第八章 Black-Scholes 模型
金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到：
过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。 因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。离散时间模型的极限情况是连续时间模型。事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。 In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。并对所需的参数进行估计。最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。
1．连续时间随机过程
我们先介绍Markov 过程。
定义：一个随机过程{}0≥t t X 称为Markov 过程，如果预测该过程将来的值只与它的目
前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即
[][]t s t s X X E X E =ψ
（1）
这里，t s ≥，t ψ表示直到时间t 的信息。 我们通常假设股票的价格过程服从Markov 过程。假设IBM 公司股票的现在的价格是100元。如果股票价格服从Markov 过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。唯一相关的信息是股票当前的价格100元。由于我们对将来价格
的预测是不确定的，所以必须按照概率分布来表示。股票价格的Markov 性质说明股票在将来任何时间的价格的概率分布不依赖于价格在过去的特殊轨道。 股票价格的Markov 性质与市场的弱形式的有效性有关。这说明股票现在的价格已经包含了隐含在过去价格中的有用信息。 考虑一个随机过程的变量t X 。假设它现在的值为10，在任何时间区间t ?内它的值的变化量，t t t X X -?+，服从正态分布()t N ?,0，且不相交时间区间变化量是独立的。
在任何两年内它的值的变化量为t t X X -+2，满足
t t X X -+2=12++-t t X X +t t X X -+1
由假设，12
++-t t X X 与t t X X -+1独立，且12++-t t X X 服从()1,0N ，t t X X -+1服从
()1,0N 。两个独立正态分布随机变量的和为正态分布随机变量，均值为各个均值的和，方差为各个方差的和。所以t t X X -+2服从正态分布()2,0N 在任何半年内，t t X X -+5.0服从正态分布()5.0,0N
不确定性与时间的平方根成比例。
上面假设的过程称为布朗运动 (Brownian motion)，也称为Wiener process 。这是一种特殊的Markov 随机过程，在每年的变化量的均值为0，方差为1。
定义：一个(标准的、 1-维) 布朗运动是一个连续的适应过程z ={t z ,t ψ; 0≤t <∞} ，其值域为R 且满足如下性质： （1） 00=z a.s .
（2） 对任意的 0≤s 有时，我们将用到区间[0,T ]上的布朗运动z ={t z ,t ψ; 0≤t ≤T } ，这里 T >0, 这个概念可以类似地定义。 性质： 1）一个标准布朗运动既是 Markov 过程又是鞅。 2）在任何小时间区间t ?内的变化量为 t z ?=?ε 这里ε是标准正态分布。 3）任何两个小时间区间的变化量是独立的。 考虑变量在时间T 内的值的增加量0z z T -。可以把它视为z 在N 个小时间区间 t ?的增量的和，这里 t T N ?= 因此 ∑=?=-N i i T t z z 1 0ε （2） 这里i ε是独立的标准正态分布。 []00=-z z E T []T t N z z T =?=-0var 例子： 推广的Wiener 过程 bdz adt dx += （3） 这里b a ,视常数。 为了理解（3），分别考虑它右边的两部分 （1）adt 说明x 在单位时间的期望漂移率为a adt dx = 或者 at x x +=0 这里0x 是x 在时间0的值。 （2）bdz 是加在x 轨道上的噪声或者扰动。 在一个小时间区间t ?，x 的变化量x ?为 t b t a x ?+?=?ε 因此x ?服从正态分布 []t a x E ?=? ()t b x ?=?2var 在一个时间区间T ，x 的变化量0x x T -为正态分布 []aT x x E T =-0 []T b x x T 20var =- 所以推广的Wiener 过程的期望漂移率 (average drift per unit of time) 为a ，方差率(variance per unit of time)为2 b 。 Ito 过程 dz t x b dt t x a dx ),(),(+= （4） 在一个小时间区间t ?，x 的变化量x ?为 t t x b t t x a x ?+?=?ε),(),( 所以Ito 过程在一个小时间区间t ?的期望漂移率为),(t x a ，方差率为2 ),(t x b 。 Ito 引理 2. 股票的价格过程 我们讨论不支付红利股票价格服从的随机过程。我们可以假设股票的价格过程服从推广的Wiener 过程，即常的期望漂移率和常数方差率。但是，这个过程不满足股票价格的一个关键特征：投资者要求的股票期望回报率应该独立于股票价格，股票回报率在短时间内的变动也应该独立于股票的价格。如果当股票价格是10元时，投资者要求的每年期望回报率是14%，则当股票的价格是50元时，投资者要求的每年期望回报率也是14%。通常我们也假设在一个短时间t ?内，回报率的变动也独立于股票的价格。 如下的Ito 过程满足要求 Sdz Sdt dS σμ+= 这里σμ,为常数。我们称之为几何布朗运动。这是应用最广泛的描述股票的价格过程。σ是股票价格的波幅，μ是股票价格的期望回报率。 如果没有随机项，则 t S S ?=?μ 在极限状态下 dt S dS μ= 从而 T T e S S μ0= 这说明，当方差率为0时，股票价格以每单位时间连续复利率μ增长。 例子： 几何布朗运动的离散时间版本为 t t S S ?+?=?σεμ The variable S ?is the change in the stock price, S , in a small interval of time, t ?; and εis a random drawing from a standardized normal distribution. The parameter, μ, is the expected rate of return per unit of time from the stock and the parameter, σ, is the volatility of the stock price. Both of these parameters are assumed constant. The left hand the above equation is the return provided by the stock in a short period of time, t ?. The term t ?μis the expected value of this return, and the term t ?σεis the stochastic component of the return. The variance of the stochastic component (and, therefore, of the whole return) is t ?2 σ. This is consistent with the definition of the volatility, σ, that is , σis such that t ?σis the standard deviation of the return in a short time period, t ?. 正态分布 () t t N S S ???2,~σμ 参数μ和σ The process for the stock prices developed in this chapter involves two parameters μ and σ. The parameter, μ, is the expected continuously compound return earned by an investor per year. Most investors require higher returns to induce them to take higher risks. It should also depend on the level of interest rates in the economy. The higher the level of interest rates, the higher the expected return required on any given stock. Fortunately, we do not have to concern ourselves with the determinants of μ in any detail because the value of a derivative dependent on a stock is, in general, independent of μ. The parameter σ, the stock price volatility, is, by contrast, critically important to the determination of the value of most derivatives. Typical values of σ for a stock are in the range 0.20 to 0.40. 对S ln 利用Ito 引理得到 dz dt S d σσμ+??? ? ??-=2ln 2 这说明S ln 服从推广的Wiener 过程。从而S ln 在时间0和T 之间的变化量过程正态分布 N S S T ~ln ln 0-??? ? ?????? ??-T T σσμ,22 即 N S T ~ln ? ?? ? ? ????? ??-+T T S σσ μ,2ln 2 0 T S 的期望值 T S 的方差 例子： 股票在时间0和T 之间连续复利回报率η的分布： T T e S S η0= ??? ? ?????? ? ?-T σ σμη,2~2 例子： 3. Black-Scholes 公式：套期保值方法 有许多种方法可以得到Black-Scholes 期权定价公式。我们在本节中给出的方法尽管不是最短的，却是最直观、最具有创造性的一种方法。 Black-Scholes-Merton 微分方程是以不支付红利股票为标的物的衍生证券价格都必须服从的方程。得到这个方程是得到Black-Scholes 期权定价公式的关键。 Black-Scholes-Merton 分析类似于二项树模型中的套期保值方法。由标的股票和期权构成的证券组合是无风险的，所以由无套利原理，该证券组合的回报率应该是无风险利率。能够构造无风险证券组合的原因在于，导致股票价格和期权价格风险的不确定因素是相同的：股票价格的波动。在任何短时间内，看涨期权价格和标的股票价格是完全正相关的。看跌期权价格和标的股票价格是完全负相关的。在任何情况下，利用股票和期权，通过恰当的构造证券组合，股票上的收益或者损失总是正好抵消期权上的损失或者收益。从而这个证券组合的回报是无风险的。这个特点是Black-Scholes-Merton 分析的中心和得到定价公式的关键。 例子： Black-Scholes-Merton 分析和二项树模型之间的主要差别在于，在Black-Scholes-Merton 分析中，证券组合是无风险的只是瞬间的事，所以必须时时刻刻调整股票和期权的头寸来保证无风险的性质。 假设1：标的股票的价格)(t S 服从如下的随机微分方程 )()()(t dw dt t S t dS σμ+=， x S =)0(， 这里， μ为常数， σ为常数， (){}0≥t t w 为标准布朗运动， x 为常数。 假设2：无风险债券的价格)(t B 服从如下的方程 dt t rB t dB )()(=， （5） 这里，)0(B 、r 为常数。 假设3：市场无摩擦（无交易成本，无买卖差价bid-ask spread ，无抵押，无卖空限制，无税收） 假设4：无违约风险 假设5：市场是完全竞争的 假设6：价格一直调整到市场无套利 下面，我们给出求Black-Scholes 期权定价公式的方法。对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数 ()t t S C c t ),(=， 这里，我们并不知道函数()C ?的具体形式，只知道它在()[)00,,+∞?T 是两次连续可微的。 对函数()C ?利用It?引理，我们得到 ())()(),()(t dw t S t t S C dt t dc x Y t σμ+=，t T <， （6） 这里， ()()()()2221) (),(),()(),(t S t t S C t t S C t S t t S C t xx t x Y σμμ++=。 下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨 期权的价格。假设自融资交易策略()a b ,=(){}T t b a t t ≤≤0:,满足此要求，这里，a t 表示在时间t 购买的股票份数，b t 表示在时间t 购买的债券的份数，则 t t t c t B b t S a =+)()(，[]t T ∈0,。 （7） 由(4)、(5)和上式，我们得到 )()(t dB b t dS a dc t t t += ())()()()(t dw t S a dt r t B b t S a t t t σμ++=， （8） 通过比较(6)与(7)两式中)(t dw 与dt 的系数，我们来确定满足要求的自融资交易策略。首先，我们比较)(t dw 的系数，得到()t t S C a x t ),(=。由(7)，我们得到 ()()t t S C t B b t S t t S C t x ),()()(),(=+， 从而 ()()[])(),(),() (1 t S t t S C t t S C t B b x t -= 。 其次，我们比较dt 的系数，得到，对于t T <有 ()()()t t S C t rS t t S C t t S rC x t ),()(),(),(++- ()0 ),()(2 221=+t t S C t S xx σ (9) 为了(9)成立，只需()C ?满足如下的偏微分方程 ()()()()-+++=rC x t C x t rxC x t x C x t t x xx ,,,,12 220σ， (10) ()()[)x t T ,,,∈∞?00， 方程（10）称为Black-Scholes-Merton 微分方程。针对以股票为标的物的不同的衍 生证券，该方程有不同的边界条件，解带边界条件的Black-Scholes-Merton 微分方程就得到衍生证券的价格。 注：1）证券市场是动态完备的，即任何证券都可以由股票和债券来模拟其支付。 2）为了模拟衍生证券的价格，交易策略需要每时每刻进行调整。 3）方程（10）的任何解是一种可交易的衍生证券的理论价格。如果这种衍生证券存在，不会产生任何套利机会。但如果一个函数),(t S f 不是方程（10）的解，在不产生套利机会的条件下，它不会是某种衍生证券的价格。 4）方程（10）不包含μ。 例子：以不支付红利的股票为标的物的远期合约是一种衍生证券，它的价格 )(t T r Ke S f ---= 满足方程（10）： 由欧式期权的到期日支付得边界条件 ()()+ -=K S T S C 00,，()∞∈,00S 。 (11) 利用Feynman-Kac 公式，通过解带边界条件(10)的偏微分方程(11)，我们得到Black-Scholes 期权定价公式 )()(2100d N Ke d N S c rT --= （12） 这里 T T T r K S d f σσ21ln 0 1++??? ? ?= d d T 21=-σ。 根据平价公式我们可以欧式看跌期权的价格为 )()(1020d N S d N Ke p rT ---=- （13） Black-Scholes 期权定价公式的性质 下面我们讨论Black-Scholes 期权定价公式的性质。 当股票价格0S 变的充分大的时候，看涨期权一定会被执行。这时，看涨期权非常类似于执行价格为K 远期合约。由远期合约的价值方程，我们预期期权的价格为 rT Ke S --0 由公式（12）我们知道，当0S 变的充分大的时候，看涨期权价格确实趋近于这个价格。看跌期权价格趋近于0。 当股票价格的波幅σ趋近于0时，股票的风险趋近于0，股票价格以r 增长。到时间T ，股票价格为rT e S 0，看涨期权的支付为 [] 0,max 0K e S rT - 以r 进行折现，看涨期权现在的价格为 [][] 0,max 0,max 00rT rT rT Ke S K e S e ---=- 为了证明这个价格与方程（12）给出的价格一致，我们分情况讨论： 当K e S rT >0时 当K e S rT <0时 类似的可以证明，当股票价格的波幅σ趋近于0时，看跌期权的价格为 [] 0,max 0S Ke rT --。 4．Black-Scholes 公式：等价鞅测度方法 我们在二项树模型中证明了，市场不存在套利机会等价于存在唯一的等价鞅测度。在连续时间模型中我们也能够证明同样的结论：在目前的框架下，市场不存在套利机会等价于存在唯一的等价鞅测度。我们在这里不给出正式的证明，而是通过分析Black-Scholes-Merton 微分方程的一个重要性质来得到这一重要的定价理论。Black-Scholes-Merton 微分方程的一个重要性质是，方程中不包含任何与投资者风险偏好有关的变量，只包括股票现在价格、时间、波幅和无风险利率。这些变量都独立于投资者风险偏好。这与我们在二项树模型中得到的结论一样。如果方程Black-Scholes-Merton 微分方程包含μ，则不独立于风险偏好，因为μ依赖于风险偏好。投资者的风险厌恶程度越高，μ越大。 既然Black-Scholes-Merton 微分方程不依赖于任何投资者风险偏好，所以它对于任何投资者都成立，或者说任何投资者都认为衍生证券的价格应该满足该方程。特别地，对于风险中性的投资者而言，衍生证券地价格也满足该方程。在一个风险中性的市场中，在等价鞅测度下，所有证券的回报率应该为无风险利率，原因是投资者承担风险不需要酬金。同样的，在一个风险中性市场中，任何现金流的目前值等于该现金流的期望值的以无风险利率为折现率的折现值。这个性质简化了衍生证券的定价问题。 考虑一种衍生证券，在特定的时间提供一次支付。利用等价鞅测度方法，我们可以按照如下的程序来计算价格： 1．假设标的物的期望回报率是无风险利率r ，即r =μ。 2．在等价鞅测度下，计算衍生证券在到期日的期望支付。 3．以无风险利率对这个期望值进行折现。 应该提到的是，等价鞅测度方法仅仅是一种人为构造的定价方法，这种方法为Black-Scholes-Merton 微分方程提供了一种求解的方法。尽管这个解是在等价鞅测度下得到的，但是这个解在原始的概率测度下也成立，因为Black-Scholes-Merton 微分方程不依赖具体的概率测度。 例子：以股票为标的物的远期合约的价格 假设利率是常数，等于r 。远期利率的到期日为T ，交割价格为K 。 下面我们利用等价鞅测度方法来再一次给出Black-Scholes 期权定价公式，在所有推导Black-Scholes 期权定价公式的方法中，这种方法是最简洁的一种。 因为当标的股票不支付红利时，C c =，所以方程也给出了美式看涨期权的饿价格。但对于美式看跌期权，即使标的过不支付红利，我们也无法得到类似的显示解，而只能利用我们在前一章中的二项树模型进行数值计算和逼近。 直到现在，我们都假设r 是常数。当利率时随机的时，通常假设利率r 等于到期日为T （期权的到期日）的零息债券的无风险利率。 5．波幅 (volatility) 股票波幅的值位于20%到40%之间。股票价格的波幅可以定义为股票在一年内提供的回报率的标准差，这里的回报率以连续复利计算。股票价格的波幅还可以看作股票在一年末价格的自然对数的标准差。 当t ?充分小时，方程 N S S T ~ln ln 0-? ?? ? ?????? ? ?-T T σσμ,22 证明t ?σ可以近似的等于股票价格在时间t ?内变化比例的标准差。假设3.0=σ/年，股 票现在的价格为50元。股票价格在一周内变化比例的标准差近似为 52 1 3.0? =0.0416 从而股票价格在一周内波动的标准差为50?0.0416。股票将来价格的不确定性，以标准差刻画，和未来时间的平方根成比例。 利用历史数据估计波幅 为了估计股票价格经验的波幅，通常选取固定时间区间的数据。 隐含波幅 (implied volatility) 在Black-Scholes期权定价公式中，不能直接观察到的参数是股票价格的波幅。在上面我们已经讨论如何利用股票价格的历史数据来估计波幅。在这里，我们利用另外一种方法来估计这个参数，我们利用观察到的期权的市场价格来推导波幅，得到的波幅称为隐含波幅。例子： 隐含波幅用来掌握市场对特殊股票波幅的态度。 6．标的股票支付红利 前面的分析假设股票没有红利，当股票价格有红利时，我们的分析也适用。假设红利支付的时间和规模时确定的，在应用Black-Scholes期权定价公式时，股票的价格用价格与红利的折现值之差代替。 例子： 金融衍生品工具期中论文翻译 金融衍生品及套利定价 Andrea Pascucci 王凌霄 20081340043 金融衍生品是一种价值取决于一个或一个以上多证劵或者基础资产的合约。基础资产可以是股票，债券，货币兑换率也可以是货品的报价单，例如金，石油和小麦。 1.1 期权 期权是金融衍生工具种最简单的一个例子，它是一种拥有在未来某个特定时间以特定的价格买卖一些基础资产权利（但没有义务）的合约。所以在期权合约中，我们需要特别指出?一种基础资产； ?合约价格K，称为执行价格； ?日期T，称为合约到期日 看涨期权拥有购买的权利，看跌期权拥有卖出的权利，欧式期权则只能在合约到期日进行买卖，美式期权则可以在任意时刻进行买卖。 我们考虑一个以执行价格为K，合约到期入为T的欧式期权，我们在合约到期日以价格ST 卖出。在日期T我们有两种可能（1.1）：如果ST>K,根据相应期权获得利润，最后的盈利等于ST-K，（例如以价格K买入，然后以ST卖出）如果ST 1.3欧式看跌期权盈利 1.4跨式盈利 最后，我们可以得到欧式看张期权盈利的公式为 (K ?S T )+ = max{K ?S T , 0}. 看涨期权和看跌期权是基础金融衍生品工具，现在他们也经常被称为普通期权。将这些期权合并，可能建立起新的衍生品工具：例如对同一资产购买看涨和看跌期权，确定执行价格和合约到期日期，我们得到了一个衍生品，我们将它称为鞍式期权，他的盈利增长比执行价格大的多的多。这种类型的衍生品盈利是靠价格在一边大幅度变化，而我们并不需要对价格的走向进行预测。显然，期权的价格可以以普通期权的形式进行定价，另一方面，在现实的市场当中存在着许多金融衍生品，他们有复杂的结构，这些衍生品在市场当中 不断得扩展和发展。 1.1.1 主要用途 衍生品的应用主要有两个用途： ?规避风险 ?投机 例如，我们假设一个投资者拥有股票S：购买看跌期权S，他拥有将来一敲定价格卖出S的权利，因此他或她规避了S价格崩盘的风险。类似的，一家石油公司回购买看张期权让他有权利在未来以相对低的价格购买石油，这样做，公司规避了将来石油价格上涨带来的风险。最近几年，衍生品的应用也越来越广泛：不久以前购房贷款的汇率只能固定或者可变，然而现在报价将更广泛。例如，我们不难发现，贷款汇率有上限：这种构架的产品包含一种虎扑多种衍生品 第三章 期权价格的性质 在第一章里，我们定性地讨论了期权价格的性质。我们不但描述了影响期权价格的各种因素，而且讨论了在各种情况下期权的支付。在这一节里，我们将应用无套利原理严格证明欧式期权价格的一些重要的性质。需要强调的是，我们并不对标的资产的未来价格的分布作任何假设。在上一章中，我们利用标的资产和债券合成构造远期合约和期货合约，投资银行可以利用这种方法来为远期合约和期货合约做市及对冲风险。同样地，在本章中，我们利用合成构造期权的方法来为期权做市及对冲风险。我们仅仅研究以同一种资产为标的物的看涨和看跌期权价格之间最基本的关系。本章主要内容：美、欧式期权价格的上下界；美式期权的提前执行；红利对期权价格的影响；看涨和看跌期权价格之间的平价关系。 我们不妨假设标的物为某种股票，其在时间t 的价格为S t ，期权的执行价格为K ，到期日为一期，即，T =1，无风险利率为f r （或者r ），按离散或者连续方式计算复利。我们以t t t t P p C c ,,,分别表示欧式看涨、美式看涨、欧式看跌、美式看跌期权在时间t 的价格。 1．期权价格的上、下界 由第一章内容，期权价格受标的股票的价格、执行价格、标的股票的价格的方差、到期日、无风险利率和到期日之前标的资产的预期红利六种因素的影响。 1.1 上界 美式或者欧式看涨期权的持有者拥有以一定价格购买一份股票的权利，所以在任何情形下，期权的价值不会超过标的股票的价格 t t S c ≤ t t S C ≤ 否则，买入股票，卖空看涨期权就能获得套利机会。 例子：标的股票价格为30元，执行价格为25元的看涨期权，其价格不超过30元（不管是美式还是欧式）。如果价格为40元，如何构造套利机会？ 看涨期权的价格永远不会超过标的股票的价格。即使执行价格为零，期权永远不到 期，期权的价格也至多为S T 。甚至在这种极端情形下，期权的价格也可能比标的股票的价格低，因为股票有选举权，而期权没有。 美式或者欧式看跌期权的持有者拥有以执行K 价格卖一份股票的权利，所以在任 何情形下，期权的价值不会超过K K p t ≤ K P t ≤ 对欧式看跌期权而言，我们知道它在到期日的价格不会超过K ，所以 r K p t +≤ 1 否则，卖出期权，投资在无风险利率，获得套利 例子：r =5%，t S =30元， K =25元，1 25?-≤r t e p 1.2 以不支付红利股票为标的物的欧式期权价格的下界 《地球物理测井》课程设计 指导老师 专业地质学 班级 姓名 学号 一、课程设计目的： 通过对《地球物理测井》基本理论与方法的学习，对某实际测井资料进行岩性划分与评价、储层识别、物性评价及含油气性评价。获得常规测井资料分析的一般方法，目的是巩固课堂所学的的理论知识，加深对测井解释方法的理解，会用所学程序设计语言完成设计题目的程序编写，利用现有绘图软件完成数据成图，对所得结果做分析研究。 二、课程设计的主要内容: 1．运用所学的测井知识识别某油田裸眼井和套管井实际测井资料。 2．使用井径、自然伽马和自然电位划分砂泥岩井段划分渗透层和非渗透层。 3．根据密度、声波和中子孔隙度测井的特点，在渗透层应用三孔隙度测井曲线求出储层的平均孔隙度。 4．根据划分出的渗透层，读出裸眼井和生产井储层电阻率值。 5．根据阿尔奇公式计算裸眼井原始含油饱和度和剩余油饱和度。 6．根据开发过程中含油饱和度的变化，确定储层含油性的变化，并判断该储层的性质。 三、基本原理： （一）岩性划分 岩性是指岩石的性质类型等，包括细砂岩、粉砂岩、粗砂岩等，同时还包括碎屑成分、填隙物、粒间孔发育、颗粒分选、颗粒磨圆度、接触关系、胶结类型等方面。通过划分岩性和分析岩心资料总结岩性规律，其研究主要依据岩心资料，地质资料和测井资料等。通过分析取心井的岩心资料和地质资料以及测井曲线的响应特征来识别岩性，并建立在取心井上的泥质含量预测解释模型。一般常用岩性测井系列的自然伽马GR、自然电位SP、井径CAL 曲线来识别岩性。 1 定性划分岩性是利用测井曲线形态特征和测井曲线值相对大小，从长期生产实践中积累起来的划分岩性的规律性认识。首先掌握岩性区域地质的特点，如井剖面岩性特征、基本岩性特征、特殊岩性特征、层系和岩性组合特征及标准层特征等。其次，要通过钻井取心和岩屑录井资料与测井资料作对比分析，总结出用测井资料划分岩性的地区规律。表1为砂泥岩剖面上主要岩石测井特征。 岩性自然电位自然伽马微电极电阻率井径声波时差 泥岩泥岩基线高值低、平值低、平值大于钻头 直径 大于300 页岩近于泥岩基线高值低、平值低、平值较泥 岩高大于钻头 直径 大于300 粉砂岩明显异常中等值中等正幅度 差异低于砂岩小于钻头 直径 260-400 砂岩明显异常(Cw≠ Cmf)低值明显正幅度 差异 中等到高，致 密砂岩高 小于钻头 直径 250-450(幅度较 为稳定) 一、单项选择题 1. 一般情况下，期货合约（）。 A. 较近月份交易价格低于较远月份交易价格 B. 不存在套期保值 C. 不存在投机 D. 较近月份交易价格高于较远月份交易价格 2. Cracked Corn公司（CCC）买入一份玉米期货合约，农民John 卖出一份玉米期货合约。如果玉米价格上涨，下列选项中表述正确的是（）。 A. John的保证金账户金额增加 B. CCC的保证金账户金额增加 C. CCC直接向John付款 D. John直接向CCC付款 3. 远期合约买方的风险不包括（）。 A. 现货价格下跌 B. 交割履约问题 C. 生产商的信用问题 D. 现货价格上涨 4. 下列各项中关于持有成本模型正确的是（）。 A. 期货价格=远期价格-持有成本 B. 期货价格=现货价格-持有成本 C. 期货价格=现货价格＋持有成本 D. 期货价格=远期价格＋持有成本 5. 期货合约初始保证金账户金额由（）来确定。 A. 期货交易所 B. 期货买方 C. 期货卖方 D. 期货经纪 6. 期货合约的盈利可在（）实现。 A. 交割时 B. 每月 C. 每天 D. 合约购买时 7. 下列（）情况下，采用期货合约交割商品时可能并无益处。 A. 卖方可能实现亏损 B. 合约价格等于现货价格 C. 期货合约不要求交割 D. 买方只是进行投机 8. 期货账户中每天调整保证金账户的做法被称为（）。 A. 逐日盯市 B. 保证金要求 C. 清算所 D. 投机 二、多项选择题 9. 期货合约在交易所挂牌的好处包括（）。 A. 价格有效性 B. 合约标准化 C. 消除了信用风险 D. 降低了基差风险 三、判断题 10. 一般情况下，在远期合约中，如果商品价格在交割时下跌，则卖方盈利。（） 正确 错误 第六章综合地质地球物理方法 第一节不同勘探阶段的综合地质地球物理方法 一、成矿远景预测阶段 矿产勘查中要解决的首要问题是到什么地方去找矿，为此首先要选择成矿的远景靶区。地质、地球物理及地球化学人员通过地质调查与地球物理、地球化学测量获得的资料研究区域的构造、矿源层、成矿规律、成矿环境和成矿条件，预测成矿的远景区。 （一）地质任务 1．成矿的地质前提研究 在评价固体矿产成矿区的远景时，要研究岩浆控制条件、地层条件、岩性条件、地球化学条件及地貌条件等。其中主要的是岩浆、构造和地层控制条件，而区域和深部地质构造是控制全局的。已知与超基性岩紧密相关的矿床有铬、铂、金刚石和磷灰石等；与基性岩共生的矿床有钛磁铁矿和硫化镍矿；与中性和酸性火成岩有关的矿床有钨、锡、钼、铜、铅、锌、金、铀与石英等。区域性和深部地质构造控制着成矿区、成矿带、矿田和矿床的位置。在成矿区的划分时，区域性和深部地质构造有很重要的作用。断裂带是岩浆侵入的通道，褶皱与大断裂交叉处往往是控制成矿的远景区。在评价内生矿区时，岩浆和构造控制是主要的；而在评价海相沉积矿床时，地层及构造控制则是主要的。前寒武纪是最古老和规模最大的鞍山式铁矿的成矿时期；震旦纪是宣化式铁矿的成矿时期；上泥盆纪是宁乡式铁矿的成矿期；奥陶纪是灰岩侵蚀面上的中石炭纪底部的山西式铁矿的成矿期；二叠纪是涪陵式铁矿的成矿期。铀矿、锰矿、铜矿、铝土矿等都受地层控制；有些内生矿床受不透水盖层的控制，如汞矿。锑矿、多金属矿。 2．含矿性标志 在确定成矿远景区时，除了要考虑成矿的地质前提外，远景区内还应有含矿性标志存在。凡能直接间接证明被评价地区地下存在着矿产的任何地质、地球化学、地球物理或其他因素， 都可算作含矿性标志。成矿作用的直接标志有：○1天然或人工露头（矿产露头）上的矿产显示；○2有用矿物和元素的原生晕和分散晕区；○3有用矿物和元素的次生机械晕、岩石化学、水化学、气体和生物化学晕、晕区和分散流；○4地球物理异常；○5古探矿遗迹和矿产标志。成矿作用的间接标志包括：○1蚀变的近矿围岩；○2矿化的矿物和伴生元素；○3历 史地理和其他间接资料。 （二）地质、地球物理与地球化学综合预测成矿远景区 矿产在地壳中的分布受各种成矿条件的控制，不同类型矿床，其成矿控制条件不同，研究的重点也不同，如内生矿床着重研究岩浆岩、构造以及围岩岩性条件，沉积矿床应着重研究地层、岩性、岩相和构造条件，风化矿床还应研究风化作用条件，对各类砂矿主要研究地貌条件，对变质矿床要研究变质作用条件。 1．地质、遥感与物探结合查明构造条件 第七章 美式期权定价 由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。 对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。 许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ）， 假设： 1．市场无摩擦 2．无违约风险 3．竞争的市场 4．无套利机会 1．带息价格和除息价格 每股股票在时间t 支付红利t d 元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。 ()()t e c d t S t S += 这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e 表示股票在时间t 的除息价格。 这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +1，则存在套利机会。 首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。 其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。 已知： 22 () 22 (,)() Z Z r T rT f S T e F Se e dZ σ +∞-- - -∞ =?， (,) (,) f S T S T S ? ?= ? ， 2 2 (,)(,) f S T S T S ? Γ= ? ， (,) (,) f S T S T T ? Θ=- ? . 求证：22 1 (,)(,)(,)(,) 2 S T S S T rS S T rf S T σ Θ=-Γ-?+. 证明：只需证明22 1 (,) 2 ((,) ) ) , , ( S S f S r T f S rS T S T T T σ+- ? ? Γ = ? . 设 2 () 2 (,,)Z r T G S T Z Se σ - =，(,,)((,,)) H S T Z F G S T Z =，则 2 2 (,)(,,) Z rT f S T e H S T Z e dZ +∞- - -∞ =. 于是 22 2 22 2 (,) (,) (,,)(,,) (,,) Z Z rT rT Z rT f S T e H S T Z e dZ e H S T Z e dZ T T e H rf S T Z S e T dZ T +∞+∞ -- -- -∞-∞ +∞- - -∞ ?? ?? ' ?? =+? ?? ???? ?? ? =+? ??? - 红色部分证毕. 对第二项，由先求积分后求偏导，变为先求偏导后求积分，则 22 22 (,,) (,,) Z Z rT rT H S T Z e H S T Z e dZ e dZ T T - +∞+∞ -- - -∞-∞ ?? ?? = ? ?? ?? . 接下来只需证明 2 2 22 1 (,) (,,) () 2 , Z rT S S T H S T Z e rS S T dZ T σ - +∞- -∞ ? ? Γ =+ ? . 回忆一下复合函数求导法则： 若(,,)((,,)) H S T Z F G S T Z =，则 (,,)(,,) ((,,)) H S T Z G S T Z F G S T Z T T ?? ' = ?? . 于是有 22 () 2 (,,) ((,,)) 2 Z r T H S T Z F G S T Z Se r T σσ -? ? ' =-? ?? . 2 () 2 (,,) ((,,))Z r T H S T Z F G S T Z e S σ - ? ' = ? (这个式子很重要！)，(1) [Petrel]地质建模我们需要考虑些什么？（二） 如果你对于地球物理感兴趣，你可以继续看二、三、四，否则我建议你等两天直接看五。 速度前奏 由井的分层到地震剖面的时间，我们是通过一种叫做“人工合成地震记录（Synthetics）”的技术来建立井点处的时间与深度的对应关系的。 这张图算是相对比较标准的作对比的剖面。不过你比较经常看到的是下面的两种： 其实这个标着b)的图上的井对应的东西不叫人工合成地震记录，而叫做垂直地震剖面（VSP，Vertical Seismic Profile），就是在井眼上像我们做地震一样做那么一遍（详细机理我们就不说了，你可以搜搜相关的词），这样我们就有机会把这两种不同的地震数据放在一起来比较一下了，因为它们都是地震而且位置也重合，它们的相似度肯定很高，这个过程就是“标定”。所谓“标定”，就是把地震剖面的时间和井上的深度一一对应起来。我这里只想告诉你的是Synthetics其实就是模拟的VSP。这跟我们通过声波曲线来解释孔隙度的过程有些类似，但是这个过程似乎更加成熟了一些。现在有些地方甚至不再怎么测VSP测井，而是直接利用人工合成地震记录来替代真实的井眼处地震记录来进行“标定”。 如果可以继续用开车去东来顺这个例子，VSP就是真的开一辆车，拿一个秒表在标志性建筑前计时，一直到达东来顺为止；Synthetics则相当于你在电脑游戏空间内模拟了一个数字化北京，在其中理论性的开一个车，也到处拿个秒表去卡到达标志性建筑的时间。 而在标志建筑物前计时的过程我们称之为“Checkshot”。Checkshot，就是你跑拉力赛，有一些必须经过的点会给你的车拍照，以避免你抄近路。在地球物理学家那里就是时间-深度对应关系的意思。如果一个井或者一个工区你有了Checkshot就意味着这口井或者这个工区都可以同时在时间域和空间域内被你识别到。换言之，你在垂向上有两种坐标，一种标米，一种标毫秒。 对于我们地质学家来说，Checkshot就是一扇窗户，透过它你将看到一个扭曲世界中的真实——对于地球物理学家来说，非常非常真实。 如果你有了Checkshot，那么其实你就等于说有了一连串的 时间1 深度1 时间2 深度2 时间3 深度3 : : 第八章 Black-Scholes 模型 金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。 因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。 直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。二项树模 型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。离散时间模型的极限情况是连续时间模型。事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。（2）可以方便的利用随机分析工具。 任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。 In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。并对所需的参数进行估计。最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。 1．连续时间随机过程 我们先介绍Markov 过程。 定义：一个随机过程{}03t t X 称为Markov 过程，如果预测该过程将来的值只与它的目 前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即 [][]t s t s X X E X E =Y （1） 这里，t s 3，t Y 表示直到时间t 的信息。 我们通常假设股票的价格过程服从Markov 过程。假设IBM 公司股票的现在的价格是100元。如果股票价格服从Markov 过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。唯一相关的信息是股票当前的价格100元。由于我们对将来价格 《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介 同济大学数学系 姜礼尚 期权（option）是一类金融衍生工具，但从更广义上讲，期权是一种未定权益（Contingent Claim），它是一种选择权；应用Black-Scholes-Morton 期权定价原理，可以为多种不同形式的未定权益和选择权给出一个“公平”的估价。基于这个理念，我们认为期权定价原理的应用绝不仅限于期权本身的定价，而应更广泛地应用于金融、保险、财务、投资等各个不同领域。本书正是从这个思路出发，试图利用期权定价原理对当前市场上流行的一些金融和保险的创新产品进行定价。在这里我们把这些创新产品看成是相关标的资产(underlying assets)：外汇、黄金、股指、公司资产和利率等的衍生物，基于无套利原理，得到一个风险中性的“公平”价格，它的定价强烈地依赖于相关标的资产的数学模型，虽然它只是一种近似，但对金融机构的实际定价具有重要的参考价值。 本书可以看作是拙作“期权定价的数学模型和方法”(高等教育出版社，2003年)的应用篇，着重研究在已有定价模型和方法的基础上，针对各种金融和保险创新产品的具体实施条款，建立数学模型（即建立偏微分方程定解问题），求出它的闭合解或数值解，并进行定量分析，讨论一些金融参数和创新产品定价之间的依从关系。为了帮助更多读者掌握用偏微分方程方法研究Black-Scholes-Merton期权定价原理，我们专门写了“期权定价的偏微分方程模型和方法”一章放在附录中，供大家学习和参考。 本书作为金融数学专业的教学用书和金融、保险、管理等领域的参考教材，它适用于两大类读者：第一类读者是应用数学专业的教师和研究人员，特别是广大攻读金融数学各类学位的研究生和本科生，第二类读者是金融、保险、管理等的从业人员，特别是正在从事金融和保险创新产品设计的金融（保险）分析师，金融（保险）机构的决策人员以及相关的研究工作者。我们深信本书将对他们的学习和研究有所裨益。 本书中绝大部分内容都是我们同济大学数学系风险管理研究所的老师们和研究生们在最近三年内的研究成果，它从一个侧面反映了我们在应用数学理论解决实际问题的漫长道路上所做出的努力和尝试以及我们正在追求的目标。 我们衷心希望本书能起到抛砖引玉的作用，能对Black-Scholes-Morton期权定价原理在这一领域的应用起到一点推动作用。我们真诚地希望，能得到数学届的同仁特别是金融和保险业界从业人员的批评和指正。 2007年1月22日 目录（部分） 序言 第一章 跳扩散模型下的期权定价 §1.1 跳扩散模型 §1.2 期权定价的PDE模型 §1.3 期权定价公式 第二章 个人理财产品案例之一－一类与得利宝有关的理财产品的定价研究 §2.1问题的提出 得利宝之亚洲货币挂钩投资产品是中国交通银行上海分行于2005年11月28日推出一种投资保本型金融产品。它的条款内容是：客户将美元存入银行，银行拿这笔美元去投资另一货币或国债，另一货币是一篮子亚洲货币，篮子货币由日元(JPY)、韩元(KRW)、新加坡元(SGD)、泰株(THB)各占25%构成。投资者通过汇率的变动获取收益，其投资收益由固定收益和参与投资收益两部分构成，参与投资收益＝参与率×[(最终篮子货币值－最初篮子货币值)或零中较大者]，其中，参与率(参与篮子货币投资的比率)为50%，最初篮子货币值指的是交易本金，最终篮子货币值＝交易本金×(25%×JPY最初汇价/JPY最终汇价＋25% ×KRW最初汇价/KRW最终汇价+25%×SGD最初汇价/SGD最终汇价+25%×THB最初汇价/THB最终汇价)。客户在到期日除了可获得保本的固定收益外，还可获得与亚洲一篮子货币相对美元升幅相挂钩的额外收益。这些一篮子货币升幅越高，客户所获得的收益就越高，即使出现最差情况，一篮子货币相对于美元全部走弱，投资者也可获得保本的收益。因此得利宝具有收益高、风险小、本金安全等特点。 我们将得利宝条款中的投资收益稍作改变：假设到期日T，保本收益为K，参与投资收益为0(T)XXλ+?，总收益为0()T KXXλ++?，其中T X为T时刻的投资帐户资产值，0X为初始 金融衍生产品定价模型综述 蒲实 （重庆大学数学与统计学院2008级统计2班） 一．摘要 衍生证券已经有很长的历史。期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍生证券。十七世纪晚期，在荷兰的Amsterdam 股票交易所，就已经有了期权这种形式的证券交易。1973年建立的Chicago Board Options Exchange (CBOE) 大大带动了期权的交易。19世纪出现有组织的期货市场。 期权定价理论是最成熟也是最重要的衍生证券定价理论。最早的期权定价理论可以追溯到1900年Bachelier (1900) 的博士论文，Bachelier 的主要贡献在于：发展了连续时间游走过程。受Louis Bachelier 工作的启发，Kiyoshi It?在二十世纪四、五十年代作出了随机分析方面奠基性的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来了衍生证券定价理论革命性的飞跃。但是，风险中性定价的概念直到Black-Scholes （1973）和Merton （1973）才得以突破。他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。 我们可以把这些研究大致分为：复杂衍生证券的定价（例如MBS ，奇异期权等）；数值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；拓展模型来解释Black-Scholes 模型不能解释的现象（例如Volatility smile ）；交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。 二．关键词 金融衍生产品，维纳过程(wiener Processes) ，Ito(伊藤)引理，随机过程，布朗运功，套期保值，鞅过程。 三．正文 1． 二项树模型 该模型由Sharpe （1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein （1979）对它进行了拓展，将二项分布用于描述股价运动，从此二叉树模型被广泛运用于衍生品的定价，成为构造离散时 间价格运动的基本模型。定义如下：0S =标的资产现在的价格；q =标的资产上涨的概率； r f =无风险利率；u =标的资产上涨的幅度；d =标的资产下跌的幅度；f =衍生证券现在的价格；u c =当标的资产价格为uS 时衍生物的价格；d c =当标的资产价格为dS 时衍生物的价格 对r f 的限制为u r d f >+>1 我们构造无风险套期保值证券组合：以价格S 0买一份股票，买m 份以股票为标的物的衍生证券（m 称为套期保值比率）。如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。得到：uS mc dS mc u d 00-=-解 金融衍生品定价理论1 陶正如1，陶夏新1，2 1中国地震局工程力学研究所，哈尔滨（150080） 2哈尔滨工业大学，哈尔滨（150080） E-mail ：taozhengru@https://www.doczj.com/doc/322974790.html, 摘 要：金融衍生品有利于规避金融市场风险，而衍生品是否能充分发挥作用则取决于其价格是否合理。本文总结了金融衍生品定价理论的发展，介绍了几种比较具有代表性的定价模型，并进行了简单的评述。 关键词：金融衍生品，定价模型，随机过程 1. 引言 真正的现代金融衍生品始于20世纪60年代末到70年代初，浮动汇率代替当时维系全球的固定汇率制－布雷顿森林体系成为世界各国新兴的汇率制度，西方经济发达国家各类金融机构以自由竞争和金融自由化为基调进行金融创新[1,2]。随着金融市场在全球范围的快速扩张，国际贸易与金融商品交易的风险日益增加，迫切需要规避市场风险、提高交易效率，金融衍生产品作为新兴的风险管理手段应运而生。 金融衍生品的价格衍生自标的资产（商品价格、利率、汇率和股票价格或股价指数等）的价格，根据两者间的关系，可以把衍生品分为两大类[3]：线性衍生品和非线性衍生品。前者主要包括远期、期货和互换合约，其价值与标的资产价值呈线性关系，定价比较容易。后者主要包括期权，以及一些更为复杂的结构化衍生证券和奇异衍生证券，它们的价值与标的资产价值之间呈现出复杂的非线性关系。 在所有的衍生品定价中，期权定价的研究最为广泛，因为与其它衍生品相比，期权易于定价；许多衍生品可表示为若干期权的组合形式；各种衍生品的定价原理相同，可以通过期权定价方法推导出一般衍生品的定价模型[4]。 2. 20世纪90年代前的金融衍生品定价模型 1900年，法国数学家Louis Bachelier 在《投机理论》中提出了最早的期权理论模型，奠定了现代期权定价理论的基础，这标志着研究连续时间随机过程的数学和连续时间衍生证券定价的经济学两门分支学科的诞生[5-14]。Bachelier 的模型第一次给予布朗运动严格的数学描述，假设股价变化满足标准布朗运动、没有漂移、每单位时间方差为σ2，则到期日期权的期望价值是： ()??? ??????+???????????????????=t X S t t X S XN t X S SN t S C σ?σσσ, （1） 其中，C (S , t )为t 时刻股票价格为S 时的期权价值；S 为股票价格；X 为期权的执行价格；t 是距到期日的时间，()?N 为标准正态分布累积函数；()??为标准正态分布密度函数。 巴氏模型比较适用于短期买权的定价，但其假设股价服从标准布朗运动，则股价可能为负，这与股票市场实际不符。另外，模型忽视了资金的时间价值为正的客观事实，期权与股票的不同风险特征和投资者的风险厌恶等问题使其在实际应用中受到限制[6,8,9]。但其仍具有 1本课题得到国家自然科学基金（项目编号：70603025），地震学联合基金（项目编号：606027）， 黑龙江省自然科学基金（项目编号：G2005-13）的资助。 CFA一级考试知识点 第九部分衍生品 衍生品derivative是特殊金融工具，是基于标的资产underlying asset 派生出来的金融产品。标的资产的交易市场成为现货市场spot market，与衍生品市场相对应。衍生品与保险合同非常相似。 标的资产类型分为：金融衍生品、实物衍生品、其他衍生品（天气、总统竞选） 买方buyer，也称为holder，同时也是衍生品多头或持有多头头寸long position。 卖方seller，也称为writer，同时也是衍生品空头或持有空头头寸short position。 交易所交易市场exchange-traded markets，也称为场内市场：标准化合约、没有违约风险、受到监管、交易透明。 场外市场over-the-counter markets，OTC，做市商扮演重要角色，充当买卖双方对手方，通过低买高卖争取差价。特点：合约个性化、存在违约风险/交易对手风险、缺少监管、交易不透明。 衍生品类别： 远期承诺：远期、期货、互换。 或有索取权contingent claim：单务合同，一方有权利无义务，权利义务不对等，期权。 远期合约forward contracts是场外OTC衍生品合约交易价格事先约定，也称为远期价格forward price，是一种零和博弈。交割分为：实物交割delivery、现金交割cash settlement/nondeliverable forwards，简称NDFs（俗称补差价contracts for differences）。 期货合约futures contracts是特殊的远期合约，是标准化standardized，且在期货交易所中交易的合约。因此期货合约流动性更好，并且不容易违约。 期货价格futures price合约中约定的资产未来某一时刻交易的价格。 盯市制度mark to market / daily settlement每日结算制度，结算机构会根据当天的结算价格settlement price来确定收益，确保“当日无负债”。结算价不是最后一笔成交 的价格，而是当天交易时间最后成交的平均价。 每日价格最大波动限制price limit每日的涨跌停板，如果当天交易最后是封在涨停/跌停价格，称为locked limit。 保证金制度：初始保证金initial margin制度和维持保证金maintenance margin。低于维持保证金会接到margin call要求补充保证金至初始保证金金额。 平仓offset / close-out与交割，大多数期货合约不会持有至到期，而是在合约到期前反向平仓以了解头寸。期货价格在合约到期时必然收敛到现货价格。 持仓量open interest指某个时点未平仓头寸的总和。 远期和期货对比： 共同点：是在买卖合同签订时买房双方不会发生任何现金流，即合约是公平签订的，在0期合约对于双方价值均为0。 地质地球物理模型可视化与3D建模国内外研究现状 最早的地质体3D可视化建模软件诞生于西方。其发展的一般历程如下：早在70年代初西方矿业界就将三维造型技术应用于地质、矿业领域。早期的采矿计算机辅助设计阶段是底下三维可视化技术的萌芽和孕育阶段。之后，随着计算机技术的不断更新和三维造型技术的不断进步，三维造型技术也不断吸取先进技术，在地质领域中的应用也不断得到扩展。80年代末图像仿真技术和三维GIS 技术的发展，推动了地下三维可视化技术发展，一大批地下三维软件系统被开发应用；90年代初期，开发了大量基于UNIX且用于工作站环境的软件系统。90年代中期以来，随着微机性能的提高，一些地下真三维建模软件开始一直到Windows操作系统和微机环境。 20世纪80年代以来，三维地学可视化系统应用于地质建模在国外已经变得非常普遍，以美国、加拿大、英国为代表的西方国家相继推出了多种代表性的地学可视化建模软件，如Earth Vision新型地质体建模软件、GeoViz地球物理三维可视化应用软件及3Dseis三维地震分析系统等。 我国科学计算可视化技术的研究始于90年代初期。由于数据可视化所处理的数据量非常庞大，生成图像的算法又比较复杂，过去常常需要使用巨型计算机和高档图形工作站，因而，数据可视化开始都在国家级研究中心、高水平的大学、大公司的研究开发中心进行研究和应用。近年来，随着计算机功能的提高、各种图形显卡以及可视化软件的发展，可视化技术已扩展到科学研究、工程、军事、医学等各个领域。随着本世纪以来矿业的复兴以及GIS热潮在中国兴起，一些GIS软件开发商开始开发通用的三维GIS软件，而一些大型矿业集团也联合一些高等院校或科研机构开始开发专门的地质体三维可视化建模软件。目前我国具有独立自主版权的三维地质模拟软件有北京理正软件设计研究院开发的“地理信息系统——地质专题”。近年来国家自然科学基金委员会大力支持地学可视化研究，先后资助了“复杂地质体的三维建模和图形显示研究”、“油储地球物理理论与三维地质图像成图方法”、“地学时空信息动态建模及可视化研究与应用”等项目。1996年中国科学院地球物理研究所（现为中国科学院地质与地球物理研究所）与胜利石油管理局在国家自然科学基金会重点项目“复杂地质体”中，开始追踪研究GOCAD。长春科技大学在阿波罗公司TITANGIS上开发了GeoTransGIS三维GIS，主要用于建立中国乃至全球岩石圈结构模型的三维信息。石油大学开发的RDMS、南京大学与胜利油田合作开发的SLGRAPH都是用于三维石油勘探数据可视化。中国地质大学开发的三维可视化信息系统GeoView可实现真三维地学信息管理、处理、计算分析与评价决策支持。 但从总体上来说，我们国内的水平与国外先进水平还有差距。现在国内石油公司、地球物理公司等单位普遍使用的地质建模软件大都是从国外引进的并以Land-mark公司和GeoQuest公司的解释系统居多。因此，组织力量开发可视化商业软件，并通过市场竞争，促使其逐步成熟，已成为当务之急。 研究所名称：地质与地球物理研究所 一个定位 内容备注以固体地球各圈层物质组成和界面相互作用及其资源、环境、工程地质问题为主攻方向，从全球视 野出发，在基础研究的某些领域作出引领学科发展的原创性成果，高新技术产业作为催化剂，为解决资 源能源作出贡献，打造固体地球科学领域具有研发能力、可持续发展的基础研究与高新产业相结合的国 际化研究中心。 三个重大 突破 名称类别战略领域考核判断标准备注特提斯造山带演化 1、解决重大科学 问题 1、具有明确目标导向的 交叉和重大前沿； 10、资源与海洋科技 在本领域最有影响的国际学 术会议上做特邀报告；成为 Nature、Science等高影响杂志 年度综述的内容；获国家自然 科学奖 资源探测装备研发 3、突破关键核心 技术 5、纳米、先进制造与新 材料； 10、资源与海洋科技 获得国际国内核心专利并得 到应用；打破国际市场垄断； 获得国家科技进步一等奖 油气勘探先导技术 4、形成系统解决 方案 10、资源与海洋科技 获得国际国内核心专利并得 到应用；打破国际市场垄断； 获得国家科技进步一等奖 五个重点培育方向 名称类别学科领域比较优势备注 地球内部界面结构与动力 学 1、在原有优势基 础上发展的方向 地球动力学（1702010）； 勘探地球物理学 （1702065）；地磁学 （1702030）；地震学 （1702060） （1）国际前沿研究方向； （2）有长期的学科积累； （3）有顶尖的科研团队； （4）有创新的科研平台 比较行星学 2、有望形成的新 的重要研究方向 比较行星学（1606070）； 月球与行星化学 （1602530）；空间物理 探测（1702540） （1）国际前沿研究方向； （4）有创新的科研平台 气候系统古增温与深部碳 循环 1、在原有优势基 础上发展的方向 第四纪地质学 （1705051）；地球内部 化学（1703030） （1）国际前沿研究方向； （2）有长期的学科积累； （3）有顶尖的科研团队 西太平洋边缘海地质与地 球物理 2、有望形成的新 的重要研究方向 海洋地球物理学 （1706020）；海洋地质 学（1706030） （1）国际前沿研究方向； （4）有创新的科研平台 生物地球物理 1、在原有优势基 础上发展的方向 基因组学（1803710）； 地磁学（1702050）；微 生物生物化学（1806110） （1）国际前沿研究方向； （3）有顶尖的科研团队； （4）有创新的科研平台 衍生证券已经有很长的历史。期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍生证券。十七世纪晚期，在荷兰的Amsterdam股票交易所，就已经有了期权这种形式的证券交易。到了18世纪，看涨和看跌期权开始在伦敦有组织的进行交易，但这些交易在有些场合是被明令禁止的。1973年建立的Chicago Board Options Exchange (CBOE) 大大带动了期权的交易。1975年看跌期权开始在CBOE挂牌交易。19世纪出现有组织的期货市场。 期权定价理论是最成熟也是最重要的衍生证券定价理论。最早的期权定价理论可以追溯到1900年Bachelier (1900) 的博士论文，该论文对投机活动的定价进行了重要的理论研究，并利用法国交易所的数据进行了实证研究。Bachelier的工作标志着在连续时间下，数学科学中随机过程理论和经济学中衍生证券定价理论的双双诞生。Bachelier的主要贡献在于：发展了连续时间游走过程（受Louis Bachelier 工作的启发，Kiyoshi It?在二十世纪四、五十年代作出了随机分析方面奠基性的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来了衍生证券定价理论革命性的飞跃。）。65年后，Samuelson（1965）用标的资产的价格服从几何连续随机游走运动的假设代替Bachelier的标的资产服从连续随机游走运动的假设，重新考虑期权的定价问题。他利用标的资产的期望回报率对期权的终端支付进行折现，得到了接近于Black-Scholes-Merton期权定价公式的期权定价方法。但是，风险中性定价的概念直到Black-Scholes （1973）和Merton（1973）才得以突破。他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。Scholes和Merton也由此获得1997年诺贝尔经济学奖。由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速发展。期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用。由于衍生资产在证券市场中具有分散风险、完备化市场等重要作用，近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展。所以，无论从理论还是从实际需要出发，期权定价的思想都具有十分重要的意义。 从20世纪80年代开始，这一领域在思想上没有大的突破。许多研究停留在完善和计算方面。我们可以把这些研究大致分为：复杂衍生证券的定价（例如MBS，奇异期权等）；数值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；拓展模型来解释Black-Scholes 模型不能解释的现象（例如Volatility smile）；交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。 套利机会和套期保值、有效市场假设、均衡 1．衍生证券定价的经典理论 衍生证券定价的基本思想是，在完备市场中，通过自融资的动态证券组合策略来合成衍生证券，从而衍生证券的价格等于证券组合最初的成本。 1.1 二项树模型 该模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）对它进行了拓展。尽管最初提出二项树模型的目的是为了避开随机分析来解释Black-Scholes-Merton模型，但现在该模型已成为对复杂衍生证券进行定价的标准数值计算程序。 假设标的资产的价格服从二项分布产生的过程，如图所示 S=标的资产现在的价格 q=标的资产上涨的概率 r f=无风险利率 u=标的资产上涨的幅度 d=标的资产下跌的幅度 f=衍生证券现在的价格金融衍生品及套利定价
期权价格的性质金融衍生品定价理论讲义
地球物理课程设计报告样本
C13029 金融衍生品系列课程之一 80分
第六章综合地质地球物理方法解析
第七章_美式期权定价(金融衍生品定价理论讲义)
金融衍生工具定价
[Petrel]地质建模我们需要考虑些什么
第八章_Black-Scholes_模型(金融衍生品定价理论讲义)
《金融衍生品定价的数学模型和案例分析》简介
金融衍生产品的定价综述
金融衍生品定价理论
CFA一级笔记-第九部分 衍生品
地质地球物理模型可视化与3D建模国内外研究现状
研究所名称地质与地球物理研究所
衍生品定价概述
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