第2讲整式的运算与因式分解
一、选择题
1.(2017济宁)单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,则m+n的值是( D )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:根据“含有相同字母,相同字母的指数相同的单项式是同类项”,因为单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,所以m=2,n=3,则m+n=5. 故选D.
2.(2017泸州)下列各式计算正确的是( B )
(A)2x·3x=6x (B)3x-2x=x
(C)(2x)2=4x (D)6x÷2x=3x
解析:2x·3x=6x2,故A错误;3x-2x=x,故B正确;(2x)2=4x2,故C错误;6x÷2x=3,故D错误.故选B.
3.(2017宁夏)如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的矩形,根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( D )
(A)(a-b)2=a2-2ab+b2
(B)a(a-b)=a2-ab
(C)(a-b)2=a2-b2
(D)a2-b2=(a+b)(a-b)
解析:用两种不同的方式表示阴影部分的面积,从左图看,是边长为a 的大正方形减去边长为b的小正方形,阴影面积是a2-b2;从右图看,是一个长为(a+b),宽为(a-b)的长方形,面积是(a+b)(a-b),所以a2-b2= (a+b)(a-b).故选D.
二、填空题
4.(2017青海)若单项式2x2y m与-x n y4可以合并成一项,则n m=
16 .
解析:由题意知2x2y m与-x n y4是同类项,
∴m=4,n=2,则n m=24=16.
5.(2017安顺)若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k=
±10 .
解析:∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式,
∴k=±10.
6.(2017南通)已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为 3 .
解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1,
则(m+1)2+n2=0,
∴m+1=0,n=0.∴m=-1,n=0.
则x=-m=-(-1)=1时,
x2+2x+n2=1+2+0=3.
7.因式分解:
(1)mx2-4m= m(x+2)(x-2) ;
(2)a2b-4ab+4b= b(a-2)2;
(3)x2-2x+(x-2)= (x+1)(x-2) .
解析:(1)mx2-4m=m(x2-4)=m(x2-22)
=m(x+2)(x-2).
(2)a2b-4ab+4b=b(a2-4a+4)=b(a-2)2.
(3)x2-2x+(x-2)=x(x-2)+(x-2)
=(x-2)(x+1).
三、解答题
8.(1)(2017重庆)计算:(x+y)2-x(2y-x);
(2)(2017宁波)先化简,再求值:(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x=. 解:(1)(x+y)2-x(2y-x)=x2+2xy+y2-2xy+x2=2x2+y2.
(2)(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5)=4-x2+x2+4x-5=4x-1,
当x=时,原式=4×-1=5.
9.(2017河北)发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证(1)(-1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍?
(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.
延伸任意三个连续整数的平方和被3除余数是几呢?请写出理由.
解:验证(1)∵(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5×3,∴结果是5的3倍.
(2)若五个连续整数的中间一个为n,则其他4个依次为n-2,n-1,n+1, n+2,则其平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5n2+10=5(n2+2),∵n为整数,∴这个和一定是5的倍数.
延伸余数是2.理由如下:
若中间一个数为n,则(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2,故被3除余2.
10.(2017贵阳)下面是小颖化简整式的过程,仔细阅读后解答所提出的问题.
解:x(x+2y)-(x+1)2+2x
=x2+2xy-x2+2x+1+2x第一步
=2xy+4x+1第二步
(1)小颖的化简过程从第步开始出现错误;
(2)对此整式进行化简.
解:(1)一
(2)x(x+2y)-(x+1)2+2x=x2+2xy-(x2+2x+1)+2x
=x2+2xy-x2-2x-1+2x
=2xy-1.
11.(2017湘潭)由多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从
右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+ (a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+ )(x+ );
(2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.
解:根据十字相乘法的定义求解.
(1)x2+6x+8=(x+2)(x+4).
(2)x2-3x-4=(x-4)(x+1)=0,
所以x-4=0或x+1=0,即x=4或x=-1.
初中数学字母表示数与整式的加减运算基础题目含答案
七年级上册数学字母表示数与整式的加减运算 基础题北师版 一、单选题(共16道，每道6分) 1.长方形的周长为4米，长为x米，则宽为（） A.米 B.米 C.米 D.米 答案：D 试题难度：三颗星知识点：列代数式 2.下列各式：﹣x+1，π+3，9＞2，，，其中代数式的个数是（） A.5 B.4 C.3 D.2 答案：C 试题难度：三颗星知识点：代数式的定义3.下列各式中，符合代数式书写规范的是（）
A.y2 B. C.a÷c D.a3 答案：D 试题难度：三颗星知识点：代数式书写规范 4.当时，代数式的值是（） A.54 B.-54 C.108 D.-108 答案：B 试题难度：三颗星知识点：代数式求值 5.已知a-b=1，则代数式2a-2b-3的值是（） A.-1 B.1 C.-5 D.5 答案：A 试题难度：三颗星知识点：整体代入 6.在下列各式π，-7，7m3n2，，中，单
项式的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 试题难度：三颗星知识点：单项式的概念;多项式的概念 7.-23x2y3的系数和次数分别为（） A.-23，5 B.23，5 C.-2，8 D.2，8 答案：A 试题难度：三颗星知识点：单项式系数与次数 8.多项式πx4y+6x2yz+4xy-2是（） A.五次三项式 B.五次四项式 C.四次四项式 D.三次四项式 答案：B 试题难度：三颗星知识点：多项式的项与次
数 9.如果一个多项式的次数是3，则这个多项式的任何一项的次数都（） A.等于3 B.不大于3 C.不小于3 D.小于3 答案：B 试题难度：三颗星知识点：多项式次数 10.下列选项中.与xy2是同类项的是（） A.﹣2xy2 B.2x2y C.xy D.x2y2 答案：A 试题难度：三颗星知识点：同类项 11.若x4y6与6x2-my2n是同类项，则mn的值为（） A.8 B.-8 C.6 D.-6
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标
⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）： 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时
2021年中考数学一轮复习----知识点例题精讲第一章数与式第2讲整式与因式分解【思维框图】 【知识点归纳】 一、代数式
1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。 2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类： ??? ????????????无理式分式 多项式单项式整式有理式代数式 二、整式的有关概念及运算 1、概念 （1）单项式：像x 、7、y x 2 2，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。 升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。 （3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算 （1）整式的加减： 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。
初一数学(整式的运算)单元测试题（二） 一、填空题：（每空2分，共28分） 1．把下列代数式的字母代号填人相应集合的括号内： A. xy+1 B. –2x 2 +y C.3 xy 2- D.2 14 - E.x 1- F.x 4 G. x ax 2x 8 123 -- H.x+y+z I. 3ab 2005 - J.)y x (3 1 + K.c 3ab 2+ (1)单项式集合 ｛ …｝ (2)多项式集合 ｛ …｝ (3)三次多项式 ｛ …｝ (4)整式集合 ｛ …｝ 2．单项式bc a 7 92 - 的系数是 ． 3．若单项式－2x 3y n-3是一个关于x 、y 的五次单项式,则n = ． 4．(2x+y)2=4x 2+ +y 2． 5．计算：-2a 2( 2 1 ab+b 2)-5a(a 2b-ab 2) = ． 6．3 22 43b a 21c b a 43?? ? ??-÷??? ??-= ． 7．-x 2与2y 2的和为A ，2x 2与1-y 2的差为B ， 则A －3B= ． 8．()()()()() =++++-884422y x y x y x y x y x ． 9．有一名同学把一个整式减去多项式xy+5yz+3xz 误认为加上这个多项式，结果答案为 5yz-3xz+2xy ，则原题正确答案为 ． 10．当a = ,b = 时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值． 二、选择题（每题3分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ） （A ）532x 2x x =+ （B ）632x x x =? （C ）336x x x =÷ （D ）623x x -=-）（ 2．有一个长方形的水稻田，长是宽的2.8倍，宽为6.52 10?，则这块水稻田的面积是（ ） （A ）1.183710? （B ）510183.1? （C ）71083.11? （D ）610183.1? 3．如果x 2－kx －ab = （x －a ）（x ＋b ）, 则k 应为（ ） （A ）a ＋b （B ） a －b （C ） b －a （D ）－a －b 4．若（x －3）0 －2（3x －6） －2 有意义，则x 的取值范围是（ ） （A ） x >3 （B ）x ≠3 且x ≠2 （C ） x ≠3或 x ≠2 （D ）x < 2 5．计算：30 2 2 )2(21)x (4554---÷?? ? ??--π-+? ? ? ??-÷??? ??得到的结果是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11
初一数学知识点：整式及其运算整式及其运算： 【考点归纳】 1. 代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把( ) 或表示( )连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值：用( )代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的( )叫做代数式的值. 3. 整式 (1)单项式：由数与字母的( )组成的代数式叫做单项式(单独一个数或( )也是单项式).单项式中的( )叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的( )叫做这个单项式的次数. (2) 多项式：几个单项式的( )叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫( )做多项式的( ),其中次数最高的项的( )叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做. (3) 整式：( )与( )统称整式. 4. 同类项：在一个多项式中，所含( )相同并且相同字母的( )也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是( )。 7. 整式的除法 ⑴单项式除以单项式的法则：把( ) 、( )分别相除后，作为商的因式;对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确
模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。⑵多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以( )，再把所得的商( ). “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事
课题：第二讲 整式与因式分解 像课：是 学习目标： 1．了解单项式、多项式、整式的概念，弄清它们与代数式之间的联系和区别； 2．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去、添括号的法则，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方混合运算； 3．会根据多项式的结构特征，进行因式分解，并能利用因式分解的方法进行整式的化简和求值。 教学重点、难点： 重点：整式的运算法则和因式分解． 难点：乘法公式与因式分解． 课前准备: 老师：导学案、课件 学生：导学案、练习本、课本（八年级下册、七年级下册） 教学过程: 一、基础回顾，课前热身 活动内容：整式相关内容回顾 1．单项式是数与字母的 积 ，单独一个数或一个字母也是单项式． 2．多项式是几个单项式的 和 ，每个单项式叫做多项式的 项 ，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数． 3．单项式与多项式统称 整式 ． 4．所含字母相同，并且相同字母的 指数 也相同的项叫做同类项． 5．合并同类项的方法：系数 相加减 ，字母部分 不变 ． 6．去括号法则：如果括号前是 + 号，去括号后括号里各项都不改变符号；如果括号前是 - 号，去括号后括号里各项都改变符号． 7．整式的加减法则：几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并 同类项 ． 8．幂的运算性质： (1)n m a a ?=m n a +（m ，n 都是正整数） (2)()n m a =mn a （m ，n 都是正整数）
(3)()n ab =n n b a （n 是正整数） (4)m n a a ÷= m n a -（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n ） (5)0a = 1 (a ≠0) (6)p a -=1p a ( a ≠0， p 是正整数) 9．整式乘法法则： (1)单项式与单项式相乘，系数 相乘 ，相同字母 的幂相乘 ，其它照抄，作为积的因式． (2)单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一 项 ，再把所得的积相加； (3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一 项 乘另一个多项式的每一 项 ，再把所得的积相加． 10．乘法公式： (1)平方差公式：(a+b )(a-b )=22b a - (2)完全平方公式： (a+b )2 =222ab b a ++ (a-b )2 =222ab b a -+ 11．整式除法法则： (1)单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别 相除 后，，其它照抄，作为商 的因式． (2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项 分别除以这个单项式，再把 所得的商相加． 12．把一个多项式化成几个因式 积 的形式，叫做因式分解． 13．因式分解常用的方法有提公因式 法、 运用公式法 法．分解因式要分解到不能再分解为止． 多媒体出示知识网络
初一数学下册《整式的运算》知识点归 纳 初一数学下册《整式的运算》知识点归纳 一、整式 单项式和多项式统称整式。 a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。 )一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所
含各项的次数中最高的那一项次数 a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式 b)括号前面是“-”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。 二、同底数幂的乘法 是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点： a)法则使用的前提条是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式; b)指数是1时，不要误以为没有指数; )不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加; d)当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为; e)公式还可以逆用： a)幂的乘方法则：是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。 b) )底数有负号时，运算时要注意，底数是a与时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将3化成-a3
1 整式及其运算 知识点1.整式的运算： 例1.计算： （1） )3 1 23()31(22122y x y x x +-+--； （2）()() 222223254bc a b a c b a ab -÷-?+； （3）()()y x a y x a +--+22. 知识点2.因式分解： 例2.把下列多项式因式分解： （1）2 2 3 2xy y x x +-；（2）()()m n n n m n m 2243 2-+-. 知识点3.化简，求值： 例3.先化简，再求值：()()()2 2 32a b a b a b a -+-++，其中62== b a ，. 知识点4.探索规律： 例4.观察下列各算式，并寻找规律： ()25111100225152++??==；()25122100625252++??==； ()251331001225352++??==；()251441002025452++??==；… （1）找出规律，并按规律在横线上填空： _____________________________5625752==；_____________________________7225852==； （2）用含字母的等式表示上述规律：__________________________________________；（3）利用上述规律，计算2 995的值. 知识点5.乘法公式的相关背景： 例5.图1是一个长为m 2、宽为n 2的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形. （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（用含m ，n 的代数式表示）；（2）根据（1）中结论，请写出下列三个代数式()2 n m +，()2 n m -，m n 之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若 78==+ab b a ，，求b a -和22b a +的值. 基础训练： 1.用代数式表示“比2 m 的2倍大1”的那个数是（ ） ()12.2+m A 12.2+m B ()212.+m C ()2 12.+m D 2.若正方形的周长是a ，则这个正方形的面积为（ ） 2 .a A 2 16.a B 16 .2 a C a D . 3.下列计算中，正确的是（ ） 222.x x x A =+ ()2263.x x B = ()42.22-=-x x C 23.x x x D =÷ 4.下列各代数式中，是六次式的是( ) 3 2 .y x A 6 2.xy B 3 .32c ab C ()6 .mn D 5.下列去括号中，正确的是 ( ) .A ()b a b a --=--22 ()b a b a B +-=--22. ()b a b a C 222.--=-- ()b a b a D 222.+-=-- 6.下列运算中，正确的是（ ） xy y x A 532.=+ y x xy y x B 22254.-=- 632623.--=?x x x C ()3224224.x xy y x D -=-÷ 7.若2232 =-y y ，则=--1462 y y （ ）
第2讲整式的运算与因式分解 一、选择题 1.(2017济宁)单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,则m+n的值是( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:根据“含有相同字母,相同字母的指数相同的单项式是同类项”,因为单项式9x m y3与单项式4x2y n是同类项,所以m=2,n=3,则m+n=5. 故选D. 2.(2017泸州)下列各式计算正确的是( B ) (A)2x·3x=6x (B)3x-2x=x (C)(2x)2=4x (D)6x÷2x=3x 解析:2x·3x=6x2,故A错误;3x-2x=x,故B正确;(2x)2=4x2,故C错误;6x÷2x=3,故D错误.故选B. 3.(2017宁夏)如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成右边的矩形,根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( D ) (A)(a-b)2=a2-2ab+b2 (B)a(a-b)=a2-ab
(C)(a-b)2=a2-b2 (D)a2-b2=(a+b)(a-b) 解析:用两种不同的方式表示阴影部分的面积,从左图看,是边长为a 的大正方形减去边长为b的小正方形,阴影面积是a2-b2;从右图看,是一个长为(a+b),宽为(a-b)的长方形,面积是(a+b)(a-b),所以a2-b2= (a+b)(a-b).故选D. 二、填空题 4.(2017青海)若单项式2x2y m与-x n y4可以合并成一项,则n m= 16 . 解析:由题意知2x2y m与-x n y4是同类项, ∴m=4,n=2,则n m=24=16. 5.(2017安顺)若代数式x2+kx+25是一个完全平方式,则k= ±10 . 解析:∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式, ∴k=±10. 6.(2017南通)已知x=m时,多项式x2+2x+n2的值为-1,则x=-m时,该多项式的值为 3 . 解析:当x=m时,m2+2m+n2=-1, 则(m+1)2+n2=0, ∴m+1=0,n=0.∴m=-1,n=0. 则x=-m=-(-1)=1时,
整式的运算习题大全 一、选择题 1．若单项式3x m y 2m 与－2x 2n －2y 8的和仍是一个单项式，则m ，n 的值分别是（ ） A ．1，5 B ．5，1 C ．3，4 D ．4，3 3．下列计算正确的是（ ） A ．x 3+x 5=x 8 B ．（x 3）2=x 5 C ．x 4·x 3=x 7 D ．（x+3）2=x 2 +9 4．下列计算正确的是（ ） A ．a 2·a 3=a 6 B ．a 3÷a=a 3 C ．（a 2）3=a 6 D ．（3a 2）4=12a 8 5．多项式x 3－2x 2+5x+3与多项式2x 2－x 3+4+9x 的和一定是（ ） A ．奇数 B ．偶数 C ．2与7的倍数 D ．以上都不对 6．如果（x － 12 ）0有意义，那么x 的取值范围是（ ） A ．x>12 B ．x<12 C ．x=12 D ．x≠12 7．若x m ÷x 3n =x ，则m 与n 的关系是（ ） A ．m=3n B ．m=－3n C ．m －3n=1 D ．m －3n=－1 8．下列算式中，计算结果为x 2－3x －28的是（ ） A ．（x －2）（x+14） B ．（x+2）（x －14） C ．（x －4）（x+7） D ．（x+4）（x －7） 9．下列各式中，计算结果正确的是（ ） A ．（x+y ）（－x －y ）=x 2－y 2 B ．（x 2－y 3）（x 2+y 3）=x 4－y 6 C ．（－x －3y ）（－x+3y ）=－x 2－9y 2 D ．（2x 2－y ）（2x 2+y ）=2x 4－y 2 10．若a －1a =2，则a 2+21a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 12.下列计算正确的是（ ） A.632a a a =? B .623)(a a = C.3 3)(b a b a ?=? D.a a a =÷33 13.若6)3)(2(2-+=-+mx x x x .则=m （ ） A ．-1 B ．1 C ．5 D ．-5 14.下列可以用平方差公式计算的是（ ）
中考一轮复习第2讲：整式与因式分解 【学习目标】 1．会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算； 2．会运用提公因式法和公式法进行因式分解． 【巩固练习】 一、选择题： 1．下列运算正确的是 （ ） A ．22x x x =? B ．22)(xy xy = C ．632)(x x = D ．422x x x =+ 2．计算 －（－3a)2的结果是 ( ) A ．－6a 2 B ． －9a 2 C ． 6a 2 D ． 9a 2 3．下列运算正确的是 （ ） A ．523a a a =+ B ．632a a a =? C ．22))((b a b a b a -=-+ Ｄ．222)(b a b a +=+ 4．下列因式分解错误的是 （ ） A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+ 5．下列运算正确的是 （ ） A ．－3(x －1)＝－3x －1 B ．－3(x －1)＝－3x ＋1 C ．－3(x －1)＝－3x －3 D ．－3(x －1)＝－3x ＋3 6．把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是 （ ） A ．()()x x y x y +- B ．()222x x xy y -+ C ．()2x x y + D ．()2x x y - 7．已知m m Q m P 15 8,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为 （ ） A ．Q P > B ． Q P = C ． Q P < D ．不能确定 二、填空题：
第十四章 整式乘除与因式分解 知识点归纳： 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 5、零指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算： 6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：=?-xy z y x 3232 。 7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)。如：)(3)32(2y x y y x x +--=。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：))((z y x z y x +--+ = 10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。
一、 知识点： 1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。下列代数式中，单项式共有 个，多项式共有 个。 －231a , 52243b a -, 2， ab ，)(1y x a +, )(21b a +, a ,712+x , y x +, 2、一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这 个多项式的次数。（单独一个非零数的次数是0） （1）单项式2 32z y x -的系数是 ，次数是 ；（2）π的次数是 。 （3）22322--+ab b a c ab 是单项式 和，次数最高的项是 ，它是 次 项式，二次项是 ，常数项是 3、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即：n m n m a a a +=?（m ,n 都是正整数）。填空：（1）()()= -?-6533 （2）=?+12m m b b 4、幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：()mn n m a a =（m ,n 都是正整数）。 填空：（1）()232＝ （2）()= 55b （3）()=-312n x 5、积的乘方等于每一个因数乘方的积。即： ()n n n b a ab =（n 是正整数） 填空：（1）() =23x （2）()=-32b （3）421??? ??-xy ＝ 6、同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：n m n m a a a -=÷（n m n m a ＞都是正整数，且,,0≠），= 0a ，=-p a （是正整数p a ,0≠）填空： （1）=÷47a a （2）()()=-÷-36x x （3）()()= ÷xy xy 4 7、整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。如：()=??? ??-xy z xy 3122 。 （2）单项式与多项式相乘，() b a ab ab 22324+＝ （3）多项式与多项式相乘，()()=-+y x y x 228、平方差公式： 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。即：()()22b a b a b a -=-+。计算： ()()= -+x x 8585 9、完全平方公式：()2222b ab a b a ++=+，()2222b ab a b a +-=-。 计算： （1）()=+242x （2）()=-22a mn 10、整式的除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
第2讲 整式及因式分解 知识点1 列代数式 知识点2 求代数式的值 知识点3 整式的相关概念 知识点4 整式的运算 知识点5 因式分解 知识点1 列代数式 （2018安徽）6.据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长%假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，则（ B ） A.a b )2%1.221(?+= B.a b 2 %)1.221(+= C.a b 2%)1.221(?+= D.a b 2%1.22?= （2018上海） （2018大庆） （2018桂林）5.用代数式表示：a 的2倍与3 的和.下列表示正确的是（ ） A.2a -3 B.2a +3 C.2(a -3) (a +3) （2018柳州） （2018吉林）
知识点2 求代数式的值 （2018贵阳）当 x = -1 时，代数式 3x + 1 的值是（ B ） （A ）-1 （B ）-2 （C ）-4 （D ）-4 （2018徐州） （2018岳阳）12.已知2 21a a +=，则2 3(2)2a a ++的值为 ． （2018临沂）16.已知m n mn +=，则()()11m n --= ． （2018云南） （2018昆明） （2018资阳） （2018吉林） （2018菏泽）10.若2a b +=，3ab =-，则代数式3 22 3 2a b a b ab ++的值为 ． （2018苏州） （2018黄冈）10.若16a a -=，则221 a a +值为 ． （2018成都）
第一章《整式的运算》知识点总结 一、单项式： 数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0. 二、多项式 几个单项式的代数和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式：单项式和多项式统称为整式。 四、整式的加减法： 整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。 五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? 2、幂的乘方： ),(都是正整数）（n m a a mn n m = 3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab n n n = 4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：);0(10 ≠=a a 2、负整数指数幂：),0(1 是正整数p a a a p p ≠= - 七、整式的乘除法： 1、单项式乘以单项式： 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2、单项式乘以多项式： 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4、单项式除以单项式：
2019-2020年中考数学总复习第2讲整式及其运算 一、选择题(每小题6分，共18分) 1．(2014·舟山)下列运算正确的是( B) A．2a2＋a＝3a3B．(－a)2÷a＝a C．(－a)3·a2＝－a6D．(2a2)3＝6a6 2．(2012·安徽)为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( A) A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2 解析：四个等腰直角三角形拼在一起成为边长为a的正方形，加上中间一块正方形，所以阴影部分面积为2a2 3．(2014·毕节)若－2a m b4与5a n＋2b2m＋n可以合并成一项，则m n的值是( D) A．2 B．0 C．－1 D．1 二、填空题(每小题6分，共30分) 4．(2014·连云港)计算(2x＋1)(x－3)2． 5．(2014·凉山)已知x1＝3＋2，x212＋x22＝__10__． 6．(2012·长沙)若实数a，b满足|3a－a b的值为__1__． 7．(2012·黔东南州)二次三项式x2－kx＋9是一个完全平方式，则k的值是__±6__．解析：∵x2－kx＋9＝x2－kx＋32，∴－kx＝±2×x×3，解得k＝±6 8．(2014·扬州)设a1，a2，…，a2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数__165__． 三、解答题(共52分) 9．(10分)计算： (1)(2012·乐山)3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)； 原式＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2 (2)(2014·无锡)(x＋1)(x－1)－(x－2)2. 原式＝x2－1－x2＋4x－4＝4x－5 10．(12分)先化简，再求值： (1)(2012·泉州)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)，其中x＝－2； 原式＝x2＋6x＋9＋4－x2＝6x＋13，当x＝－2时，原式＝6×(－2)＋13＝1 (2)(2014·衡阳)(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2，其中a＝1，b＝－2.
第2讲整式与因式分解 考点一、整数指数幂的运算 【例1】 1．已知x m=a，x n=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（） A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D． 2．若a2n=5，b2n=16，则（ab）n= ． 方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘． 举一反三1．若a x=2，a y=3，则a2x+y= ． 2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为． 考点二、整式的运算 【例2】 1．若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为． 2．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（） A．a=5 2 b B．a=3b C．a= 7 2 b D．a=4b 方法总结对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用 举一反三1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b= ；a2+b2= ． 2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（） A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 考点三、乘法公式 【例3】 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）
A ．（x+a ）（x ﹣a ） B ．（a+b ）（﹣a ﹣b ） C ．（﹣x ﹣b ）（x ﹣b ） D ．（b+m ）（m ﹣b ） 2．若m 为正实数，且m ﹣=3，则m 2 ﹣= ． 方法总结 本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m 的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤． 举一反三 1．填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ； （a ﹣b ）（a 2 +ab+b 2 ）= ； （a ﹣b ）（a 3 +a 2 b+ab 2 +b 3 ）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1 +a n ﹣2 b+…+ab n ﹣2 +b n ﹣1 ）= （其中n 为正整数，且n ≥2）． 2．如果a+b+ ，那么a+2b ﹣3c= ． 3．已知（2008﹣a ）2 +（2007﹣a ）2 =1，则（2008﹣a ）?（2007﹣a ）= ． 考点四、因式分解 【例4】 分解因式：（1）20a 3 x ﹣45ay 2 x （2）1﹣9x 2 （3）4x 2 ﹣12x+9 （4）4x 2y 2 ﹣4xy+1 （5）p 2 ﹣5p ﹣36 方法总结 因式分解的一般步骤： (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式； (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式； (3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 举一反三 分解因式（1） y 2 ﹣7y+12（2）3﹣6x+3x 2 （3）﹣a+2a 2 ﹣a 3 （4）m 3 ﹣m 2 ﹣20m 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A. 23 +24 =27 B. 23 ?24 =2-1 C. 23×24=27 D. 23÷24=21 2．下列各式变形中，正确的是（ ） A ．x 2 ?x 3 =x 6 B ． =|x| C ．（x 2 ﹣）÷x=x ﹣1 D ．x 2﹣x+1=（x ﹣）2 + 3．2 3(2)a a -=g （ ） A.3 12a - B. 3 6a - C. 3 12a D. 26a
初一数学整式及其运算知识点 初一数学整式及其运算知识点 1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把()或表示()连接而成的式子叫做代数式. 2.代数式的值：用()代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的()叫做代数式的值. 3.整式 (1)单项式：由数与字母的()组成的代数式叫做单项式(单独一个数或()也是单项式).单项式中的()叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的()叫做这个单项式的次数. (2)多项式：几个单项式的()叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫()做多项式的(),其中次数最高的项的()叫做这个多项式的'次数.不含字母的项叫做 (3)整式：()与()统称整式. 4.同类项：在一个多项式中，所含()相同并且相同字母的()也分别相等的项叫做同类项.合并同类项的法则是()。 5.整式的除法 ⑴单项式除以单项式的法则：把()、()分别相除后，作为商的因式;对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. ⑵多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以()，再把所得的商(). 1、代数式：
用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把()或表示()连接而成的式子叫做代数式、 2、代数式的值： 用()代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的()叫做代数式的值、 3、整式 (1)单项式： 由数与字母的()组成的代数式叫做单项式(单独一个数或()也是单项式)、单项式中的()叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的()叫做这个单项式的次数、 (2)多项式： 几个单项式的()叫做多项式、在多项式中，每个单项式叫()做多项式的(),其中次数最高的项的()叫做这个多项式的次数、不含字母的项叫做 (3)整式： ()与()统称整式 4、同类项： 在一个多项式中，所含()相同并且相同字母的()也分别相等的项叫做同类项、合并同类项的法则是()。 5、整式的除法 ⑴单项式除以单项式的法则：把()、()分别相除后，作为商的因式;对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式、 ⑵多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以()，再把所得的商()