O，C，交x轴于点D，连结AO，AC．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标； （3）点E在x轴上，连结BD，BE．当△BDE与△OAC相似时，求满足条件的OE长．
3．如图1，在平面直角坐标系中，⊙P是△AOC的内切圆，点D，E，F为切点，连接CD 交⊙P于点G，⊙P的半径为2，EG∥x轴，AB＝AC，抛物线经过A，B，C三点．（1）求证：△ADP≌△COD； （2）求抛物线的解析式； （3）如图2，点M在抛物线上，且在直线AC的上方，MN∥y轴交AC于点N，过点N 作NK⊥BC，垂足为K．设t＝MN+NK，求t的最大值及此时点M的坐标． 4．在直角坐标系中，⊙A的半径是2，圆心A的坐标为（1，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，直线BC与⊙A交于点C，与x轴交于点B（﹣3，0）．（1）求证：BC是⊙A的切线； （2）若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰好为点E、F，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ECM的周长最小时，请直接写出点M的坐标．
中考数学压轴题二次函数与圆 二次函数与圆是中考数学中的一个重要知识点。在考试中，通常会涉 及到用二次函数的性质来解决与圆相关的问题。下面我们就来详细介绍一 下二次函数与圆的关系。 首先，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。二次函数的一般形式 可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数。二次函数的图象是一个 抛物线，具体的形状和位置取决于a、b、c的值。 在二次函数的图象上，有一些特殊点和特殊线。特殊点包括顶点和零点，特殊线包括对称轴和切线。顶点是抛物线的最高点或者最低点，对称 轴是通过抛物线顶点的一条直线，切线是与抛物线相切的直线。 圆是一个平面上到一点距离固定的点的距离相等的所有点的轨迹。圆 的特点包括半径、直径、圆心、弧、弦和切线等。圆心是圆上的任意一点，半径是圆心到圆上任意一点的距离，直径是通过圆心的一条线段，弧是圆 上两个点之间的弯曲部分，弦是圆上任意两点之间的线段，切线是与圆只 有一个交点的直线。 接下来，我们将通过一些例题来探究二次函数与圆的关系。 例题1：已知二次函数y=2x²-4x+3，求与y轴相切的圆方程。 解析：对于与y轴相切的圆，我们可以首先求出二次函数的切线，然 后通过切线的斜率和截距求出圆心和半径。 首先，我们知道切线的斜率等于二次函数在切点处的导数。求导得到 y'=4x-4、接下来，我们利用二次函数和切线的性质，将二次函数和切线
联立求解。因为切线与y轴相切，所以切线在y轴上的截距为0。代入切线方程，得到0=4x-4，解得x=1 然后，我们将x=1带入二次函数的表达式中，得到y=2x²- 4x+3=2*1²-4*1+3=1、所以切点坐标为(1,1)。 接着，我们通过圆心、半径、切点来确定圆的方程。圆心的横坐标等于切点的横坐标，圆心的纵坐标等于切点的纵坐标加上半径。因为切线与y轴相切，所以切线在y轴上的截距为半径。所以圆心的坐标为 (1,1+1)=(1,2)。 最后，我们计算圆的半径。圆的半径等于切点到圆心的距离，也等于切线在y轴上的截距。所以圆的半径为1 综上所述，与y轴相切的圆的方程为(x-1)²+(y-2)²=1 例题2：已知二次函数y=ax²+bx+c与圆(x-1)²+(y-2)²=4相切，求二次函数的解析式。 解析：对于与圆相切的二次函数，我们可以利用切点在圆上的性质来求解二次函数的解析式。 首先，我们需要求出二次函数在切点处的导数和切线方程。二次函数的导数为y'=2ax+b。因为与圆相切，所以切点在圆上，即切点的坐标(1,2)满足圆的方程。代入圆的方程，得到1+(2-2)²=4，解得1+0=4，显然不成立。所以指定条件下不存在与圆相切的二次函数。 综上所述，不存在与圆(x-1)²+(y-2)²=4相切的二次函数。
圆的练习题 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则 的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ， AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ， 的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求 证： 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？
600 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为 什么？ 答案：1.60度 2. 32 3.1 34 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示：连接OE ，求出角COE 的度数为60度即可 10.100毫米 11.AC=OC ， OA=OB ，AE=ED 二次函数基础练习 1.对于)0(2 ≠=a ax y 的图象下列叙述正确的是 （ ） A .a 的值越大，开口越大 B .a 的值越小，开口越小 C.a 的绝对值越小，开口越大 D.a 的绝对值越小，开口越小 2.在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2 与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ） 3．直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2 的图象大致为 （ ） B O x y -1 1
中考数学复习二次函数中的动点与圆压轴题专题练习 一．突破与提升策略 1.在平面直角坐标系与圆结合时，如果圆过坐标原点，则圆与坐标轴的交点的连线就是直径． 2.添加合理辅助圆，使分散的条件集中，隐蔽的条件明显． （1）题目中含有共点的等线段时，以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径构造辅助圆； （2）题目中确定直角三角形直角顶点的位置时，常利用直径所对的圆周角为直角构造以斜边为直径的圆； （3）通过作两边垂直平分线的交点确定外接圆圆心． 3.动点与圆结合的问题实质上仍然是考查三角形的知识，只不过图形变得更复杂些，表述更隐蔽．例如：直角问题转化为“直径”“切线”问题，等腰问题转化为半径长度相等问题． 例1.已知，如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC 于点F，以EF为直径的⊙M与BC交于点R. (1)求这个二次函数的关系式； (2)当△EFR周长最大时，
①求此时E 点的坐标及△EFR 的周长； ②点P 为⊙M 上一动点，连接BP ，点Q 为BP 的中点，连接HQ ，求HQ 的最大值． 【解析】(1)用交点式函数解析式得：y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3； (2)①∵由题意得，∠CBO ＝∠FER ，∴△ERF ∽△BOC ， ∴△ERF 为等腰直角三角形，当△EFR 周长最大时，EF 最长， 设E(m ，－m 2＋2m ＋3)，F(m ，－m ＋3)，∴EF ＝－m 2＋3m ， 当m ＝32 时，EF ＝94 ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154 ，则Rt △EFR 中，ER ＝FR ＝928 ，∴△EFR 的周长为94 ＋94 2 ； ②如图，连接OP ，点H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 为OB 的中点， ∵Q 是PB 的中点，∴HQ ∥OP ，且HQ ＝12 OP ，∵EF ＝94 ，FH ＝32 ， ∴点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，218 ，∴OM ＝BM ＝3658 ， ∵OP≤OM ＋PM ＝3658 ＋98 ， ∴HQ≤36516 ＋916 ，即HQ 的最大值为36516 ＋916 .
圆与二次函数综合题复习 例1：抛物线 2 y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为1x =，(3,0)B ，(0,3)C -。 （1）求二次函数 2 y ax bx c =++的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径。 （1）将(0,3)C -代入 c bx ax y ++=2 ，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2 ，得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴1 2=- a b ．将 （2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是 322 --=x x y ． （2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点 的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-． （3）设 1(,) M x y 、 2(,) N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为 1x =，∴ 212=+x x ． .(2)由（1）、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析 式322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)整理得： 42 -=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042 =--r r ，解得， 21711+= r ， 217 12-= r （舍去），当0 中考数学 二次函数与圆压轴题 31. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC交抛物线于点D，AD与y轴交于点E，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接P A交BC于点F，求S∥PEF的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点N，是否存在以点A，M，N，P为顶点的四边形是以P A为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 32. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C（0，），点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点D作DH∥x轴于点H，若点P为抛物线上位于第二象限内且在对称轴左侧的一点，连接PD、PB，求四边形DHBP面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，点E在y轴负半轴上，点F是抛物线上一点，在抛物线对称轴上是否存在一点G，使得以点 B、E、F、G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 33. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求B、C两点的坐标； （2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标； （3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2020年中考数学冲刺难点突破二次函数问题 专题四二次函数中的圆的综合问题 1、如图，抛物线y=ax2 - 2ax+m的图象经过点P (4, 5),与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)， 与y轴交于点C,且S AFAB=10. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在点Q使得4PAQ和4PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在, 请说明理由; (3)过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D,求出D点坐标及四边形PACD的周长. 1 20 - 【答案】(1) y=x2-2x-3; (2)点Q 的坐标为：(-2, 5)或(--，-一)；(3) 6J2+4而. 3 9 , 【思路引导】 (1)因为抛物线y=ax2-2ax+m,函数的对称轴为：x= 1, S APAB= 10= - XABxyp= — ABX5,解得AB=4, 2 2 即可求解；(2)分A、B在点Q (Q')的同侧；点A、B在点Q的两侧两种情况，分别求解即可；(3)过点P作PO± x轴于点O',则点O'(4, 0),则AO'= PO'= 5,而CO'=5,故圆。是过A、P、C三点的圆， 即可求解. 【详解】 解： (1) y= ax2 - 2ax+m,函数的对称轴为：x= 1, S PAB=10= - ^AB>y p= - ABX5,解得：AB=4, 2 2 故点A、B的坐标分别为：(-1, 0)、(3, 0), 抛物线的表达式为：y=a (x+1) (x-3), 将点P的坐标代入上式并解得：a=1, 故抛物线的表达式为：y= x2-2x- 3…①； (2)①当A、B在点Q (Q')的同侧时，如图1, 图1 △PAQ和APEQ'的面积相等，则点P、Q关于对称轴对称， 故点Q' ( - 2, 5)； ②当A、B在点Q的两侧时，如图1, 设PQ交x轴于点E,分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N, △PAQ和△ PBQ的面积相等，则AM = BN, 而/BEN=/AEM, Z AME = Z BNE = 90°, AME^A BNE (AAS), .•.AE = BE, 即点E是AB的中点，则点E (1, 0), 2020中考数学 培优专题：二次函数与圆综合（含答案） 例题1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在 点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(3,0)-，若将经过A 、C 两点的直线 y kx+b =沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-． （1）求直线AC 及抛物线的函数表达式； （2）如果P 是线段AC 上的一点，设三角形ABP 、三角形BPC 的面积分别为ABP S △、BPC S △，且2:3ABP BPC S S =△△:，求点P 的坐标； （3）设Q 的半径为1，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，Q 与两坐标轴同时相切？ 【答案】 （1）因为y kx+b =沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点， 所以3b =，(0,3)C ，将(3,0)A -代入3y kx =+， 得330k -+=，解得1k =．所以直线AC 为：3y x+= 因为抛物线的对称轴是直线2x =-， 所以930 2 2 2a b c c b a ⎧ ⎪-+=⎪ =⎨⎪⎪-=-⎩ ，解得143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 所以抛物线的函数表达式为：243y x x =++. （2）如图，过点B 作BD AC ⊥于点D . 因为:2:3ABP BPC S S =△△，所以:2:3AP PC =. 过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则PE//CO ， 所以APE ACO △∽△. 所以2 5PE AP CO AC ==. 所以2655PE OC = =. 所以635=x +，解得95x =-. 所以点P 的坐标为96,55⎛⎫ - ⎪⎝⎭ . （3）存在，设点Q 的坐标为00(,)x y ①当Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±. 1 1y x O 中考专题： 圆与函数综合题 1、如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式． 2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1， 0）．若抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值． 3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0116 ）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2）， (1)求a,b,c 的值； (2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交； （3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。 4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于 点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）. （1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标. 2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4）．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）求抛物线解析式． （2）判断△CDM的形状，并证明你的猜想． （3）抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C′恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 2．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长； （3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值． 3．如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点． ①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因； ②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值． 4．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“共享值”． （1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为； ②求抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”； （2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出m＝；（用含c的式子表示） ②求此二次函数的解析式． （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b与⊙M相交于点E，F．请直接写出⊙M的“共享值”为． 专题30 圆与二次函数结合 1．一动点P 在二次函数2111 424 y x x =-+的图像上自由滑动，若以点P 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点P 的坐标为______． 【答案】(1,1)-或(3,1)或(1,0) 【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则可得点P 的坐标，综上即可求解． 【详解】解：如图所示： 则可分两种情况： ①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，令2111 1424 x x -+=， 解得11x =-，23x =， 此时点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)， ②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则此时点P 的坐标为：(1,1)-或(1,0)， 综上所述：点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)， 故答案为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为 ____________． 【答案】y=x 2-4x +3 【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式． 【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ， ∵C （2，3）， ∴CH=3， ∵半径为2， ∴AH=BH=() 2 223 - ＝1， ∵A （1，0），B （3，0）， ∴二次函数的解析式为y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x +3， 故答案为：y=x 2-4x +3． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用垂径定理求出点A 和点B 的坐标． 3．如图，抛物线2143 115y x = -与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1， 2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与圆综合》专题训练（附答案） 1．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），与y轴交于C（0，3），又经过点B（4，1）．（1）求抛物线的函数关系式； （2）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△P AB的外接圆圆心恰好在P A上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标． 2．我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形”． （1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是； ②如图1，若四边形ABCD是“等线四边形”，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD 的中点，依次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH，请判断四边形EFGH的形状； （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0）、B（8，0）、P（9，﹣8），以AB为直径作圆，该圆与y轴的正半轴交于点C，若Q为坐标系中一动点，且四边形AQBC为“等线四边形”，当PQ的长度最短时，求经过A、B、Q三点抛物线的解析式； （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等线四边形”，A在x负半轴上，D在y轴的负半轴上，且，点B、C分别是一次函数与y、x轴的交点，动点P从点D开始沿y轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t秒，以点P为圆心，半径单位长度作圆，问： ①当⊙P与直线BC初次相切时，求此时运动的时间t0； ②当运动的时间t满足t＞t0且时，⊙P与直线BC相交于点M、N，求弦长MN 的最大值．中考数学33 二次函数与圆压轴题 练习
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