第六章参数估计
6.1 点估计问题概述
习题1
总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,?,Xn是它的样本，则下列估计量θ?是θ的一致估计是().
(A)θ?=Xn; (B)θ?=2Xn;
(C)θ?=Xˉ=1n∑i=1nXi; (D)θ?=Max{X1,X2,?,Xn}.
解答：
应选(D).
由一致估计的定义，对任意?>0,
P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣
=P(-?+θ =F(?+θ)-F(-?+θ). 因为 FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ,及F(x)=FMax{X1,X2,?,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)?FXn(x),所以 F(?+θ)=1, F(-?+θ)=P(Max{X1,X2,?,Xn}<-?+θ)=(1-xθ)n, 故 P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣ 习题2 设σ是总体X的标准差，X1,X2,?,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的(). (A)矩估计量； (B)最大似然估计量； (C)无偏估计量； (D)相合估计量. 解答： 应选(D). 因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量. 习题3 设总体X的数学期望为μ,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，a1,a2,?,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai(∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量. 解答： E(X)=μ, E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai?∑i=1naiE(Xi)(E(Xi)=E(X)=μ) =μ∑i=1nai∑i=1n=μ, 综上所证，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量. 习题4 设θ?是参数θ的无偏估计，且有D(θ?)>0, 试证θ?2=(θ?)2不是θ2的无偏估计. 解答： 因为D(θ?)=E(θ?2)-[E(θ?)]2, 所以 E(θ?2)=D(θ?)+[E(θ?)]2=θ2+D(θ?)>θ2, 故(θ?)2不是θ2的无偏估计. 习题5 设X1,X2,?,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计量.解答： 因X服从参数为λ的泊松分布，故 D(X)=λ,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2, 于是E(X2)-E(X)=λ2,即E(X2-X)=λ2. 用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=Xˉ代替相应的总体矩E(X2),E(X), 便得λ2的无偏估计量 λ?2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-Xˉ. 习题6 设X1,X2,?,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量. 解答： 因总体X～b(n,p), 故 E(X)=np, E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2 =np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2, E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2, 于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量 p?2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi). 习题7 设总体X服从均值为θ的指数分布，其概率密度为 f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0, 其中参数θ>0未知. 又设X1,X2,?,Xn是来自该总体的样本，试证：Xˉ和 n(min(X1,X2,?,Xn))都是θ的无偏估计量，并比较哪个更有效. 解答： 因为E(X)=θ,而E(Xˉ)=E(X),所以E(Xˉ)=θ,Xˉ是θ的无偏估计量.设 Z=min(X1,X2,?,Xn), 因为 FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0, FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0, 所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0,这是参数为nθ的指数分布，故知E(Z)=θn,而 E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ, 所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小. 由于D(X)=θ2,故D(Xˉ)=θ2n. 又由于D(Z)=(θn)2,故有 D(nZ)=n2D(Z)=n2?θ2n2=θ2. 当n>1时，D(nZ)>D(Xˉ),故Xˉ较nZ有效. 习题8 设总体X服从正态分布N(m,1),X1,X2是总体X的子样，试验证 m1?=23X1+13X2, m2?=14X1+34X2, m3?=12X1+12X2, 都是m的无偏估计量；并问哪一个估计量的方差最小? 解答： 因为X服从N(m,1), 有 E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2), 得 E(m1?)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m, D(m1?)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59, 同理可得：E(m2?)=m,D(m2?)=58, E(m3?)=m,D(m3?)=12. 所以，m1?,m2?,m3?都是m的无偏估计量，并且在m1?,m2?,m3?中，以m3?的方差为最小. 习题9 设有k台仪器. 已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1,2,?,k), 用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,X2,?,Xk. 设仪器都没有系统误差，即E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 问a1,a2,?,ak应取何值，方能使用θ?=∑i=1kaiXi估计θ时，θ?是无偏的，并且D(θ?)最小？ 解答： 因为E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 故 E(θ?)=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai, 欲使E(θ?)=θ,则要∑i=1kai=1. 因此，当∑i=1kai=1时，θ?=∑i=1kaiXi为θ的无偏估计, D(θ?)=∑i=1kai2σi2, 要在 ∑i=1kai=1的条件下D(θ?)最小，采用拉格朗日乘数法. 令 L(a1,a2,?,ak)=D(θ?)+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai), {?L?ai=0,i=1,2,?,k∑i=1kai=1, 即2aiσi2-λ=0,ai=λ2i2; 又因∑i=1kai=1,所以λ∑i=1k12σi2=1,记∑i=1k1σi2=1σ02,所以λ=2σ02,于是 ai=σ02σi2 (i=1,2,?,k), 故当ai=σ02σi2(i=1,2,?,k)时，θ?=∑i=1kaiXi是θ的无偏估计，且方差最小. 习题6.2 点估计的常用方法 习题1 设X1,X2,?,Xn为总体的一个样本，x1,x2,?,xn为一相应的样本值，求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值及最大似然估计量． (1)f(x)={θcθx-(θ+1),x>c0,其它, 其中c>0为已知，θ>1,θ为未知参数. (2)f(x)={θxθ-1,0≤x≤10,其它, 其中θ>0,θ为未知参数. (3)P{X=x}=(mx)px(1-p)m-x, 其中x=0,1,2,?,m,0 解答： (1)E(X)=∫c+∞x?θcθx-(θ+1)dx=θcθ∫c+∞x-θdx=θcθ-1，解出 θ=E(X)E(X)-c， 令Xˉ=E(X)，于是θ?=XˉXˉ-c为矩估计量，θ的矩估计值为θ?=xˉxˉ-c，其中 xˉ=1n∑i=1nxi． 另外，似然函数为 L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θncnθ(∏i=1nxi)-(θ+1)，xi>c， 对数似然函数为 lnL(θ)=nlnθ+nθlnc-(θ+1)∑i=1nlnxi， 对lnL(θ)求导，并令其为零，得 dlnL(θ)dθ=nθ+nlnc-∑i=1nlnxi=0， 解方程得θ=n∑i=1nlnxi-nlnc，故参数的最大似然估计量为 θ?=n∑i=1nlnXi-nlnc． (2)E(X)=∫01x?θxθ-1dx=θθ+1，以Xˉ作为E(X)的矩估计，则θ的矩估计由Xˉ=θθ+1解出，得 θ?=(Xˉ1-Xˉ)2， θ的矩估计值为θ?=(xˉ1-xˉ)2，其中xˉ=1n∑i=1nxi为样本均值的观测值．另外，似然函数为 L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θn/2(∏i=1nxi)θ-1，0≤xi≤1， 对数似然函数为 lnL(θ)=n2lnθ+(θ-1)∑i=1nlnxi， 对lnL(θ)求导，并令其为零，得 dlnL(θ)dθ=n2θ+12θ∑i=1nlnxi=0， 解方程得θ=(-n∑i=1nlnxi)2，故参数的最大似然估计量为 θ?=(n∑i=1nlnXi)2． (3)X～b(m,p)，E(X)=mp，以Xˉ作为E(X)的矩估计，即Xˉ=E(X)，则参数p的矩估计为 p?=1mXˉ=1m?1n∑i=1nXi， p的矩估计值为p?=1mxˉ=1m?1n∑i=1nxi． 另外，似然函数为 L(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=(∏i=1nCmxi)p∑i=1nxi(1-p)∑i=1n(m-xi)，xi=0,1,?,m， 对数似然函数为 lnL(θ)=∑i=1nlnCmxi+(∑i=1nxi)lnp+(∑i=1n(m-xi))ln(1-p)， 对lnL(θ)求导，并令其为零，得 dlnL(θ)dθ=1p∑i=1nxi-11-p∑i=1n(m-xi)=0， 解方程得p=1mn∑i=1nxi，故参数的最大似然估计量为 p?=1mn∑i=1nXi=1mXˉ． 习题2 设总体X服从均匀分布U[0,θ],它的密度函数为 f(x;θ)={1θ,0≤x≤θ0,其它, (1)求未知参数θ的矩估计量； (2)当样本观察值为0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55时，求θ的矩估计值. 解答： (1)因为 E(X)=∫-∞+∞xf(x;θ)dx=1θ∫0θxdx=θ2, 令E(X)=1n∑i=1nXi,即θ2=Xˉ,所以θ?=2Xˉ. (2)由所给样本的观察值算得 xˉ=16∑i=16xi=16(0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55)=0.4817,所以θ?=2xˉ=0.9634. 习题3 设总体X以等概率1θ取值1,2,?,θ,求未知参数θ的矩估计量. 解答： 其中θ(0<θ<1)为未知参数. 已知取得了样本值x1=1,x2=2,x3=1, 试求θ的矩估计值和最大似然估计值. 解答： E(X)=1×θ2+2×2θ(1-θ)+3×(1-θ)2=3-2θ, xˉ=1/3×(1+2+1)=4/3. 因为E(X)=Xˉ,所以θ?=(3-xˉ)/2=5/6为矩估计值, L(θ)=∏i=13P{Xi=xi}=P{X1=1}P{X2=2}P{X3=1} =θ4?2θ?(1-θ)=2θ5(1-θ), lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ), 对θ求导,并令导数为零 dlnLdθ=5θ-11-θ=0, 得θL?=56. 习题6 (1)设X1,X2,?,Xn来自总体X的一个样本, 且X～π(λ),求P{X=0}的最大似然估计. (2)某铁路局证实一个扳道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布，求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率 p的最大似然估计，使用下面122个观察值统计情况. 下表中，r表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数，s表示观察到的扳道员人数. 解答： (1)已知，λ的最大似然估计为λ?L=Xˉ.因此 ?P{X=0}=e-λL?=e-Xˉ. (2)设X为一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数，X服从参数为λ的泊松分布，样本容量n=122. 算得样本均值为 xˉ=1122×∑r=05r?r=1122×(0×44+1×42+2×21+3×9+4×4+5×2) ≈1.123, 因此 P?{X=0}=e-xˉ=e-1.123≈0.3253. 习题6.3 置信区间 习题1 对参数的一种区间估计及一组观察值(x1,x2,?,xn)来说,下列结论中正确的是(). (A)置信度越大,对参数取值范围估计越准确; (B)置信度越大,置信区间越长; (C)置信度越大,置信区间越短; (D)置信度大小与置信区间有长度无关. 解答： 应选(B). 置信度越大，置信区间包含真值的概率就越大，置信区间的长度就越大，对未知参数的估计精度越低. 反之，对参数的估计精度越高，置信区间的长度越小，它包含真值的概率就越低,置信度就越小. 习题2 设(θ1,θ2)是参数θ的置信度为1-α的区间估计，则以下结论正确的是(). (A)参数θ落在区间(θ1,θ2)之内的概率为1-α; (B)参数θ落在区间(θ1,θ2)之外的概率为α; (C)区间(θ1,θ2)包含参数θ的概率为1-α; (D)对不同的样本观察值，区间(θ1,θ2)的长度相同. 解答： 应先(C). 由于θ1,θ2都是统计量，即(θ1,θ2)是随机区间，而θ是一个客观存在的未知常数，故(A),(B)不正确. 习题3 设总体的期望μ和方差σ2均存在，如何求μ的置信度为1-α的置信区间？ 解答： 先从总体中抽取一容量为n的样本X1,X2,?,Xn.根据中心极限定理，知 U=Xˉ-μσ/n→N(0,1)(n→∞). (1)当σ2已知时，则近似得到μ的置信度为1-α的置信区间为 (Xˉ-uα/2σn,Xˉ+uα/2σn). (2)当σ2未知时，用σ2的无偏估计S2代替σ2,这里仍有 Xˉ-μS/n→N(0,1)(n→∞), 于是得到μ的1-α的置信区间为 (Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn), 一般要求n≥30才能使用上述公式，称为大样本区间估计. 习题4 某总体的标准差σ=3cm,从中抽取40个个体，其样本平均数xˉ=642cm,试给出总体期望值μ的95%的置信上、下限(即置信区间的上、下限). 解答： 因为n=40属于大样本情形，所以Xˉ近似服从 N(μ,σ2n) 的正态分布，于是μ的95%的置信区间近似为 (Xˉ±σnuα/2), 这里xˉ=642,σ=3,n=40≈6.32,uα/2=1.96,从而 (xˉ±σnuα/2)=(642±340×1.96)≈(642±0.93), 故μ的95%的置信上限为642.93, 下限为641.07. 习题5 某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需求量为10kg, 方差为9，如果这个商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(α=0.01),并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需求？ 解答： 因为n=100属于大样本问题，所以Xˉ近似服从N(μ,σ2/n),于是μ的99%的置信区间近似为(Xˉ±Snuα/2),而 xˉ=10,s=3,n=100, uα/2=2.58, 所以 (xˉ±snuα/2)=(10±3100×2.58)=(10±0.774)=(9.226,10.774). 试以95%的置信度，求出该品种玉米平均穗位的置信区间. 解答： 因为n=100属于大样本情形，所以μ的置信度为95%的置信区间上、下限近似为Xˉ±snuα/2,这里n=100,uα/2=1.96,还需计算出xˉ和s. 取a=115,c=10, 令zi=(xi-a)/c=(xi-115)/10, 用简单算公式， (1)xˉ=a+czˉ; (2)sx2=c2sz2. zˉ=1100∑i=19mizi=1100×(-27)=-0.27, xˉ=10×(-27)+115=112.3, sz2=199∑i=19mizi2=199×313≈3.161616, sx2=102×3.161616=316.1616, sx≈17.78. 于是 (xˉ±snuα)≈(112.3±17.7810×1.96)≈(112.3±3.485) =(108.815,115.785). 习题7 某城镇抽样调查的500名应就业的人中，有13名待业者，试求该城镇的待业率p的置信度为0.95置信区间. 解答： 这是(0-1)分布参数的区间估计问题. 待业率p的0.95置信区间为 (p1?,p2?)=(-b-b2-4ac2a,-b+b2-4ac2a). 其中 a=n+uα/22,b=-2nXˉ-(uα/2)2,c=nXˉ2, n=500,xˉ=13500,uα/2=1.96. 则(p1?,p2?)=(0.015,0.044). 习题8 设X1,X2,?,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，求μ的置信度为1-α的单侧置信限.解答： 这是一个正态总体在方差未知的条件下，对μ的区间估计问题，应选取统计量： T=Xˉ-μS/n～t(n-1). 因为只需作单边估计，注意到t分布的对称性，故令 P{T 由给定的置信度1-α,查自由度为n-1的t分布表可得单侧临界值tα(n-1). 将不等式 T Xˉ-μS/n 分别变形，求出μ即得μ的1-α的置信下限为 Xˉ-tα(n-1)Sn. μ的1-α的置信上限为 Xˉ+tα(n-1)Sn, μ的1-α的双侧置信限 (Xˉ-tα/2(n-1)Sn,Xˉ+tα/2(n-1)Sn). 习题6.4 正态总体的置信区间 习题1 已知灯泡寿命的标准差σ=50小时，抽出25个灯泡检验，得平均寿命xˉ=500小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计(假设灯泡寿命服从正态分布). 解答： 由于X～N(μ,502),所以μ的置信度为95%的置信区间为 (Xˉ±uα/2σn), 这里xˉ=500,n=25,σ=50,uα/2=1.96,所以灯泡的平均寿命的置信区间为 (xˉ±uα/2σn)=(500±5025×1.96)=(500±19.6)=(480.4,519.6). 习题2 一个随机样本来自正态总体X,总体标准差σ=1.5,抽样前希望有95%的置信水平使得μ的估计的置信区间长度为L=1.7, 试问应抽取多大的一个样本？ 解答： 因方差已知，μ的置信区间长度为 L=2uα/2?σn, 于是n=(2σLuα/2)2. 由题设知，1-α=0.95,α=0.05,α2=0.025.查标准正态分布表得 u0.025=1.96,σ=1.5,L=1.7, 所以，样本容量 n=(2×1.5×1.961.7)2≈11.96. 向上取整数得n=12, 于是欲使估计的区间长度为1.7的置信水平为95%, 所以需样本容量为n=12. 习题3 设某种电子管的使用寿命服从正态分布. 从中随机抽取15个进行检验，得平均使用寿命为1950小时，标准差s为300小时，以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上、下限. 解答： 由X～N(μ,σ2),知μ的95%的置信区间为 (Xˉ±Sntα/2(n-1)), 这里xˉ=1950,s=300,n=15,tα/2(14)=2.145,于是 (xˉ±sntα/2(n-1))=(1950±30015×2.145) ≈(1950±166.151)=(1783.85,2116.15). 即整批电子管平均使用寿命的置信上限为2116.15, 下限为1783.85. 习题4 人的身高服从正态分布，从初一女生中随机抽取6名，测其身高如下(单位：cm): 149 158.5 152.5 165 157 142 求初一女生平均身高的置信区间(α=0.05). 解答： X～N(μ,σ2),μ的置信度为95%的置信区间为 (Xˉ±Sntα/2(n-1)), 这里xˉ=154, s=8.0187, t0.025(5)=2.571, 于是 (xˉ±sntα/2(n-1))=(154±8.01876×2.571) ≈(154±8.416)≈(145.58,162.42). 习题5 某大学数学测验，抽得20个学生的分数平均数xˉ=72,样本方差s2=16, 假设分数服从正态分布，求σ2的置信度为98%的置信区间. 解答： 先取χ2分布变量，构造出1-α的σ2的置信区间为 ((n-1)S2χα/22(n-1),(n-1)S2χ1-α/22(n-1)). 已知1-α=0.98,α=0.02,α2=0.01,n=20, S2=16. 查χ2分布表得 χ0.012(19)=36.191,χ0.992(19)=7.633, 于是得σ2的98%的置信区间为(19×1636.191,19×167.633),即(8.400,39.827). 习题6 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s=11(m/s).设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间. 解答： 已知n=9,s=11(m/s),1-α=0.95.查表得 χ0.0252(8)=17.535,χ0.9752(8)=2.180, σ的0.95的置信区间为 (8sχ0.0252(8),8sχ0.9752(8)),即(7.4,21.1). 习题7 设来自总体N(μ1,16)的一容量为15的样本，其样本均值x1ˉ=14.6;来自总体N(μ2,9)的一容量为20的样本，其样本均值x2ˉ=13.2;并且两样本是相互独立的，试求μ1-μ2的90%的置信区间. 解答： 1-α=0.9,α=0.1,由Φ(uα/2)=1-α2=0.95,查表，得 uα/2=1.645, 再由n1=15,n2=20, 得 σ12n1+σ22n2=1615+920=9160≈1.232, uα/2σ12n1+σ22n2=1.645×1.232≈2.03, xˉ1-xˉ2=14.6-13.2=1.4, 所以，μ1-μ2的90%的置信区间为 (1.4-2.03,1.4+2.03)=(-0.63,3.43). 习题8 物理系学生可选择一学期3学分没有实验课，也可选一学期4学分有实验的课. 期未考试每一章节都考得一样，若有上实验课的12个学生平均考分为84，标准差为4，没上实验课的18个学生平均考分为77，标准差为6，假设总体均为正态分布且其方差相等，求两种课程平均分数差的置信度为99%的置信区间. 解答： 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 11 1211(,,;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 11 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑. 223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 习题一 （A ） 1. 用三个事件,,A B C 的运算表示下列事件： （1）,,A B C 中至少有一个发生； （2）,,A B C 中只有A 发生； （3）,,A B C 中恰好有两个发生； （4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生； （6）,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记 1 {| 1},2 A x x =<≤ 13 {| }42 B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B . 解：（1）{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）? （3）{|014121x x x ≤<<≤或 3. 已知()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C . 解：0.2()()P A P AB =-, 0.1()(())()()()()()() P C AB P C A B P C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+ =0.40.20.10.7++= 4. 已知()0.4,()0.25,()0.25P A P B P A B ==-=，求()P B A -与 ()P AB . 解：()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15P AB =, ()()()0.250.150 P B A P B P AB -=-=-=, ()()1()() ()P A B P A B P A P B P A B ==--+ 10.40.250.150.5=--+= 5.将13个分别写有,,,,,,,,,,,,A A A C E H I I M M N T T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN ”的概率. 解：2322248 13!13! p ????= = 6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率. 解：12 5453 5099 392 C C p C == 7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率. 解： 12 12312 p =: 8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设i A 表示第i 次取到次品，1,2,3i =， 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论练习题与解析 十、概率论与数理统计 一、填空题 1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为 p 。现进行n 次独立试验，则A 至少发生一 次的概率为n p )1(1--；而事件A 至多发生一 次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。 2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1 个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球， 第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地 取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出 的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 解：用i A 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用 B 代表“取出的球是白球”。由全概率公式 ?=?+?+?=++=120 53853163315131) |()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式 ?=?==5320120 536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P 3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率 相等。若已知A 至少出现一次的概率等于 19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 解：设事件A 在一次试验中出现的概率为 )10(< ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件： 概率论与数理统计数学实验 目录 实验一几个重要的概率分布的MATLAB实现 p2-3 实验二数据的统计描述和分析 p4-8 实验三参数估计 p9-11 实验四假设检验 p12-14 实验五方差分析 p15-17 实验六回归分析 p18-27 实验一 几个重要的概率分布的MATLAB 实现 实验目的 (1) 学习MATLAB 软件与概率有关的各种计算方法 (2) 会用MATLAB 软件生成几种常见分布的随机数 (3) 通过实验加深对概率密度，分布函数和分位数的理解 Matlab 统计工具箱中提供了约20种概率分布，对每一种分布提供了5种运算功能，下表给出了常见8种分布对应的Matlab 命令字符，表2给出了每一种运算功能所对应的Matlab 命令字符。当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令。 例1 求正态分布()2,1-N ，在x=1.2处的概率密度。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： normpdf(1.2,-1,2) 结果为： 0.1089 例2 求泊松分布()3P ，在k=5，6，7处的概率。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： poisspdf([5 6 7],3) 结果为： 0.1008 0.0504 0.0216 例3 设X 服从均匀分布()3,1U ，计算{}225P X .-<<。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3) 结果为： 0.75000 例4 求概率995.0=α的正态分布()2,1N 的分位数αX 。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： norminv(0.995,1,2) 结果为： 6.1517 例5 求t 分布()10t 的期望和方差。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： [m,v]=tstat(10) m = 0 v = 1.2500 例6 生成一个2*3阶正态分布的随机矩阵。其中，第一行3个数分别服从均值为1，2，3；第二行3个数分别服从均值为4，5，6，且标准差均为0.1的正态分布。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： A=normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) A = 1.1189 2.0327 2.9813 3.9962 5.0175 6.0726 例7 生成一个2*3阶服从均匀分布()3,1U 的随机矩阵。 解：在MATLAB 命令窗口中输入： B=unifrnd(1,3,2,3) B = 1.8205 1.1158 2.6263 2.7873 1.7057 1.0197 注：对于标准正态分布，可用命令randn(m,n);对于均匀分布()1,0U ,可用命令rand(m,n)。 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 概率论经典考试题型 一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则 。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则 。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估 计量 。 8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是 相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 第一章 概率论的基本概念课外习题 一．单项选择题 1． 设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<< 一、随机事件和概率 考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验 考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点： 1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。0<概率<1。 2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成 的集合叫做样本空间，大写字母S表示。 3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。（2）相等： 事件A包含事件B且事件B包含事件A。（3）和：事件的并，记为A∪B。（4）差：A-B称为A 与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB 或A∩B。（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。（7）对立：A∪B=S。 4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A（B C）(3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律 5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特 别地：互不相容的完全事件组）。 6. 概率的概念：用来表示随机事件发生的可能性大小的数，称为随机事件的概率。 7. 概率的基本性质：（1）非负性：任意随机事件的是介于0和1之间的，0《P(A)《1。（2）规范 性：P（S）=1。（3）可列可加性：基本事件两两不相容。 8.古典型概率：如果E是一个等可能概型，且它的样本空间S只有有限个样本点，则称E为古典 概型。等可能概型。）P（A）=M/N M为随机事件A中所含有的基本事件数，N为基本事件的总数。 9. 几何型概率：假设试验的基本事件有无穷多个，但可以用某些几何特征来表示总和，设为D， 并且其中一部分，即随机事件A所包含的基本事件数也可以用同样的几何特征来表示，设为d，则随机事件的概率为P（A）=d/D。 10. 条件概率：在基本事件B已经发生的情况下。基本事件A发生的概率。P(A|B)=P(AB)/P(B)（B 中A发生的情况只有AB部分）。 11.概率的基本性质：（1）两个互不相容事件的并的概率，等于着两个事件概率的和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)。（2）有限个互不相容的并的概率，等于这些事件概率的和，即P（∑A） =∑P(A)。→对立事件的概率的和等于1。（3）任意两个事件的并的概率等于这两个事件的 概率的和减去这两个事件的交的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。→对于任意三个事件 A,B,C,有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)。（4）设事件B的概率 P(B)>0，则在事件B已发生的情况下，事件A的条件概率等于事件AB的概率除以事件B的概 率所得的商，即P(A|B)=P(AB)/P(B)。→有限个事件的交的概率等于这些事件的概率的乘积， 其中每一事件的概率是在它前面的一切事件都已经发生的条件下的条件概率，即 P(A1A2A3…Ai)=P(A1)P(A1|A2)P(A2|A1A2)…P(Ai|A1A2A3Ai-1) 。 12. 全概率公式与贝叶斯公式：（1）若基本事件两两不相容，且B1∪B2∪B3∪…. ∪Bn=S,则称 B1，B2，B3，….,Bn为S的一个划分。（2）设事件A当且仅当互不相容的基本事件中至少有一 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB . 第一章 1. 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求： （1）先取出的零件是一等品的概率； （2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。 解：设Ai={取到第i 个箱子}，i=1,2，Bj={第j 次取到一等品}，j=1,2 （1）由全概率公式 5 2301821501021)()()()()(2121111=?+?= +=A B P A P A B P A P B P （2）所求概率为) () ()(12112B P B B P B B P = ，其中 1942.029 30171821495091021)()()()()(2212121121=???+???= +=A B B P A P A B B P A P B B P 故：4856.05 21942 .0) ()()(12112≈== B P B B P B B P 2. 某段时间[t 0,t 0+t]内，t>0，证券交易所来了k 个股民的概率为t e k k t λλ-! )(，k=0,1,2……，λ >0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p ，且各股民是否购买这种股票相互独立。 （1）求此段时间内，交易所共有r 个股民购买长虹股票的概率； （2）若已知这段时间内有r 个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m 个股民的概率。 解：设A k ={交易所来了k 个股民}，k=0,1,2,……，B={有r 个股民购买长虹股票}。 （1）由于......2,1,0,! )()(==-k e k t A P t k k λλ， ,1.....2,1,0,0)(-==r k A B P k ......1,,)1()(+=-=-r r k p p C A B P r k r r k k 故由全概率公式可得 tp r r k r r k r k k k k e r tp t e k k t p p C A B P A P B P λλλλ--∞ =∞==--==∑∑! )(!)() 1()()()(0 （2）由Bayes 公式得所求概率为 ,......1,,)! ()]1([)() ()()() 1(+=--== ---r r m e r m p t B P A B P A P B A P p t r m m m m λλ 显然，1,......1,0,0)(-==r m B A P m 3. 设一射手每次命中目标的概率为p ，现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5《概率论与数理统计》实验报告答案
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