一、序言
岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理
（一）投影要素
极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：
1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。
7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。
（二）平面的赤平投影
平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。
1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。
2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。
（三）直线的赤平投影
直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。
（四）吴氏网及其CAD制作
目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏
网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
1.吴氏网的结构及成图原理
吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。标准吴氏网的基圆
直径为20cm，经、纬线间的角距为2°。
(1)基圆，由指北方向（N）为0°,顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用；
(2)经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0°到90°（角距间隔为2°）的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W 点）的距离分别代表各平面的倾角。如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜，倾角为30°。
(3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是2°，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示，ED＝SH＝WG＝NF，角距都为30°。
2.吴氏网的CAD图解
绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。
(1)绘制大圆弧的原理与步骤
要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的，是已知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点B′，问题就迎刃而解。
①计算OB′长度
根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点B′之间的距离
（公式一）
式中R——基圆的半径；
α——大圆弧所代表平面的倾角（°）。
②以基圆的圆心为圆心，OB′长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交于B′点。
③过N、S、B′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。
(2)绘制小圆弧的原理与步骤
要绘制半径角距为的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B 三个点）。根据吴氏网的结构与原理，可以通过CAD制图确定A、C、B三个点的位置。
①确定点C，首先用公式一计算点O与点C间距离，但其中为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线NS交于C点。
②以基圆的圆心为基点，将南北径线ON分别逆时针和顺时针旋转角度，得两条直线，分别与基圆交于A、B点。
③过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。
三、赤平投影网CAD图解的应用
利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为0°，顺时针数到360°。东西直径EW确定倾角，一般是圆周为0°，至圆心为90°。这样做具有以下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。如果用CAD制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。
1.平面赤平投影的CAD图解（如图七）
例1：一平面产状126°∠30°，绘制其赤平投影图。
(1)绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、N。后面的例子均需要这一步，画法与之相同，所以不再重复。
(2)平面的倾向是126°，则其走向为36°。将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36°到达AB 位置，与基圆交于A、B两点，则AB就是平面的走向线。
(3)以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126°到达OD位置，与基圆相交于点D，则OD即为该平面的倾向线。
(4)用公式一计算线段OC长度。以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD于C点。
(5)采用三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。
2.直线赤平投影的CAD图解（如图八）
例2：一直线产状330°∠40°，绘制其赤平投影图。
(1)将ON绕圆心O顺时针旋转330°后到达OA位置，与基圆交于点A，则OA即为该直线的倾伏向。
(2)用公式一计算OA′值。以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交OA于A′点，则点A′即为该直线的赤平投影。
3.平面法线赤平投影的CAD图解（如图九）
例3：一平面产状为105°∠40°，绘制其法线的赤平投影。
(1)按例1所述方法，绘制产状为105°∠40°平面的赤平投影大圆弧NB′S。
(2)平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此平面法线的倾角为50°。用公式一计算OA′。以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交B′O的延长线于A′点，则A′点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面的极点。
由于平面法线倾向与平面倾向相反，相差180°，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此也可根据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首先计算法线的产状为285°∠50°，然后再按例2方法绘制法线的赤平投影。
4.相交两条直线所构成平面的产状
例4：已知两直线180°∠20°和90°∠32.3°相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状（如图十（a）、（b））。
(1)为很好地利用CAD制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：
tan2βsin2γ=tan2α1+tanα2-2tanα1tanα2cosγ （公式二）
式中β——两条相交直线所构成平面的倾角（°）；
α1、α2——分别为两条直线的倾伏角（°）；
γ——两条直线倾向夹角（°）。
用公式二计算两条直线所构成平面的倾角为β=36.13°。
(2)确定投影大圆弧的圆心O′，点O′应在线段C′F′的垂直平分线上。要确定点O′的位置，需要用下列公式计算平面的赤平投影大圆弧的半径。计算出赤平投影大圆弧的半径后，再以点C′或者点
F′为圆心画圆，与线段C′F′的垂直平分线相交于点O′。（公式三）式中R’——赤平投影大圆弧的半径;
R——基圆的半径。
(3)确定平面的走向AB：以O′为圆心，以为半径画圆，与基圆相交于两点A、B，则AB即为所求平面的走向，为30°。由此算出该平面的倾向为120°。
因此所求平面产状为120°∠36°。
此外，两条直线所构所平面的倾向，也可由下式计算确定：
（公式四）
式中——平面倾向与直线1倾向之差；
其余符号意义同公式二。
5．相交两条直线的夹角及其角平分线
例5：用赤平投影法求解例4两条直线的夹角及其角平分线（图十（c））。
(1)按例4作法，确定两条直线所构成平面的赤平投影，即大圆弧AF′C′B，其产状约为120°∠36°。
（2）量取大圆弧上C′与F′间的角距为54°，即相交两条直线的夹角为54°。该圆弧C′F′段的角距平分点G′（27°）就是相交两条直线夹角平分线的赤平投影，由此可以确定两条相交直线夹角平分线的产状为139.67°∠34.51°。
除上述作图法外，还可用下式计算两条相交直线的夹角：
（公式五）
式中——两条相交直线的夹角（°）；
其余符号的意义同前。
6.平面上一直线的倾伏和侧伏（如图十一）
例6：已知平面产状180°∠α （α＝36°），平面上一条直线AC的侧伏向E、侧伏角β（β=44°，是指该平面走向线与该直线所夹的锐角），用赤平投影法求解该直线的倾伏向和倾伏角。
（1）按例1做法，绘制平面的赤平投影大圆弧ED″W。
（2）以EW为南北向径线（假定），作半径角距等于β（β=44°)的纬向小圆弧GD″K（应为两条，另一条未画出），与平面的赤平投影大圆弧ED″W相交于C″点。连接点O与点C″，并延长，与基圆相交于C′点。
（3）点C″即所求直线的赤平投影。图上量得线段OC″的长度，然后用公式一求得直线的倾伏角24.71°。
（4）点C′对应的角度为127.64°，即为所求直线的倾伏向。因此该直线的产状为127.64°∠24.71°。
平面上一条直线的倾伏或侧伏，可以相互换算，除采用上面的CAD制
图方法外，也可用下列公式计算：
（公式六）
（公式七）
式中——平面倾角（°）；
——平面上直线的侧伏角（°）；
——直线的倾伏角（°）；
——平面倾向与直线倾向之差（°）。
7.两个平面交线的产状（如图十二（a））
例7：已知两个平面70°∠40°和290°∠30°，用赤平投影法求解这两个平面交线产状。
（1）按例1做法，分别绘制出两个平面的赤面投影大圆弧APB和CPD，两条大圆弧相交于P 点，该点即为两个平面交线的赤平投影。
（2）连结OP，并量得OP的长度。然后用公式一求得交线的倾伏角为β=13.14°；OP所在径线方向即为交线的倾伏向，量得交线的倾伏向为365.15°。即两个平面交线产状为365.15°∠13.14°。
8．两个平面的夹角及其夹角的等分面（如图十二（b））
例8：已知条件同例7，用赤平投影法求解两个平面的夹角及其夹角的等分面。
（1）绘制两个平面的公垂面，由于以点P为投影的直线就是公垂面的法线，因此公垂面的产状为176.15°∠76.86°，按例1做法绘制公垂面的赤平投影大圆弧FIHG，与两个已知平面的赤平投影大圆弧分别相交于点H、点I。这两点所代表的直线产状分为：
直线H为96.27°∠36.96°；直线I为259.48°∠26.44°。
（2）点H、点I所代表的两条直线的夹角就是两个平面的夹角，可根据两条直线的产状，由公式五计算求得，结果为114.66°。也可先用公式六分别求出两条直线在公垂面上的侧伏角，分别为：直线H的侧伏角为38.128°；直线I的侧伏角为27.209°。
则两条直线的夹角为180°－（38.128°＋27.209°）＝114.66°。
（3）公垂面的投影大圆弧上点H、点I间弧段的中点K在两个平面的等分面的投影大圆弧上，投影点K的直线产状204.74°∠75.11°。点P也在等分面的投影大圆弧上，其产状也已求得（例7）。已知投影大圆弧上的两个点，就可按例4做法计算出等分平面的倾角和其赤平投影大圆弧的半径，并绘制出经过这两点的大圆弧QKM。该大圆弧对应的平面即为已知两个平面夹角的等分面，其产状为267.76°∠83.12°。
9.一条直线与一个平面的夹角（如图十三）
例9：一平面产状120°∠50°，一直线产状320°∠20°，用赤平投影法求解直线与平面的夹角。
（1）按例1做法绘制已知平面的赤平投影大圆弧ADB。
（2）按例2做法绘制已知直线的赤平投影，即投影点C。
（3）按例3做法绘制已知平面法线的投影极点P。
（4）按例4做法绘制经过点C、P的大圆弧CPD，其所代表的平面与已知平面垂直，其产状为244.06°∠56.28°。
用公式六分别求出直线C和直线P在平面CPD上的侧伏角，直线C的侧伏角为24.280°，直线P的侧伏角为50.606°，也就是平面法线与已知直线的夹角为50.606°－24.280°＝26.33°，因此已知直线与平面的夹角为90.00°－26.33°＝63.67°。
四、用赤平投影求解边坡稳定问题
在岩质边坡稳定性分析与计算中，赤平投影可用来初步判定边坡稳定性，求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数。
（一）边坡稳定性初步判别
图十四所示的边坡楔体，假定只有摩擦力抵抗滑动，且两个结构面的摩擦角相同，且都等于，则楔体可能滑动的条件是两个结构面交线的赤平投影，即它的投影点应落在坡面大圆弧与摩擦圆所围成的范围内（图十四(b)中阴影部分），即（其中为在正交交线视图上的坡面倾角；为结构面交线倾角；为结构面内摩擦角）。据此可以迅速判别楔体是否会产生滑动。
（二）求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数
边坡稳定性系数计算所需的几何参数包括平面和直线的产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面夹角等。除平面和直线的产状可现场量测外（平面和平面交线、平面法线也可用赤平投影法求解），其余几何参数都可用赤平投影法求解。前面已经介绍过这些几何参数的赤平投影求解方法，下面举例说明赤平投影在边坡稳定性系数计算中的具体应用。如图十五所示的边坡楔体，坡面、坡顶面、结构面A和B等产状及其它技术参数如表1。
计算楔体稳定系数之前，首先应绘制四个平面的赤平投影大圆弧以及两个结构面的法线投影极点（如图十六），并求得各交线及法线的产状如下：
法线PA：285°∠45°；
法线PB：55°∠20°；
交线1：121.55°∠43.79°；
交线2：195.19°∠64.65°；
交线3：183.00°∠11.75°；
交线4：148.03°∠8.25°；
交线5：157.73°∠31.20°。
然后，再用公式五计算楔体稳定分析所需的各角度参数值，计算结果如下：
两个结构面交线的倾角:31.20°；
两个结构面法线的夹角:100.68°；
线1和线3的夹角：61.40°；
线3和线5的夹角：30.37°；
线1和结构面B法线的夹角：59.56°；
线2和线4的夹角：=65.31°；
线4和线5的夹角：=24.67°；
线2和结构面A法的的夹角：49.81°。
将上述参数值代入霍克岩体边坡楔体稳定性系数计算公式，计算结果1.4，楔体稳定。如果不考虑结构面粘聚力作用，则0.62，楔体不稳定。如果将结构面内的水疏干，或者是不考虑地下水对楔体稳定性的影响，则2.0，楔体稳定。由此可见，水对边坡楔体稳定性影响是非常重要的，因此在边坡治理时，可考虑采用疏干楔体结构面中水的措施，对维持边坡稳定可起到良好的效果。
五、结束语
1.公式一的引入，不仅可以用CAD制图系统软件制做吴氏网，而且使吴氏网的应用得到简化，在应用吴氏网求解实际问题时，只需要事先绘制一个基圆即可，不用将所有经、纬线都绘制出来，同时也不需要将吴氏网转来转去。
2.使用传统的标准吴氏网，投影误差不超过半度。但应用吴氏网CAD制图方法，投影精度更高，并可根据需要选择精确度。吴氏网CAD制图方法，不仅精度高，而且方便快捷。
3.由于可以用CAD制图系统软件绘制吴氏网，因此面、线、面与面、线与线、面与线等的赤平投影也都可以用CAD来完成。
4.又由于能够采用CAD制图系统软件绘制面、线、面与面、线与线、面与线等的赤平投影，因此使赤平投影在解决岩质边坡稳定性等岩体问题中得到更广泛的应用。在边坡稳定性分析中，采用赤平投影，不仅可以迅速判别楔体的稳定性，而且还可以求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数。
主要参考文献
[1]建筑地基基础设计规范（GB50007—2002），中国建筑出工业版社，2002；
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[3]杨航宇等，公路边坡防护与治理，人民交通出版社，2002；
[4]林宗元主编，岩土工程勘察设计手册，辽宁科学技术出版社，1996；
[5]张喜发主编，岩土工程勘察与评价，吉林科学技术出版社，1995。
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。 （二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。 （三）直线的赤平投影 直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。 （四）吴氏网及其CAD制作 目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
3．地图投影的基本问题 3．1地图投影的概念 在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。凡是地理信息系统就必然要考虑到地图投影，地图投影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整性，在各类地理信息系统的建立过程中，选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由于地球椭球体表面是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。 3．2地图投影的变形 3．2．1变形的种类 地图投影的方法很多，用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬线网形状并不完全相似。这表明投影之后，地图上的经纬线网发生了变形，因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物，也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何特性（长度、方向、面积）受到破坏。把地图上的经纬线网与地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面，分别用长度比、面积比的变化显示投影中长度变形和面积变形。如果长度变形或面积变形为零，则没有长度变形或没有面积变形。角度变形即某一角度投影后角值与它在地球表面上固有角值之差。 1）长度变形 即地图上的经纬线长度与地球仪上的经纬线长度特点并不完全相同，地图上的经纬线长度并非都是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有长度变形。 在地球仪上经纬线的长度具有下列特点：第一，纬线长度不等，其中赤道最长，纬度越高，纬线越短，极地的纬线长度为零；第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；第三，所有的经线长度都相等。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上，长度变形不仅随地点而改变，在同一点上还因方向不同而不同。 2）面积变形 即由于地图上经纬线网格面积与地球仪经纬线网格面积的特点不同，在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形。 在地球仪上经纬线网格的面积具有下列特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的网络面积相等。第二，在同一经度带内，纬线越高，网络面积越小。然而地图上却并非完全如此。如在图4-9-a上，同一纬度带内，纬差相等的网格面积相等，这些面积不是按照同一比例缩
赤平投影原理及讲解 This manuscript was revised on November 28, 2020
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上 的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。 （二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。 （三）直线的赤平投影
手把手教你应用赤平投影（CAD图解） 来庆超 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的 大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中 PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半 球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
土建图学教程 阴影（正投影中加绘阴影的基本原理与画法）
正投影图的阴影 7.1 阴影的基本知识 7.1.1 阴影的形成与作用 7.1.2 常用光线 7.1.3 点和直线的落影 7.2 基本几何体的阴影 7.2.1 长方体的阴影 7.2.2 圆柱的阴影 7.3 建筑形体的阴影 7.3.1 窗洞的阴影 7.3.2 门洞的阴影 7.3.3 台阶的阴影 7.3.4 屋面的阴影
7.1 阴影的基本知识 在建筑设计的表现图中，如果画上了阴影，不仅丰富了图形的表现力，同时也增加了图面的美感。但这里所说的阴影，仅是在理论上探讨在光线照射下物体表面哪些是受光的，哪些是背光的，落影的位置和形状又该如何。为学习相关的后续课程打好基础。
7.1.1 阴影的形成与作用 一、阴影的形成 物体在光线的照射下，迎光的表面显得明亮，称为阳面；背光的表面显得阴暗，称为阴面。阳面和阴面的分界线称为阴线；由于物体通常是不透明的，所以照射在阳面上的光线受阻，以致在其后方的其他阳面上出现了落影。我们把落影的轮廓称为影线；落影所在的表面称为承影面。从次页例图可见，阴影是相互对应的，影线正好是阴线在承影面上的落影。
阴影的基本概念图7-1 阴影的形成、概念
二、阴影的作用 采用透视图表现建筑形象固然很好，但由于其绘图程序较复杂，因此作建筑设计方案时，也经常采用正投影图加阴影的表现形式，如次页例图所示。其中图 a是未加绘阴影前的线条图，图b是加绘阴影及经润饰、配景后的效果图。 从图b可见，在立面图中加绘了阴影，由于阴影区的形状、大小、位置与建筑物的体量有着对应的关系，在一定程度上表现了原立面图中未能表示出的建筑物前后之间的尺度关系。即把建筑物立面的凹凸、曲折、空间层次反映了出来，给人以特有的空间感。所以说，阴影的理论与实践在建筑设计过程有着十分重要的作用。
人教版地理高二选修7第二章第一节地图和地图投影A卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共15题；共36分) 1. （2分） GIS中，不同类型的地理空间信息储存在不同的图层上。叠加不同的图层可以分析不同要素间的相互关系。 城市交通图层与城市人口分布图层的叠加，可以（）。 A . 为商业网点选址 B . 分析建筑设计的合理性 C . 计算城市水域面积 D . 估算工农业生产总值 【考点】 2. （2分）湖水、长江水、黄河水三种含沙量水体反射光谱曲线图，关于图示信息的叙述，正确的是（）。 A . 分析使用的地理信息技术是GIS B . ①②曲线对应的是湖水、黄河水 C . 0.7波长λ／μm的反射率区分度最大 D . 含沙量与反射率呈正相关 【考点】 3. （2分）两颗卫星同时运行，每隔九天可以覆盖地球一遍，说明遥感技术 A . 受地面限制条件少 B . 测量范围小、距离远 C . 手段多，获得信息量大 D . 获得资料速度快、周期短 【考点】 4. （2分）有关遥感技术的叙述，不正确的是（）。
A . 遥感的关键装置是传感器 B . 遥感技术的主要环节是目标物→传感器→成果 C . 飞机遥感图像分辨率比卫星对地物的分辨率高 D . 遥感技术能在短时间内获得全面资料，以便及时安全安排防灾、救灾工作 【考点】 5. （2分）下列说法不正确的是否（）。 A . GIS技术是地图的延伸 B . RS技术是地图的延伸 C . GPS技术可为用户提供精确的三维坐标 D . GIS技术可分析、处理GPS技术及GPS技术提供的图像和数据 【考点】 6. （2分） GIS是用于空间分析的计算机系统，某中学地理小组将它作于课题研究。据此回答： 华北平原地势平坦开阔，土壤深厚肥沃，夏季高温多雨，适宜冬小麦和玉米轮作。若该结论是通过GIS而得到的，那么这属于下列GIS能解决的哪一类问题（） A . 趋势分析 B . 模式分析 C . 与分布、位置有关的基本问题 D . 模拟问题 【考点】 7. （2分）下列关于电子地图的说法，正确的是（） A . 制作所有地图都需要电子地图作底图 B . 外出学习或旅行，可以先在电子地图上查找出行路线 C . 电子地图可以完全代替纸质地图 D . 电子地图就是分层设色地形图 【考点】 8. （4分）在遥感技术中，可以根据植物的反射波谱特征判断植物的生长状况。
第一节地图投影的概念与若干定义 一、地图投影的产生 我们了解地球上的各种信息并加以分析研究，最理想的方法是将庞大的地球缩小，制成地球仪，直接进行观察研究。这样，其上各点的几何关系——距离、方位、各种特性曲线以及面积等可以保持不变。 一个直径30厘米的地球仪，相当于地球的五千万分之一；即使直径1米的地球仪，也只有相当于地球的一千三百万分之一。在这一小的球面上是无法表示庞大地球上的复杂事物。并且，地球仪难于制作，成本高，也不便于量测使用和携带保管。 通过测量的方法获得地形图，这一过程，可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点（测量控制点、地形点、地物点）用垂直投影的方法投影到图纸（图4－1）。因为测量的可观测范围是个很小的区域，此范围内的地表面可视为平面，所以投影没有变形；但对于较大区域范围，甚至是半球、全球，这种投影就不适合了。 由于地球（或地球仪）面是不可展的曲面，而地图是连续的平面。因此，用地图表示地球的一部分或全部，这就产生了一种不可克服的矛盾——球面与平面的矛盾，如强行将地球表面展成平面，那就如同将桔子皮剥下铺成平面一样，不可避免地要产生不规则的裂口和褶皱，而且其分布又是毫无规律可循。为了解决将不可展球面上的图形变换到一个连续的地图平面上，就诞生了“地图投影”这一学科。 二、地图投影的定义 鉴于球面上任意一点的位置是用地理坐标（）表示，而平面上点的位置是用直角坐标（X,Y）或极坐标（）表示，因此要想将地球表面上的点转移到平面上去，则必须采用一定的数学方法来确定其地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法，称为地图投影。 三、地图投影的实质 球面上任一点的位置均是由它的经纬度所确定的，因此实施投影时，是先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上，并将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬线，构成经纬网；然后再将球面上的点，按其经纬度转绘在平面上相应位置处。由此可见，地图投影的实质就是将地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面上，建立球面上点（）与平面上对应点之间的函数关系。 这是地图投影的一般方程式，当给定不同的具体条件时，就可得到不同种类的投影公式，依据各自公式将一系列的经纬线交点（）计算成平面直角坐标系（X，Y），并展绘在平面上，连各点得经纬线得平面表象（图4－2）。经纬网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。 四、地图投影的基本方法 （一）几何透视法 系利用透视关系，将地球表面上的点投影到投影面上的一种投影方法。例如，我们假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般球体，在其球心、球面或球外安置光源，将透明球体上的经纬线、地物和地貌投影到球外的一个平面上，所形成的图形，即为地图。 图4－3即是将地球体面分别投影在平面和圆柱体面上的透视投影示意图。几何透视法只能解决一些简单的变换问题，具有很大的局限性，例如，往往不能将全球投影下来。随着数学分析这一学科的出现，人们就普遍采用数学分析方法来解决地图投影问题了。（二）数学解析法 在球面与投影平面之间建立点与点的函数关系（数学投影公式），已知球面上点位的地理坐标，根据坐标转换公式确定在平面上的对应坐标的一种投影方法。
正投影的基本原理 威海职业学院教案 单元三正投影的基本原理 第一讲投影的基本知识 计划教学课题投影的基本知识 2 课时 1. 投影法的基本知识 2. 投影法的概念 3. 投影法的种类及应用 4. 机械工程上常用的图样简介 教学目标 5. 正投影的基本性质 6. 点的投影 7. 点在两面投影体系中的投影 8. 点在三面投影体系中的投影 教学重点掌握点的三面投影 教学难点掌握点的投影规律 教学方法多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。 教学手段通过课件多媒体教学和在黑板上画图讲解相结合。本讲主题 1. 投影法的基本知识 2. 投影法的概念 3. 投影法的种类及应用 4. 机械工程上常用的图样简介 5. 正投影的基本性质
6. 点的投影 7. 点在两面投影体系中的投影 8. 点在三面投影体系中的投影 9. 点的三面投影与直角坐标 10. 特殊位置点的投影 11. 两点的相对位置 所用环节方式教学内容时间 幻灯片演示投影过程，动态分析投影。 5分钟 教一、模型演示 学 1. 投影法的基本知识 20分过 2. 投影法的概念钟程 二、分析讲解 3. 投影法的种类及应用 4. 机械工程上常用的图样简介 威海职业学院教案 5分钟 三、练习 幻灯片演示投影过程，动态分析投影。 10分 四、模型演示钟 5. 正投影的基本性质 60分 6. 点的投影钟 7. 点在两面投影体系中的投影 8. 点在三面投影体系中的投影五、分析讲解 9. 点的三面投影与直角坐标10. 特殊位置点的投影
11. 两点的相对位置 布置 课后练习 P9 1～2 作业 2.1投影的基本知识 2.1.1投影法概念:是投射线通过物体向预定投影面进行投影而得到图形的方法。 2.1.2投影法的分类: ,、中心投影法:投射线从投影中心出发的投影方法称为中心投影法，所得的投影称为中心投影。 ,、平行投影法:用相互平行的投射线对物体进行投影的方法称为平行投影法，所得的 投影称为平行投影。 斜投影法:投射线倾斜于投影面的投影方法称为斜投影法， 所得的投影称为斜投影。 平行投影法又可分为 正投影法:投射线垂直于投影面的投影方法称为正投影法， 所得的投影称为正投影。以后无特殊说明，投影均指正 投影。 2.1.3机械工程上常用的图样简介 1、轴测投影图 2、多面正投影图 2.1.4正投影的基本性质 1、真实性 2、积聚性 3、类似性
极射赤平投影原理 1、面和线的赤平投影 1-1投影原理 一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。 图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。 图2 平面的投影图3 直线的投影 平面的投影方法（图2）设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40°，若此平面过球心，则其与下半球面相交为大圆弧PGF，以Ａ点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。 直线的投影方法（图3）设一直线向东倾伏、倾伏角40°，此线交下半球面于G点。以A为发射点，球面上的G点在赤平面上的投影为H。HD的长短代表直线的倾伏角、D的方位角即直线的倾伏向。同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20°，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K。 为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。常用的有吴尔福网（简称吴氏网，也称等角距网）（图4A）和旋密特网（等面积网）（图4B），以及据其改换形式而成的极等角度网（图4C）和极等面积网（赖特网）（图4D）。吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。 1-2吴尔福投影网（图4Ａ） 1-2-1结构要素 基圆即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。由正北顺时针为0°－360°，每小格2°，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。 两个直径分别为南北走向和东西走向直立平面的投影。自圆心→基圆为90°→0°，每小格2°，表示倾角、倾伏角。 经线大圆是通过球心的一系列走向南北、向东或向西倾斜的平面的投影，自南北直径向基圆代表倾角由陡到缓的倾斜平面。 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走向的直立平面的投影。它们将南北向直径、经线大圆和基圆等分，每小格2°。 1-2-2 操作 将透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，描绘基圆及“＋”字中心，固定网心，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标上N、E、S、W。
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 ? 二、极射赤平投影的基本原理 (一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括: 1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。 2.球面:投影球的表面称为球面。 3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。 ５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。 6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P）和下极射点(F）。由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
极射赤平投影原理 概述 1、目的要求 学习赤平投影原理，了解赤平投影在构造地质学中的应用。 2、主要内容 ●赤平投影的原理 ●面、线的投影 ●β图解和π图解 ●等密度图 ●面和线的旋转 ●赤平投影在构造地质学中的应用 3、本章要点 ●赤平投影的原理（投影方法结合具体作业掌握） ●赤平投影应用（节理、褶皱和断层分析） 4、要求掌握的要点和基本概念 ●面、线的投影方法 ●不同类型褶皱岩层极点图的特点（如紧闭，宽缓、等斜褶皱等；水平直立、平卧、倾竖褶皱等） ●等密度图及古应力场分析 二、说明 极射赤平投影（Stereographic projection）简称赤平投影，主要用来表示线、面的方位，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素（线、面）反映在投影平面上进行研究处理。它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象、综合的定量图解，广泛应用于地质科学中。运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质构造的不可缺少的一种手段。 赤平投影本身不涉及面的大小、线的长短和它们之间的距离，但配合正投影图解，互相补充，则有利于解决包括角距关系在内的上述计量问题。 1、面和线的赤平投影 1-1投影原理 一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。 图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。
实验四空间数据处理与地图投影 一、实验目的 1．掌握空间数据处理（融合、拼接、剪切、交叉、合并）的基本方法，原理。 2．掌握地图投影变换的基本原理与方法。 3．掌握ArcGIS中投影的应用及投影变换的方法、技术，同时了解地图投影及其变换在实际中的应用。 二、实验准备 1．软件准备：ArcGIS 10.2 2．数据准备： （1）stationsll.shp（美国爱达荷州轮廓图） （2）idll.shp（美国爱达荷州滑雪场资料） 以上两个数据是以十进制表示经纬度数值的shapefile （3）snow.txt（美国爱达荷州40个滑雪场的经纬度值） （4）stations.shp，一个已投影的shapefile，用于检验习作2的投影结果 （5）idoutl.shp，基于爱达荷横轴墨卡托坐标系的爱达荷州轮廓图，用于检验习作3投影的正确性 三、实验内容与步骤 1. 空间数据处理 1.1 裁剪要素 在ArcMap中，添加数据“云南县界.shp”、“Clip.shp”（Clip 中有四个实体） 开始编辑，激活Clip图层。选中Clip图层中的一个实体（注意不要选中“云南县界”中的实体！）
图4-1 编辑Clip 点击按钮，打开ArcToolBox； 选择“Analysis Tools->Extract”，双击“Clip”，弹出窗口剪切窗口，指定输入实体为“云南县界”，剪切实体为“Clip”（必须为多边形实体），并指定输出实体类路径及名称，这里请命名为“云南 县界_Clip1”如图4-5； 图4-2 工具箱
图4-3 剪切窗口 依次选中Clip主题中其它三个实体，重复以上的操作步骤，完成操作后将得到共四个图层——“云南县界_Clip1”，“云南县界_Clip2”，“云南县界_Clip3”，“云南县界_Clip4”）； 操作完成后，一定要“Save Editors”。 图4-4 生成四个剪切图层
《地图投影》考前复习 第一章投影概论 地图的数学基础 是指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的数学基础。包括：地图投影、经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。 两个矛盾：球面与平面之间的矛盾; 大与小的矛盾. 可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决 球面与平面之间的矛盾——地图投影(将地球椭球面上的点转换成平面上的点) 大与小的矛盾——比例尺 地图投影: 就是建立平面上的点(用平面直角坐标或极坐标表示)和地球表面上的点(用纬度φ和经度λ表示) 之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是： 地图投影的实质：球面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面图纸上。 地图投影的基本任务：研究将地理坐标描写到平面上建立地图数学基础的各种可能的方法；讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的互相换算等问题。 地图制图的基本要求 地球椭球面是曲面，但地图是平面，需要用一定的数学方法把大地坐标系转化为某投影面上的平面直角坐标系。GIS用各种平面坐标系统去描绘地球，而每种平面坐标均基于特殊的地图投影。地图投影之后的结果记录是以地图作为保存形式的。地图投影的使用保证了空间信息从地理坐标变换为平面坐标后能够保持在地域上的联系和完整性。 进行空间操作和空间分析的基本前提 虽然由于地球表面形态发生了变化，但在一定的空间范围内却提供了很好的近似，可以帮助人们对地理空间建立一个良好的视觉感，进行各种量算以及进一步的空间数据处理和分析。 地图精度的基本要求 随着GIS不断普及，应用层次多样化、应用人员复杂化，很多人因为不懂投影，而一筹莫展；而一部分人在似懂非懂中，不管什么来源的数据，只管数字化建库或者强行配准迭加。 关于数据精度只注意数字化和编辑过程中的偶然误差和外围设备的系统误差，而忽视了地图投影的所产生的变形误差。其后果是：显示或输出的图形文件发生变形或扭曲，有些变形在视觉上不易直接观察。这一方面严重影响到地图的精度，属性数据空间顺序和空间联系分析结果的准确性；另一方面严重的影响到GPS的应用效果。 长度比： 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。 长度变形：
一、名词解释 地图投影：是利用一定数学方法则把地球表面的经、纬线转换到平面上的理论和方法。 投影变换：是将一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标的过程。 极值长度比：通常指沿变形椭圆的长半径a与短半径b的长度比之总称。 曲率半径：曲率的倒数，即某点的弯曲程度。 垂直圈：垂直圈又称地平经圈，指天球上经过天顶的任何大圆。 主法截面：通过A点的法线AL可作出无穷多个法截面,为说明椭球体在某点上的曲率起见,通常研究两个相互垂直的法截面的曲率,这种相互垂直的法截面为主法截面。 长度变形：长度变形又称“长度误差”、“长度变异”、“长度相对变形”，是衡量地图投影变形大小的一种数量指标。（公式见课本21页2.3式） 等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。 变形椭圆：地球面上一微分圆投影到平面上一般成为微分椭圆，微分椭圆的任意两相互垂直的直径，投影后为微分椭圆的两共轭直径，且该微分椭圆可以表现投影变形的性质和大小。 面积变形：地球面上无限小面积投影到平面上的大小与它原有面积大小的相对变形。 二、简答题 地图投影的目的与意义 地图投影是将立体地球上的种种标线及位置，转换到平面方格坐标的一种方式，在投影出来的地图上，无论是长度和面机，都必须与实际长度面积等比例，位子也必须正确，这是地图投影最基本的原则。 地图投影与其他学科的关系 地图投影同许多学科和应用技术有着密切的联系 1. 与数学：从地图投影的发展来看，它是伴随着数学的发展而前进的； 2. 与测量学：天文-大地测量为测制地图提供地球参考椭球体的大小形状及有关参数，并建立 大地原点；大地测量学在大地原点的基础上所建立的各级三角点，则需要应用地图投影计算出它们的平面直角坐标； 3. 与地图编制：地图编制与地图投影同属于地图学的重要组成部分； 4. 与航海、航天、宇宙飞行：等角投影无角度变形适用于航海和航天图；宇宙飞行可以服务于 地图投影，并可促使地图投影向新的方向发展。 每种投影的性质，要满足的条件及原因 1. 等角投影：要满足的条件是ω=0,m=n,a=b和β=β’； 2. 等面积投影：要满足的条件是vp=P-1=0或P=1； 3. 等距离投影：要满足的条件是正轴经线长度比m=1,斜轴或横轴垂直圈长度比μ1=1。 地图投影学科发展趋势 1. 外星地图投影：随着宇航技术的发展，到时还会增加更多星体的地图投影； 2. 空间地图投影：空间墨卡托（SOM）投影，是一种最适合于陆地卫星扫描影像制图的投影； 卫星轨迹地图投影，包括卫星轨迹圆柱投影和卫星轨迹圆锥投影，其特点是非常简化并能在地图上显示出卫星轨迹和摄影地区，但变形较大，不能代替SOM投影用于大、中比例尺的卫星影像制图； 3. 多焦投影和变化比例尺投影：多焦投影，在同一种投影的地图上，运用不同的投影中心或视 点位置，增大或者缩小局部范围的比例尺，是制图现象的强度或密度与统计面的大小成比例
ξ2—1正投影法的基本原理 天祝县职教中心托闹拉 教学目的： 1、掌握正投影法的基本原理和基本特性 2、理解三视图的形成，熟练掌握三视图 3、培养学生的空间概念和空间想象能力 教学重点： 1、正投影法的基本原理及基本特性 2、空间概念的建立 教学难点： 1、三视图的形成 2、空间想象能力的培养 教学方法：直观式教学 教具时数及内容：1课时。第一课时讲述投影知识及三视图的形成 教学过程： 第一课时 一、导语激趣 上一次上制图课我曾经向大家展示过一些机械图样，这些图样上画的虽是平面图形，但表达的却是空间形体。当时有不少同学课下问我：“这么复杂的物体究竟是怎么样画在图纸上的？”这种勤学好问的精神很值得提倡，今天这节课我们就来研究解答这个问题。不过在谜底揭晓之前，大家先思考两个问题： 1、机械图样中的图形要不要求反映物体的形状特征？ 2、在我们的日常生活中，有哪一种自然现象能够反映物体的形状特征？ 那么这种生活中的自然的投影现象与机械图样中的图形究竟有什么联系呢？下面我们共同来分析一下。
二、投影法的分类 物体在光线照射下，会在地面或墙面产生影子，这种影子在某种程度上反映了上物体的形体特征，比如人的影子看起来就像人，而不是马牛羊或其它。人们把这种自然现象加以抽象，把光源抽象为投射中心、墙面或地面抽象为投影面、光线抽象为投射线、物体的影子抽象为投影。像这种在平面上用投影表达物体的方法，我们把它称为什么呢？ 投影法：在平面上用投影来表达物体的方法叫投影法 工程上常用的投影法分为两类： 1、中心投影法：投射线汇交于投射中心 2、平行投影法：投射线互相平行 根据投射线对投影面的倾角不同，平行投影法又分为两种： （1）斜投影法：投射线与投影面倾斜 （2）正投影法：投射线与投影面垂直 通过分析着重对比几种投影法的特点： 1、用中心投影法获得的图形与人的视觉习惯相符，但不能反映物体的真实大小，且度量性差，所以在绘制机械图样时一般不采用。 1、用斜投影法获得的图形有很强的直观性，但作图比较麻烦，且某些表面的投影会发生变形，所以在绘制机械图样时一般也不采用。 2、用正投影法获得的图形虽然直观性不强，但能正确反映物体的形状和大小，而且作图方便，度量性好，所以在绘制机械图样时得到广泛的应用。 结论：机械图样中的图形就是依据正投影法原理绘制出来的。 那么用正投影的方法绘制出来的图形叫什么图呢？ 三、三视图的形成 （一）视图：用正投影法绘制出来的物体的图形称为视图 （向同学们说明：其实真正在画图时是用人的视线代替投射线正看着物体画出来的，所以顾名思义称为视图） 那么用一个或两个视图能不能完整反映出物体的结构形状呢？ 为了表示物体的完整形状，就必须多从几个方向投射，多画出几个视图，今天我们暂且先学习三个视图。
ξ—正投影法地基本原理 天祝县职教中心托闹拉 教学目地： 、掌握正投影法地基本原理和基本特性 、理解三视图地形成，熟练掌握三视图 、培养学生地空间概念和空间想象能力 教学重点： 、正投影法地基本原理及基本特性 、空间概念地建立 教学难点： 、三视图地形成 、空间想象能力地培养 教学方法：直观式教学 教具时数及内容：课时.第一课时讲述投影知识及三视图地形成 教学过程： 第一课时 一、导语激趣 上一次上制图课我曾经向大家展示过一些机械图样，这些图样上画地虽是平面图形，但表达地却是空间形体.当时有不少同学课下问我：“这么复杂地物体究竟是怎么样画在图纸上地？”这种勤学好问地精神很值得提倡，今天这节课我们就来研究解答这个问题.不过在谜底揭晓之前，大家先思考两个问题： 、机械图样中地图形要不要求反映物体地形状特征？ 、在我们地日常生活中，有哪一种自然现象能够反映物体地形状特征？ 那么这种生活中地自然地投影现象与机械图样中地图形究竟有什么联系呢？下面我们共同来分析一下. 二、投影法地分类 物体在光线照射下，会在地面或墙面产生影子，这种影子在某种程度上反映了上物体地形体特征，比如人地影子看起来就像人，而不是马牛羊或其它.人们把这种自然现象加以抽象，把光源抽象为投射中心、墙面或地面抽象为投影面、光线抽象为投射线、物体地影子抽象为投影.像这种在平面上用投影表达物体地方法，我们把它称为什么呢？ 投影法：在平面上用投影来表达物体地方法叫投影法 工程上常用地投影法分为两类： 、中心投影法：投射线汇交于投射中心 、平行投影法：投射线互相平行 根据投射线对投影面地倾角不同，平行投影法又分为两种： （）斜投影法：投射线与投影面倾斜 （）正投影法：投射线与投影面垂直 通过分析着重对比几种投影法地特点： 、用中心投影法获得地图形与人地视觉习惯相符，但不能反映物体地真实大小，且度量性差，所以在绘制机械图样时一般不采用. 、用斜投影法获得地图形有很强地直观性，但作图比较麻烦，且某些表面地投影会发生变形，所以在绘制机械图样时一般也不采用. 、用正投影法获得地图形虽然直观性不强，但能正确反映物体地形状和大小，而且作图方便，度量性好，所以在绘制机械图样时得到广泛地应用.
§2－1 正投影法的基本原理 本小节是学习《机械制图》课程的理论基础部分，是教学的重点和难点之一，学生的学习效果直接影响后续内容的学习。因此，必须在清晰地了解三视图形成过程的前提下，才能理解并初步能应用三视图的投影规律看、画简单的三视图。否则这部分内容讲不清、吃不透，学生会对三视图的三等关系和方位关系含混不清，造成画图与读图出现困难和错误。 一、视图 ?教学目的?什么叫视图、为什么要用视图和怎样形成视图。 ?教学重点?“视图”的概念和怎样形成视图。 ?关键词?形体（可变的积木模型）、投影面、正投影、视图 ?教法设计?从已学过“正投影”概念导入“视图”概念，解释视图的定义或含义，图解一个视图只能反映物体一个方位的道理。 徒手画图和积木模型相结合采用三视图的原因：采用尺寸相同的正方形积木组 合堆砌成两个物体（三个或四个更佳）图1，有意图地引导学生从同一方向投 影，得出形状相同的视图，再启发点明改变投射的方向其视图就会得到不同形 状的图形（视图），从而说明为何要采用三视图，为下一个内容做铺垫。 ?时间分配?约10分钟 ?教具?可变的积木教学模型和课本。 【说明1】本课程教学采用了自创的、突破性的机械制图教学法—“积木教学法”。就是利用可变的积木模型和在正方形网格上画视图相配合的机械制图教学法（如下 图所示，后面的视图类似，恕不再说明）。此法的特点：①适应性和可操作性 强，容易上手；②直观而形象；③三视图的投影规律一目了然。
【说 明 2】 本教案中的黑体字和图形为板书板图用，斜体字为讲课提示用。 〖承上启下〗正投影法：投射线与投影面垂直的平行投影法。 突出一个“正”字：①物体“正放”（要求围成物体的大多数平面要与投影面垂直或是平 行）； ②投射线与投影面正交（正看）。 简言之正投影法也就是正看正放物体的投影法。 视图：用正投影法绘制出的物体的图形。 视图——视，就是看的意思。将人的视线人为规定投射线，且是平行投影线，然后正（投射线要做到与投影面垂直）对着物体看过去，将所见物体的轮廓画出来的图形。 〖引导〗要学生把平整的课本用手举在眼前，在看见封面的时候，闭上一只眼睛来看， 看不见四个侧面的视线就是相当于正投射线，得到的投影就是正投影（视图），否 则是斜投影法。 〖提问〗假如采用斜投影法看形体会得到怎样的图形（视图）？然后点明正投影法具有 度量性好和便于绘图的特点。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状。不能完整地反映物体的形状。 〖承上启下〗要完整地表达物体的形状，就必须采用从多个方向进行投影，得到多个视 图，最常见地是三个视图（简称三视图）。三视图的形成必须建立在三面 投影体系中才能实现。 向 投影