2011—2012学期数学建模问题
1食品加工
一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物油2种，分别记作V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油从市场采购。现在（一月份）和未来半
成品油售价1500元/吨。
植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精炼植物油200吨。非植物油250吨。精炼过程中没有重量损失。精炼费用可以忽略。
每种原料油最多可存贮1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精炼的原料油不能存贮。
对成品油限定其硬度在3到6单位之间。各种原料油的硬度如下表所示：
假设硬度是线性地混合的。
现存有5种原料油每种500吨。要求在6月底仍然有这样多存货。
（1）为使公司获得最大利润，应取什么样的采购和加工，请写出相关的数学模型并求解。
（2）研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2 x%；3月份植物油价升2 x%，非植物油升4 x%；其余
月份保持这种线性的上升势头。对不同的正整数x值（直到20），就方案的必要的变化及对总利
润的影响，作出全面计划。
（3）对原问题中附加3个条件：㈠每个月中最多使用3种原料油；㈡在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨；㈢如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。重新对问题（1）
求解。
运输问题
某地区有50个乡镇（见附件1），设该地区的每个乡镇需要铺设通信网络（在沿铁路线上的乡镇已有通信网络，不需要再重复建设）。设铺设的费用与每个乡镇之间的距离成正比（各乡镇之间的距离见附件2）。
（1）请建立安排费用最小的铺设方案的数学模型，并给出最佳的方案。
（2）如果铺设的材料需要从外地从铁路运输到该地区的两个火车站，再通过汽车将材料运往各乡镇。
每辆汽车一次可装载2公里的材料，运费为每公里C元（在沿铁路线上的乡镇也有平行的公路相
联）。假设每个乡镇所存放的材料约为两乡镇之间公里数量的一半，请分别安排两个火车站各需要
多少公里的材料，才能使汽车运费最少。
大学生数学建模技能测试题 考虑现实世界问题(不要求解答): 在一条新公共汽车路线上，要沿路设置公共汽车站且每个车站都需要遮雨棚。公交公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过公交车的要求。请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？ 在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要? A.假设仅仅能建一个遮雨棚 B.假设路是平直的 C.假设晴天是雨天的两倍 D.假设公共汽车运行的是半小时的时间表 E.假设顾客不会走很远的路去乘车 2考虑现实世界问题(不要求解答): 沿一条新电车路线，安置电车站。且每个车站都需要遮雨棚。电车公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过电车的要求。请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？ 在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要? A.假设顾客不会走很远的路去乘电车 B.假设电车运行的是20 分钟的时间表 C.假设电车线是单轨道 D.假设电车司机能从电车的前后都可以驾驶 E.假设电车站可以设置在任何位置。 3考虑现实世界问题(不要求解答): 一个步行者要穿过一条交通繁忙的马路，假设马路是一条直的单行机动车道。 在设计一个是否需要设置人行横道的简单数学模型时，您认为以下假定哪个最不重要? A 横穿马路将由行人通过按钮来控制 B 交通流量是恒定的 C 车流速度是常数并且等于限制速度 D. 行人以恒定的速度通过马路 E. 行人不会走很远路来由此穿过马路 4考虑现实世界问题(不要求解答) 自行车轮子的最佳尺寸是多少? 以下哪个问题最能说明骑车的稳定性？ A 轮子与脚蹬间有链条相连吗? B 骑车人有多高? C 自行车传动装置吗? D 能骑上去的最高路缘是多少？ E. 地形情况怎样？
2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
大学母亲节活动策划书 大学母亲节活动策划书 我们在拥抱明天,母亲却在积累沧桑 而我们是那么容易疏于向那暖暖的三春阳光颔首致意 …… 活动宗旨： 用一颗感恩的心来回报母亲 活动目的： a.了解母亲节的由来 b.为母亲送上祝福 .想像母亲为你做的一切，记得要爱自己的妈妈 活动5月14日 活动地点:孝感学院 参与人员： 全体学生（自愿参加，不作要求） 负责部门： 校学生会 咨询电话： 活动实施流程： 1.5月14日 7： 00 东区体育场举行升国旗仪式，并宣布“母亲 节大学校园活动”正式开始。 2．5月14日 8： 00 每个人都有很多想对母亲说而没有说出的话，
在这样一个日子里，每个人都有那么的爱需要表达，每个人都有那么多 的祝福需要表达，我们将用思念之情写满爱和祝福的卡片帖在林荫道两 边的树上，来见证我们对母亲的爱和祝福。 3．5月14日 8： 40 东区体育场演讲活动表达对母亲的思念 之情，感激之情 4．5月14日 10： 40 东区体育场亲情连线活动现场抽号器随 机抽取10个学号，被抽中者可以用中国联通孝感分公司提供的电话给 自己的母亲打电话，要求在十分钟之内将自己内心最想对母亲说的话告 诉母亲 5．5月14日 14： 00 东区篮球场羽毛球比赛参赛选手由各院 系，12个名额。冠军奖励面值200元的中百仓储购物券，亚军奖励面值100元的中百仓储购物券，季军奖励面值50元的中百仓储购物 券 6． 5月14日 14： 00 东区体育场书法大赛，参赛选手由各院系
，3 0个名额。一等奖一名，奖励面值200元的中百仓储购物券。 二等奖两名，奖励面值100元的中百仓储购物券。三等奖三名，奖励 面值50元的中百仓储购物券 7. 5月14日 14： 00 西苑食堂互动有奖问答活动 8.5月14日： 00 东区篮球场观看由中国联通孝感分公司举 办的大型歌舞晚会。 学生会成员工作原则： 团结奉献务实高效 细则： 1.整个活动中不要提及他人隐私，对他人隐私进行保密 整个 活动要本着公平公正原则 3.周到服务，人性化服务 4.他人的疑难迅速 解决 5.做好与助商之间的协调工作 前期工作： a.收集给母亲写的信，并由中百仓储助寄出 b.准备好活 动中要用到的所有器材、资料 .活动宣传，在各处的宣传栏贴出宣传
数学建模与数学实验课程练习 练习集锦 1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。 4求方程 06 /12 625 .05 .04 )(=------=x x x x f 的模最大的根的近似 值（精确到小数点后两位）。 5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度 1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游 1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。 如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取 水口位置。 7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 (,0) P x
31/52a b P c d e f ?? ??=?? ???? ， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程
课题1. 计划生育政策调整对人口数量的影响 人口的数量和结构是影响我国经济和社会发展的重要因素。从20世纪70年代以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。经过30多年的努力，我国有效地控制了人口的增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。 针对我国老龄化比例不断提高等情况，2013年12月，第十二届全国人大常委会第六次会议表决通过了《关于调整完善生育政策的决议》，开放单独二胎政策。2015年10月，十八届五中全会决定，全面放开二胎政策。至此，实施了30多年的独生子女政策正式宣布终结。只要是合法的夫妻就享有生育二胎的权利，不再受“单独二孩”政策或“双独二孩”政策的限制。 收集数据，建立模型，根据已经出台的具体政策、独生子女人数、婚姻情况、生育意愿等分析和预测计划生育政策调整后对我国或某一个省、市、自治区人口数量变化的影响。 课题2. 学生下课时间调整对就餐压力的影响 科技大学现有在校生4万余人，目前能供学生就餐的餐厅只有三个：学者餐厅、学海餐厅、学苑餐厅，想必大家都有过在餐厅排队就餐以及找座难的经历，就餐人员流动情况决定着餐厅的总接纳量。同学们在下课后大都会第一时间奔向餐厅，这就使得本就人满为患的餐厅更加超负荷运转。如果同学们的下课时间不同，就餐时间自然不同，必然加快餐厅的人员流动，进而大大缓解餐厅的运转压力。 下面请你建立数学模型解决以下问题： 1.选择合理的指标，构建评价体系，衡量目前我校餐厅的运转压力。 2.以缓解餐厅运转压力为目标，合理设置不同教学楼的下课时间。 3.试分析在你设置的各教学楼下课时间情况下，我校餐厅运转压力将发生
的变化。（模型所需数据可自行调查也可进行程序仿真） 课题3. 麻疹模型的分析 本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两年爆发一次麻疹传染病。生物学家H. E. Soper 试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添的新的成员而不断补充，因此，他假设： ???????+-=+-=)()()()((t)I(t))(t I t S t I dt t dI S dt t dS αβμα 其中α、β和μ都是正的常数。 1. 找出方程的平衡解； 2. 证明方程的初始值足够接近这个平衡解的每一个解(t)S 、I(t)，当t 趋于 无穷大时，都趋近于平衡解； 3. 当t 趋于无穷大时，方程的每一个解(t)S 、I(t)都趋于平衡解。所以，得 到结论：方程组不能解释是重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明。这种疾病最终将趋于稳定状态； 4. 试改进该模型说明该周期现象。找一组相关的数据进行模拟，拟合方程的 参数使疾病爆发的周期与现实一致； 5. 对于麻疹考虑一些控制措施，对于每种控制措施给出相应的数学描述，研 究该系统的基本的动力学性质，最后比较各个措施的优缺点。 课题4. Fibonacci 数列的推广 Fibonacci 数列是一个很早的生态学模型，它的背景是兔子数量的增长。在描述兔子数量变化时有以下假设： ? 第一个月有一对刚出生的兔子； ? 兔子从第三个月后就可以生育；
2.14成绩与体重数学建模 一、问题 举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。 一、问题分析 成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。 假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。
二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明： 人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成 模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。 最大体重
从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较： 最大体重
通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 模型二 我们这一次综合各种因素来进行分析建模。 通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
全国大学生数学建模建模竞赛国家二等奖获得者心得体会 来自09级金融工程一班的王景虹、朱婷婷、鲍坤三个同学参加了由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的“2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛”。最终在1251所高校，19490个对的近六万名大学生中脱颖而出，获得了国家二等奖和省级特等奖。 对于数学建模竞赛，我们的总体感觉这是一场勇敢者的游戏。竞赛的题目都有不小的难度，解决起来遭遇到的困难很多，敢于参加比赛，接受挑战的人都是勇敢者。数学建模的题目往往是从日常生活生产中提炼、抽象出来的。尽管题目已经得到了相关程度的简化，但是对于我们这些仍在学校里求学而并未遇到过如此复杂问题的学生来讲，并不简单。有时我们需要对海量的数据进行处理，有时我们面临的却是零数据，无论何种情形，问题的解决都很让人头疼。不过这并不要紧，因为我们是勇敢者，既然已经选择了挑战，无论多艰难都要坚持下去，绝不退宿。我们在纷繁复杂的题目中寻找规律，运用合适的数学工具加以解决；我们利用编写的计算机程序处理海量数据，利用从网络及各种文档中获得的资料对零数据问题进行数据扩充；我们对问题进行有效地分类，并逐个击破。虽然这是一件不轻松的任务，我们却应当有轻松的心态。我们要做到微笑的面对，冷静的分析，大胆地决策，干净利索地把活干完。对我们而言，参加数学建模竞赛是一次全方位的锻炼，我们非常珍惜这样的机会，努力使自己得到提高。 以上简单谈了我们对数学建模竞赛总体感受，下面我们从三个方面总结了一些心得体会，希望能够给今后的参赛者以借鉴。 一、团队协作精神 众所周知，数学建模竞赛要求三人组参加，而非个人参加，因此组建一个结构合理的团队显得非常重要。对于团队成员的构成，每个人都有不同的看法，很难说何为最佳，这里我们只是提点建议：如果一个队伍能够理工结合，成员中既有数学程度较好的，又有计算机应用水平较高的，这样的团队在竞赛中会比较有优势。原因其实很简单，即对数模问题的分析需要运用数学工具进行抽象，而问题的解决往往是用计算机编程来实现。除了有擅长数学和计算机的成员，我们认为，拥有较好写作能力的成员也是非常必要的。能写的人越多越好，因为竞赛时间紧张，而大家最终的成果就是一篇论文，所以大家都能写就会节省很多时间，使取得一个不错的成绩成为可能。论文不能只由一个人来写，而应由队伍中的所有同学共同完成，以体现每个人的特点、反映每个人的智慧，当然行文风格的统一也是必要的。 我们的团队构成是这样的：朱婷婷同学由于文字功底较强，在比赛中主要负责撰写论文；鲍坤同学由于思维活跃，在比赛中主要负责数学建模；王景虹同学由于计算机水平突出，在比赛中主要负责处理数据。虽然我们三个是同一个专业的，但是我们的思维并没有因此而局限，反而由于长期的配合，默契十足。遇到问题时，大家共同讨论，发表自己的见解并理解同伴的想法。最后将意见统一起来。有的时候即使感觉别人不对，若多数人意见统一了，也最好能同意别人的看法，这需要对队友充分的信任且具备否定自己的魄力。竞赛中的合作是一种艺术，只有大家不断的磨合，才能使得合作达到默契的程度。 二、练习 对于确定参加数学建模竞赛的队伍来说，练习是一种极为重要的事，必需非常重视。MIT有一句名言，叫做“Learning by doing “这句话很好的概括了练习的意义：我们要在不断的练习中学习并成长，使队伍得到磨合。练习时，如果能把几类常见的问题都训练到是比较好的，而且练习的时间能和竞赛基本保持一致就更理想了。 我们在大二上学期选修了数学建模的课程，通过一次竞赛选拔，进入了学校的建模队，大二下学期每周末到校本部学习了MATLAB和Lingo两个数学软件的应用，论文的写作等。
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
1、放射性废料的处理问题 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 ，体积为0.2058m3，海水密度为1035.713，如果圆桶速度小于12.2 m就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题： 1. 判断这种处理废料的方法是否合理? 2. 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6) 鱼雷攻击问题 在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处，两方潜艇士兵同时发现对方。甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑，在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。 试建立合理的数学模型解决以下问题: 1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹； 2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中 3、贷款买房问题
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；
《数学建模入门》练习题 练习题1：发现新大陆！ 发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？ 练习题2：棋盘问题 有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？ 练习题3：硬币游戏 如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 练习题4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B
地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？、 练习题5：登山问题 某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？ 练习题6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。 此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。 只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答
2012-2013第一学期 《数学建模》试题卷 班级：2010级统计 姓名：石光顺 学号：20101004025 成绩：
一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题： 解：首先化Matlab 标准型，即 123min 3w x x x =-++ 123121114123x x x ?? -??????≤??????---???? ???? ， [][]1 2 32011T x x x -?= 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1]; a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果： x = 0.0000 2.3333 0.3333 y = -2.6667 即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。
二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab求解（20分） 某厂生产三种产品I，II，III。每种产品要经过A, B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1, A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。 表1 解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设： x ; 按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为 1 x; 按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为 2 x; 按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为 3 x; 按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为 4 x; 按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为 5
《数学建模》公选课复习题 一、判断题：（对的打√,错的打×） (1) MATLAB 中变量的第一个字母必须是英文字母.-------- --( ) (2) ones( 3 )命令可以生成一个3阶全零矩阵. ----------------( ) (3) 命令[1,2,3]^2的执行结果是[1,4,9].-------------------------( ) (4) 一元线性回归既可以使用regress 也可以使用polyfit. ------( ) (5) LINGO 集合语言集合段以“set:”开始“endset ”结尾. ---( ) (6) MATLAB 中变量名不区分大小写.----------------------------( ) (7) 多元线性回归既可以使用regress 也可以使用nlinfit. -----------( ) (8) 命令linspace(0,1,100)共产生100个点. ----------------------( ) (9)用LINGO 程序中@Gin(x)表示x 取整数. -----------( ) (10) LINGO 集合语言数据段以“data:”开始“enddata”结尾------( ) 二、用MATLAB 命令完成如下矩阵操作： (1)创建矩阵A=??? ? ????--252013132; (2)求A 的所有元素的最大值, 赋给x (3)取出A 的第2行所有元素和第3列所有元素,分别赋给B 和C; (4)求A 的逆矩阵, 赋给D. (5)创建一个矩阵B 为3阶全1矩阵; (6)修改B 的第2行第3列元素为2; (7)删除B 的第1列所有元素; (8)求B 的行列式,赋值给x. 三、（1）使用for 循环结构,设计MATLAB 程序,求∑=100 32n n .
大学生数学建模竞赛心得（提高篇） 一、我本人的数学建模经历 我严格来说是大一下学期开始接触数学建模的（要是早一些接触我就可以参加2015年的美赛了）一开始我不是数学建模协会的会员，那个时候是辅导员在年级群里面通知有数模校内赛开始举办了，问有无兴趣参加。于是我就跟着报名了。那个时候也没有怎么准备校内赛，就随意读了几本书，比如司守奎老师的数学建模算法与应用。读了之后，自己下载了MATLAB和SPSS（这两个软件也成了我之后用得最为熟练的两个软件了）。对着司老师的那本书照葫芦画瓢，大概做出了一些结果：比如拟合曲线，主成份分析，TSP算法，神经网络等等，虽然不是太懂机理，但是在一些简单的问题中已经可以通过修改书中的源程序进行求解了。校内赛的题目有关中国人食用蔬果的分析，其实这是一个前几年研究生赛的题目。我参考了下别人的解法之后，自己对其中蔬果进行变量化，建立了多元线性回归模型（数模书上都有），预测使用了灰色预测（其实这个办法在国赛以及美赛上不建议使用，这种处理方法主要是我国科学家发明的办法）。对文章进行拙劣的排版之后，就上交了论文。在答辩的时候，朱老师指出了我论文提出了一定的批评意见，让我有很大的收获。 校内赛拿了一个B组二等奖，由于那三天我做得比较辛苦，觉得拿了一个二等奖并不是十分满意。王老师安慰我说，只要国奖拿一个好点的成绩，校内赛不算什么事情。于是，在朱老师以及王老师的建议之下，决定参加2015年数学建模国赛。 暑期的培训就这样开始了，2015年的暑期培训时间比较长，大概一共花了3周的时间。第一周主要是讲解一些理论知识，这些课程虽然不能很直接地帮助同学们直接在国赛当中用到，但是可以给一种思考的方式，应该如何应用数学。如果不出意外，朱宁教授应该还是会过来给大家上一到两次课程，大家可以抓住机会，多问一些问题，毕竟平时很少碰到老师的。大家可以对这些课程有一定的取舍，如果是坚持要建模的同学，那么建议所有课程都听一听，写作的同学还是安心练习好写作，如果有必要的课程，则听一下即可。编程的同学主要还是要思考如何讲模型程序化，这个是数学建模竞赛成败的关键所在。如果解不出答案，即使混进去了国赛答辩，往往很容易打回来，因为如果程序跑不出来，评委就会质
数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ，所以0)()(00==a g a f
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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=? 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=? 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=??=??p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=
2020至2020期末个人工作总结800字范文 一转眼，一个学期过去了。回顾这过去的一个学期，有喜有忧，那么期末个人工作总结该怎样写呢?下面就是给大家带来的2020至2020期末个人工作总结800字范文，希望大家喜欢! 期末个人工作总结800字一 转眼间又一学期就结束了，我的大二生活也画上了句号。回想两年来的学习，有过震撼、诧异、怀疑，也有现在越来越多的探求和欣喜，我感受最多的是自己在不断的成长和走向成熟——一个不断发现自我、创新自我的过程。 现总结如下： 专业课程的学习这算是对课内知识学习的定义吧。一个学期，既在质疑，更多的还是思考并接受。直接上升到学术层次的课程内容，起初确实有点吃不消，但也激起了自己探索的热情。曾经对学术没有太明确地认识，以为那是“大家”才能做得了的，自己以往写完一篇论文心里却还不甚了然，现在终于有了了解，也算是这门课的收获了。首先，正如先生所说，学术正是一个不断争论的过程。从质疑到探寻再到接受，如此循环往复，学术的基本精神就在于此。基于这种学习方法，我在学习上也取得了一些成绩，但都不是令我满意的。大一一学年学习成绩排全年级第三名，大二不但没有前进名次，反而是第四名，这令我很相心痛。我想了一下，还是在学习这方面学习效率有问题。在大二年间我上自习的时间少了，准备用一种高效的学习方法学
习，可是没有取得什么好的成效。因此，也产生了一种懒惰的心理，就是这种心理驱使着我，是我没有达到预期的目标。 学科知识的竞赛老实说，大一，大二这两年过去了，我没学到什么东西，基本上就是在竞赛中度过的。我尽量参加所有我有可能参加的竞赛。如北京市大学生数学竞赛、北京市大学生物理竞赛等各种学科竞赛。也许是幸运，也许是自己努力，我以校级数学竞赛三等奖的成绩参加了第__届北京市数学竞赛，我如愿以偿的获得了一等奖，这既是对我在数学方面天赋的肯定，同时也给我增添了信心。在这学期中我又报了校级数学竞赛，并获得了一等奖，我还报了北京市数学竞赛，想在一次在北京这个人才济济的地方证明自己。同时，我还参加了学校的数学建模竞赛，也获得了三等奖，并且取得了参加__年全国大学生数学建模竞赛的资格。我也继续努力奋斗着，准备在全国的比赛中展现自己。基于对电子设计的喜爱，我还报名了全校的电子设计大赛，并且取得了我们电气学院的一个一等奖。同时也又获得了参加明年的北京市大学生电子设计大赛的门票。总之，很多的学科竞赛能提升自己的，我都尽量参加，不管获奖与否。 体育与娱乐当然，我也没有放弃参加娱乐和体育活动。参加学院的拔河比赛，并在同学们的共同努力下获得了第一名，进入了学校的拔河比赛。尽管在学校的比赛中我们输了，但我们努力过了，我们不后悔，不灰心。我还和宿舍同学组队参加学院组织的象棋比赛，并且获得了二等奖的好成绩，我们都很高兴。校运会中我也没有闲着，我参加了学院的走方队，为学院，学校贡献自己的力量。我还是学院派
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1、在稳定的椅子问题中,如设椅子的四脚连线呈长方形,结论如何？ 解: 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度就是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情 况),即从数学角度来瞧,地面就是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点,要求对于椅脚的间距 与椅腿的长度而言,地面就是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距与椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,如果出现深沟或凸峰(即使就是连续变化的),此时三只脚就是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来。首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们,要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就就是数学上所说的平移与旋转变换。然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法就是不能解决问题的。于就是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形,长方形就是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转,这可以表示椅子位置的改变。于就是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴,对称中心O 为原点,建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次,把椅脚就是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地。由于椅子在不同的位置就是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也就是θ的函数。 由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都就是θ的函数,而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0。因此,只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 就是对称中心图形,绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后,长方形位置不变,但A,C 与B,D 对换了。因此,记A,B 两脚与地面竖直距离之与为)(θf ,C,D 两脚之与为)(θg ,其中[] πθ，0∈,使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ,那么结论成立。 如果)0(与) 0(g f 不同时为零,不妨设.0)0(,0)0(=>g f 这时,将长方形ABCD 绕点O