二次函数和圆针对练习
一．选择题（共16小题）
1．如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）
A．40°B．30°C．20°D．15°
2．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O 于点F，则∠BAF等于（）
A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°
3．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）
A．64°B．58°C．72°D．55°
4．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（）
A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB
5．如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（）
A．100°B．72°C．64°D．36°
7．如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（）
A．140°B．70°C．60°D．40°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）
A．45°B．50°C．60°D．75°
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的
延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
10．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）
A．3 B．2 C．1 D．1.2
11．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则
∠ADC的度数是（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象
上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（）
A．②④B．①④C．①③D．②③
14．下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：
①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则
m=3；④若有三个公共点，则m≠3．
其中描述正确的有（）个．
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
15．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列结论中，错误的是（）
A．ac＜0 B．a=﹣b C．b2﹣4ac=﹣4a D．a+b+c＜0
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①a＜0；②b ＞0；③b＜a+c；④2a+b=0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共12小题）
17如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．
18．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为cm．
19．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．
20．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．
17题图18题图
21．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=．
22．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=度．
23．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=°．
24．如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC
的大小为度．
25．（2016•雅安）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为．
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为度（写出一个即可）．
27．若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．28．（2013•甘孜州）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：
①•ab＞0；
②‚方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；
③ƒa+b+c＞0；
④当x＞1时，随x值的增大而增大．
其中正确的说法有．
三．解答题（共2小题）
29．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）n=50﹣x
当1≤x≤20时，m=20+x
销售单价m（元/件）
当21≤x≤30时，m=10+
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
30．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．
（1）求证：PF平分∠BFD．
（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．
二次函数和圆针对练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．（2016•济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵在⊙O中，=，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故选C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
2．（2016•泰安）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF ⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）
A．12.5° B．15°C．20°D．22.5°
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
3．（2016•眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）
A．64°B．58°C．72°D．55°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB 的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
4．（2016•杭州）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D
在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（）
A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB
【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．
【解答】解：连接EO．
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D．
【点评】本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
5．（2016•乐山）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACD=40°，CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=（180°﹣40°）=70°，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，
故选B．
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（2016•毕节市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（）
A．100°B．72°C．64°D．36°
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=28°，
∴∠OAB=64°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=64°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2016•南宁）如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（）
A．140°B．70°C．60°D．40°
【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，
∴∠DOE=180°﹣40°=140°，
∴∠P=∠DOE=70°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8．（2016•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 的大小为（）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即
可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
9．（2016•聊城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵=，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
10．（2016•丽水）如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）
A．3 B．2 C．1 D．1.2
【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=﹣5x，
∴CE=28﹣25x，
∵AC=4，
∴x+28﹣25x=4，
解得：x=1．
故选：C．
【点评】题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．
11．（2016•荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．
【解答】解；如图，
由四边形的内角和定理，得
∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
由=，得
∠AOC=∠BOC=50°．
由圆周角定理，得
∠ADC=∠AOC=25°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出=是解题关键，又利用了圆周角定理．
12．（2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0，所以abc=0；然后根据x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为x=﹣，可得﹣，b＜0，所以b=3a，a＞b；最后根据二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两
个交点，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，据此解答即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，
∴c=0，
∴abc=0
∴①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是x=﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b=3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
13．（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象
上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（）
A．②④B．①④C．①③D．②③
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0；
故③错误；
由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
故④正确．
故选B
【点评】此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
14．（2015•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：
①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则
m=3；④若有三个公共点，则m≠3．
其中描述正确的有（）个．
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【分析】令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进行判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．
【解答】解：令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，
△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2，
①当m≠3，m=±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；
②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；
③若只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；
④若有三个公共点，则m≠3，故正确；
综上可得只有②④正确，共2个．
故选B．
【点评】此题考查了抛物线与x轴交点的知识，同学们容易忽略m=±1时，函数是一次函数的情况，这是我们要注意的地方．
15．（2013•重庆模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列结论中，错误的是（）
A．ac＜0 B．a=﹣b C．b2﹣4ac=﹣4a D．a+b+c＜0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、∵根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0，
∴ac＜0．
故本选项正确；
B、∵抛物线的对称轴直线x=﹣=，
∴a=﹣b．
故本选项正确；
C、∵该抛物线的顶点坐标为（），
∴1=，
∴b2﹣4ac=﹣4a．
故本选项正确；
D、∵根据图示知，当x=0时，y＞0，
∴根据抛物线的对称性知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．
故本选项错误．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
16．（2013•陕西校级模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①a＜0；②b＞0；③b＜a+c；④2a+b=0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线开口向下，知a＜0，对称轴﹣=1，可知b＞0，由抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，再根据特殊点即可判断．
【解答】解：由抛物线开口向下，知a＜0，对称轴﹣=1，∴b＞0，2a+b=0，
由抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，
当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，
故正确的为：①②④，
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是掌握根据图象获取信息的能力．
二．填空题（共12小题）
17．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为4．
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【解答】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴OD==4．
故答案为4．
【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
18．（2015•湘西州）如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为4cm．
【分析】首先由垂径定理可知：AE=BE，然后再在Rt△AOE中，由特殊锐角三角函数可求得AE=OE=2，从而可求得弦AB的长．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE=EB
在Rt△AOE中，∠OAB=45°，
∴tan∠OAB=，
∴AE=OE=2．
∴AB=2AE=2×2=4．
故答案为：4cm．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数和垂径定理的应用，掌握垂径定理和特殊锐角三角函数值是解题的关键．
19．（2015•漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为61°．
【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OD，
∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴点A，B，C，D共圆，
∵点D对应的刻度是58°，
∴∠BOD=58°，
∴∠BCD=∠BOD=29°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．
故答案为：61°．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20．（2015•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O
于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是①②④．
【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断．
【解答】解：连接AD，AB是直径，
则AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，
由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；
∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；
∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案是：①②④．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质以及弧长的计算等．利用了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角求解．
21．（2015•泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=50°．
【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性
质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．
【解答】解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，
故答案为：50°．
方法二：
连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四点共圆，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（2016•永州）如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC=35度．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABO的度数，再由平行线的性质求出∠BOC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
2020年中考数学专题复习练习 2020年中考数学专题复习练习 2019 初三数学中考专题复习 二次函数和圆 专题综合检测 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A.y ＝18x 2 B.y ＝－x 2 －1 C.y ＝1x 2 D.y ＝a 4x 4 2.抛物线y ＝2x 2 ，y ＝－2x 2 ，y ＝12 x 2 的共同性质是( ) A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 3.若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( ) A.m ＝1 B.m ＞1 C.m≥1 D.m≤1 4.如图，AB 是⊙O 的直径.若∠BAC ＝35°，那么∠ADC ＝( ) A.35° B.55° C.70° D.110° 5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC 、BD.下列结论错误的是( ) A.AE ＝BE B. C.OE ＝DE D. .∠DBC ＝90°
7.如图，AD 、AE 、CB 均为⊙O 的切线，D 、E 、F 分别是切点，AD ＝8，则△ABC 的周长为( ) A.8 B.12 C.16 D.不能确定 8.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝b x 在同一坐标系中的图象大致是( ) 9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( ) A.圆形铁片的半径是4cm B.四边形AOBC 为正方形 C.弧AB 的长度为4πcm D.扇形OAB 的面积是4πcm 2 10.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＜0；④m ＞－2，其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π).
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式． 【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为22 （1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 M y x O E D C B A
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线． 动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由． 提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式． （2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值． （3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P′的坐标，连接P′Q ，那么P′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标． l Q 1P 1y x Q O P C B A
1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y 轴交于点c,且与x 轴的正半轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)。若A 、B 两点的横坐标为整数。 (1)确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；(2)若点D 的坐标是(0,6),点P (t,0)是线段 AB 上的一个动点，它可与点A 重合，但不与点B 重合。设四边形PBCD 的面积为S,求S 与t 的 函数关系式; (3)若点P 与点A 重合，得到四边形ABCD,以四边形ABCD 的一边为边，画一个三角形，使 它 的面积等于四边形ABCD 的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相 等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积(画示意图，不写计算和证明 过程)。 2、( 1)已知：关于x 、y 的方程组 实数解，求m 的取值范围； (2)在(1)的条件下，若抛物线y=-(m-l)x2+(m-5)x+6与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点 C, 且AABC 的面积等于12,确定此抛物线及直线y=(m+l)x-2的解析式； (3)你能将(2)中所得的抛物线平移，使其顶点在(2)中所得的直线上吗？请写出一种平移 方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-l)x+m2-2m-3,其中m 为实数。 (1)求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的 图像与x 轴交于点A(xl,0)> B(x2,0),且xl 、x2的倒数和为Z ，求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数yl=x2-2x-3. 3 (1、芦合函数yl 的图像，确定当x 取什么值时， yl>0,yl=0,yl<0; (2) 根据(1)的结论，确定函数y2=》(lyll ?yl)关于x 的解析式； (3) 若一次函数y=kx+b(k^ 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k 与b 应 满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ /F 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，OM 经过原点O 及A 、 B 两 点。 一 /by (1) 求以OA 、OB 两线段长为根的一元二次方程； (2) C 是OM±一点,连结 BC 交 OA 于点 D,若ZCOD 二ZCBO, 写 出经过O 、C 、A 三点的二次函数的解析式； (3) 若延长BC 到E,使DE=2,连结EA,试判断直线EA 与 OM 的位置关系，并说明理由。(河南省) 6、如图，已知点A (tana ,0) B(ta 】p ,0)在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左 边，宀、p 是以线段 AB 为斜边、顶点C 在x 轴上方的RtAABC 的两个锐角。 (1) 若二次函数y=-x 2- 5/2kx+(2+2k-k 2)的图像经过A 、B 两点，求它的解析式； (2) 点C 在(1)中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。(陕西省) 与二 cy =（叨 +l ）x ?2 丫尹=■（血? 1） x 2+（m-5） x+6 有两个 C
二次函数和圆 一．解答题（共15小题） 1．（2012?南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点 （﹣2，6）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t的值； （3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标． ∴，解得 x AOB=，∴AOB= ×=2.4
×=3 ==1.8 AOB=，∴y= x+b ∴2x=x+b ， x=， x= ，）
2．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标． ∴ y=x x+3
y=x x+3= y=x x+3= OE
x= ，） 3．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（﹣，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右 侧），以AB为直径的圆恰好经过点C． （1）求∠ACB的度数；
A B C O Y X M 二次函数与圆的综合题 1．已知：如图，抛物线2323 333 y x x =- -+的图象与x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，⊙M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）． （1）求抛物线的顶点E 的坐标； （2）求⊙M 的面积； （3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由． 2.如图，已知二次函数2 (3)3y mx m x =+-- (m ＞0) (1) 求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点, (2) 这条抛物线与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x （1x ＜2x ），与y 轴交于点C ，且AB=4，⊙M 过A ，B ，C 三点，求扇形MAC 的面积S 。 (3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，PD ⊥x 轴于D,使△PBD 被直线BC 分成面 积比为1：2的两部分?若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 y E C M A F G D O x B
O x y N C D E F B M A (0, ) 3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点 M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由． 4..如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、 C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式； （2）判断△OBD 与△CEB 是否相似,并说明理由； （3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
圆的练习题 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则 的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ， AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ， 的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求 证： 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？
600 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为 什么？ 答案：1.60度 2. 32 3.1 34 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示：连接OE ，求出角COE 的度数为60度即可 10.100毫米 11.AC=OC ， OA=OB ，AE=ED 二次函数基础练习 1.对于)0(2 ≠=a ax y 的图象下列叙述正确的是 （ ） A .a 的值越大，开口越大 B .a 的值越小，开口越小 C.a 的绝对值越小，开口越大 D.a 的绝对值越小，开口越小 2.在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2 与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ） 3．直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2 的图象大致为 （ ） B O x y -1 1
二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考） 例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明． 练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是； （2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”） （3）若DQ恰好为⊙C的切线， ①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想； ②求二次函数的表达式． 例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．
练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F 两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由． 练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式． 练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
2021年中考数学复习：与圆相关的二次函数综合型压轴题解题技巧方法提炼： 1、运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题。 2、综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。 典例引领： 19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，对称轴为直线x＝1，且OB＝OC， （1）求抛物线的表达式； （2）D是直线BC上方抛物线上一点，DE⊥BC于E，若CE＝3DE，求点D的坐标； （3）将抛物线向左平移，使顶点P落在y轴上，直线l与抛物线相交于M、N两点（点M，N都不与点P重合），若以MN为直径的圆恰好经过O，P两点，求直线l的表达式．分析：（1）x＝﹣，则b＝2，设点C（0，c），则点B（c，0），将点B的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）3DE＝3×DH，CE＝CH﹣EH＝m﹣DH，即可求解；
（3）在点O处，，在点P处，，即可求解．解：（1）x＝﹣，则b＝2， 设点C（0，c），则点B（c，0）， 将点B的坐标代入二次函数表达式并解得：c＝3， 故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 函数的顶点为（1，4）； （2）过点D作y轴的平行线交直线BC与点H， 过点C作x轴的平行线交DH于点R， 将点C、B的坐标代入一次函数表达式得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点D（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，3﹣m）， ∵OB＝OB＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴CR＝CH＝m，DH＝﹣m2+2m+3﹣3+m＝﹣m2+3m， 3DE＝3×DH， CE＝CH﹣EH＝m﹣DH， ∵CE＝3DE，即RH＝2DH，
1.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式；∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3 （2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin（α－β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动 点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直． 线．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<） ，O P Q △与直角梯形OABC 重 叠部分的面积为S ． （1）求经过O A B 、、三点的抛物线解析式； （2）求S 与t 的函数关系式； （3）将OPQ △绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t ，使得OPQ △的顶点O 或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． ∴所求抛物线解析式为214 33 y x x =-+
3．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0）， D（﹣1，0），E（0，3）． （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证：CB是△ABE外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围． 点B（1，4）．综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）． ∴y=-x2+2x+3．
2020中考数学 培优专题：二次函数与圆综合（含答案） 例题1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在 点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(3,0)-，若将经过A 、C 两点的直线 y kx+b =沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-． （1）求直线AC 及抛物线的函数表达式； （2）如果P 是线段AC 上的一点，设三角形ABP 、三角形BPC 的面积分别为ABP S △、BPC S △，且2:3ABP BPC S S =△△:，求点P 的坐标； （3）设Q 的半径为1，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，Q 与两坐标轴同时相切？ 【答案】 （1）因为y kx+b =沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点， 所以3b =，(0,3)C ，将(3,0)A -代入3y kx =+， 得330k -+=，解得1k =．所以直线AC 为：3y x+= 因为抛物线的对称轴是直线2x =-， 所以930 2 2 2a b c c b a ⎧ ⎪-+=⎪ =⎨⎪⎪-=-⎩ ，解得143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. 所以抛物线的函数表达式为：243y x x =++. （2）如图，过点B 作BD AC ⊥于点D . 因为:2:3ABP BPC S S =△△，所以:2:3AP PC =. 过点P 作PE x ⊥轴于点E ，则PE//CO ， 所以APE ACO △∽△. 所以2 5PE AP CO AC ==. 所以2655PE OC = =. 所以635=x +，解得95x =-. 所以点P 的坐标为96,55⎛⎫ - ⎪⎝⎭ . （3）存在，设点Q 的坐标为00(,)x y ①当Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±. 1 1y x O
专题16 巧解二次函数与圆综合题 知识解读 二次函数与圆结合的问题，是灵活运用数学思想方法解决类似以抛物线为主线，以圆为背景的函数综合题，这类题难度大，考查知识点多.对于在抛物线上架构圆的这类题型，不仅要求对抛物线和圆的相关知识能熟练掌握，还要挖掘其中隐含的等量关系，同时注意分类讨论所有可能的情况，避免遗漏；在抛物线中求圆问题时，要将点的坐标转化为所有图形边的长度.二次函数与圆的综合应用是初中阶段的重点题型，是知识覆盖面广、数学方法运用较多的试题，因而综合能力要求比较高，解决这类问题时应从多角度、多方面去分析，灵活运用多种数学方法和数学思想.解题中常用的数学思想方法有：方程和函数思想，数形结合思想，分类讨论思想. 培优学案 典例示范 例1 如图161，抛物线2y ax bx c （,,a b c 是常数，0a ）的对称轴为y 轴， 且经过(0,0)和1 (,)16 a 两点，点p 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的p 总经过定点 (0,2)A . （1）求,,a b c 的值； （2）求证：在点P 运动的过程中，p 始终与x 轴相交； （3）设 p 与x 轴相交于1212(,0),(,0)()M x N x x x 两点，当AMN △为等 腰三角形时，求圆心P 的纵坐标. 【提示】（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出 ,,a b c 的值即可； （2）设(,)P x y ，表示出 p 的半径r ，进而与21 4 x 比较得出答案即可； （3）分别表示出,AM AN 的长，进而分别利用当AM AN 时，当AM MN 时，当 1AN MN 时，求出x 的值，进而得出圆心P 的纵坐标即可。 第（2）题综合程度高，难度加大，主要考查了直线与圆的位置关系，解决的方法是利用函数、圆的性质及勾股定理的有关知识进行计算并比较圆心到直线的距离与半径的大小关系；第（3）题主要是运用分类讨论的数学思想进行探究，是动态问题，计算量大。在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，变量反映了运动变化关系，常量则是问题求解的重要依据.其次，要分清运动过程中不同的变化关系. 【解答】
二次函数与圆的综合习题 种类一圆的基天性质应用 例 1：如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-）2+与⊙M交于A，B，C，D四点， 点 A， B 在 x 轴上，点 C 坐标为（ 0，- 2）．（1）求 a 值及 A， B 两点坐标； （2）点 P（m， n）是抛物线上的动点，当∠ CPD 为锐角时，恳求出 m 的取值范围；（3）点 E 是抛物线的极点，⊙M 沿 CD 所在直线平移，点 C，D 的对应点分别为点C′，D′，按序连结A， C′，D′，E 四点，四边形AC′D′E（只需考虑凸四边形）的周长能否存在最小值？若存在，恳求出此时圆心M ′的坐标；若不存在，请说明原因． 【答案】（ 1）A（ 1，0），B（ 4，0）．（ 2）m＜ 0 或 1＜ m＜ 4 或 m＞5．（ 3）存在．M（′，-2）【分析】解：（ 1）∵抛物线y=a（x- ）2+ 经过点 C（ 0， -2）， ∴-2=a（ 0- ）2+ ， ∴a=- ， ∴y=- （ x- ）2+ ， 当 y=0 时， - （x- ）2+ =0， ∴x1 =4， x2=1， ∵A 、 B 在 x 轴上， ∴A（ 1，0），B（4， 0）． （2）由（ 1）可知抛物线分析式为 y=- （ x- ）2+ ，
∴C、 D 对于对称轴 x= 对称， ∵C（ 0，-2）， ∴D（ 5，-2）， 如图 1 中，连结 AD 、 AC 、 CD，则 CD=5 ， ∵A （ 1，0），C（0， -2），D（5，-2）， ∴AC=，AD=2， ∴AC 2+AD 2=CD 2， ∴∠ CAD=90°， ∴CD 为⊙ M 的直径， ∴当点 P 在圆外面的抛物线上运动时，∠CPD 为锐角， ∴m＜ 0 或 1＜m＜4 或 m＞ 5． （3）存在．如图 2 中，将线段C′A平移至 D′F，则 AF=C′D′=CD=5， ∵A （ 1，0）， ∴F（6，0），
专题30 圆与二次函数结合 1．一动点P 在二次函数2111 424 y x x =-+的图像上自由滑动，若以点P 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点P 的坐标为______． 【答案】(1,1)-或(3,1)或(1,0) 【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则可得点P 的坐标，综上即可求解． 【详解】解：如图所示： 则可分两种情况： ①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，令2111 1424 x x -+=， 解得11x =-，23x =， 此时点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)， ②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则此时点P 的坐标为：(1,1)-或(1,0)， 综上所述：点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)， 故答案为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
2．如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为 ____________． 【答案】y=x 2-4x +3 【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式． 【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ， ∵C （2，3）， ∴CH=3， ∵半径为2， ∴AH=BH=() 2 223 - ＝1， ∵A （1，0），B （3，0）， ∴二次函数的解析式为y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x +3， 故答案为：y=x 2-4x +3． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用垂径定理求出点A 和点B 的坐标． 3．如图，抛物线2143 115y x = -与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，
2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+过点C（0，4）．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D． （1）求抛物线解析式． （2）判断△CDM的形状，并证明你的猜想． （3）抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点C′恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由． 2．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长； （3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．
3．如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点． ①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因； ②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值． 4．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“共享值”． （1）①点A（5，﹣1）的“坐标差”为； ②求抛物线y＝﹣x2+7x的“共享值”； （2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①直接写出m＝；（用含c的式子表示） ②求此二次函数的解析式． （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b与⊙M相交于点E，F．请直接写出⊙M的“共享值”为．
2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与圆综合》专题训练（附答案） 1．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0），与y轴交于C（0，3），又经过点B（4，1）．（1）求抛物线的函数关系式； （2）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△P AB的外接圆圆心恰好在P A上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标． 2．我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形”． （1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是； ②如图1，若四边形ABCD是“等线四边形”，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD 的中点，依次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH，请判断四边形EFGH的形状； （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0）、B（8，0）、P（9，﹣8），以AB为直径作圆，该圆与y轴的正半轴交于点C，若Q为坐标系中一动点，且四边形AQBC为“等线四边形”，当PQ的长度最短时，求经过A、B、Q三点抛物线的解析式； （3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等线四边形”，A在x负半轴上，D在y轴的负半轴上，且，点B、C分别是一次函数与y、x轴的交点，动点P从点D开始沿y轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t秒，以点P为圆心，半径单位长度作圆，问： ①当⊙P与直线BC初次相切时，求此时运动的时间t0； ②当运动的时间t满足t＞t0且时，⊙P与直线BC相交于点M、N，求弦长MN 的最大值．
二次函数和圆综合测试卷 一．单选题〔共6小题,每题1分〕1. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是〔〕 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．由b2-4ac的值确定2. 如图,动点M、N分别在直线AB与CD上,且AB∥CD,∠BMN与∠MND的角平分线相交于点P,若以MN为直径作⊙O,则点P与⊙0的位置关系是< > .A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P 在⊙0上 D. 以上都有可能3. 抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是〔〕 A．y=x2-x-2 B．y=-x2-x+2 C．y=-x2-x+1 D．y=-x2+x+24. 如图,PA、PB、分别切⊙O于A、B两点,∠P=40°,则∠C的度数为〔〕 A．40° B．140° C．70° D．80°5. 已知△ABC面积为18cm2,BC=12cm,以A为圆心,BC边上的高为半径的圆与BC 〔〕 A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系无法确定二．填空题〔共4小题,每题1分〕1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点〔-2,0〕,〔x1,0〕,且1＜x1＜ 2,与y轴正半轴的交点在〔0,2〕的下方,下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0； ③4a+c＜0；④2a-b+1＞0．其中正确的结论是___________〔填写序号〕2. 已知抛物线y=x2-3x-4,则它与x轴的交点坐标是___________．3. 如图,已知点M〔p,q〕在抛物线y=x2-1上,以M为圆心的圆与x轴交于A、 B两点,且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根,则弦AB 的长等于___________．4. 如图,∠A是⊙O的圆周角,若∠A＝40°,则∠ OBC=度.三．主观题〔共8小题,每题1分〕1. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,P的坐标分别为〔0,2〕,〔3,2〕,〔2,3〕,
水尾中学中考专项训练（压轴题）谜底之阿布丰王 创作 1．（四川模拟）如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,∠ACB ＝90°,AC ＝23,BC ＝1．以AC 为一边,在AC 的右侧作等边△ACD ,连接BD ,交⊙O 于点E ,连接AE ,求BD 和AE 的长． 解：过D 作DF ⊥BC ,交BC 的延长线于F ∵△ACD 是等边三角形 ∴AD ＝CD ＝AC ＝23,∠ACD ＝60° ∵∠ACB ＝90°,∴∠ACF ＝90° ∴∠DCF ＝30°,∴DF ＝1 2CD ＝3,CF ＝3DF ＝3 ∴BF ＝BC ＋CF ＝1＋3＝4 ∴BD ＝BF2＋DF2＝16＋3＝19 ∵AC ＝23,BC ＝1,∴AB ＝AC2＋BC2＝13 ∵BE ＋DE ＝BD ,∴AB2－AE2＋AD2－AE2＝BD 即13－AE2＋12－AE2＝19 ∴13－AE2＝19－12－AE2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2 －219(12－AE2) 整理得：19(12－AE2)＝9,解得AE ＝7 19 57 2．（四川模拟）已知Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,∠B ＝60°,D 为 △ABC 外接圆⊙O 上AC ︵ 的中点． （1）如图1,P 为ABC ︵ 的中点,求证：PA ＋PC ＝3PD ； （2）如图2,P 为ABC ︵ 上任意一点,（1）中的结论还成立吗？请说明理由． D
（1）证明：连接AD ∵D 为AC ︵的中点,P 为ABC ︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径,∴∠PAD ＝90° ∵∠B ＝60°,∴∠APC ＝60° ∵D 为AC ︵ 的中点,∴∠APD ＝∠CPD ＝30° ∴PA ＝PD ·cos30°＝ 32 PD ∵P 为ABC ︵ 的中点,∴PA ＝PC ∴PA ＋PC ＝3PD （2）成立 理由如下： 延长PA 到E ,使EA ＝PC ,连接DE 、AD 、DC 则∠EAD ＋∠PAD ＝180° ∵∠PCD ＋∠PAD ＝180° ∴∠EAD ＝∠PCD ∵D 为AC ︵的中点,∴AD ︵＝CD ︵ ∴AD ＝CD ∴△EAD ≌△PCD ,∴ED ＝PD 过D 作DH ⊥PE 于H 由（1）知,∠APD ＝30° ∴PH ＝PD ·cos30°＝3 2PD ,PE ＝2PH ＝3PD ∵PA ＋EA ＝PE ,∴PA ＋PC ＝3PD 3．（湖北模拟）如图,AB 是⊙O 的直径,PA 、PC 分别切⊙O 于A 、 C ,C D ⊥AB 于D ,PB 交CD 于 E ． P
二次函数与圆的问题 【经典例题1】如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与x 轴相交于C （﹣2，0），D （﹣8，0）两点，与y 轴相切于点B （0，4）． (1)求经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式； (2)设抛物线的顶点为E ，证明：直线CE 与⊙A 相切； (3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F ，使△BDF 面积最大，最大值是多少？并求出点F 的坐标． 【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a (x +2)(x +8)， 将D(0，4)代入得4=16a ，即a =41， ∴抛物线的解析式为y=41(x +8)(x +2)=41x 2+2 5x +4； (2)证明：如图1，设直线CE 与y 轴交于点G ，连接AB 、AC 、AG. 由题知，顶点E 的坐标为(−5，−4 9)， 设直线EC 的解析式为：y=k x +b ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-02495b k b k ，解得：⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧==2343b k ， ∴直线CE 的解析式为：y=43x +2 3，
令x =0得G(0，23) ∴BG=4−23=25， ∵CG=2222)23(2+=+OG OC =2 5， ∴BG=CG ， 在△ACG 和△ABG 中 ∵AG=AG ，AC=AB ，CG=BG ， ∴△ACG ≌△ABG(SSS) ∴∠ACG=∠ABG ， ∵A 与y 轴相切于点B ，∴∠ACG=∠ABG=90∘， ∵点C 在A 上， ∴直线CE 与A 相切； (3)存在点F ，使△BDF 面积最大。 如图2，连接BD 、BF 、DF ，过F 作FN ∥y 轴，交BD 于点N ，交x 轴于点G. 由B(0，4)、D(−8，0)， 设直线BD 的解析式为y=cx +d ，则⎩⎨⎧=+-=084d c d ，解得：⎪⎩ ⎪⎨⎧-==214c d ， 故直线BD 的解析式为：y= 21x +4， 设F(t ， 41t 2+25t+4)，N(t ，21t+4) 则FN=21t+4−(41t 2+25t+4)=−4 1t 2−2t ，