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第7章 点的合成运动
一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”）
1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。 ( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。 ( × ) 3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。 ( √ )
4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。 ( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。 ( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。 ( √ ) 7．在图7.19中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。 ( √ ) 二、填空题
1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。
2．在图7.20中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图7.20(a)中直杆的角速度=1ωθ
θωcos sin 2
，图7.20(b)中直杆的角速
度=1ω2ω。
图7.19 图7.20
3．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。
4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。
5．如图7.21所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ?= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。
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图7.21
6．当点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹都是曲线时，牵连运动是直线平动时的加速度合成定理表达式是a e r =+a a a ；牵连运动是曲线平动时的加速度合成定理表达式是 a e r =+a a a ；牵连运动是转动时的加速度合成定理表达式是a e r k =++a a a a 。
三、选择题
1．点的速度合成定理a e r =+v v v 适用的条件是 C 。
(A) 牵连运动只能是平动 (B) 牵连运动只能是转动 (C) 各种牵连运动都适用
(D) 牵连运动为0
2．如图7.22所示，半径为R 的圆轮以匀角速度ω做纯滚动，带动杆AB 作定轴转动，D 是轮与杆的接触点。若取轮心C 为动点，杆BA 为动坐标，则动点的牵连速度为 C 。
(A) e AB v BD ω=?，方向垂直AB (B)e v R ω=?，方向垂直EB
(C) e AB v BC ω=?，方向垂直BC
(D)e v R ω=?，方向平行BA
3．在如图7.23所示的平面机构中，r OO 21=，OA 长r ，以匀角速度0ω转动。若取滑块A 为动点，1O B 为动坐标，则当=? B 时，动点的牵连法向加速度为零。
(A) 0?
(B) 30° (C) 60° (D) 90°
图7.22 图7.23
4．图7.24中直角弯管OAB 在平面内以匀角速度ω绕点O 转动，动点M 以相对速度r
v 沿弯管运动，图示瞬时OA ＝AM ＝
b ，则动点的牵连加速度e a =B ，科氏加速度k a =C 。
(A) 2
b ω
(B)
2
ω
(C) r 2v ω (D) r 4v ω
5．如图7.25所示，小车以速度v 沿直线运动，车上一轮以角速度ω转动，若以轮缘
上一点M 为动点，车厢为动坐标，则M 点的科氏加速度的大小为 A 。
(A) 2v ω
(B) 2cos v ωα
(C) 0
(D)
v ω
B
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A
图7.24 图7.25
6．在点的合成运动中，r 为动点的绝对矢径，则在任一瞬时下述说法正确的是 C 。 (A) 若0r ≠、e 0v =，则必有k 0a =
(B) 若0r ≠、e 0a =，则必有k 0a = (C) 若e 0ω≠、r 0v =，则必有k 0a = (D) 若e 0ω≠、r 0v ≠，则必有k 0a ≠
四、 计算题
7-1如图7.26所示，记录笔M 固定沿y 轴运动，运动方程为y acos(kt )?=+，xy 平面内的记录纸以等速度v 沿x 轴负向运动，求记录笔M 在记录纸上所画出的墨迹形状。
解：记录笔M 相对于记录纸的运动方程为
vt x =，y acos(kt )?=+ 消去参数t ，可得记录笔M 在记录纸上所画出的墨迹形状为 k
y acos(
x )v
?=+ 7-2 如图7.27所示，半径为R 的大圆环，在自身平面中以等角速度ω绕A 轴转动，并带动一小环M 沿固定的直杆A 滑动，试求图示位置小环M 的速度。
解：选小环M 为动点，大圆环为动系，由a e r =+v v v 作M 的速度合成图如图所示。 由图可知
?tan e a v v =
其中?ωωcos 2R AM
v e =?=，代入上式，可得小环M 的速度
?ωsin 2R v a =
方向水平向左。
图7.26 图7.27
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7-3 如图7.28所示的两种滑道摇杆机构，已知两平行轴距离1220cm O O =，在某瞬时20θ=?,30?=?, s rad 61/=ω，分别求两种机构中的角速度2ω。
解：分别选滑块A 为动点，杆B O 1和B O 2为动系。由a e r =+v v v 分别作A 的速度合成图如图所示。
（a ） 由速度合成图，可知
)
s i n ()s i n (1
1?θω?θ+?=+=A O v v e a
由三角形A O O 21，有
)
90sin()90sin(sin 2211??θθ+=--=A
O O O A O ，即 θ?θsin )cos(2
11+=O O A O ，??θcos )
cos(212+=O O A O
这样，绝对速度可表示为
)
cos()sin(sin 1
21?θ?θωθ++?=
O O v a
而杆A O 2的角速度2ω为
s rad A O v a /09.3630cos 50sin 20sin cos )sin(sin o
o o
122=?=+==
ω??θθω （b ） 由速度合成图，可知
)sin()
cos(sin )sin()sin(1
2111?θ?θωθ?θω?θ++?=+?=+=O O A O v v a e
而杆A O 2的角速度2ω为
s rad A O v e /82.150sin 630
cos 20sin )sin(cos sin o o
122=?=+==?θω?θω
(a)
(b)
图7.28
7-4 如图7.29所示的机构，推杆AB 以速度v 向右运动，借套筒B 使OC 绕O 点转动。已知60?=?，l OC =，试求当机构在图示位置时，
(1) 杆OC 的角速度和杆OC 端点C 的速度大小； (2) 动点B 的科氏加速度。
解：(1) 选套筒B 为动点，杆OC 为动系，由a e r =+v v v 分别作B 的速度合成图如图所
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示。由图可知
??sin sin v v v a e ==，??cos cos v v v a r == 杆OC 转动的角速度为
b
v b v b v OB v e OC 4360sin sin /sin o 2====??ω 杆OC 端点C 的速度为
b
lv
l v OC C 43=
?=ω (2) 动点B 的科氏加速度为
b
v v b v v a r OC k 4360cos 43222o
=??==ω
7-5 如图7.30所示的曲柄滑道机构中，曲柄长10cm OA =，以匀角速20rad s /ω=绕O 轴转动，通过滑块A 使杆BCE (BC ⊥DE )做往复运动。求当曲柄与水平线的交角分别为0?=?，30?，90?时杆BCE 的速度和加速度。
a
n a
e
图7.29 图7.30
解：选套筒A 为动点，杆BCE 为动系，由a e r =+v v v 和r e n
a a a a +=分别作A 的速度和
加速度合成图如图所示。由图可知
?ω?sin sin ?==OA v v a e ，?ω?cos cos 2?==OA a a n a e （1）当0?=?时，有
00sin 201.0sin o =?=?=?ωOA v e 2o 22/400cos 201.0cos s m OA a e =?=?=?ω （2）当30?=?时，有
s m OA v e /130sin 201.0sin o =?=?=?ω
2o 22/6.3430cos 201.0cos s m OA a e =?=?=?ω （3）当90?=?时，有
s m OA v e /290sin 201.0sin o =?=?=?ω
090cos 201.0cos o 22=?=?=?ωOA a e
7-6 如图7.31所示，具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道BC 获得间隙的往复运动。已知曲柄以120r min n /=转速匀速转动，已知OA =r =l00mm ；求当30?=?时滑道BC 的速度和加速度。
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解：选套筒A 为动点，滑道BC 为动系，由a e r =+v v v 和τr n
r e n a a a a a ++=分别作A 的速
度和加速度合成图如图所示。由图可知BC 的速度为
s m OA v v v a e BC /26.160
120
21.0=??=?===πω
相对速度r v 为
s m OA v v a r /26.160
120
21.0=??
=?==πω 由加速度图，列n r a 方向的投影方程，有
n r
e n a a a a +-=-o o 30cos 60cos 其中：222/79.15)4(1.0s m OA a n a =?=?=πω，22
/79.15s m r
v a r
n
r ==
，代入上式，可得BC 的加速度为
)/(4.2730cos 60cos 2o s m a a a a n r
n a e BC =+=
=
图7.31
7-7 如图7.32所示的铰接四边形机构中，O 1A =O 2B =100mm ，O 1O 2=AB ，且杆O 1A 以
匀角速度2rad s /ω=绕O 轴转动。杆AB 上有一个套筒C ，此套筒与杆CD 相铰接，机构中的各部件都在同一铅垂面内。求当60?=?时杆CD 的速度和加速度。
图7.32
ω
ω
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解：选套筒C 为动点，杆AB 为动系。从图结构可知，杆AB 作平动。由a e r =+v v v 和
r n
e a a a a +=分别作套筒C 的速度和加速度合成图如图所示。由图可知杆CD 的速度为
o 1cos cos 102cos6010(/)CD a e v v v O A cm s ?ω?===?=??=
可知杆CD 的加速度为
22o 21sin sin 102sin6034.6(/)n
a e a a O A cm s ?ω?==?=?=
7-8 平板H 在图7.33所示平面内可绕垂直于图面的O 轴转动，其转动角速度为ω，角
加速度为ε。平板上刻有半径为r 的圆槽，今有一小球M 在槽内以速度v 相对平板做匀速运动，求小球M 的绝对加速度。
解：选小球M 为动点，平板H 为动系，由=+τa n
a a a k n
r
e n e
a a a a +++τ
作M
的加速度合成图，分别列n
a
a 和τ
a a 方
向的投影方程，有
n a
a 方向：v r
v r a a a a k n r
n e
n
a
ωω22
2
++=++
=
τa a 方向：ετ
τr a a e a ==
小球M 的绝对加速度为
222222)()2()()(εωωτr v r
v r a a a a n a a +++=+=
7-9 凸轮推杆机构如图7.34所示凸轮推杆机构如图所示。已知偏心圆轮的偏心距OC = e ，半径e r 3=，若凸轮以匀角速度ω绕轴O 做逆时针转动，且推杆AB 的延长线通过轴O ，求当OC 与CA 垂直时杆AB 的速度。
解：选推杆AB 上的端点A 为动点，凸轮为动系，由a e r =+v v v 作A 的速度合成图如图所示。由图可知杆AB 的速度为
?ω?t a n t a n
?===OA v v v e a AB ωωe e 3
3
230tan 2o =
?= 其方向垂直向上。
7-10 半圆形凸轮如图7.35所示，沿倾角为30β=?的斜面运动，带动杆OA 绕O 轴摆动，已知R =10cm ，OA =20cm ，在图示位置时，OA 与水平夹角30θ=?，60?=?，凸轮速
度60cm s A v /=，加速度为0，试求该瞬时杆OA 的角速度和角加速度。
解：选杆OA 上的端点A 为动点，半圆形凸轮为动系，由a e r =+v v v 和τ
τr
n r a n a a a a a +=+分别作A 的速度和加速度合成图如图所示。由图可知
o
o o 120sin 30sin 30sin e r
a v v v ==
绝对速度a v 为
)/(3203
3
120sin 30sin o
o s cm v v v v A e r a ==
=
=
图7.33
图7.34
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杆OA 的角速度为
)/(732.1s rad OA
v a
O A ==
ω 由加速度图，列n
r a 方向的投影方程，有
n r a n a a a a =--o o 30cos 30sin τ
其中：222/6020)320(s cm OA v a a n
a
===，222
/12010
)320(s cm R v a r n r ===，代入上式，可得 )/(2.17330cos 30sin 2
o
o s cm a a a n a n r a =+-=τ
杆OA 的角加速度为
)/(66.82s rad OA a a OA -==τ
ε
7-11 如图7.36所示，曲柄OA 长0.4cm ，以等角速度05rad s ./ω=绕O 轴逆时针转向转动，水平板B 与滑杆C 相连，由于曲柄的A 端推动水平板B ，而使滑杆C 沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线的夹角为30θ=?时，滑杆C 的速度和加速度。
图7.36
解：选杆OA 上的端点A 为动点，滑杆C 为动系，由a e r =+v v v 和r e n
a a a a +=分别作A
的速度和加速度合成图如图所示。由速度合成图，可知滑杆C 的速度 )/(173.030cos cos o s m OA v v v a e C =?===ωθ 由加速度合成图，可知滑杆C 的加速度
图7.35
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)/(05.030sin sin 2o 2s m OA a a a n
a e C =?===ω?
7-12 如图7.37所示，直角曲杆OBC 绕O 轴转动，使套在其上的小环M 沿固定直杆OA 滑动。已知：OB = 0.1m ，OB 与BC 垂直，曲杆的角速度05rad s . /ω=，角加速度为零，求当60?=?时，小环M 的速度和加速度。
解：选小环M 为动点，直角曲杆OBC 为动系，由a e r =+v v v 和k r n
e a a a a a ++=分别
作M 的速度和加速度合成图如图所示。由速度合成图，可知小环M 的速度
)/(173.0tan cos tan tan s m OB
OM v v e a =?=
?==?ω?
?ω? )/(2.0cos cos 2s m OB
v v e r =?=
=ω?? 由加速度合成图，列k a 方向的投影方程，有
k n
e a a a a +-=??cos cos
其中：222/05.05.02.0s m OM a n e =?=?=ω，2/2.02.05.022s m v a r k =??==ω，代入上
式，可知小环M 的加速度
)/(35.0cos cos 2s m a a a k
n
e a =+-=
?
? 7-13 如图7.38所示，设摇杆滑道机构的曲柄长OA = r ，以转速n 绕O 轴转动。已知图示位置时，O 1A = AB = 2r ，并且∠OAO 1 = α，∠O 1BC = β，试求BC 杆的速度。 解：分别选滑块A 和B 为动点，相应的摇杆O 1B 为动系，由a1e1r1=+v v v 和a2e2r2=+v v v 分别作A 和B 的速度合成图如图所示。由A 点速度合成图，可知
αωαωαcos cos cos 11r OA v v a e =?== 摇杆O 1B 转动的角速度为
2cos 2cos 111α
ωαωω===r r A O v e B O
由B 点速度合成图，可知BC 杆的速度为
βαπβωβsin 15cos sin )180sin(1o 2
21nr B O v v B O e a =?=-=
B
A
A
图7.37
C
图7.38
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7-14 如图7.39所示，弯成直角的曲杆OAB 以ω=常数，绕O 点逆时针转动。在曲柄的AB 段装有滑筒C ，滑筒又与铅直杆DC 铰接于C ，点O 于DC 位于同一铅垂线上，设曲柄的OA 段长为r ，求当?=30?时，杆DC 的速度和加速度。
r
解：选滑筒C 为动点，直角的曲杆OAB 为动系，由a e r =+v v v 和k r n
e a a a a a ++=分别作C 的速度和加速度合成图如图所示。由速度合成图，可知杆DC 的速度
ω?ω??ω?r OA OC v v e a 3
2
tan cos tan tan =?=
?== ωω??r OA v v e r 3
4
cos cos 2=?==
由加速度合成图，列k a 方向的投影方程，有
k n
e a a a a +-=??cos cos
其中：2
23
32ωωr OC a n
e =
?=，2382ωωr v a r k ==，代入上式，可知杆DC 的加速度
2
9
310cos cos ω??r a a a k n e a =+-=
7-15 如图7.40所示，大圆环的半径R = 200mm ，在其自身平面内以匀角速度ω= 1rad/s 绕轴O 顺时针方向转动，小圆环A
套在固定立柱BD 及大圆环上。当∠AOO 1= 60?时，半径OO 1与立柱BD 平行，求这瞬时小圆环A 的绝对速度和绝对加速度。
图7.3
图7.39
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解：选小圆环A 为动点，大圆环为动系，由a e r =+v v v 和k r n
r n
e a a a a a a +++=τ
分别
作A 的速度和加速度合成图如图所示。由速度合成图，可知小圆环A 的绝对速度和相对速度分别为
)/(4.34630cos 1200230cos 2o o s mm v v e a =???== )/(2001200s mm v v e r =?== 由加速度合成图，列k a 方向的投影方程，有
n
r k n e a a a a a ++=-o o 60cos 60cos 其中：22/200s mm R a n e
=?=ω，2
/4002s
mm v a r k ==ω，22/200s mm R
v a r n
r
==，入上式，可知小圆环A 的绝对加速度 )/(140060cos 60cos 2o
o s mm a a a a n r
k n e a -=++-
=
负号说明小圆环A 的绝对加速度真实方向向下。
2- 1凸轮以匀角速度绕°轴转动，杆AB的A端搁在凸轮上。图示瞬时AB杆 处于水平位置，°A为铅直。试求该瞬时AB杆的角速度的大小及转向解：V a V e V r 其中，v e. r2e2 V a V e tg e v e 所以AB a（逆时针） 求当0时，顶杆的速度 2-2.平底顶杆凸轮机构如图所示 转动，轴0位于顶杆轴线上为 R，偏心距OC e, 顶杆AB可沿导轨上下移动， 工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面 凸轮绕轴0转动的角速度为 偏心圆盘绕轴0 该凸轮半径 ，0C与水平线成夹角 A
（1）运动分析 轮心C 为动点，动系固结于AB ;牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底 平行直线，绝对运动为绕0圆周运动。 （2）速度分析，如图b 所示 V - V - V a e r 方向 丄OC 1 - 大小 ? ? y 肋二人二 v a cos 2 v v e =1 v v =AB r v v =0 45 45 v r =N B C .第七章 点的合成运动习题解 [习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。求在B 车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A 车。 动系：固连于B 车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。 绝对运动：动点A 相对于地面的运动。 相对运动：动点A 相对于B 车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。2v v e =。由速度合成定理得： → → → +=r e v v v 。用作图法求得： h km v v AB r /40== （↑） 故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。 [习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。 动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。 绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的v 。 相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。 牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。 由速度合成定理得： → → → +=r e v v v 第五章 点的合成运动 本章要点 一、绝对运动、相对运动和牵连运动 一个动点， 两个参照系： 定系，动系； 三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动， 包括三种速度：绝对速度、相对速度和牵连速度； 三种加速度：绝对加速度、相对加速度和牵连加速度； 牵连点：动参考系上瞬时与动点相重合的那一点称为动参考系上的牵连点。 二、速度合成定理 动点的绝对速度，等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即 r e a v v v += 解题要领 1 定系一般总是取地面，相对定系运动的物体为动系，动点不能在动系上. 2 牵连速度是牵连点的速度. 3 速度合成定理中的三个速度向量，涉及大小方向共六个因素，能且只能存在两个未知数方能求解，因此，至少有一个速度向量的大小方向皆为已知的. 4 作速度平行四边形时，注意作图次序：一定要先画大小方向皆为已知的速度向量，然后再根据已知条件画上其余两个速度向量，特别注意，绝对速度处于平行四边形的对角线位置. 5 用解三角形的方法解速度合成图. 三、加速度合成定理 1 牵连运动为平移时的加速度合成定理 当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和，即 r e a a a a +=， 当点作曲线运动时，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式还可进一步写成 n r t r n e t e n a t a a a a a a a +++=+ 其中 t v a d d a t a =，a 2a n a ρv a =，t v a d d e t e =，e 2e n e ρv a =，t v a d d r t r =，r 2r n r ρv a =，r e a ,,ρρρ依次为绝 对轨迹、牵连轨迹和相对轨迹的曲率半径。 解题要领 1牵连运动为平移时的加速度合成定理只对“牵连运动为平移时”成立，因此，判定牵连运动是否为平移至关重要. 2 牵连运动为平移时的加速度合成定理涉及的三个加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只与速度有关，因此，可以通过速度分析予以求解，从而在此处是作为已知的。剩下的三个切向加速度的大小方向共有六个因素，能且只能有2个未知量时方可求解。 3 因加速度合成定理涉及的矢量较多，一般不用几何作图的方法求解，而是列投影式计算，千万不能写成“平衡方程”的形式。 4 在加速度分析中，因动点和动系的选择不当而出现了一种似是而非的分析过程。教材中例5.3.5的一个典型错误解法如下： 例：半径为r 的半圆凸轮移动时，推动靠在凸轮上的杆OA 绕O 轴转动，凸轮底面直径DE 的延长线通过O 点，如图所示。若在 30=?的图示瞬时位置，已知凸轮向左的移动速度为u ，加速度为a 且与u 反向，求此瞬时OA 杆的角速度ω与角加速度α。 ·75· 第7章 点的合成运动 一、是非题（正确的在括号内打“√”、错误的打“×”） 1．点的速度和加速度合成定理建立了两个不同物体上两点之间的速度和加速度之间的 关系。 ( √ ) 2．根据速度合成定理，动点的绝对速度一定大于其相对速度。 ( × ) 3．应用速度合成定理，在选取动点和动系时，若动点是某刚体上的一点，则动系不可以固结在这个刚体上。 ( √ ) 4．从地球上观察到的太阳轨迹与同时在月球上观察到的轨迹相同。 ( × ) 5．在合成运动中，当牵连运动为转动时，科氏加速度一定不为零。 ( × ) 6．科氏加速度是由于牵连运动改变了相对速度的方向而产生的加速度。 ( √ ) 7．在图7.19中，动点M 以常速度r v 相对圆盘在圆盘直径上运动，圆盘以匀角速度ω绕定轴O 转动，则无论动点运动到圆盘上的什么位置，其科氏加速度都相等。 ( √ ) 二、填空题 1．已知r 234=++v i j k ，e 63=-ωi k ，则k =a 18 i ＋ -60 j ＋ 36 k 。 2．在图7.20中，两个机构的斜杆绕O 2的角速度均为2ω，O 1O 2的距离为l ，斜杆与竖直方向的夹角为θ，则图7.20(a)中直杆的角速度=1ωθ θωcos sin 2 ，图7.20(b)中直杆的角速 度=1ω2ω。 图7.19 图7.20 3．科氏加速度为零的条件有：动参考系作平动、0=r v 和r e v ω//。 4．绝对运动和相对运动是指动点分别相对于定系和动系的运动，而牵连运动是指牵连点相对于定系的运动。牵连点是指某瞬时动系上和动点相重合的点，相应的牵连速度和加速度是指牵连点相对于定系的速度和加速度。 5．如图7.21所示的系统，以''Ax y 为动参考系，Ax'总在水平轴上运动，AB l =。则点B 的相对轨迹是圆周，若kt ?= (k 为常量)，点B 的相对速度为lk ，相对加速度为2lk 。 第七章点的合成运动 一、是非题 1、牵连速度是动参考系相对于固定参考系的速度。 × 2、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。（） 答案：√ 3、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。（） 答案：× 4、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。（） 答案：√ 5、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。（）答案：× 6、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。（）答案：√ 7、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。（）答案：× 8、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。（） 答案：× 9、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。（） 答案：× 二、选择题 1.在点的合成运动问题中，当牵连运动为平动时------。 ①一定会有科氏加速度②不一定会有科氏加速度③一定没有科氏加速度 答案：③ 2.平行四边形机构，在图示瞬时，杆以角速度转动。 滑块M相对AB杆运动若取M为动点，AB为动坐标， 则该瞬时动点的牵连速度与杆AB 间的夹角为------。 ①②③④ 答案：② 3、长L 的直杆OA ，以角速度ω绕O 轴转动，杆的A 端铰接一 个半径为r 的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr 绕A 轴转动。今 以圆盘边缘上的一点M 为动点，OA 为动坐标，当AM 垂直OA 时，点M 的相对速度为 。 A υr =L ωr ，方向沿AM ； B υr =r （ωr －ω），方向垂直AM ，指向左下方； C υr =r （L 2+r 2）1/2ωr ，方向垂直OM ，指向右下方； D υr =r ωr ，方向垂直AM ，指向在左下方。 答案：D 4、直角三角形板ABC ，一边长L ，以匀角速度ω绕B 轴转动，点M 以S=Lt 的规律自A 向C 运动，当t=1秒时，点M 的相对加速度的大小αr= ；牵连加速度的大 小αe = ；科氏加速度的大小αk = 。 方向均需在图中画出。 A L ω2； B 0； C 3 L ω2； D 23 L ω2。 答案:B A D 5．圆盘以匀角速度ω0绕O 轴转动，其上一动点M 相对于圆盘以匀速u 在直槽内运动。若以圆盘为动系，则 当M 运动到A 、B 、C 各点时，动点的牵连加速度的大 小 ，科氏加速度的大 小 。 A 相等； B 不相等； C 处于A ，B 位置时相等。 答案：B A 6．一动点在圆盘内运动，同时圆盘又绕直径轴x 以角速度ω转动，若AB ∥OX ，CD ⊥OX ，则当动点沿 运动时，可使科氏加速度恒等于零。 A 直线CD 或X 轴； B 直线CD 或AB ； C 直线AB 或X 轴； D 圆周。 答案：C 习 题 7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。 图7-26 t v x e =' )c o s ()c o s (e θωθω+'=+=='x v A t A y y 7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为 常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。试求车刀在工件端面上切出的痕迹。 图7-27 t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0c o s s i n ='+'=t y t x y ωω 解得 )2s i n (2 c o s s i n s i n t a n c o s s i n t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2 sin tan 2-=-='-='t b t b t x y ωωω 4 )2()(222 b b y x = +'+' 7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。设各处河水流速均匀且不随时间改变。一船 由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。 图7-28 m/s 2.0600120== v 600r L v = 船A 能垂直到达对岸的点B 750a L v = 2 a 22r v v v += 2222.0)750 ()600(+=L L m 200)750 1()6001(2 .02 2=-=L m/s 31r =v 7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=?转动，点在管内运动， 2－1 凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，杆AB 的A 端搁在凸轮上。图示瞬时AB 杆处于水平位置，OA 为铅直。试求该瞬时AB 杆的角速度的大小及转向。 解： r e a v v v += 其中，22e r v e -=ω e v v e a ωφ==tg 所以 l e l v a AB ωω== （逆时针） 2－2. 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O 转动，轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R ，偏心距e OC =，凸轮绕轴O 转动的角速度为ω，OC 与水平线成夹角?。求当?=0?时，顶杆的速度。 （1）运动分析 轮心C 为动点，动系固结于AB ；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行直线，绝对运动为绕O 圆周运动。 （2）速度分析，如图b 所示 2－3. 曲柄CE 在图示瞬时以ω0绕轴E 转动，并带动直角曲杆ABD 在图示平面运动。若d 为已知，试求曲杆ABD 的角速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1 ωω== A O v BC O （顺时针） 2－4. 在图示平面机构中，已知：AB OO =1，cm 31===r B O OA ，摇杆D O 2在 D 点与套在A E 杆上的套筒铰接。OA 以匀角速度rad/s 20=ω转动， cm 332==l D O 。试求：当?=30?时，D O 2的角速度和角加速度。《理论力学》第七章点的合成运动习题解
点的合成运动知识题解答080814
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