中考一轮复习第2讲：整式与因式分解
【学习目标】
1．会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算；
2．会运用提公因式法和公式法进行因式分解．
【巩固练习】
一、选择题：
1．下列运算正确的是 （ ）
A ．22x x x =?
B ．22)(xy xy =
C ．632)(x x =
D ．422x x x =+
2．计算 －（－3a)2的结果是 ( )
A ．－6a 2
B ． －9a 2
C ． 6a 2
D ． 9a 2
3．下列运算正确的是 （ ）
A ．523a a a =+
B ．632a a a =?
C ．22))((b a b a b a -=-+ Ｄ．222)(b a b a +=+
4．下列因式分解错误的是 （
） A ．22()()x y x y x y -=+-
B ．2269(3)x x x ++=+
C ．2()x xy x x y +=+
D ．222()x y x y +=+ 5．下列运算正确的是 （ ）
A ．－3(x －1)＝－3x －1
B ．－3(x －1)＝－3x ＋1
C ．－3(x －1)＝－3x －3
D ．－3(x －1)＝－3x ＋3
6．把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是 （ ）
A ．()()x x y x y +-
B ．()222x x xy y -+
C ．()2x x y +
D ．()2x x y - 7．已知m m Q m P 15
8,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为 （ ）
A ．Q P >
B ． Q P =
C ． Q P <
D ．不能确定
二、填空题：
8．已知102103m n ==，，
则3210m n +=____________．
9．化简：322)3(x x -的结果是 ．
10．孔明同学买铅笔m 支，每支0．4元，买练习本n 本，每本2元．那么他买铅笔和练习本一共花了 元．
11．分解因式：_____________223=---x x x ．
12．若523m x
y +与3n x y 的和是单项式，则n m = ．
13．已知一个多项式与239x x +的和等于2341x x +-，则这个多项式是 ．
14．若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是 ．
15．若2320a a --=，则2526a a +-= ．
16．若3=+y x ，1=xy ，则=+22y x ___________．
17．因式分解：=-822a ．
三、解答题：
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标
⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）： 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时
2021年中考数学一轮复习----知识点例题精讲第一章数与式第2讲整式与因式分解【思维框图】 【知识点归纳】 一、代数式
1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。 2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类： ??? ????????????无理式分式 多项式单项式整式有理式代数式 二、整式的有关概念及运算 1、概念 （1）单项式：像x 、7、y x 2 2，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。 升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。 （3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算 （1）整式的加减： 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。
整式的乘除与因式分解知识点 一、整式乘除法 同底数幕相乘，底数不变，指数相加. a m a n =a m+n ［m,n 都是正整数］ 同底数幕相除，底数不变，指数相减? a m %n =a m-n ［a 工0,m,都是正整数 且m>n ］ 任何不等于0的数或式子的0次幕都等于1. a °=1［a 老］,0°无意义 幕的乘方,底数不变，指数相乘? (a m )n =a mn ［m,n 都是正整数］(a m )n 表示n 个a m 相乘，a 的(m n )幕表示m 积的乘方，等于把积的 每一个因式分别乘方，再把所得幕相乘.(ab) n =a n b n ［n 为正整数］注：不要漏积中任何一个因式 单项式与单项式相乘，把它们的系数,相同字母 分别相乘,对于只在一个单项式里 含有的字母，则连同它的指数作为积的 一个因式.ac 5 bc 2=(a b) (c 5 c 2)=abc 5+2 =abc 7注：运算顺序 先乘方，后乘除，最后加减 单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式 ，只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的 积相加，m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不 漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的 商相加. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相乘 (a+b)(m+n)=am+a n+bm+b n 乘法公式：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a 2-b 2 完全平方公式：两数和［或差］的平方，等于它们的平方和，加［或减］它们积的2倍.(a ±))2=a 2±2ab+b 2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，也叫做把这个多项式分解因式 . 因式分解方法： 1、 提公因式法?关键:找出公因式 公因式三部分：①系数(数字)一各项系数 最大公约 数；②字母--各项含有的 相同字母；③指数--相同字母的最低次数； 步骤：第一步是 找出公因式；第二步是 提取公因式并确定另一因式?需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与 原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项. 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式， 即分解到 底”②如果多项式的 第一项的系数是负的，一般要提出?” 号，使括号内的第一项的系数是正的. 2、 公式法?①a 2-b 2=(a+b)(a-b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 a 、b 可以是数也可是式子 ② a 2±?ab+b 2=(a ±b)2完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的 2倍,等于这两个数的和［或差］的平方. ③ x 3-y 3 =(x-y)(x 2+xy+y 2)立方差公式 3、 十字相乘(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq 因式分解三要素：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式 (2) 因式分解必须是恒等变形； (3) 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 ：互逆变形，因式分解是把 和差化为积的形式，而整式乘法是把 积化为和差 添括号法则：如括号前面是 正号，括到括号里的 各项都不变号，如括号前是 负号各项都得改符号。用去括号法则验证 都可逆用 灵活做题
课题：第二讲 整式与因式分解 像课：是 学习目标： 1．了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们与代数式之间的联系和区别； 2．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去、添括号的法则，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方混合运算； 3．会根据多项式的结构特征，进行因式分解，并能利用因式分解的方法进行整式的化简和求值。 教学重点、难点： 重点：整式的运算法则和因式分解． 难点：乘法公式与因式分解． 课前准备: 老师：导学案、课件 学生：导学案、练习本、课本（八年级下册、七年级下册） 教学过程: 一、基础回顾，课前热身 活动内容：整式相关内容回顾 1．单项式是数与字母的 积 ，单独一个数或一个字母也是单项式． 2．多项式是几个单项式的 和 ，每个单项式叫做多项式的 项 ，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数． 3．单项式与多项式统称 整式 ． 4．所含字母相同，并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项． 5．合并同类项的方法：系数 相加减 ，字母部分 不变 ． 6．去括号法则：如果括号前是 + 号，去括号后括号里各项都不改变符号；如果括号前是 - 号，去括号后括号里各项都改变符号． 7．整式的加减法则：几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并 同类项 ． 8．幂的运算性质： (1)n m a a ?=m n a +（m ，n 都是正整数） (2)()n m a =mn a （m ，n 都是正整数）
(3)()n ab =n n b a （n 是正整数） (4)m n a a ÷= m n a -（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ） (5)0a = 1 (a ≠0) (6)p a -=1p a ( a ≠0， p 是正整数) 9．整式乘法法则： (1)单项式与单项式相乘，系数 相乘 ，相同字母 的幂相乘 ，其它照抄，作为积的因式． (2)单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一 项 ，再把所得的积相加； (3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一 项 乘另一个多项式的每一 项 ，再把所得的积相加． 10．乘法公式： (1)平方差公式：(a+b )(a-b )=22b a - (2)完全平方公式： (a+b )2 =222ab b a ++ (a-b )2 =222ab b a -+ 11．整式除法法则： (1)单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除 后，，其它照抄，作为商 的因式． (2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项 分别除以这个单项式，再把 所得的商相加． 12．把一个多项式化成几个因式 积 的形式，叫做因式分解． 13．因式分解常用的方法有提公因式 法、 运用公式法 法．分解因式要分解到不能再分解为止． 多媒体出示知识网络
课时2．整式和因式分解 班级___________ 姓名___________ 【课前热身】 1. 3 1- x 2 y 的系数是 ，次数是 . 2.（2019烟台市）若5 23m x y +与3n x y 的和是单项式，则n m = ． 3. 计算： 2 (2)a a -÷= ． 4.（2019江苏常州）分解因式：22 4a b -= 。 5.（2019陕西省）已知一个多项式与239x x +的和等于2 341x x +-，则这个多项式是（ ） A ．51x -- B ．51x + C ．131x -- D ．131x + 6．若 , ),4)(3(2 ==-+=++b a x x b ax x 则 7．某工厂一月份产值为a 万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为（ ） A.)1(+a ·5％万元 B. 5％a 万元 C.(1+5％) a 万元 D.(1+5％)2 a 8.4 5483xy x -1-是 次 项式 【考点链接】 1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所 得的 叫做代数式的值. 3. 整式 （1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数. (2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 . (3) 整式： 与 统称整式. 4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫 做同类项. 合并同类项的法则是 ___. 5. 幂的运算性质: 同底数幂运算法则： 同底数幂的乘法：m n m n a a a +=??__________________________ 幂的乘方：___________________?__________________________ 积的乘方：___________________?__________________________ 同底数幂的除法：___________________?__________________________ 负指数幂：___________________?__________________________ 0指数幂：___________________?__________________________ 6. 乘法公式：
第2讲整式的运算与因式分解 一、选择题 1.(2017济宁)单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,则m+n的值是( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:根据“含有相同字母,相同字母的指数相同的单项式是同类项”,因为单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,所以m=2,n=3,则m+n=5. 故选D. 2.(2017泸州)下列各式计算正确的是( B ) (A)2x·3x=6x (B)3x-2x=x (C)(2x)2=4x (D)6x÷2x=3x 解析:2x·3x=6x2,故A错误;3x-2x=x,故B正确;(2x)2=4x2,故C错误;6x÷2x=3,故D错误.故选B. 3.(2017宁夏)如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的矩形,根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( D ) (A)(a-b)2=a2-2ab+b2 (B)a(a-b)=a2-ab
(C)(a-b)2=a2-b2 (D)a2-b2=(a+b)(a-b) 解析:用两种不同的方式表示阴影部分的面积,从左图看,是边长为a 的大正方形减去边长为b的小正方形,阴影面积是a2-b2;从右图看,是一个长为(a+b),宽为(a-b)的长方形,面积是(a+b)(a-b),所以a2-b2= (a+b)(a-b).故选D. 二、填空题 4.(2017青海)若单项式2x2y m与-x n y4可以合并成一项,则n m= 16 . 解析:由题意知2x2y m与-x n y4是同类项, ∴m=4,n=2,则n m=24=16. 5.(2017安顺)若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k= ±10 . 解析:∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式, ∴k=±10. 6.(2017南通)已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为 3 . 解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1, 则(m+1)2+n2=0, ∴m+1=0,n=0.∴m=-1,n=0. 则x=-m=-(-1)=1时,
总复习：整式与因式分解—知识讲解（基础） 【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式 几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式． 4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质： ②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相 加．用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多
九年级数学（中考） 备课人：雷战锋 课题 整式与因式分解 课型 复习课 课时 教学目标 （1）理解整式乘法和因式分解的算理。能够运用幂的运算性质、整式乘法法则和乘法公式正确、合理地进行有关计算；能用提取公因式法和公式法对多项式进行因式分解。 （2）能灵活运用公式解相关问题。 （3）知道整式乘法与因式分解的联系与区别，并会运用它们之间的关系学会逆向思维解决问题 教学重点 运用整式乘法中的有关性质正确进行计算；因式分解中提公因式法和公式法的综合运用 教学难点 因式分解中提公因式法和公式法的灵活运用 教具 学具 多媒体课件 教 学 环 节 修订补充 一、有关公式 1幂的运算性质 （1）同底数幂的乘法：n m n m a a a +=?（m 、n 都是正整数） （2）幂的乘方： mn n m a a =)(（m 、n 都是正整数） （3）积的乘方：n n n b a ab =)(（n 是正整数） （4）同底数幂的除法：n m n m a a a -=÷（0a ，m 、n 都是整数， 且m >n ）2、关于零指数幂和负整指数幂的规定 （1）01a （0a ） （2）1p p a a （0a ，p 是正整数） 3、乘法公式 （1）平方差公式：22()()a b a b a b （2）完全平方公式：222()2a b a b ab ；222()2a b a b ab
二．讲例 例题 1.若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=?n ，则n= . 例题2.若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。 例题3把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2 215x x -- 三．巩固练习 1.计算() []()[]m n x y y x 2322-- 2．2009×2007－20082 22007200720082006 -?． 2 2007200820061 ?+． 3. 把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ 四．课堂检测 1、 已知3 12=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。 2、 若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值 3．若x ＋y ＝8，x 2y 2＝4，则x 2＋y 2＝_________． 4．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式则m ＝___________． 5、下列各式是完全平方式的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 6、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） （A ） （B ） （C ） 7、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1
中考一轮复习第2讲：整式与因式分解 【学习目标】 1．会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算； 2．会运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【巩固练习】 一、选择题： 1．下列运算正确的是 （ ） A ．22x x x =? B ．22)(xy xy = C ．632)(x x = D ．422x x x =+ 2．计算 －（－3a)2的结果是 ( ) A ．－6a 2 B ． －9a 2 C ． 6a 2 D ． 9a 2 3．下列运算正确的是 （ ） A ．523a a a =+ B ．632a a a =? C ．22))((b a b a b a -=-+ Ｄ．222)(b a b a +=+ 4．下列因式分解错误的是 （ ） A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+ 5．下列运算正确的是 （ ） A ．－3(x －1)＝－3x －1 B ．－3(x －1)＝－3x ＋1 C ．－3(x －1)＝－3x －3 D ．－3(x －1)＝－3x ＋3 6．把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是 （ ） A ．()()x x y x y +- B ．()222x x xy y -+ C ．()2x x y + D ．()2x x y - 7．已知m m Q m P 15 8,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为 （ ） A ．Q P > B ． Q P = C ． Q P < D ．不能确定 二、填空题：
第十四章 整式乘除与因式分解 知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 5、零指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=?-xy z y x 3232 。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--=。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = 10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
第2讲 整式及因式分解 知识点1 列代数式 知识点2 求代数式的值 知识点3 整式的相关概念 知识点4 整式的运算 知识点5 因式分解 知识点1 列代数式 （2018安徽）6.据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，则（ B ） A.a b )2%1.221(?+= B.a b 2 %)1.221(+= C.a b 2%)1.221(?+= D.a b 2%1.22?= （2018上海） （2018大庆） （2018桂林）5.用代数式表示：a 的2倍与3 的和.下列表示正确的是（ ） A.2a -3 B.2a +3 C.2(a -3) (a +3) （2018柳州） （2018吉林）
知识点2 求代数式的值 （2018贵阳）当 x = -1 时，代数式 3x + 1 的值是（ B ） （A ）-1 （B ）-2 （C ）-4 （D ）-4 （2018徐州） （2018岳阳）12.已知2 21a a +=，则2 3(2)2a a ++的值为 ． （2018临沂）16.已知m n mn +=，则()()11m n --= ． （2018云南） （2018昆明） （2018资阳） （2018吉林） （2018菏泽）10.若2a b +=，3ab =-，则代数式3 22 3 2a b a b ab ++的值为 ． （2018苏州） （2018黄冈）10.若16a a -=，则221 a a +值为 ． （2018成都）
整式的乘法和因式分解 一、整式的运算 1、已知a m =2，a n =3，求a m +2n 的值； 2、若32=n a ，则n a 6= . 3、若12551 2=+x ，求x x +-2009)2(的值。 4、已知2x +1?3x -1=144，求x ； 5．2005200440.25?= . 6、( 23 )2002×(1.5)2003÷(－1)2004＝________。 7、如果(x +q )(3x -4)的结果中不含x 项（q 为常数），求结果中的常数项 8、设m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2010的值 二、乘法公式的变式运用 1、位置变化，(x +y )(-y +x ) 2、符号变化，(-x +y )(-x -y ) 3、指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)4 4、系数变化，(2a +b )(2a -b ) 5、换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )] 6、增项变化，(x -y +z )(x -y -z ) 7、连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2) 8、逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2 三、乘法公式基础训练: 1、计算 （1）1032 （2）1982 2、计算 （1）(a -b +c )2 （2）(3x +y -z )2 3、计算 （1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2) 4、计算 （1）19992-2000×1998 （2） 22007200720082006 -?． 四、乘法公式常用技巧
第2讲整式与因式分解 考点一、整数指数幂的运算 【例1】 1．已知x m=a，x n=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（） A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D． 2．若a2n=5，b2n=16，则（ab）n= ． 方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘． 举一反三1．若a x=2，a y=3，则a2x+y= ． 2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为． 考点二、整式的运算 【例2】 1．若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为． 2．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（） A．a=5 2 b B．a=3b C．a= 7 2 b D．a=4b 方法总结对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用 举一反三1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b= ；a2+b2= ． 2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（） A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 考点三、乘法公式 【例3】 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）
A ．（x+a ）（x ﹣a ） B ．（a+b ）（﹣a ﹣b ） C ．（﹣x ﹣b ）（x ﹣b ） D ．（b+m ）（m ﹣b ） 2．若m 为正实数，且m ﹣=3，则m 2 ﹣= ． 方法总结 本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m 的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤． 举一反三 1．填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ； （a ﹣b ）（a 2 +ab+b 2 ）= ； （a ﹣b ）（a 3 +a 2 b+ab 2 +b 3 ）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1 +a n ﹣2 b+…+ab n ﹣2 +b n ﹣1 ）= （其中n 为正整数，且n ≥2）． 2．如果a+b+ ，那么a+2b ﹣3c= ． 3．已知（2008﹣a ）2 +（2007﹣a ）2 =1，则（2008﹣a ）?（2007﹣a ）= ． 考点四、因式分解 【例4】 分解因式：（1）20a 3 x ﹣45ay 2 x （2）1﹣9x 2 （3）4x 2 ﹣12x+9 （4）4x 2y 2 ﹣4xy+1 （5）p 2 ﹣5p ﹣36 方法总结 因式分解的一般步骤： (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式； (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式； (3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 举一反三 分解因式（1） y 2 ﹣7y+12（2）3﹣6x+3x 2 （3）﹣a+2a 2 ﹣a 3 （4）m 3 ﹣m 2 ﹣20m 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A. 23 +24 =27 B. 23 ?24 =2-1 C. 23×24=27 D. 23÷24=21 2．下列各式变形中，正确的是（ ） A ．x 2 ?x 3 =x 6 B ． =|x| C ．（x 2 ﹣）÷x=x ﹣1 D ．x 2﹣x+1=（x ﹣）2 + 3．2 3(2)a a -=g （ ） A.3 12a - B. 3 6a - C. 3 12a D. 26a
热点02 整式与因式分解 模块 考点 水平层级 整式与因 式分解 代数式的有关概念 Ⅱ 列代数式和求代数式的值 Ⅱ 整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则 Ⅲ 乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用 Ⅲ 因式分解的意义 Ⅱ 因式分解的基本方法【提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法】 Ⅲ 【满分技巧】 整式的加、减、乘、除及乘法的运算法则，乘法公式及其简单运用 1．用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值． 3．由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 4．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 5．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数就是这个多项式的次数． 例如：多项式221a a +-是单项式22a a 、 与﹣1三项的和，代数式中次数最高的项是2a ，所以这个多项式的次数是2． 6．单项式、多项式统称为整式． 7．所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 8．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式． 9．合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 10．a a a a 可以写成n a （读作“a 的n 次方”），其中a 表示底数，正整数a 表示指数，a 的n 次乘方的结果叫做a 的n 次幂． 11．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．m n m n a a a +=（m 、n 都是正整数）．同底数幂相除，底数不变，指数相减m n m n a a a -÷=（m 、n 是正整数且m ＞n ，a ≠0）．任何不等于零的数的零次幂为1，即01a =（a ≠0）． 12．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()m n mn a a =．（m 、n 都是正整数） 13．积的乘方等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n ab a b =．（n 为正整数） 14．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式． 15．单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
八年级数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析版） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】 解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2 ＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）2+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）． 故选：C． 【点睛】 此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案. 2．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 【分析】 设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案． 【详解】 解： 设2为a，3为b， 则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2， 4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab， 6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2， ∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
第2讲整式及因式分解 一、选择题 1．(2016·盐城)计算(－x2y)2的结果是(A) A．x4y2B．－x4y2C．x2y2D．－x2y2 2．(2016·南京)下列计算中，结果是a6的是(D) A．a2＋a4B．a2·a3 C．a12÷a2D．(a2)3 3．(2016·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(A) A．(x－3)2B．(x－9)2 C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9) 4．(2016·哈尔滨)下列运算正确的是(C) A．a2·a3＝a6 B．(a2)3＝a5 C．(－2a2b)3＝－8a6b3 D．(2a＋1)2＝4a2＋2a＋1 5．(2016·吉林)小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b 元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费(A) A．(3a＋4b)元 B．(4a＋3b)元 C．4(a＋b)元 D．3(a＋b)元 6．(2016·雅安)已知a2＋3a＝1，则代数式2a2＋6a－1的值为(B) A．0 B．1 C．2 D. 3 7．(本溪模拟)定义运算：a?b＝a(1－b)．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2?(－2)＝6；②a?b＝b?a；③若a＋b＝0，则(a?a)＋(b?b)＝2ab；④若a?b＝0，则a＝0或b ＝1，其中结论正确的序号是(A) A．①④B．①③C．②③④D．①②④ 二、填空题 8．(2016·甘肃)计算：(－5a4)·(－8ab2)＝40a5b2． 9．(2016·赤峰)分解因式：4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2． 10．计算：b(2a＋5b)＋a(3a－2b)＝5b2＋3a2． 11．(2015·大庆)若a2n＝5，b2n＝16，则(ab)n＝±45． 12．(2016·威海)分解因式：(2a＋b)2－(a＋2b)＝3(a＋b)(a－b)． 13．(2016·西宁)已知x2＋x－5＝0，则代数式(x－1)2－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)的值为2． 14．(2016·滨州)观察下列式子： 1×3＋1＝22； 7×9＋1＝82；
整式及因式分解 作业单 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ）。 A ．224x x x += B ．235x x x ?= C ．623x x x ÷= D ．()3 3 26x x = 2. 计算()()3242x y x y --+-的结果是（ ）。 A ．2x y - B ．2x y + C ．2x y -- D ．2x y -+ 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）。 A ．()p q h pq ph +=+ B ．()()3 11x x x x x -=+- C ．()()2 1343x x x x ++=++ D ．24414(1)1a a a a -+=-+ 4. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a +的是（ ）。 A.2 1a - B.2a a + C. 22a a -- D. 221a a -++ 5. 已知a b c 、、是三角形的三条边长，则代数式()2 2a b c --的值（ ）。 A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．与零的大小无关 6. 如图，两个正方形的边长分别为a 和b ，如果a +b =10，ab =20，则阴影部 分的面积为（ ）。 A ．20cm 2 B ．25cm 2 C ．30cm 2 D ．15cm 2 二、填空题 7.已知单项式2 42n x y +与523m x y -是同类项，则m n =_______。 8.已知5x y -=，14xy =，则2 2 x y xy +－的值为________。 9.甲，乙，丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是________。 10.如图，A 类、B 类卡片是正方形（b ＜a ＜2b ），C 类卡片是长方形，小明拿来9张卡片（每类都有若干张）玩拼图游戏，他发现用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形（不重叠也不留缝隙），那么他拼成的大正方形的边长是_________（用a ，b 的代数式表示）。 E 第6题图