中文摘要
本文对近五年高考理科数学数列压轴题的解题方法进行了研究，在数列通项公式方面和数列不等式方面分别总结了几点解题方法。为了让读者能够更好地理解每一种方法，本文在每一种方法后面都进行了说明，并且也给出了相应的例子。
关键词：数列压轴题，数列通项公式，数列不等式
Abstract
This entrance examination for the past five years mathematical science series finale the theme of problem-solving methods have been studied,Term Formula in a few aspects of the column and several columns the respective inequality problem-solving method of summing up the following points.In order to give readers a better understanding of each method,in this paper, each method are described later in both.And also gives the corresponding examples
Keywords ：Series finale title，Sequence by the formula，Series
inequality
绪论
数列作为中学数学的传统内容，无论是原教学大纲还是新课程标准中都是中学数学的主干知识之一，在高考中占有非常重要的位置，是历年高考必考内容之一。数列题的题目往往比较简洁，条件比较少，所以需要比较强的综合运用所学知识解决问题的能力。正因为数列的这一特点，使得它越来越受到出题者的青睐，从而把它作为高考压轴题，用以拉开考生的成绩。这一点，我们可以从下表得到说明：
数列压轴题的分布表
2005年 福建卷 湖北卷 山东卷 天津卷 浙江卷 重庆卷 江苏卷
2006年 北京理 福建理 江苏理 江西理 全国1 全国2 山东理 浙江理
2007年 广东理 重庆理 湖南理 江西理 全国1 陕西理 安徽理
2008年 北京理 福建理 广东理 湖北理 全国1理 陕西理 上海理 天津理 浙江理 重庆理
2009年 江苏 安徽理 北京理 广东理 湖南理 江西理 陕西理 上海理 四川理 天津理 重庆
理
从上表我们可以看到，数列作为压轴题在全国各省市的高考题中出现的比例越来越大，因此，对高考数列压轴题的解题方法研究就显得很有必要的，既可以帮助学生进行有针对性的学习，少走弯路，也可以帮助教师进行有针对性的教学，提高教学效率。 纵观近几年的关于高考数列的论文，不少人对高考数学数列压轴题的解题进行了研究，也总结了不少的精妙的解题方法。但大多数人都是针对某一道题、某一种解题方法或者某一年高考题的研究，还没有人对近几年高考题进行过一次比较系统的方法总结，下面是笔者结合近年各省理科高考题数列压轴题，在数列通项公式，数列不等式方面总结了一些解题方法，希望对大家有所帮助。
1. 数列的通项公式
近几年高考题虽然题目变来变去的，但涉及到求通项公式的问题，总是有一点方法可以遵循的。
1.1定义法
此种方法是直接根据等差数列和等比数列的定义来求数列的通项公式，一般用来求比较简单的题目。譬如，在压轴题第一问出现求数列通项公式时，次种方法往往适用。
根据定义法来证明数列是等比数列时，一般是证明001
11≠=≠=-++m m m m m m a a
a a q a a 或
例1（2006年高考理科数学·山东卷）已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中1,2,3,n =
（1）证明数列{lg(1)}n a +是等比数列；
（2）设12(1)(1)(1)n n T a a a =+++，求n T 及数列{}n a 的通项；
（3）记112n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项n S ，并证明2131
n n S T +=- 证明：（1）本题要证明{lg(1)}n a +是等比数列
根据定义，只要证明
即可0)1lg(,)
1lg()
1lg(1≠+=+++n n n a q a a 要证明
0)1(l q,)
1lg()
1lg(1≠+=+++n n n a g a a ，即要证明0)1lg(,)1lg()1(lg 1≠++=++n q n n a a a 即要证明11,)1(11≠++=++n q
n n a a a 由已知2
12n n
n a a a +=+得21)1(1+=++n n a a 又因为21=a ，所以1311≠=+a
所以{lg(1)}n a +是等比数列
（2）略 （3）略
根据定义法来证明数列是等差数列时，一般是证明为常数d d a a m m ,1=-+或11-+-=-m m m m a a a a
例2（2005年高考数学·江苏卷22）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
11,6,1321===a a a ，且
,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数
⑴求A 与B 的值；
⑵证明：数列{}n a 为等差数列；
⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立
解：⑴8,20-=-=B A （过程略）
⑵由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ①
所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 0)25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n
因为 n n n S S a -=++11
所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n
所以 02123=+-+++n n n a a a 所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列
⑶答案略
这道题在解题过程稍微复杂，但思路是根据等差数列的定义1223++++-=-n n n n a a a a ，
1≥n 证得{}n a 是等差数列。
由于定义法比较简单，07年之后便少有出现在压轴题里面，但在非压轴题里这种方法还是常常被用到。
1.2数学归纳法
有时候，我们无法根据定义来证明一个数列是等差或等比数列也无法根据义把数列通项公式求出来，这时，利用数学归纳法，能起到化难为简的功效。数学归纳法的解题步骤分为以下两步：
第一步：证明n 取最小正整数时，等式成立，
第二步：假设n=k(k 大于能取得的最小正整数)时等式成立，然后证明n=k+1时等式也成立。
第三步：由第一、第二步的结论我们就可以下结论说，等号对一切满足条件的n 都成立
例3（2005年高考理科数学·浙江卷20）设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：
y ＝x 2
＋ax ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －
1
1
2n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2
＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)
到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．
解：（Ⅰ）2714y x x =-+（过程略） （Ⅱ）设点(),P x y 是n C 上任意一点，
则()
()
()2
2
2
22||n n n n n A P x x y x x x a x b =
-+=
-+++
令()()()2
2
2n n n g x x x x a x b =-+++
则()()()()2222n n n n g x x x x a x b x a '=-++++ 由题意得()10n g x +'=
即()()()21112220n n n n n n n x x x a x b x a +++-++++=
又1
2
12n n n n n x a x b ++=++， ()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥， 即()()111220
*n n n n n x x a +++-+=
通过观察，我们发现21n x n =-时，上式等号成立，于是， 下面用数学归纳法证明21n x n =-确实所要求的等差数列
第一步：证明n 取最小正整数时等号成立，在此题中，n 可以取一切正整数，因此先证明n=1时等号是否成立。
当1n =时，11x =，等式成立；
第二步：假设当n k =（k>1）时，等式成立，即21k x k =-，下证明n=k+1时等式也成立
当1n k =+时，由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=， 又1
1
242k k a k -=---
，
11
22112k k k
k k x a x k ++-∴==++，
即1n k =+时，等式成立
第三步：由第一、第二步知，等式对*n N ∈成立， 故{}n x 是等差数列
例4（2007年高考理科数学·江西卷22）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任
何*n ∈N ，有111111
22111
n n n n
a a a a n n ++++<<+-+．
（1）求1a ，3a ；
（2）求数列{}n a 的通项n a ． 解：（1）11a =，39a =（过程略）
（2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．
1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得22
111111
2(1)2k k k k a k
a k ++??+
<++<+ ??? 2212(1)(1)
11
k k k k k k a k k k +++-?<<-+- 22
212(1)1(1)(1)11
k k k a k k k ++?+-<<+++-
因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，
所以(]22
(1)011k k +∈+，．11k -≥，所以(]1
011
k ∈-，又1k a +∈*N ， 所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．
数学归纳法虽然比较好用，但我们要先观察分析题目给出的条件，根据条件进行合理的猜测，然后再用数学归纳法来证明自己的猜测。数学归纳法在08，09年也得到了广泛的应用，有兴趣的东西可以去看看。
1.3等比差数列法
等比差数列在高中课本里没专门介绍，但在高考压轴题中常常会遇到，等比差数列有两个特点：1、如果把非数列项去掉的话，数列就变成了等比数列；2、如果把式子中所有数列项的系数都改成1的话，数列就变成了等差数列。我们可以根据这两个特点来判断一个数列是不是等比差数列。常见的等比差数列有以下两种类型：
1.3.1 q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）的形式。求此种等比差数列的通项公式时，我们可以按照以下的方法来求解： ∵q pa a n n +=+1
设存在一个数k ，使得)(1k a p k a n n +=++，下求k 和p 、q 的关系 由)(1k a p k a n n +=++得k pk pa a n n -+=+1，所以1
-=p q k 因此)1(11-+=-+
+p q a p p q a n n ，这是以p 为公比，1
-+p q
a n 为通项的等比数列， 根据等比数列的相关知识，可以求出{1
-+p q
a n }的通项公式，进而求出{n a }的通项公式。
因此求此种等比差数列的通项公式时，通常是把等比差数列转化成p m
a m
a n n =+++1的形
式，然后根据等比数列的相关知识，把数列的通项公式求解出来。
例5（06年高考理科数学·福建卷22）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）证明：*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈
解：（I ）*121(),n n a a n N +=+∈∴数列为等比差数列 设)(21k a k a n n +=++，解得k=1
112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。
12.n n a ∴+=
即 2*21().n a n N =-∈ （II ）略
有时候，题目不是直接给出q pa a n n +=+1的形式，而是给出了别的能够转化成
q pa a n n +=+1形式的题目，这是我们就先转化成q pa a n n +=+1的形式，然后再利用上述
的方法来求解。
例6（2008年高考理科数学·陕西卷22题）已知数列{}n a 的首项135
a =
，1321
n
n n a a a +=
+，12n =，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n
a x x x ??-- ?++??
≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2
121
n n a a a n +++>+．
解：（Ⅰ）1321
n
n n a a a +=
+， 112133n n
a a +∴
=+， 1111
113n n a a +??∴
-=- ???
， 又
12
13
n a -=， 11n a ??∴- ???
是以23为首项，1
3为公比的等比数列．
∴1
1212
1333n n n a --==，332
n n n a ∴=+． （Ⅱ）略 （Ⅲ）略
同种类型的题目也见于2007年的高考理科数学·全国1卷中。
1.3.2)(1n f pa a n n +=+（p 是常数）的形式。此种类型的等比差数列比第一种类型复杂了点，但解题方法没变，仍是想方设法把)(1n f pa a n n +=+转化成
p n f a n f a n n =++++)
()
1(1（p
是常数）的形式，再利用等比数列的相关知识来求解
例7（2006年高考理科数学·全国1卷）设数列{}n a 的前n 项的和
1412
2333
n n n S a +=-?+，n=1，2，3…
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；
（Ⅱ）设2n
n n T S =，n=1,2,3…证明：1
32n
i i T =<∑
解：（Ⅰ）由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+2
3
所以
a 1=2.
再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +2
3
, n=2,3，4,…
将①和②相减得: a n =S n －S n-1= 43(a n －a n －1)－1
3
×(2n+1－2n ),n=2,3, …
整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … ,
因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,
即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …,
因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,
（Ⅱ）略
1.4由递推公式求出数列通项公式
很多时候，试题为了增加难度，只是给出一个看似毫无规律的递推公式，让我们从递推公式中找出数列的通项公式。遇到这种题目，我们一般的解题方法是：或者利用
1--=n n n s s a 把问题转化，或者是把问题转化成1-n n a a 与的关系，又或者把问题转化成
1
11-n n a a 与的关系 例8（2007年高考理科数学·陕西卷22）已知各项全不为零的数列{a k }的前k 项和为
S k ,且S k ＝∈+k a a k k (2
1
1N *),其中a 1=1.
(Ⅰ)求数列{a k }的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n (n ≥2),数列{b k }满足1
1++-=b k k a n
k b b （k =1,2,…，n -1）,b 1=1.求b 1+b 2+…+b n . 解：（Ⅰ）当1k =，由11121
2
a S a a ==
及11a =，得22a =． 当2k ≥时，由11111
22
k k k k k k k a S S a a a a -+-=-=-，得11()2k k k k a a a a +--=．
因为0k a ≠，所以112k k a a +--=．
从而211(1)221m a m m -=+-=-．22(1)22m a m m =+-=，*m ∈N ． 故*()k a k k =∈N ． (Ⅱ)略
在这道题当中，题目只是给出了S k ＝∈+k a a k k (2
1
1N *)这个递推关系式，于是，我们可
以利用1--=k k k s s a 把问题转化成11()2k k k k a a a a +--=，最后得到答案*()k a k k =∈N 这样，我们就吧一个看似陌生的问题转化成我们熟悉的问题来解答。 例9（2009年高考理科数学·江西卷）各项均为正数的数列
{}
n a ，
12,a a a b
==，且对
满足m n p q +=+的正整数,,,m n p q 都有
.
(1)(1)(1)(1)
p q m n
m n p q a a a a a a a a ++=++++
（1）当5
4
21==b a ，时，求通项n a
（2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有
λλ
≤≤n a 1
解：（1）由)
1)(1()1)(1(q p q p n m n
m a a a a a a a a +++=
+++得 )
1)(1()1)(1(121
211--+++=+++n n n n a a a a a a a a
将54
21==b a ，代入化简得2121
1++=--n n n a a a
所以
1
1
113111--+-?=+-n n n n a a a a 故数列}11{n n a a +-为等比数列，从而n n n a a 3111=+-即1
31
3+-=n n n a 可验证，1
31
3+-=n n n a 满足题设条件.
在这道当中，题目只是给出了)1)(1()1)(1(q p q p n m n
m a a a a a a a a +++=
+++这个递推公式，通过变换，我们可以把问题转化成2
1
211++=
--n n n a a a ,这时候，再用上面的递推结构法便能很好的得
到了答案1
31
3+-=n n n a 。
利用递推公式来求解通项公式的方法要求考生要有比较强的推理能力，因此近两年也
比较受出题者的喜爱。当然，处理上述几种方法可求得数列通项公式外，还有一个不常用的方法偶尔也在试卷中出现，这里不一一介绍了。
2.数列不等式
从这五年的高考题来看，凡是涉及到数列不等式的问题，大部分是以证明题的形式出现。要验证这些证明题，高考中往往用到了下面几种方法:
2.1数学归纳法
这种方法在高考中出现的频率很高，从2006年到2009年，很多涉及到不等式的证明题都可以用数学归纳法来证明。考生只要严格按照数学归纳法的三个步骤，进行严谨地运算，便能很好地得到了答案。
例10（2005年高考数学·重庆卷22数列）{a n }满足
)1(2
1
)11(1211≥+++
==+n a n n a a n
n n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；
（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数 e=2.71828….
解：（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k
那么22
1
))1(11(1≥+++
=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立
根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立.
（Ⅱ）略
2.2分析法
所谓分析法，就是先假设结论成立，由此出发，利用不等式的有关性质，推出已知条件或绝对不等式，然后再倒推回去得出结论。
例11（2005年高考数学·江苏卷23）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
11,6,1321===a a a ，且 ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数
⑴求A 与B 的值；
⑵证明：数列{}n a 为等差数列；
⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立
解:⑴8,20-=-=B A ⑵略
⑶要证明15>-n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立，由分析法知， 要证 15>-n m mn a a a 只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 由(2) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 所以 45-=mn a mn ，
16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，
故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+，即要证明
n
m a a n m 2372020>-+372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以结论
成立。
用分析法证明不等式时，一定要注意推理过程必须是可逆的。否则推理过程不一定成立
2.3反证法
反证法也是证明数列不等式的重要方法，它是在假设结论不成立的条件下，通过正确的逻辑推理，推出与已知条件或与已知的正确结论相矛盾的结果，从而说明假设不对，故应肯定原结论成立。
例12（2009年高考理科数学·重庆卷21）设m 个不全相等的正数12,,
,(7)
m a a a m ≥依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若2009m =，且
121005
,,
,a a a 是公差为d 的等差数列，而
1200920081006
,,,,a a a a 是公比为d q =的等比数列；数列m a a a a ,,,,321 的前n 项和)(m n S n ≤满足：
3200920071
15,12S S S a ==+，求通项)(m n a n ≤；
（Ⅱ）若每个数)(m n a n ≤是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：
2
2
16712m m
a a a a ma a a +
+++
+>
解：（Ⅰ）???≤≤?≤-=-20091006,321005
,132009n n n a n
n （过程略） （Ⅱ）由题意
22222222
111112
(1),,n n n m m m a a a n m a a a a a a -+=-=<<=得
11111
2(1),
n n n m m m a a a n m a a a a a a -+-=<
=??=? ①②③
由①得2
1625141231
1a a a a a a a a a a ====
，，， ④ 由①，②，③得2
1212()n n a a a a a a ???=???，
故
121
n a a a ???=. ⑤
又)31(1
111123-≤≤=?==
+++++m r a a a a a a a r r r r r r r ，故有 )61(1
3
6-≤≤==
++m r a a a r r r .⑥
下面反证法证明：k m 6=
若不然，设516≤≤+=p p k m ，其中
若取1=p 即16+=k m ，则由⑥得116a a a k m ==+，而由③得2
1121a a
a a a a m ==，故， 得12=a 由②得，，从而116611a a a a a a k m m ===
+-而1212
16===a a a a
a ，故 由④及⑥可推得1=n a （1n m ≤≤）与题设矛盾，
同理若P=2，3，4，5均可得1=n a （1n m ≤≤）与题设矛盾,因此k m 6=为6的倍数 由均值不等式得
6)()1
()1(2
11222116321≥+++++
>++++a a a a a a a a a a a a 由上面三组数内必有一组不相等（否则1321===a a a ，从而154====m a a a 与题设矛盾），故等号不成立，从而66321>++++a a a a 又6m k =，由④和⑥得
)1(6)111)(1())(1()()(23
2
3222221212
621262562
122
72
2
7-≥+++++
-=++-=++++++=+-k a a a a a a k a a k a a a a a a k k m
因此由⑤得
m m a a a ma m k k a a a a a a 3212
2763216)1(66===-+>+++++++
2.4放缩法
在不等式的证明中，常常用舍掉一些正（负）项，或在分式中放大（或缩小）分母或分子，最终达到证明不等式的目的，这种证明方法，通常成为放缩法。 常用的放缩法关系式有（n 为自然数）：
22)1()1(+<+ )1(11+>+>n n n n ；1212+<++ 1 211121+> ++> n n n n ；)1()1(+<+ 1 1 ) 1(11+> +>n n n n ； n n n n ≤≤-!21或 n n n n 1!1211 ≥≥ -。 例13（2009年高考理科数学·广东卷21）已知曲线 22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切 点为． （1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式； （2）证明：1352112sin 1n n n n n x x x x x x x y --????< <+ 解：（1）1 += n n x n ，112)1(++=+=n n n x k y n n n （过程略） （2）证明：∵ 1 21 1 11111+=++ +- =+-n n n n n x x n n 1 21 1 2125331212432112531+=+-??????<-??????= ???????-n n n n n x x x x n ∴n n n x x x x x x +-< ???????-1112531 由于 n n n n x x n y x +-= +=11121 ，可令函数x x x f sin 2)(-=， 则x x f cos 21)('-=，令0)('=x f ，得22cos = x ，给定区间)4 ,0(π ，则有0)(' 则函数)(x f 在)4 ,0(π 上单调递减， ∴0)0()(= 恒成立， 又4 311210π <≤+< n ， 则有 121 sin 2121+<+n n ，即n n n n y x x x sin 211<+- 一般地说，证明n n b a ≥时如果从n a 出发，就用缩小法，如果从n b 出发，则用放大法，不论用放大法还是用缩小法，其目的一是把数列放大或缩小成等比数列或等差数列，二 是放大或缩小后通过合并化成简单的式子。本例利用放大法把式子合并化成简单式子同种类型的题目在2006年高考数学福建卷和江西卷也有出现，有兴趣的朋友也可以去看看。 小结 本文对近五年高考理科数学数列压轴题的解题方法进行了研究。在数列通项公式方面，得到了以下四点常见的解题方法： 1.1定义法 1.2数学归纳法 1.3等比差数列法 1.3.1q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）的形式转化成 p m a m a n n =+++1的形式 1.3.2 ) (1n f pa a n n +=+（p 是常数）的形式转化成 p n f a n f a n n =++++) () 1(1（p 是常数）的形式 1.4由递推公式求出数列通项公式 在数列不等式方面也得到了以下的四点解题方法： 2.1数学归纳法 2.2分析法 2.3反正法 2.4放缩法 为了让读者能够更好地理解每一种方法，本文在每一种方法后都给出了说明，而且在每一种方法后还给出了相应的例题。 结束语 从近五年的试题来看，每一年所考的方法变化并不大，但试题的题目一年比一年的要长，而且一年比一年的要难读懂，考生如果想在数列压轴题上面多拿点分数，除了要熟悉上面解题方法外，还需要点耐心。 在上面的几种方法中，数学归纳法、等比差数列法以及放缩法在数列通项公式以及数列不等式方面频繁被用到，我想，在2010年的高考中，这三种方法出现的机率也很多。 本文之前，尚没有人系统地对近五年高考理科数列压轴题解题方法进行了研究，因此 本文在一定程度上弥补了这方面的不足。文中在数列不等式和数列通项公式这两方面的内容分别得出了常见的四种解题方法对学生复习和教师教学一定会有不少的帮助。 参考文献 [1] 田彦武，周长林，用构造法巧求2006年高考数列通项公式[J]，中学数学杂志（高中）,2006年第6期. [2] 黄广新，冯华，常见求和数列不等式的证明策略[J]，中学数学教学，2007年第2期. [3] 刘兴明，2007年高考数列通项公式的题型及求法[J]，中学数学杂志（高中），2007年第6期. [4] 钱士明，杨利刚，递推、构造[J]，数学教学通讯总第266期. [5] 祝志强，剖析2009年高考数列题[J]，考试周刊2009年第36期（下卷）. [6] 刘佛清，数列方法与技巧[M]，华中工学院出版社，1986,12. 致谢词 感谢我的导师吴跃忠教授，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。感谢我的室友们，从遥远的家来到这个陌生的城市里，是你们和我共同维系着彼此之间兄弟般的感情，维系着寝室那份家的融洽。四年了，仿佛就在昨天。四年里，我们没有红过脸，没有吵过嘴，没有发生上大学前所担心的任何不开心的事情。只是今后大家就难得再聚在一起吃每年元旦那顿饭了吧，没关系，各奔前程，大家珍重。我们在一起的日子，我会记一辈子的。感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！ 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 数学高考《数列》试题含答案 一、选择题 1．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．8.5 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12= ． ∴a n ＝2561 1()2 n -?=29﹣n ． T n ＝28?27?……?2 9﹣n ＝2 8+7+…+9﹣n ()217 289[)89242 2 22 n n n ??--- ?+-? ?==． ∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ） 条件． A ．必要而不充分 B ．充要 C ．充分而不必要 D ．即不充分也不必要 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ） 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； 全国各地高考数学试题数 列分类大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则 =5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)249967320 22 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=， 61165 6615482S a d a d ?=+=+=，联立11 2724,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则 4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{} n a 高考数学压轴题：交集数列 数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用. 类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=- ，数列{b }n 的通项公式为n b 5 34 n =--． 设集合* {|2,}n A x x a n N ==∈， *{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项 1,n c A B c ∈是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式． 类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题 典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2 n b n =．若将数 列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则数列{}n c 的通项公式为____． 类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题 典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-， 2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c . （1）试写出1c ，2c ，3c ，4c 的值，并由此归纳数列{}n c 的通项公式； （2）证明你在（1）所猜想的结论. 1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －2．集合A ＝{x ∣x ＝a n ，n ∈N * }，B ＝{x ∣x ＝b n ，n ∈N * }．将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列， 构成数列c 1，c 2，c 3，…，则{c n }的通项公式为___________. 2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若k=7，12a = （i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ； 专题08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和， 且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 { }n a 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a = （2）10 （2）由（1）可得 112n n a ?? = ??? ，所以， 由 ，即21000n >，因为 ，所以10n ≥，于是使得 成立的n 的最小值为10. 2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈） 。 （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为1 2ln 2-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1） （2） （2）由 函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为 所以切线在x 轴上的截距为21 ln 2 a -，从而，故22a = 从而n a n =，2n n b =， 2n n n a n b =高考数学数列题型专题汇总
q a （D ）7.08.0,01-<<-
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