《蚂蚁爬行的最短路程问题》教学设计
伊旗四中徐晓梅
新课标指出:”数学教育不仅要使学生获得数学知识，用数学知识去解决实际问题，而且更重要的是：使学生认识到，数学就在我们身边。”本节课正是体现“生活数学化，数学生活化”的典型例子，下来我从教材分析、学习目标、教法学法、教学过程几个方面阐述我的教学设计。
一、教材分析
1．教材地位和作用
本节人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》第一节内容，是在学生学
习了勾股定理的基础上进行的，是对勾股定理在生活中应用广泛性的初步认识。
本节课既注重了知识的前后联系，也体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。
在这些具体问题的解决过程中，需要经历立体几何图形的抽象过程，需要借助观
察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用
意识；
2．学情分析
学生学习了勾股定理，并且掌握了“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的
相关知识。同时，八年级的学生已经初步具备了合作，探究学习的意识和能力。
二、教学目标分析
本节课就只用勾股定理解决立体图形表面距离问题。我确定的课堂教学目标如下：
（一）学科核心素养培育目标：
通过对蚂蚁爬行的最短路径问题的探索，培育学生探索精神和最优化思想；
通过在圆柱体和长方体等问题中的运用，培育数学建模、演绎推理和合理转化分类讨论思想等数学思想和数学素养；通过最短路径问题的再探索，发展学生批判性思维和发散性思维，进而提升学生的思维品质.
（二）学习目标：
1．知识与技能目标
能运用勾股定理解决实际生活中简单的立体图形表面的距离问题。
2．过程与方法目标
在探索蚂蚁爬行的最短路径的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决
问题的能力及渗透数学建模的思想。
3．情感与态度目标
(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．
(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
（三）教学重难点
本着课程标准，在吃透教材、了解学情的基础上，我确定了如下的教学重难
点。
重点：探索、发现将立体图形转化为平面图形解决问题。
难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理，解决实际问题
突破方法：通过自制教具，几何画板，变式训练，把难点分散处理
三、教法和学法
为了使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈
教法：数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”，在学为主体、教为主导的原则下，展现获取知识和方法的思维过程。基于本节课的特点：实用性、趣味性，应着重采用：“引导、探究、归纳”教学方法。
学法：我们常说现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人，因而在教学中要特别重视学法的指导。本节课在圆柱体背景下的蚂蚁爬行问题中，首先提供了一个生动有趣的角色转换情景，让学生积极参与到问题情境中来。教学中我准备采用教师引导学生“变式训练、举一反三”的学习过程。
四、教学过程分析
本节课设计了五个环节．
今天学习勾股定理应用专题——蚂蚁爬行的最短路程问题，又名蚂蚁觅食问题，这类问题是数学中考历年热点考题，本节课我们在圆柱体和长方体中研究这个专题。
第一环节：问题展示
例1．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿侧面爬行，要从A点爬到B点，则最短路程为多少厘米？
此题是学生接触到的解决蚂蚁觅食问题的第一题，不仅要简单更体现了解决此类问题的核心思想和方法，所以，我不仅自制教具“圆柱体”帮助学生对问题的理解而且把这道例题抄写在黑板上，设计了6个圆柱体的备用图，帮助学生理解题意、分析问题、建立模型、解决问题。
学生齐读黑板上的例1：
1.角色转换，
我们来玩个游戏：若你是蚂蚁，你认为那条是最短路径？能上黑板上画出这天路径吗？
此环节由学生完成，通过角色转换充分调动学生学习的积极性和强烈的参与意识，画完路径后并让学生签上自己的姓氏，这时就用某某蚂蚁命名每次的完成路径，在哄笑之余极大地缓解了学生的紧张气氛，更增强了参与意识（预计3分钟
时间）
预测出这样几种爬行图
2.认识圆柱
圆柱体我们早就见过，介绍圆柱各部分的组成及名称
拿出自制教具介绍圆柱上下底面（圆形）、侧面（曲面）
3.分析题意
本道题中明确要求蚂蚁沿圆柱体侧面爬行（并在黑板上“侧面”两个字画上重点符号），所以以上蚂蚁中有那些不符合题意呢？不做研究！
设计意图：例题给学生提供合作探究的问题是引人入胜、现实的、有意义的，而且要富有挑战性，进一步激发学生的兴趣和求知欲望.本环节认识完圆柱体的各部分名称之后紧接着分析题意，意在培养学生的审题意识，建立完整的思维有序性和逻辑性。
4.转化思想
符合题意的走法需要有比较才能找出最短路径。先看这种走法：
A
A
借助教具问学生：“AB是一条直的线吗？”（走下讲台让学生摸摸看）
学生：不是
师：真的不是？
学生：不是！笑笑！！
师：目前你能直接求出这条曲线的长度吗？
学生：不能，但是可以展开
老师继续引导：
师：只需展开圆柱体的什么面？
学生：侧面！
师：很好的想法！圆柱的侧面展开图是个什么形状？（教师借用手中自制教具，边操作边让学生思考）
学生：长方形（学生会借助已有的认知经验下意识地回答，为了让学生充分认知圆柱侧面展开图，我有设计了一个问题，以便让学生理解重点问题）
师：（将侧面展开图即得到的长方形贴在黑板上）问这个长方形的宽是圆柱的什么？而展开图中的长是圆柱的什么部分？同桌合作用你手中的教具展示给我看！（半分钟时间由学生展示讲解）
学生能弄明白这个问题，确实证实了展开图中的长是圆柱体的底面圆的周长而不是圆的直径后，将黑板上的长方形的长和宽标在图上！
设计意图：在全班范围内征集方案的路线，通过具体计算，验证出最短路线。将曲面转化为平面问题是本节课的核心思想，让学生进行“做中学”能使学生走出“圆柱体侧面展开图”的长是底面圆的直径的错误“定势”和深刻理解展开图的本质内涵.为下一步的计算最短路程奠定基础。同桌借助学具展示研究，教师巡视指导，保证合作学习的有效性和有序性.
5.找准位置
点A在展开图上的左下角，那么点B在哪里？
师：借助教具再次做侧面展开图，此时在展开图中事先标清点AB的相对位置，点A面向我，而点B面向同学们，用手指捏住点B，再次展开，清楚地再现AB 在平面中的位置关系。再让一名学生上黑板上标出你看到的点B，其他同学都表赞成。进而突破教学难点。
设计意图：自制教具的最大好处就是“接地气”，可以充分地激发学生学习的积极性，而且直观地展现了问题的答案，间接培养了学生模仿学习积极解决问题的意识，教师的在处理问题上的积极做法会给学生带来积极的正面的心里暗示，对数学的核心素养的培养大有裨益。
6. 解决问题
回到问题中“要求从A点爬到B点最短路程”在平面上如何完成？
学生：利用“两点之间，线段最短”解决。通过勾股定理求第三边AB的长。
7．问题点拨
刚刚还有几只蚂蚁不服气，我们的路径就不是最短的吗？
让学生在展开图中复制立体图中的路径，最后经过比较确实不是最短的
8.方法回归
先将曲面转化为平面问题，再利用两点之间，线段最短求得
设计意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．本环节的安排符合学生的认知规律，从感性认识上升到理性认识。感悟——提升元认知水平面，并作方法总结，为学生举一反三奠定基础。
9.拓宽提升
我有一个疑问“直接连接AB两点，利用两点之间，线段最短”不是更简单吗？幽默：若圆柱是实心的内部装满土,蚂蚁该如何爬行？
若圆柱是实心的内部装满水,蚂蚁该如何爬行？
若圆柱是空心的内部都是空气,蚂蚁该如何爬行？
身势语表幽默！
再次强调说明：这类问题绝对不能直接连接AB，不符合题意
设计意图：教师首先让全体学生卷入到认知冲突的旋涡中，提升了学生对探求新知的积极参与意识，通过精心设疑和经过有效“问题串”的引领点拔，使学生在自主探究的学习过程中，学会了提炼“基本思想”——转化为平面来解决问题，经过这个“拓宽提升”过程，进一步拓宽了学生的视野，提升了思维品质，也唤醒了学生的创造力，释放出了学生的“本质力量”.
第二环节：变式引领
变式1：如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿侧面爬行，C在B
处正下方1cm处，要从A点爬到C点，则最短路程为___________厘米？
C
变式2：有一圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B
点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，问：所建梯子最短需
多少米？
变式由学生上黑板讲解，在学生讲解的过程中关注学生的思维过程及解题方法，
点拨在学生不理解之处。在做感悟提升。
设计意图：变式训练应由浅入深，从学生的已有经验出发由易到难，其讲解导学都是由学生完成，这种“兵导兵”的“专业引领”要胜于老师的讲解，既培养了学生的数学语言的“严密表达”能力，更增加了几何作图操作的“程序知识”.更可贵的是没有让学生的认识停留在“经验”层面，而是通过让学生感悟得到提升.
第三环节：展示提升
专题二：以“长方体”为载体的最短路程问题
例2．如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别是2cm，1cm,4cm，一只蚂蚁从盒
底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它所行的最短路线的长是多少？
B A 变式训练
变式：如图长方体的长为2cm ，宽为2cm,高为4cm,点B 离点P 的距离是1cm, 一
只蚂蚁从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点P ，那么它所行的最短路线的长是
多少？
借助几何画板形象直观地再现长方体的展开图，并作出最短路径利用两点之
间线段最短解决问题；圆柱体中的蚂蚁爬行问题有所不同，这种类型体现了分类
讨论思想，这是学习中要注意的问题；在做题中训练学生根据实际情形画出平面
示意图并计算。
设计意图：为了能让绝大多数学生能独立完成这两道题，加了一个“先行组织者”——例2，借住几何画板丰富了学生头脑中的“数学世界图景”，提升了学生解决问题的经验.
第四环节：课堂小结
（1）通过本节课的学习，你都有哪些收获？（学生畅所欲言）
（2）师生相互交流总结：（方法，知识，思想：建模、转化）
设计意图：
学生归纳，师生共同完善，可以使学生的知识更加系统化、条理化，并加深
对数学方法思想的理解。
第五环节：思维拓展
1. 如图①，圆柱形玻璃杯的高为12 cm ，底面周长为18 cm.在杯内离杯底4 cm 2cm
1cm 4cm
P 2 2 4
1
的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短路程为____ cm.
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？
3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
设计意图：
体现新课标理念：不同的学生在数学上得到不同的发展。
以上即为我对这节课的预设，教学中根据实际会酌情调整。
谢谢！
勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最短路线问题 班别：_____________姓名：_________________学号：_________ 1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少? 3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图 1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由． （Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ） （A ）1cm ＜l ＜3cm??? （B ）2cm?????? （C ）3cm 这样的最短路径有 _________条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） A B
4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点，最短路径长为____________。 5、一个圆柱体元件，底面半径为3，现要在其侧面绕线圈。 （1）若从A 点出发，绕侧面1圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） （2）若从A 点出发，绕侧面5圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） B A 6m 3m 1m
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的 最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB= 5 1 22 2= +． 3．（2006?茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm ． 解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．第6题
A B 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB= ()101212 2=++．故选C ． A B 1 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）
八年级数学下学期教学工作计划 一、指导思想 在教学中努力推进九年义务教育,落实新课改,体现新理念,培养创新精神通过数学课的教学,使学生切实学好从事现代化建设与进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识与基本技能;努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力,以及分析问题与解决问题的能力。 二、学情分析 八年级就是初中学习过程中的关键时期,学生基础的好坏,直接影响到将来就是否能升学。我班优生稍少,学生非常活跃,有少数学生不求上进,思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩,缺乏自主学习的习惯,有部分同学基础较差,厌学无目标。要在本期获得理想成绩,老师与学生都要付出努力,查漏补缺,充分发挥学生就是学习的主体,教师就是教的主体作用,注重方法,培养能力。 三、教材分析 本学期教学内容共计五章,知识的前后联系,教材的教学目标,重、难点分析如下: 《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式,勾股定理,平行四边形,一次函数,数据的分析等五章内容,学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准(2013年版)》(以下简称《课程标准》)中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容,本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习,并在每一章的最后安排了两个数学活动,通过这些课题学习与数学活动落实“综合与实践”的要求。 第16章“二次根式”主要讨论如何对数与字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第17章“勾股定理”主要研究勾股定理与勾股定理的逆定理,包括它们的发现、证明与应用。 第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质与判定,还研究了矩形、菱形与正方形等几种特殊的平行四边形。 第19章就是“一次函数”,其主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质与应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系,以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第20章“数据的分析”主要研究平均数(主要就是加权平均数)、中位数、众数以及方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势与离散情况,并通过研究如
《16.1二次根式》 本课通过现实问题提出二次根式要研究的问题，通过用字母表示算术平方根中的被开方数，把算术平方根一般化，得到二次根式的概念、二次根式有意义的条件、二次根式的非负 性．结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质． 1. 根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系． 3. 经历探索性质2 a = a （ a ≥0）和2)(a = a （a ≥0）的过程，并理解其意义； 4. 会运用性质2a = a （a ≥0）和2)(a = a （a ≥0）进行二次根式的化简； 5. 了解代数式的概念． 【教学重点】 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念. 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简． 【教学难点】 二次根式有意义的条件. 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简． 课件 第一课时 一、导入新课： 导入一
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.猪八戒很好奇，通过查阅资料算了人参果下落的时间t 与h 之间的关系式为t= 9.4h ,你知道式子9.4h 表示的什么?式子t=9 .4h 中h 表示什么意义？ [设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础. 导入二： 1.教师出示复习题: (1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 . (2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 . 学生口答:(1)4的平方根是±2；0的平方根是0；-16没有平方根. (2)5的平方根是±5的算术平方根是. 2.教师出示教材第2页“思考”题: 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S 的正方形的边长为 . (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m 2,则它的宽为 m. (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t 2.如果用含有h 的式子表示t,那么t 为 . 学生思考后回答,教师补充得出答案:(1)S ；3(2)65(3) 5 h . [设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回顾前面学习的算术平方根和平方根，为下面的学习奠定基础，并引入新课. 二、二次根式的概念 问题1.上面问题中，得到的结果分别是：3；S ；65；5 h （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？
1.如图，有一个圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则沿着圆柱的 表面需要爬行的最短路程是 10cm． 解：将圆柱体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短， ∵圆柱的高为6cm，底面周长为16cm， ∴AD=8cm，BD=6cm， ∴AB=√82+62 =10cm． 故答案为：10． 2.如图圆柱的底面半径为6㎝,高为l0cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A到点B的最短路程是多少厘米?(保留小数点后一位) 展开图成直角三角形，∠AOB=90°OB=3.14×6=18.84cm，OA=10cm。求AB ∴AB=√（OA2+OB2）=21.3cm 总结：最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方 3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说明你的理由。
A 到 B 最短距离为其对角线，为根号2倍的边长 A到C 可以将其想象成展开的平面，最短距离为这两个平面的对角线，为根号5倍的边长 如图： 向左转|向右转
3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（） （A）1cm＜l＜3cm （B）2cm （C）3cm 这样的最短路径有 6条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm，宽DF=2cm，高AB=1.5cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） 考点：． 分析：（I）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （II）根据图形可得出最短路径为√5 ，进而得出答案即可； （Ⅲ）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 解答：解：（I）如图1所示，沿线段AB爬行即可，根据两点之间线段最短； （II）如图2所示：1cm＜l＜3cm， 故选A， 路线有6条，如图2所示：
第17章 分式 §17、1、1 分式的概念 教学目标: 1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式就是否就是分式 3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件, 渗透数学中的类比,分类等数学思想。 教学重点: 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点: 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义。 教学过程: 一、做一做 (1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米; (2)面积为S 平方米的长方形一边长a 米,则它的另一边长为________米; (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的售价就是___元; 二、概括: 形如B A (A 、 B 就是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式、其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母、 整式与分式统称有理式, 即有理式 整式,分式、 三、例题: 例1 下列各有理式中,哪些就是整式？哪些就是分式？ (1)x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -、 解:属于整式的有:(2)、(4);属于分式的有:(1)、(3)、 注意:在分式中,分母的值不能就是零、如果分母的值就是零,则分式没有意义、例如,在分式a S 中,a ≠0;在分式n m -9中,m ≠n 、 例2 当x 取什么值时,下列分式有意义？ (1)11－x ; (2)3 22+-x x 、 分析 要使分式有意义,必须且只须分母不等于零、 解 (1)分母1－x ≠0,即x ≠1、 所以,当x ≠1时,分式1 1－x 有意义、 (2)分母23+x ≠0,即x ≠-2 3、 所以,当x ≠-23时,分式3 22+-x x 有意义、 四、练习: P5习题17、1第3题(1)(3) 1.判断下列各式哪些就是整式,哪些就是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,9 1-x
2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分
子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1．判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0
1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分
第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 3.认知难点与突破方法 难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，同时还要讲清分式与分数的联系与区别. 三、例、习题的意图分析 本章从实际问题引出分式方程 10020v 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为3. 以上的式子五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？（1m（2）1m1m 3 m 10020v 小时，逆流航行60千米所用时间 6020v 小时，所以 10020v = 6020v . 10020v ， 6020v ，s，v，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ a s m2m 1 2 = 6020v ，给出分式的描述性的定义：像这样分母中含有字母的式子属于分式. 1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公[分析] 分式的值为
蚂蚁爬行的最短路径问题 I?专题精讲： 当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题 n.典型例题剖析： 一?两点之间，线段最短与勾股定理相结合 台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台 阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物?请你想一想，这只蚂蚁从 的最短距离_____________ 2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为_______________ . 3. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 通过阅读以上信息，解决下列问题： （1 ）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它爬行一圈的路程是多少？ （2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ B点, 最短线路是 1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行A点出发，沿着台阶面爬到 A 圆柱（锥）问题 第1题
4. 如图，底面半径为1,母线长为4的 圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是 ______________ . 5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 6.已知0为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线， 侧面爬行到点A ，另一只小蚂 蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示?若沿0A 剪开，则得到 的圆锥侧面展开图为 2.如图，一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点 的路径是最短的，则 AC 的长为 _______________ . 3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ，—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 C 为0B 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( ) (长)方体问题 如图，边长为 1. 距离是 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短 2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥 A 出发，经过3个面爬到点 B ?如果它运动 R 第5题 A. B. C. D. 第2题
16．1.1 二次根式 教案序号：1 时间： 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：二、探索新知 很明显3、10、4 6 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二 次根式，“”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 x 、x（x>0）、 0、42、-2、 1 x y + 、x y +（x≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y≥0）；不是二 次根式的有：33、1 x 、42、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，31 x-在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?31x -才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥1 3 当x ≥ 1 3 时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 是多少时，23x ++1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++ 1 1 x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和1 1 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230 10 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥- 32 由②得：x ≠-1 当x ≥- 3 2 且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案: 25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．x D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB = 51222=+． 3．（2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm ． 解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4． 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短 第6题
路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB = ()101212 2=++．故选C ． 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ） 解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC = 2 1 BC =1， 在直角三角形中AM = = ． 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 解：将盒子展开，如图所示： AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+2 1 ×20=20cm ． 故选C ．
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标: a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键: 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入: （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知: ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二 a ≥0）? （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式，、 1 x x>0）、、1x y +、 x ≥0，y?≥0）． 分析0． x>0、x ≥0，y ≥01x 、1 x y +． 例2．当x
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 解：由3x-1≥0，得：x ≥13 当x ≥ 1 3 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展: 例3．当x +1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析11x +0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得230 10 x x +≥??+≠? 由①得：x ≥- 32 由②得：x ≠-1 当x ≥- 32 且x ≠-111x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知，求 x y 的值．(答案:2) (2)=0，求a 2004+b 2004的值．(答案: 25 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
《蚂蚁爬行的最短路程问题》教学设计 伊旗四中徐晓梅 新课标指出:”数学教育不仅要使学生获得数学知识，用数学知识去解决实际问题，而且更重要的是：使学生认识到，数学就在我们身边。”本节课正是体现“生活数学化，数学生活化”的典型例子，下来我从教材分析、学习目标、教法学法、教学过程几个方面阐述我的教学设计。 一、教材分析 1．教材地位和作用 本节人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》第一节内容，是在学生学 习了勾股定理的基础上进行的，是对勾股定理在生活中应用广泛性的初步认识。 本节课既注重了知识的前后联系，也体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。 在这些具体问题的解决过程中，需要经历立体几何图形的抽象过程，需要借助观 察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用 意识； 2．学情分析 学生学习了勾股定理，并且掌握了“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的 相关知识。同时，八年级的学生已经初步具备了合作，探究学习的意识和能力。 二、教学目标分析 本节课就只用勾股定理解决立体图形表面距离问题。我确定的课堂教学目标如下： （一）学科核心素养培育目标： 通过对蚂蚁爬行的最短路径问题的探索，培育学生探索精神和最优化思想； 通过在圆柱体和长方体等问题中的运用，培育数学建模、演绎推理和合理转化分类讨论思想等数学思想和数学素养；通过最短路径问题的再探索，发展学生批判性思维和发散性思维，进而提升学生的思维品质. （二）学习目标： 1．知识与技能目标 能运用勾股定理解决实际生活中简单的立体图形表面的距离问题。 2．过程与方法目标 在探索蚂蚁爬行的最短路径的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决 问题的能力及渗透数学建模的思想。 3．情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣． (2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． （三）教学重难点 本着课程标准，在吃透教材、了解学情的基础上，我确定了如下的教学重难 点。 重点：探索、发现将立体图形转化为平面图形解决问题。 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理，解决实际问题
第十六章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
苏教版小学数学八年级下册教案（全册） 第七章 教学目标与要求： （1）了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质。 （2）会解一元一次不等式（组），能正确用轴表示解集。 （3）能够根据具体问题中的数量关系，用一元一次不等式（组），解决简单的问题。 知识梳理： （1）不等式及基本性质； （2）一元一次不等式（组）及解法与应用； （3）一元一次不等式与一元一次方程与一次函数。 1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质：○1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 ○2不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 （2）设：设出适当的未知数。 （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式。 （4）解：解出所列不等式的解集。 （5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组： 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。
最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径 最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一
共得到多少粒芝麻． 2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 3．如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（） A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B 5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为（）
1A B A 1B 1D C D 1 C 124 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个 中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 第9题 第10题 第11题 第12题 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为
义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师 二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34，5-，)0(3≥a a ， 12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负 2 )3(________ )(2=a 4
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展 教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ 直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图： A B A B 在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路 径，如(1)A →A ′→B ；(2)A →B ′→B ；(3)A → D →B ；(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB 爬行最近。 现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬 行路线是否都最短呢？ 我们不妨看一个具体的： 问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块．．．的． 下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？ A B 如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ，由于这个圆 柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1＋4×2＝9 m ，确实比沿着侧面爬行短一些。 反思 实际上，这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。 当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路 2）路程最近？ 为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出： （1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）当时，线路2行程短一些。
C. A? R? B D. A? S? B 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离 3. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M，—只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 _________________ . 4. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其 5.如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁 每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟. 长方体 10. （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从点 问怎样走路线最短？最短路线长为 12. （2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和 4cm，高为5cm .若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm. 13. 如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14. 如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. （1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ ⑵此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？ 15?如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂 蚁爬行的最短路径为____________ 米。 S 学习好资料欢迎下载 勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是__________ A. A? P? B 是 ____________ A? Q? B 第3题 O A爬到点B，需要爬行的最短距离是 15 16 14 17
课 题 16.1二次根式 课 时 第 1 课时 课 型 新授 教 学 目 标 知识 目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 能力 目标 发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 情感 目标 培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。 教学重点 二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 教学难点 综合运用性质)0(0 ≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 板书 设计 16.1 二次根式 )0(0≥≥a a )0()(2≥=a a a 教学环节 教 学 过 程 设 计 课前预习 小组互助 （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 4
质疑点拨 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16 -，34，5-，)0 ( 3 ≥ a a ，1 2+ x 2、当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足 , a才有意义。 3、根据算术平方根意义计算： (1) 2)4 ((2) （3）2)5.0 (（4）2) 3 1 ( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0 ≥ a, 4、由公式)0 ( ) (2≥ =a a a，我们可以得到公式a=2) (a ,利用此公式可以把任意一个 非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 例：当x是怎样的实数时，2 - x在实数范围内有意义？ 练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？ ①4 3- x② 2 2 3 x +③ 2、（1）若33 a a ---有意义，则a的值为___________． （2）若在实数范围内有意义，则x为（）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x + - 1 2 1 中，x的取值范围是____________. (2)已知4 2- x+y x+ 2＝0，则= -y x_____________. (3)已知2 3 3- - + - =x x y,则x y= _____________。 教学反思 ________ ) (2= a 2 )3 ( x - - 2 1 x -