考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题 例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3． （1）求b a ,的值； （2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+ 依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k ()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a （2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f 17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x 要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A 变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a . （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为 自然对数的底数）. 【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x -=-+=-+-￠ 因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠ 解得a e =或3a e =． 经检验，符合题意，所以a e =，或3a e = （II ）①当031a 时即1 3 a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下 研究函数在(1,3]a 上的最大值， 首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应
函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在； 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒 分离参数法解决不等式恒成立问题 [典例] (2014·天津调研)设函数f (x )＝x 2 －1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m )－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________． [审题视角] 本题把函数问题与恒成立问题巧妙的结合起来，解题时先把参数分离，从而把恒成立问题转化为函数最值问题． [解析] 依据题意得x 2 m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 即(1m 2－4m 2)≤(－3x 2－2x ＋1)min ， 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. [答案] (－∞，－32]∪[32，＋∞) 对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几步求解： 第一步：整理不等式，分离参数； 第二步：构造函数g (x )； 第三步：求函数g (x )在给定区间上的最大值或最小值； 第四步：根据最值构造不等式求参数； 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点，完善解题步骤．该题需注意两点：①分离参数时一定要搞清谁是参数；②求g (x )最值的常用方法有：二次函数、均值不等式、单调性等． 1．(2014·广州模拟)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，求a 的取值范围． 解：由4x －2x ＋1－a ≥0可得a ≤4x －2x ＋1 令2x ＝t ，则4x ＝t 2，∵x ∈[1,2]，∴t ∈[2,4] ∴a ≤t 2－2t ，要使关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立 只需a ≤(t 2－2t )min ，而t 2－2t ＝(t －1)2－1 ∵t ∈[2,4] ∴t 2－2t ∈[0,8]，∴a ≤0. 2．(2014·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1－32) B ．[1＋32，＋∞) C ．(－∞，1－32]∪[1＋32，＋∞) D ．[1－32，1＋32] 解析：∵x ∈(0,2]，∵a 2 －a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x 个性化教案 学生姓名 年级 科目 数学 授课教师 日期 时间段 课时 2 授课类型 新课/复习课/作业讲解课 教学目标 教学内容 函数专题:含参不等式恒成立问题 个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用 恒成立问题的基本类型： 类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00a ; 2）0)( 函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 高中数学不等式的恒成立问题 不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结 合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式： 一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取 值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解 决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构 造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构 造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量 的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目 更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例 1已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相 的似，于是我们可以设则不等式对满足 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式） 能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的 最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数 . 都有在上恒成立，求实数的（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数 取值范围 . 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧 看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范围 . 例 3已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是. 用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。 3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围. 4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围． 5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围． 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想． 如何证明含参数的不等式恒成立 题型：已知含参数的函数()f x ，证明在某区间上()()()(x)f x g x f x g ><或恒成立（()g x 不含参数） 解题步骤： 第一步：构造函数()()()F x f x g x =-，将问题转化为()0()0F x F x ><或恒成立的问题，如果这里的()g x 不明显，我们先对含参函数进行讨论，找到合适的()g x 。 第二步：求出'()F x ，令'()0F x =，求出()F x 在区间上的最小值或最大值。 第三步：证明最小值大于0，或最大值小于0。 【例题】 1、（浙江高考）已知a R ∈，函数3()42f x x ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间. （2）证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->. 思路分析：()20f x a +->中含有绝对值，不方便求导，因此可考虑寻找函数()g x ，使 ()2()0f x a g x +-≥>. 解（1）由题意的' 2 ()122f x x a =- ①当0a ≤时，' ()0f x ≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞. ②当0a >时，' ()12()()f x x x =，此时函数()f x 的单调递增区间为 (,)-∞+∞和，单调递减区间为???. （2）证明：由于01x ≤≤，当2a ≤时，33 ()2=4x 224x 42f x a ax x +--+≥-+. 当2a >时，333 ()2=4x 2(1)24x 4(1)24x 42f x a a x x x +-+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则()2()f x g x ≥，要证()20f x a +->，只要证明 ()0g x >即可。 '2()626(g x x x x =-=- +则有 所以min ()10g x g ==>, 当01x ≤≤时，32210x x -+>，故3 ()24420f x a x x +-≥-+>，即证。 【练习】 1、已知函数21()2 x f x ae x =- . （1）若()f x 在R 上为增，求a 的取值范围； （2）若1a =，求证0x >时，()1f x x >+。 2、已知函数()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-= （1）求函数()f x 的最大值； （2）设0a b <<，证明：0()()2()()ln 22 a b g a g b g b a +<+-<- 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围． 例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量） 求解恒成立问题的常见方法 摘要：恒成立问题是高考中常见的一类问题，常见类型有：第一类是关于x的一元二次不等式对任意x∈R恒成立，求参数取值范围；第二类是不等式在给定区间上恒成立求参数的取值范围。因这类问题综合性强，思维容量大，因而成为高考一直常考不衰的热点问题。 关键词：恒成立；参数；解题方法 一、一元二次不等式中的恒成立问题 例1.已知函数f（x）=x2+ax+3对任意x∈R时恒有f（x）≥a成立，求a的取值范围。 解：∵f（x）≥a对x∈R恒成立，∴x2+ax+3-a≥0对x ∈R恒成立 ∵x∈R，∴Δ≥0，即a2-4（3-a）≥0∴a≤-6或a≥2 例2.已知函数y=lg（mx2-6mx+m+8）的定义域为R，求m的取值范围。 解：由已知得mx2-6mx+m+8>0对任意x∈R恒成立 ①当m=0时显然成立 ②当m≠0时有m>0（6m）2+4m（m+8）<0∴0 ≥0）对任意x∈R恒成立，则有a>0Δ0Δ≤0），若f（x）<0（或f（x）≤0）对任意x∈R恒成立，则有a<0Δ<0（或a<0Δ≤0）等价转化即可。 二、在给定区间上恒成立问题 例3.已知函数f（x）= （x≠0）在（4，+∞）上恒大于0，求a的取值范围。 解：令f（x）=0则>0，∴a>-（x+ ） 令g（x）=x+ ，易知g（x）在（4，+∞）上为增函数，∴g（x）min=g（4）=5∴g（x）>5 ∴-（x+ ）<-5∴a≥-5 例4.已知函数f（x）=x2+2x+a lnx，在区间（0，1]上为单调函数，求实数a的取值范围。 分析：求f ′（x）→由题意转化为恒成立问题→求最值→求得a的取值范围 解：易知f ′（x）=2x+2+ ，∵f ′（x）在f ′（x）上单调 ∴f ′（x）≥0或f ′（x）<0在（0，1]上恒成立， 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立 ∴a≥-（2x2+2x）或a≤-（2x2+2x）在（0，1]上恒成立又-（2x2+2x）=-2（x+ ）2+ ∈[-4，0） ∴a≥0或a≤-4 方法归纳：解决此类恒成立问题通常分离参变量通过等 高中数学解题方法系列： 函数中缩小参数范围，优化“恒成立问题”的处理策略 含参数不等式恒成立问题，在处理此类问题时所采取的解题方法和方向基本上是没有问题的，但是由于在解题的过程中，解题策略不优化，导致不能够顺利得出正确结果，下面就恒成立问题处理的优化策略，笔者谈一下看法，与大家交流。 一.试题呈现 已知函数()()()1ln a f x x a x a R x =--+∈（I ）当01a <≤时，求函数()f x 的单调区间 （II ）是否存在实数a ，使()f x x ≤恒成立，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由。 限于篇幅，本文只考虑第（II ）小题的作答。 阅卷中发现，学生的处理方法主要有以下两种： 1.直接构造函数()()()1ln a g x x f x a x x =-=++，把问题转化为()0g x ≥恒成立，但是在接下来利用导数求解函数()y g x =的单调性时，分类讨论出现了重复或者遗漏，从而没有顺利的解决问题。 2.先采取分离参数的方法将不等式转化为()1ln ln a x x x x +≥-，大部分学生此时直接把上述不等式转化为ln 1ln x x a x x ≥- +（应该先验证1ln 0x x +>），然后构造函数()ln 1ln x x g x x x =-+，但是由于所构造的函数形式上过于复杂从而出现了以下两个问题：一是学生根本不敢继续利用导数判断函数的单调性，二是对函数()y g x =进行求导，但是不能准确地判断导函数的正负号，从而没有顺利得解决问题。 通过以上解法基本上可以发现，学生在处理含参数不等式恒成立问题时所采取的方法基本上是正确的，即转化为求函数最值加以处理，并且求函数最值的手段有两种：一是直接求含有参数的函数最值，二是通过分离参数转化为求一个具体的函数的最值，通过这两种解法的对比不难发现，第一种转化的函数里面因为含有参数，所以在求其最值时可能会需要分类讨论，而第二种转化的函数虽然是个具体的函数，相比较容易求出其最值，但是这种方法也有其局限性，可能有些时候是不可以进行参数分离的，或者分离后所构造的函数虽然具体但形式过于复杂，同样导致解题的失败。 命题人给出的参考答案： （II ）()f x x ≤恒成立可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立， 令()()1ln x a a x x ?=++，()0,x ∈+∞，则()()() 11ln x a x ?'=++当10a +>时，在10,x e ??∈ ???时，()0x ?'<，在1,x e ??∈+∞ ??? 时，()0x ?'>即函数()y x ?=在10,x e ??∈ ???上单调递减，在1,x e ??∈+∞ ??? 上单调递增。()x ?的最小值为1e ??? ???，由10e ???≥ ???得11a e ≥-当10a +=时，()1x ?=-，()0x ?≥在()0,x ∈+∞不能恒成立， 当10a +<时，在10,x e ??∈ ???时，()0x ?'>，在1,x e ??∈+∞ ??? 时，()0x ?'<函数()y x ?=在在10,x e ??∈ ???上单调递增，在1,x e ??∈+∞ ??? 上单调递减，所以函数()y x ?=在()0,x ∈+∞无最小值，不符合题意，综上所述当11 a e ≥-时，使()f x x ≤恒成立参考答案采取的是直接求含有参数的函数最小值进行处理，就是因为参数的 2.8 函数图象高与低差值正负恒成立 【题型综述】 “恒成立”问题的分离参数解法 参数讨论是高中数学教学的一个重点，难点。同时也是高考试题的热点。参数讨论的方法多种多样，本人认为其中分离参数，因其具有思路清晰，有章可循，操作性强，易于掌握的特点，所以在解答某些恒成立条件下参数取值范围问题时，不失为一种较好的方法。 一、曲线恒过定点的问题。 有关含有参数的曲线方程的恒成立问题是学生普遍感到困难的问题。参数与主变元交错 在一起，目标不明确，将参数分离出来，可使问题明朗化。 例：已知132=-b a 证明：直线5=+by ax 恒过定点 证明：由132=-b a 得 )13(2 1+=b a 代入直线方程后分离参数b 得 0)23()10(=++-y x b x 由方程组 ???=+=-023010y x x 解得 ???-==15 10y x ∴方程0)23()10(=++-y x b x 表示经过两直线010=-x 与 023=+y x 的交点)15,10(-的直线系方程 故直线5=+by ax 在132=-b a 时，恒过定点)15,10(- 例：已知动圆R a a ay ax y x C ∈=-++-+,0202024:221 定圆4:222=+y x C 证明：不论a 取任何实数值，动圆2C 恒过一个定点 证法一：020202422=-++-+a ay ax y x 可化为 a ax ay y x 20422022-+-=-+① 可以把①式左边看作圆的方程，其圆心为（0，0），半径为20；右边看作直线。根据点到直线的距离公式，圆心到直线距离)0(2020201642022≠==+-=a a a a a a d 易知，无论a 为任何不为零 的实数，圆和直线都相切（因为圆心到直线的距离为圆的半径）。不妨设1=a ，易求出圆和直线的切 点为（4，-2），而当0=a 时，原方程为2022=+y x 也过（4，-2）。所以，无论a 取任何实数，动 圆1C 恒过定点（4，-2）. 证法二：将圆2C 中的a 参数分离出来，得（ 0)2042()202 2=+-+-+x y a y x （☆） 方程组???=+-=-+020*******x y y x 有一解 ? ??-==24y x ∴（☆）式表示直线02042=+-x y 与圆202 2=+y x 的交点（4，-2）的圆系方程. 函数恒成立 专题01：可求最值型 基础知识：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成立，等价于()0≥min x f ； （2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成立，等价于()0≤max x f 。 【例1】【重庆文】若对任意的0>x ，24423ln 12)(c c x x x x f ->--=恒成立，求c 的取值范 围。 【例2】函数1)1ln()1()(+-++=kx x x x f 在区间),1(+∞-上恒有0)(>x f ，求k 可以取到的最 大整数。 【变式1】函数)0(ln )(,42)(2>=+-=a x a x g x x x f ，若)(4)(x g x x f -≤恒成立，求a 的取值 范围。 【变式2】【2012新课标文】设函数()2--=ax e x f x Ⅰ 求)(x f 的单调区间； Ⅱ 若1=a ，k 为整数，且当0>x 时，01)()(>++'-x x f k x ，求k 的最大值。 【变式3】【2012新课标理】已知函数)(x f 满足212 1)0()1()(x x f e f x f x +-'=- Ⅰ 求)(x f 的解析式及单调区间； Ⅱ 若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的值。 专题02：分离变量型 基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟 【例1】【2010天津】函数1)(2-=x x f ，对任意 )(4)1()(4)(,,232m f x f x f m m x f x +-≤-?? ? ???+∞∈ 恒成立，求实数m 的取值范围。 【变式1】【2010安徽】若不等式0)1)((22≤++-x x a a 对一切(]2,0∈x 恒成立，求a 的取值范 围。 【例2】若函数x ax x x f 1)(2++=在?? ? ???+∞,21上单调递增，求a 的取值范围。 【变式2】【2012湖北】若)2ln(2 1 )(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，求b 的取值范围。 【变式3】【2014江西】已知函数)(21)()(2R b x b bx x x f ∈-++=，若)(x f 在区间)3 1 ,0(上单 调递增，求b 的取值范围。含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
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数形结合好方法：
对于函数 f (x) 与 g(x) 的函数值大小问题，常常转化为函数 y f x 的图象在 y g x 上方（或下
方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数 y f (x) g(x) ，即利用作差法，转化为论证恒成
立问题. 【典例指引】
例 1．设函数 f x 1 mxln 1 x .
（1）若当 0 x 1时，函数 f x 的图象恒在直线 y x 上方，求实数 m 的取值范围；
（2）求证：
e
1001 1000
1000.4
.
【思路引导】
（1）将问题转化为不等式 1 mx ln 1 x x 在 0 x 1上恒成立，求实数 m 的取值范围的问题。可构
造函数 F x f x x 1 mx ln 1 x x ，经分类讨论得到 F x 0 恒成立时 m 的取值范围即可。
（2）先证明对于任意的正整数 n ，不等式 1
1 n
n 2 5
e
恒成立，即
n
2 5
ln
1
1 n
1
0 恒成立，也
即
1
2 5n
ln 1
1 n
1 n
0
恒成立，结合（1）③的结论，当
m2 5
，
1 x0 2
时
F
x
1
2 5
x
ln
1
x
x
0
在
x
0,
1 2
上成立，然后令
x 1 n 2
n
可得
n
2 5
ln
1
1 n
1
0
成立，再令
n
1000
即可得不等式成立。
1恒成立问题的分离参数解法
(完整版)函数恒成立问题(端点效应)
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