二次函数与相似的结合
题型一：动点在线段上
如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴
分别交于点A 、C 两点，二次函数2
y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ； （1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积；
（3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标；
如图，抛物线2
2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧），
与y 轴交于点
(0,3)C -，抛物线的顶点为M ；
（1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值；
（3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为
顶点的三角形与△ABC 相似若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
如图，已知抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值；
（3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），
当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标.
x
【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
解：（1）∵抛物线2
y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴1
2
a =
. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴3
2
c =-
. ∴抛物线的表达式为213
22
y x x =
--.………………………………………………（2分）
∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分）
∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0）， 则652k b k b
=+??
-=+?，∴2,
4.k b =??=-?即BC 的表达式为y =2x -4.
∴E （2,0）.……………………………………………………………………………（1分）
（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ， ∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP.∴∠BAP=45°.
∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分）
∵CH =6=AH ，CH ⊥x 轴，∴AC =
∵BP =2=AP ，BP ⊥x 轴，∴AB =
∴tan 3.AC
B AB
∠=
=…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°.
∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°.∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1：当∠BAE =∠CMG 时，
∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°.∴∠MCE =∠EAB .
∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分）
∴
BE AE
EM CE =.即EM =.∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分）
情况2：当∠BAE =∠MCG 时，
∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM .∴MC =MA . ………………………………（1分）
设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴2
2
2
(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.
∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）
题型二：动点在线段的延长线上
如图7，已知抛物线32
++-=bx x y 与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =,点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E 。 （1）求点D 的坐标；
（2）联结BC CD 、，求DBC ∠的余切值；
（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM △和ABC △相似，求点M 的坐标。
【答案】（1）D 1,4（）（2）3（3）
6
3,)55
-（- 【解析】（1）∵抛物线2
y 3x bx =-++与轴的交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧） ， 与y 轴交于点C ，)3,0(C ,且OC OB =,)0,3(B ∴9330,b=b -++=解得2
∴2
23;D 1,4y x x =-++∴（）
（2）OB OC =∵45OCB OBC ∴∠=∠=?y=45DC 。
∴∠； 180245=90DCB =?-???∴∠；
cot 3
BC DBC DC ∠=
== (3)由2
23y x x =-++，可得,在AOC 和BCD 中，
3CO BC
AO CD
==, 90AOC DCB ∠=∠=?AOC BCD ∴??∽，
又ACO CBD ∴∠=∠;ACB ACO OCB E CBD ∠=∠+=∠+∠ 45E OCB ∴∠=∠=?;
当EBM ABC ??和相似时，可知E CBA ∠=∠;
又点在线段的延长线上，ACB EBA ∠=∠,可得EMB ACB ∠=∠;
MB BC ∴==
由题意，得直线的表达式为y 33x =+;设(,33)M x x +.
2(3)(33)18x x ∴-++=,解得126
,05x x =-=（舍去）
∴点M 的坐标是63
,)55
-（-
题型三：动点在对称轴上
如图，抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ,)3,0(C ，D 为抛物线的顶点。 （1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点C 关于抛物线c bx x y ++-=2
的对称点为E 点，联结BC ，BE ，求CBE ∠的正切值；
（3）点M 是抛物线对称轴上一点，且△DMB 和△BCE 相似，求点M 的坐标。
【答案】（1）322
++-=x x y ；)4,1(D （2）
21（3） ()2,1-M 或??
?
??32,1M
【解析】（1）∵抛物线c bx x y ++-=2
经过点)0,3(B ,)3,0(C
∴???==++-3039c c b 可解得 ?
??==32
c b
∴ 322
++-=x x y 顶点坐标)4,1(D （2）过点E 作EH 垂直于BC 交于点H
∵点C 与点E 关于对称轴1=x 对称 ∴)3,2(E ,2=CE ,CE 平行于x 轴 ∵3==OB OC
∴?=∠=∠45ECB OBC ,23=BC
在等腰直角三角形ECH 中,2=CE ∴2=
=EH CH
在直角三角形EHB 中,22=-=CH BC BH , 2=EH
∴2
1
222tan ===
∠BH EH CBE ∴CBE ∠的正切值为
2
1 （3）设抛物线对称轴1=x 交x 轴与点F
∵在直角三角形DFB 中，4=DF ,2=BF ∴ 2
1
tan ==
∠DF BF BDF , CBE BDF ∠=∠ ∴点M 在点D 的下方
∴当DMB ?与BCE ?相似时，有下列两种情况： 当
BE BC
DB DM = 时，即 10
2352=
DM 可解得6=DM ∴()2,1-M
当
BC BE DB DM = 时，即 2
31052=
DM 可解得310
=DM ∴??
?
??32,
1M 综上所述： ()2,1-M 或???
??32,1M
2）动点在平移后的对称轴上
在平面直角坐标系中，点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点，将此抛物线向下平移
6个单位以后经过点)2,0(B ，平移后的新抛物线的顶点记为C ，新抛物线的对称轴和线段
AB 的交点记为P 。
（1）求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点C 的坐标； （2）求CAB ∠的正切值；
（3）如果点Q 是新抛物线对称轴上的一点，且BCQ △和ACP △相似，试求点Q 的坐标。
【答案】（1）222
++-=x x y ；)3,1(C （2）1tan 3CAB ∠=（3）)2
5
,1(1Q 或)1,1(2-Q 【解析】
（1）∵点)0,4(A 是抛物线c x ax y ++=22
上的一点，代入得：0816=++c a ① 又∵抛物线向下平移6个单位以后经过点)2,0(B ，平移后的抛物线解析式为：
622-++=c x ax y 。
代入得：8,26==-c c ②，由①②得：8,1=-=c a
平移后得到的新抛物线的表达式：222
++-=x x y ，顶点)3,1(C （2）∵)0,4(A 、)2,0(B 、)3,1(C ，易得52,23,2===
BA CA CB
由勾股定理逆定理得ABC △是直角三角形，3
1
tan ==∠CA CB CAB
（3）设抛物线对称轴与x 轴相交于点H
ABO APH ∽△△，2321==
AH PH ，2
3=CP 易得ο
45=∠=∠ACP BCP ，2
3
,23,2=
==
CP CA CB ∴点Q 只能在对称轴点C 的下方，BCQ △和ACP △相似，有以下两种情况：
①CA CP CB CQ =
，2
323
2=CQ ，21=CQ ，)25
,1(1Q ②
CP CA CB CQ =
，2
32
32
=CQ ，4=CQ ，)1,1(2-Q 综上，)2
5,1(1Q 或)1,1(2-Q 题型四：动点在某直线上
如图，已知抛物线22y ax x c =-+经过ABC ?的三个顶点，其中点(0,1)A ，点(9,10)B ，
AC x ∥轴．
（1）求这条抛物线的解析式； （2）求tan ABC ∠的值；
（3）若点D 为抛物线的顶点，点E 是直线AC 上一点，
当CDE ?与ABC ?相似时，求点E 的坐标．
（第24题图）
【参考答案】24．解：（1）∵抛物线2
2y ax x c =-+经过点(0,1)A 和点(9,10)B ∴1
811810c a c =??
-+=?
……………………………………………………1分
解得131
a c ?=???=?………………………………………………………………2分
∴这条抛物线的解析式为2
1213
y x x =
-+………………………………1分 （2）过点B 作BH AC ⊥，垂足为H
AC x Q ∥轴，(0,1)A ，(9,10)B 9,1H ∴（）
9BH AH ==∴又90BHA ∠=?Q HAB ∴△是等腰直角三角形
45HAB ∠=?∴………………………………………………………1分
AC x Q ∥轴，(0,1)A ，点C 也在该抛物线上
6,1C ∴（）
过点C 作CG AB ⊥，垂足为点G
sin 45CG AC =?=g ∴1分
cos 45AG AC =?=g 又∵在Rt △ABH
中，sin 45BH
AB =
=?
∴BG ==…………………………………………………1分 ∴在Rt △BCG 中，1
tan 2
CG ABC BG ∠=
=……………………………1分 （3）过点D 作DK AC ⊥，垂足为K
∵点D 是抛物线21
213
y x x =-+的顶点∴(3,2)D -………………1分
∴(3,1)K
∴3CK DK ==又∵90CKD ∠=?∴△CDK 是等腰直角三角形 ∴45DCK ∠=? 又∵45BAC ∠=?
∴DCK BAC ∠=∠………………………………………………………1分 ∴当△CDE 与△ABC 相似时，存在以下两种情况：
1?
AC EC AB CD
=∴EC=2(4,1)E ∴……………1分
2?
AC DC
AB EC
=∴EC=9(3,1)E -∴…………1分
题型五：动点在x 轴上
如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结，求的大小；
（3）如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．
2017年青浦一模24】已知，如图8，在平面直角坐标系中，抛物线142
+-=ax ax y 与x 轴正半轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且OC OB 3=，点P 是第一象限内的点，联结
BC ，△PBC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形.
（1）求这个抛物线的表达式； （2）求点P 的坐标；
（3）点Q 在x 轴上，若以P O Q 、、为顶点的三角形与以点B A C 、、为顶点的三角形相似，求点Q 的坐标.
【答案】（1）134
312+-=
∴x x y （2）
)2,2(P ∴（3）点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(- 【解析】（1）由题意可得)1,0(C
图9
33==∴OC OB )0,3(B ∴
代入142
+-=ax ax y 得3
1=
a 13
4
312+-=∴x x y
（2）过点P 作轴轴x PF y PE ⊥⊥, （3）PBC ?Θ为等腰直角三角形 （4）PB PC =∴
（5）?=∠+∠=∠+∠90CPF FPB CPF EPC Θ
（6）FPB EPC ∠=∠∴)(AAS PFB Rt PCE Rt ??∴≌BF EC =∴ （7）可证四边形PEOF 为正方形BF OB OC EC -=+∴3,1==OB OC Θ
（8）BF EC -=+∴31,解得1==BF EC 2==∴OF OE P Θ在第一象限内)2,2(P ∴ （9）2,2==
AB AC )0,1(),1,0(A C ΘOA OC =∴，可得AOC ?为等腰直角三角形
?=∠∴45OAC ?=∠∴135CAB ，则点Q 在y 轴左侧
i.CAB OP Q ??∽1
AB
CA
OP OQ =
1，222221=?=?=AB CA OP OQ )0,2(1-∴Q ii.CAB POQ ??∽2
AB
CA
OQ OP =2 42222=?=?
=AC
AB
OP OQ )0,4(2-∴Q
若点Q 在y 轴右侧，不存在
综上所述：点Q 坐标为)0,2(-或)0,4(-
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
+c y x bx =-+与x 轴相交点(1,0)A -和点B ,与y 轴相交于点(0,3)C ,抛物线的顶点为点D ，联结AC ,BC ,DB DC 。
（1） 求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2） 求证：ACO DBC ∽?
（3） 如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，BCE ACO ∠=∠,求点E 的坐标。
【答案】（1）；（2）略（3）(6,0)E 【解析】(1)∵抛物线过点A()和点, ∴将两点坐标代入解析式可得: 可解得 ∴
根据顶点公式可得 （2）代入0y =到()
2
1
4y x =--+求得11x =-，23x =，所以有()3,0B
可以求得：1OA =,3OC =AC ,
CD ==BC =
BD =
在ACO V 和DBC V 中，有
==CD BC BD
AO OC AC
ACO DBC ∽?
（3）在OC 上取一点F 使得OF=OA ，
由（2）得B(3,0)，C(0,3)，∴OB=OC ，∴∠OBC=45°，∴∠CBE=135°
ΘOA=OF ，∴∠AFO=45°，∴∠AFC=135°，∴∠AFC=∠CBE ，又Θ∠BCE=∠ACO ， ∴△AFC ∽△BCE
BE
AF
CB CF =
∴
, 3=∴BE ,60=+=∴BE B OE
)0,6(E ∴
题型六：动点在抛物线上
如图1，已知抛物线的方程C1：
1
(2)()
y x x m
m
=-+- (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴
交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
【解析】（1）将M(2, 2)代入
1
(2)()
y x x m
m
=-+-，得
1
24(2)m
m
=-?-．解得m＝4．
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当CE BC
CB BF
=，即2
BC CE BF
=?时，△BCE∽△FBC．
设点F的坐标为
1
(,(2)())
x x x m
m
-+-，由
'
'
FF EO
BF CO
=，得
1
(2)()2
2
x x m
m
x m
+-
=
+
．
解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．由
'
CO BF
CE BF
=，
得
4
m
BF
+
=．所
以BF=．
由2
BC CE BF
=?
，得2
(2)
m+=．整理，得0＝16．此方程无解．
图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以
BE BC
BC BF
=，即2
BC BE BF
=?时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得
1
(2)()2
x x m x
m
+-=+．
解得x＝2m．所以F′(2,0)
m．所以BF′＝2m＋2
，2)
BF m
=+．由2
BC BE BF
=?
，得2
(2)2)
m m
+=+
．解得2
m=±
综合①、②，符合题意的m
为2+．
2）动点在直线下方的抛物线
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数2
y x bx c
=++的图像与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点(0,3)
C-，点P是直线BC下方抛物线上的任意一
点；
（1）求这个二次函数2
y x bx c =++的解析式；
（2）联结PO 、PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形
POP C '，如果四边形POP C '为菱形，求点P 的坐标；
（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的 三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标； 【正确答案】
3）动点在直线上方的抛物线
如图11所示，已知抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG 轴
于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
【解析:】（1）令，得 解得
令，得
∴ A B C ········· （2分）
（2）∵O A =O B =O C = ∴BAC =AC O=BC O=
∵A P ∥CB ， ∴P AB =
过点P 作P E 轴于E ，则A P E 为等腰直角三角形
令O E =，则P E = ∴P ∵点P 在抛物线上 ∴
解得，（不合题意，舍去） ∴P E = ··························· 4分） ∴四边形ACB P 的面积=AB ?O C +AB ?P E
= ······················ 6分）
(3)． 假设存在
∵P AB =BAC = ∴P AAC
∵MG 轴于点G ， ∴MG A =P AC = 在Rt △A O C 中，O A =O C = ∴AC =
在Rt △P AE 中，AE =P E = ∴A P= ··················· 7分） 设M 点的横坐标为，则M
①点M 在轴左侧时，则
(ⅰ) 当A MG P CA 时，有=
∵A G=，MG= 即
解得（舍去） （舍去）
(ⅱ) 当M A G P CA时有=
即
解得：（舍去）
∴M ····························（10分）②点M在轴右侧时，则
∵A G=，MG=
∴
解得（舍去）
∴M
(ⅱ) 当M A GP CA时有=
即
解得：（舍去）
∴M
∴存在点M，使以A、M、G
M点的坐标为，，·····················（13分）
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，
若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y
对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为 （－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2 ）试探究抛物线上是 第25题图
综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式．．． 求得抛物线的解析式为x x 4 1y 2 +-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．． 为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
y x E Q P C B O A 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、 B 两点，交y 轴于点 C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标； （2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形并证明你的结论； （3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式． 练习1、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式．（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2253 33 y x x =-+） （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系为什么
二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值； （3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式． （2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值． （3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解． 【详解】 解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）． 又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．
中考二次函数专题复习 知识点归纳： 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. y a x h =-的性质： 左加右减。 4. y a x h k =-+的性质：
1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取 的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当
中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2
2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型二：构造直角三角形 【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，C E D G A x y O B F
二次函数压轴题（相似类） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离； （3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标． 4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值； （3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； 5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程； （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
人教版数学 初三中考复习 二次函数 专题练习题 一、选择题 1 抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是( ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－1 C ．直线x ＝－2 D ．直线x ＝2 2．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－x －6向上(下)或向左(右)平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12 x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 4. 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( ) A ．b 2 ＞4ac B ．ax 2＋bx ＋c≥－6 C ．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m ＞n D ．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的两根为－5和－1 5. 如图，观察二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论：①a ＋b ＋c ＞0；②2a ＋b ＞0；③b 2－4ac ＞0；④ac ＞0.其中正确的是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 6. 如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2 ＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )
7. 如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1 cm /s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t(s )，△OEF 的面积为S(cm 2)，则S(cm 2)与t(s )的函数关系可用图象表示为( ) 二、填空题 8．若y ＝(2－m)xm 2－3是二次函数，且开口向上， 则m 的值为 ． 9．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1____y 2.(填“>”“<”或“＝”) 10．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－3≤x ≤0时，它的最大值是____，最小值是____． 11．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m )与足球被踢出后经过的时间t(s )之间具有函数关系h ＝at 2＋19.6t ，已知足球被踢出后经过4 s 落地，则足球距地面的最大高度是____m . 12. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D(0，1)，点P 是抛物线上的动点．若△PC D 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 三、解答题 13．如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x 2＋3x －4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
二次函数与相似的结合 题型一：动点在线段上 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)B -，一次函数5y x =-+的图像与x 轴、y 轴 分别交于点A 、C 两点，二次函数2 y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ； （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P 是该二次函数图像的顶点，求△APC 的面积； （3）如果点Q 在线段AC 上，且△ABC 与△AOQ 相似，求点Q 的坐标； 如图，抛物线2 2y ax ax c =++(0)a >与x 轴交于(3,0)A -、B 两点（A 在B 的左侧）， 与y 轴交于点 (0,3)C -，抛物线的顶点为M ； （1）求a 、c 的值； （2）求tan MAC ∠的值； （3）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ；问是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为 顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
如图，已知抛物线2 y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值； （3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧）， 当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标. 【参考答案】24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴1 2 a = . ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴3 2 c =- . ∴抛物线的表达式为213 22 y x x = --.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）.…………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0）， 则652k b k b =+??-=+? ，∴2, 4.k b =??=-?即BC 的表达式为y =2x -4. x y A B E C O （第24题图）
第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0