极射赤平投影原理
1、面和线的赤平投影
1-1投影原理
一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。
图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。
图2 平面的投影图3 直线的投影
平面的投影方法（图2）设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40°，若此平面过球心，则其与下半球面相交为大圆弧PGF，以Ａ点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。
直线的投影方法（图3）设一直线向东倾伏、倾伏角40°，此线交下半球面于G点。以A为发射点，球面上的G点在赤平面上的投影为H。HD的长短代表直线的倾伏角、D的方位角即直线的倾伏向。同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20°，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K。
为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。常用的有吴尔福网（简称吴氏网，也称等角距网）（图4A）和旋密特网（等面积网）（图4B），以及据其改换形式而成的极等角度网（图4C）和极等面积网（赖特网）（图4D）。吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。
1-2吴尔福投影网（图4Ａ）
1-2-1结构要素
基圆即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。由正北顺时针为0°－360°，每小格2°，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。
两个直径分别为南北走向和东西走向直立平面的投影。自圆心→基圆为90°→0°，每小格2°，表示倾角、倾伏角。
经线大圆是通过球心的一系列走向南北、向东或向西倾斜的平面的投影，自南北直径向基圆代表倾角由陡到缓的倾斜平面。
纬线小圆是一系列不通过球心的东西走向的直立平面的投影。它们将南北向直径、经线大圆和基圆等分，每小格2°。
1-2-2 操作
将透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，描绘基圆及“＋”字中心，固定网心，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标上N、E、S、W。
平面的投影标绘产状SE120°∠30°的平面（图5）。
将透明纸上的指北标记Ｎ与投影网正北重合，以北为0°，在基圆上顺时针数至120°得一点D，为平面的倾向（图6A）。
图4 投影网
A-吴尔福网 B-施密特网 C-极等角度网 D-极等面积网（赖特网）转动透明纸将D点移至东西直径上（转至南北直径也可），自D点向圆心数30°得C 点，标绘C所在的经线大圆弧（图6B中之ACB），AB为平面的走向。
转动透明纸，使指北标记与投影网正北重合，ACB图5 产状120°∠30°平面的透视图
大圆弧即为SE120°∠30°平面的投影（图6C）。
直线的投影标绘产状为NW330°∠40°的直线。
使透明纸上正北标记N与投影网正北重合，以N为0°，在基圆上顺时针数至330°得一点A，为直线的倾伏向（图7A）。
图6 平面的投影步骤
（说明见正文）
P-透明纸 M-吴氏网
把A点转至东西直径上（转至南北直径也可），由A点向圆心数40°得A′点（图7B）。
把透明纸的指北标记转至与投影网正北重合，A′即为产状NW330°∠40°的直线的投影（图7C）。
法线的赤平投影是指平面法线的产状标绘。法线的投影是极点，平面的投影是圆弧，二者互相垂直，夹角相差90°。往往用法线的投影代表与其相对应的平面的投影，这样较为简单。
例求产状为E90°∠40°的平面法线的投影（图8）
图7 直线的投影步骤
P-透明纸 M-吴氏网
标绘出产状90°∠40°的平面投影大圆弧，自该平面倾斜线投影D′点在东西向直径上数90°，显然已越过圆心进入相反倾向，得P ′点，该点即为产状90°∠40°平面的法线投影－极点。
也可自圆心向反倾向数40°，即得法线投影。
已知真倾角求视倾角某岩层产状为NW330°∠40°，求在NW335°方向剖面上该岩层的视倾角（图9）。
图8 法线的投影
A-透视图 B-赤平图
据岩层面产状作其投影弧EHF。
在基圆上数至NW335°得D ′点。
作D ′点与圆心O的连线，交EHF于H ′点。Ｈ ′为岩层面与NW335°方向剖面的交线在下半球的投影。
D ′H ′间的角距即为NW335°方向上的视倾角。
求两平面交线的产状（图10）
据已知的两平面产状，在吴氏网上分别求出其投影大圆弧EHF和JHK。两大圆弧的交点Ｈ即为两平面交线与下半球面交点的投影。
图9 已知真倾角，求视倾角图10 求两平面交线的产状
作Ｈ与圆心O的连线，交基圆于G点，G点的方位角即两平面交线的倾伏向，GH间的角距为交线的倾伏角。
求两相交直线所决定的平面的产状
已知两相交直线的产状分别为SE120°∠36°和S180°∠20°，求其所决定的平面的产状（图11）。
图11 两相交直线所决定的平面的投影
A-透视图 B-投影图
据已知产状作出两直线的投影点D′、F′。
转动透明纸使D′、F′两点位于同一经线大圆弧上，AＦ′D′B大圆弧即为两相交直线所共平面的投影。
求平面上直线的投影已知一平面产状S180°∠37°，该平面上一直线侧伏向E，侧伏角44°，求直线的倾伏向、倾伏角（图12）。
依平面产状作出其投影大圆弧，并标出其朝东的走向A。
将大圆弧转至SN方向，自A点数经线大圆与纬线小圆的交点，读出侧伏角44°（θ），标出该点C″，C″为直线在平面上的投影。
C″C′间的角距γ即为直线的倾伏角，C′的方位角则为直线的倾伏角。
1-3小结
一切面状构造、如岩层面、断层面、劈理、流面、褶图12 平面上直线的投影皱轴面等的投影方法，都可采用空间平面的投影方法。一切线状构造、如二平面的交线、走向线、倾斜线、擦痕、流线、褶皱的枢纽、轴迹等的投影方法，都与直线的投影相同。这些面状和线状构造的产状要素都可以借助于前述赤平投影的方法求得。利用这些方法可以解决以下构造问题。
已知岩层产状，求某一方向剖面上的岩层视倾角；
已知岩层在两剖面方向上的视倾角，求岩层的走向、倾向和倾角；
求断层面与岩层面交迹线的产状；
已知断层面产状及其上擦痕的侧伏角，求擦痕的倾伏向、倾伏角；
求一对共轭剪节理的交线（即变形椭球体的B轴）的产状。
2、β图解和π图解
2-1 β图解
β图解是指以褶皱面各点的切面所作的经线大圆图解。在理想的圆柱状褶皱中，各切面交线相互平行，并与褶皱枢纽平行。这些经线大圆应交于一点（β），该点称为β轴，即褶皱枢纽的投影（图13）。
对非圆柱状褶皱，可按其变化情况划分成若干区段，各个区段的褶皱形态是近于圆柱状的。采用这种方法也可用β图解法研究非圆柱状褶皱的形态和产状。
图13 β图解
A-立体图 B-赤平投影图
2-2 π图解
π图解是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。对圆柱状褶皱来说，同一褶皱面的极点在赤平投影网上将落在一个特定的大圆弧上或其附近。这个大圆弧即π圆，π圆的极点代表β轴，与褶皱的褶轴平行（图14）。
3-2 面的旋转方法
图15 两相交平面的夹角及角平分线已知某平面的产状，求依某一方向旋转一定角度后
此面的投影。
3-2-1 操作
平面与球面的交线为一大圆，这一大圆是由许多点组成的，因此，大圆的旋转实际上是组成此大圆的许多点的旋转。球面任一点绕定轴旋转，如果这一旋转轴与南北直径重合，则该点的旋转迹为一圆，此圆为东西向的直立平面，其投影与吴尔福网的纬线小圆重合。因此，只要求出大圆上各点绕定轴旋转后的位置，即可得到旋转后平面的投影。
例已知平面FE向东倾斜，如这个平面绕走向南北的水平轴旋转30°，求旋转后的平面产状（图16）。操作步骤如下：
图16 平面绕定轴旋转的方法
（１）将FE大圆弧上的若干点沿其所在的纬线小圆逆时针旋转30°（见粗箭头所示）到新位置。
（２）在吴尔福网上旋转，将逆时针旋转30０°后各点的新位置转至同一经线大圆弧上，得新的大圆弧F′E′，F′E′即为旋转后平面的投影。
3-2-2 应用
已知一角度不整合上覆新地层的产状为SW240°∠30°，下伏老地层产状为SE120°∠40°，求新地层水平时，下伏老地层的产状（图17）。
JNM大圆弧为老地层产状的投影，EHF大圆弧为上覆新地层产状的投影。
将新地层产状恢复水平。使EHF大圆弧与南北向经线大圆弧重合，将弧上各点按30°（倾角）角距沿纬线小圆向基圆转动，得到与基圆相合的EKF，即为呈水平状态的新地层的投影。
（２）将老地层向相同方向旋转相同角度，使JNM大圆弧上各点沿纬线小圆向W移30°，如图箭头所示各点的新位置，将各点新位置转至同一经线大圆上，所得之J′N′M′大圆弧即是当新地层水平时老地层的产状。
图17 沿水平轴的旋转投影
3-3 小结
在构造研究中各种面状构造的夹角及其角平分线和面状构造的旋转都可运用上述方法求解。这类问题有：
求两节理面的交角及交线。
据共轭剪节理求主应力轴产状。
已知不整合面上、下地层的产状，求年轻地层沉积时老地层的产状。
在倾斜岩层中，求交错层理或砾石在沉积时的产状。
恢复早期节理受后期构造变动影响前的产状等。
三、练习题
练习题（1）
投影平面SW245°∠30°。
２．投影直线NE42°∠62°。
３．投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。
４．投影包含直线SW258°∠40°及NE42°∠60°的平面。
已知铁矿层产状为SE154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：NE80°、NW330°、SW190°、SW240°。
在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为SE120°∠16°和SW227°∠22°，求该板状含金石英脉的真倾斜。
岩层面产状为SE150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏向和倾伏角（提示：作出岩层面大圆弧后，由大圆弧走向的SW端沿大圆弧数30°，即得擦痕线的投影点，该点的产状即为所求）。
求平面SW245°∠30°及SE145°∠48°的交线。
练习题（2）
一褶皱的石灰岩层产状如下：NE74°∠61°、ＮＷ318°∠70°、NE41°∠51°、NW348°∠55°、NE15°∠49°。
用β图解求出其枢纽的倾伏向、倾伏角。
用π图解求出其枢纽的倾伏向、倾伏角。
根据图18平面地质图上向斜两翼的产状数据，推断鞍状矿层的倾伏向和倾伏角（即向斜枢纽产状），并指出钻孔应布置在地表铁矿层露头的什么方向线上才能探到地下的铁矿层，沿图上AA′的线布置钻孔是否适宜？
图上的地层产状是①SE143°∠37°，②SE104°∠30°，③直立、走向104°，④SE154°∠44°。
一个背斜两翼产状为NE46°∠50°和NW344°∠20°，在一个产状为SW184°∠80°的陡壁面上测得该背斜轴迹的侧伏角为60°W，求该背斜的轴面产状（提示：先作出两翼的交线得到枢纽，再作轴迹投影，枢纽与轴迹所共的大圆弧即轴面投影）。
练习题（3）
１．求平面NW335°∠30°与平面SW235°∠48°的夹角，以及夹角平分线的产状。
２．一圆柱状背斜北西翼产状为NW330°∠45°，北东翼产状为NE65°∠35°。求：①东西向直立剖面上两翼的视倾角及两翼的翼间夹角；②横截面（垂直枢纽的剖面）的产状、横截面上两翼的侧伏角及两翼的翼间夹角。
3. 某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为SW190°∠76°，另一组为NW278°∠53°，求三个主应力轴产状（假定两组剪节理锐角等分线方向为σ１方向）。
某岩层具有同期三组节理，统计结果如表1，试求各主应力轴方位。
图18 平面地质图
设该岩石内摩擦角φ为30°。求σ１、σ２、σ３的产状，如有共轭断层，其产状多少？
一断层产状270°∠70°，派生张节理产状为SW240°∠40°，求二者夹角，并分析断层滑移方向及断层类型。
一砂岩层产状为SE120°∠30°，其中发育交错层理，前积纹层产状为SE150°∠50°，求前积纹层原始产状。
不整合面产状为SW200°∠30°，下伏地层产状NW315°∠60°，求当上覆地层水平时，下伏地层的产状。
不整合面产状为SW220°∠20°，其下伏地层中发育的背斜东翼产状SE132°∠23°、西翼产状SW250°∠46°，求在上覆地层沉积时背斜两翼地层及枢纽的产状。
四、思考、讨论题
●与正投影相比，赤平投影有何特点？
●与玫瑰花图相比，赤平投影图有何优点或缺点？
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。 （二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。 （三）直线的赤平投影 直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。 （四）吴氏网及其CAD制作 目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
赤平投影原理及讲解 This manuscript was revised on November 28, 2020
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上 的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。 （二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。 （三）直线的赤平投影
极射赤平投影原理 1、面和线的赤平投影 1-1投影原理 一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。 图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。 图2 平面的投影图3 直线的投影 平面的投影方法（图2）设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40°，若此平面过球心，则其与下半球面相交为大圆弧PGF，以Ａ点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。 直线的投影方法（图3）设一直线向东倾伏、倾伏角40°，此线交下半球面于G点。以A为发射点，球面上的G点在赤平面上的投影为H。HD的长短代表直线的倾伏角、D的方位角即直线的倾伏向。同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20°，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K。 为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。常用的有吴尔福网（简称吴氏网，也称等角距网）（图4A）和旋密特网（等面积网）（图4B），以及据其改换形式而成的极等角度网（图4C）和极等面积网（赖特网）（图4D）。吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。 1-2吴尔福投影网（图4Ａ） 1-2-1结构要素 基圆即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。由正北顺时针为0°－360°，每小格2°，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。 两个直径分别为南北走向和东西走向直立平面的投影。自圆心→基圆为90°→0°，每小格2°，表示倾角、倾伏角。 经线大圆是通过球心的一系列走向南北、向东或向西倾斜的平面的投影，自南北直径向基圆代表倾角由陡到缓的倾斜平面。 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走向的直立平面的投影。它们将南北向直径、经线大圆和基圆等分，每小格2°。 1-2-2 操作 将透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，描绘基圆及“＋”字中心，固定网心，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标上N、E、S、W。
边坡岩体结构稳定性评价 在工程地质测绘的基础上，根据实测的结构面资料，应用赤平极射投影和实体比例投影相结合来研究边坡的稳定性。虽然结构面的组合形式在自然界中是很复杂的，但按其对边坡稳定性的影响来看，可将岩体结构分为三种： （1）稳定结构边坡 边坡岩体中的结构面的倾向或几组结构面组合交线的倾向，与边坡的倾向相反，这种类型的边坡为反向结构的边坡，这种结构对边坡的稳定性没有直接的影响，没有顺层滑动的可能，因此为稳定结构边坡。它们在赤平投影图上的特点是结构面的投影和坡面的投影各在相对应的一侧，结构面的极点投影和坡面投影在同一侧。 1组结构面构成的斜坡（上半球投影） （a）、（e）不稳定结构；（b）基本稳定结构；（c）、（d）稳定结构 2组结构面构成的斜坡 （a）不稳定结构（b）基本稳定结构（c）稳定结构
（2）基本稳定结构边坡 边坡岩体中结构面的倾向或组合交线的倾向与边坡坡向一致，但结构面的倾角或组合交线的倾角都大于边坡角，这种结构一般是比较稳定的，但稳定性比上述一种较差，因此为基本稳定结构。在投影图上的特点是结构面的投影一坡面投影在同一侧，结构面的极点投影与坡面投影各在相对应的一侧。 （3）不稳定结构边坡 边坡岩体中结构面或组合交线的倾向与边坡面倾向一致，但它们的倾角小于边坡角，这种结构为不稳定结构，在投影图上的特点是与基本稳定结构相似，不同之处是结构面或组合交线倾角小于坡面倾角。 赤平投影的应运完全是根据这个理论来的，不过个人感觉应运起来还是有点问题的，宏观上结构面大和小很难区分，而且勘察工作很难做，危害性也很难去分类，估计把三维分析引进来估计能好一点，我试着用理正做了几个，效果不是很好，最好是有好的项目去论证他。 《岩土工程勘察规范》—— 图解分析法需在大量的节理裂隙调查统计的基础上进行，将结构面调查统计结果绘成等密度图，得出结构面的优势方位，在赤平极射投影图上根据优势方位结构面的产状和坡面投影关系，分析边坡的稳定性： 1 当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向相反时，边坡为稳定结构； 2 当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向一致，但倾角大于坡角时，边坡为基本稳定结构； 3 当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向之间夹角大于45，且倾角小于坡角时，边坡为不稳定结构。求潜在不稳定体的形状和规模需采用实体比例投影对图解法所得出的潜在不稳定边坡应计算验证。
手把手教你应用赤平投影（CAD图解） 来庆超 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的 大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中 PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半 球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 ? 二、极射赤平投影的基本原理 (一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括: 1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。 2.球面:投影球的表面称为球面。 3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。 ５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。 6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P）和下极射点(F）。由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
极射赤面投影 一、《晶体结构几何理论》一书中关于极射赤面投影的论述： 1 晶体投影 晶体投影的实施分两步进行： 第一步是球面投影,是把晶体的晶面和晶线等投影到三维的参考球面上，有两种方法：1）迹式球面投影法 2）极式球面投影法 第二步是极射赤面投影或心射切面投影，把三维的球面投影通过极射或心射方法转化为二维的赤面或切面的平面投影，也有两种方法： 1）极射赤面投影 2）心射切面投影 1.1 球面投影 球面投影的两种方法： 1）、迹式球面投影法: 将晶体置于投影球（参考球）的球心 晶体的平面扩展到与投影球相交而得的大圆－叫迹线 晶向直线延长与投影球相交而得的的两个点（互称对蹠点）－叫迹点或出露点。 2）极式球面投影法 晶面法线与球面相交的交点－叫极点 晶向直线的垂直面扩展到与投影球相交所得的大圆－叫极线或极圆。 几个术语：赤道平面、赤道大圆，本初子午面、本初子午线大圆、子午面、子午线大圆，经度、纬度、极距，球面座标，投影基圆（赤道大圆的极射赤面投影），注意：在一般的晶体投影中常常混合使用迹式球面投影和极式球面投影。 立方晶系中三个主要晶面族的参考立方体： 晶面法线到参考球面上的投影：
球面坐标： 1.2 极射赤面投影和吴里夫网 这种投影(参看图4—5)是以赤道平面为投影平面。投影时，从S 极引直线(投影线)通过上半球面上的点P 1(一平面的极点或一直线的一个出露点)，投影线与赤道平面的交点S l 即P l 的极射赤面投影。 若P 2为下半球面上的点则其极射赤面投影位于赤道圆圈(投影基圆)之外；这种情况对于作及-系列数量的测量均颇为不便，因此对于下牛球面上的点，是从N 极引出其投影线，这样仍可在赤道圆圈内求得其极射赤面投影。通常上半球面上的点的极射赤面投影以小圆点表示，下于球面上的点以小叉表示，以资区别。 1）基本原则：投影球面上的一个圆的极射赤面投影仍是一圆，但有不同情况： a. 投影球面的本初子午线大圆的极射赤面投影就是CD 直径；投影球面上的其他子午线大
极射赤平投影基本作图方法 §1 极射赤平投影的基本原理 一、投影要素 1、投影球—以任意长为半径的球，球面即球表面 2、赤平面—过投影球球心的水平面 3、基圆—赤平面与球面相交的大圆，或称赤平大圆 凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，不过球心的一球面与球面相交所成的圆统称小圆。 4、极射点—球上两极发射点，分上半球投影和下球投影。 二、平面和直线的投影的解析 （一）平面投影 1、过球心的平面投影 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等），必然于球面相交成球面大圆，球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。 1）直立大圆（平面）——为基圆直径 2）水平大圆（平面）——为基圆本身 3）倾斜大圆（平面）——以基圆直径为弧的大圆弧 性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。 2、不过球心的平面投影 不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。 1）直立小圆（平面）——部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧 2）水平小圆（平面）——为基圆的同心圆 3）倾斜小圆（平面） ①全部位于圆基内的小圆 ②部位于基圆内，部分在基圆外 ③全部在基圆外 性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆 2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大。 3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线。 4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。 （二）直线投影 过球心的直线无限延伸心交于球面两点，称极点。 1、铅直线投影点为基圆圆心 2、水平线投影点为基圆直径的两个端点 3、倾斜线股影点，一个在基圆内，另一个在基圆外，称对距点，其角距为180° 三、投影网：吴尔福网和施密特网
1 ①坡面：258°∠46°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：210°∠20° 据结构面赤平投影分析，节理裂隙J1产状：205°∠82°，相对于坡面有一定角度，对边坡稳定会产生一定影响。节理裂隙J2产状：120°∠75°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用；但J2与岩层两结构面交线位于两边坡投影弧之间，需根据其与岩石摩擦角的关系确定其边坡稳定性。 赤平投影图 Sc Sn J1J2 层面 W E N S
2 ①坡面：268°∠70°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：155°∠22° 据结构面赤平投影分析，该边坡为切向坡，节理裂隙J1产状：205°∠82°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对对边坡的稳定性不起控制性作用；节理裂隙J2产状：120°∠75°，该节理倾向相对于坡面也为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用；但J2与岩层两结构面交线位于两边坡投影弧之间，需根据其与岩石摩擦角的关系确定其边坡稳定性。 赤平投影图 Sc Sn J1 J2 层面 W E N S
3 ①坡面：227°∠54°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：120°∠53° 据结构面赤平投影分析，该边坡为切向坡，节理裂隙J1产状：205°∠82°，该节理倾向相对于坡面为顺倾，由于结构面切割，岩体易发生碎落、坠落。不利于边坡的稳定性。为了保证边坡下方道路的安全运营，需及时对边坡进行相关处治。节理裂隙J2产状：120°∠53°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用。 赤平投影图 Sc Sn J1J2层面 W E N S
极射赤平投影原理 概述 1、目的要求 学习赤平投影原理，了解赤平投影在构造地质学中的应用。 2、主要内容 ●赤平投影的原理 ●面、线的投影 ●β图解和π图解 ●等密度图 ●面和线的旋转 ●赤平投影在构造地质学中的应用 3、本章要点 ●赤平投影的原理（投影方法结合具体作业掌握） ●赤平投影应用（节理、褶皱和断层分析） 4、要求掌握的要点和基本概念 ●面、线的投影方法 ●不同类型褶皱岩层极点图的特点（如紧闭，宽缓、等斜褶皱等；水平直立、平卧、倾竖褶皱等） ●等密度图及古应力场分析 二、说明 极射赤平投影（Stereographic projection）简称赤平投影，主要用来表示线、面的方位，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素（线、面）反映在投影平面上进行研究处理。它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象、综合的定量图解，广泛应用于地质科学中。运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质构造的不可缺少的一种手段。 赤平投影本身不涉及面的大小、线的长短和它们之间的距离，但配合正投影图解，互相补充，则有利于解决包括角距关系在内的上述计量问题。 1、面和线的赤平投影 1-1投影原理 一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。 图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。
Ｒ ＯＡＤ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ 道 路工 程 Ｗｅｓｔｅｒｎ ＣｈｉｎａＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ 西部交通科技 文章编号：１６７３－４８７４（２０１１）１２－０００５－ ００４赤平投影法在岩质边坡 稳定性分析中的应用 佘东梅，肖盛燮 （重庆交通大学防灾减灾工程研究所，重庆 ４０００７４ ）作者简介 佘东梅（１９８５—），女，四川隧宁人，主要从事结构防灾减灾研究工作；肖盛燮（１９３７—），男，四川营川人，教授，主要从事结构防灾减灾研究工作。 基金项目 国家自然科学基金项目《基于灾变链式理论的多种灾害演化规律探索》（５０８７９０９７ ）摘 要：文章基于赤平极射投影法的发展历程、概念、原理及相关应用情况，对具体工程实例的岩质边坡稳定性进行了定性分析。结果表明， 该方法在岩质边坡稳定性分析方面实用、可靠，且不需要复杂的公式演算，简单明了，具有广泛的应用空间。 关键词：赤平投影法；岩质边坡；稳定性分析；应用 中图分类号：Ｕ４１６．１＋ ４ 文献标识码： ＡＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｎ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｒｏｃｋ ＳｉｄｅＳｌｏｐ ｅＳＨＥ Ｄｏｎｇ－ｍｅｉ，ＸＩＡＯ Ｓｈｅｎｇ －ｘｉｅ（Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｄｉｓａｓｔｅｒ Ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎ ａｎｄ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ，４０００７４）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓ，ｃｏｎｃｅｐｔ，ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆ ｒｏｃｋ ｓｉｄｅ ｓｌｏｐｅ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｒｅｌｉａｂｌｅ，ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ａｎｄ ｅａｓｙ ｔｏ ｕｓｅ．Ｉｔ ｈａｓ ａ ｇｒｅａｔｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｐｒａｃｔｉｃｅ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；Ｒｏｃｋ ｓｌｏｐｅ；Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ０ 前言 岩质边坡是在复杂的地质作用下形成和发展的，具有一定的结构，并赋存于一定的地质环境中。实践表明，岩体在工程外力作用下的变形和破坏，不在 于岩石的强度如何，而在于岩体内在因素的影响程度［ ２ ］。影响边坡稳定的因素有岩石性质、岩体结构、风化作用、地震作用、水的作用、地形地貌和人为因素等，其中主要的控制因素是岩体结构。岩体结构问题可归纳为结构体和结构面
极射赤平投影CAD图解及其 在岩质边坡稳定性分析中的应用 文／赵文廷卢毅 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
极射赤平投影CAD图解及其在岩质边坡稳定性分析中的应用 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。
赤平投影分析
1 ①坡面：258°∠46°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：210°∠20° 据结构面赤平投影分析，节理裂隙J1产状：205°∠82°，相对于坡面有一定角度，对边坡稳定会产生一定影响。节理裂隙J2产状：120°∠75°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用；但J2与岩层两结构面交线位于两边坡投影弧之间，需根据其与岩石摩擦角的关系确定其边坡稳定性。 编号结构面名称倾向(°)倾角(°)Sc 开挖 25846Sn 自然坡面25814J1节理120582J2节理212075层面 岩层面21020组合交棱线 倾向(°)倾角(°) Sc—Sn 1680Sc—J128842Sc—J220130Sc—层面18719Sn—J129311Sn—J2208 9Sn—层面25714J1—J214474J1—层面2952J2—层面 204 20 赤平投影图 Sc Sn J1J2 层面 W E N S
2 ①坡面：268°∠70°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：155°∠22° 据结构面赤平投影分析，该边坡为切向坡，节理裂隙J1产状：205°∠82°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对对边坡的稳定性不起控制性作用；节理裂隙J2产状：120°∠75°，该节理倾向相对于坡面也为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用；但J2与岩层两结构面交线位于两边坡投影弧之间，需根据其与岩石摩擦角的关系确定其边坡稳定性。 编号结构面名称倾向(°)倾角(°)Sc 开挖 26870Sn 自然坡面26811.6J1节理120582J2 节理212075层面 岩层面15522组合交棱线 倾向(°)倾角(°) Sc—Sn 1780Sc—J127270Sc—J219641Sc—层面18519Sn—J129410Sn—J2208 6Sn—层面2248J1—J214474J1—层面11818J2—层面 206 14 赤平投影图 Sc Sn J1 J2 层面 W E N S
Material Sciences 材料科学, 2018, 8(8), 871-877 Published Online August 2018 in Hans. https://www.doczj.com/doc/4110239625.html,/journal/ms https://https://www.doczj.com/doc/4110239625.html,/10.12677/ms.2018.88103 A New Method of Accurate Drawing Stereographic Projection for Cubic System: The Plane Geometry Method Quncheng Fan1*, Jiachen Kang2 1School of Materials Science and Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi 2School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi Received: Jul. 22nd, 2018; accepted: Aug. 16th, 2018; published: Aug. 23rd, 2018 Abstract A new method, the plane geometry method, is developed for accurate drawing stereographic pro- jection of cubic system. The principle and method are introduced, and the new method is used to accurately draw a stereographic projection with the higher indexes for cubic system, and a stan-dard projection of cubic system. The plane geometry method provides the following advantages over existing methods: neither calculating the angles nor measuring the angles with Wulff Net. Keywords Plane Geometry Method, Stereographic Projection, Cubic System 精确绘制立方晶系极射 赤面投影图的新方法： 平面几何法 范群成1*，康嘉晨2 1西安交通大学材料科学与工程学院，陕西西安 2西安交通大学电子与信息工程学院，陕西西安 收稿日期：2018年7月22日；录用日期：2018年8月16日；发布日期：2018年8月23日 *通讯作者。