初二数学：全等三角形经典常考题型证明及解题技巧梳理，建
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一，证明边或角相等
方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等，而且一般是在双垂直的图形中）
二.证明线段和差问题（形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD)
证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。
证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。
初二数学上册：全等三角形常考题型+解题思路 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等。 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 （3）有公共边的，公共边常是对应边。 （4）有公共角的，公共角常是对应角。 （5）有对顶角的，对顶角常是对应角。 （6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。【解题关键】要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。 全等三角形的判定方法 （1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 （4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 全等三形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。
【拓展】通过判定两个三角形全等，可证明两条线段间的位置关系和大小关系。而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础。 找全等三角形的方法 （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法 ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 【例1】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分 ∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 【题意分析】本题考查“等腰三角形的三线合一”定理的应用。 【解题思路】要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和“等腰三角形的三线合一”定理结合起来。 【解答过程】
八年级数学全等三角形重点题型 例1 ：如图1，已知，AC ⊥CE ，AC=CE ， ∠ABC=∠CDE=90°， 问BD=AB+ED 吗? [变形1]：如图，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BF [变形2]：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。 [变形3]：在△ABC 中，∠ACB= 900，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E 。 （1）当直线MN 绕点C 旋转到图9的位置时，△ADC ≌△CEB ，且 DE=AD+BE 。你能说出其中的道理吗？ （2）当直线MN 绕点C 旋转到图10的位置时， DE =AD-BE 。说说你的理由。 （3）当直线MN 绕点C 旋转到图11的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。 C 图 5 A A 图1 F E
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，在△ADE 中，AD=AE ，且∠1=∠2，请问BD=CE 吗？ [变形1]：如图13，已知∠BAC=∠DAE ，∠1=∠2，BD=CE ，请说明△ABD ≌△ACE.吗？为什么？ [变形2]：过点A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD ，CE ，请说明它们相等。 [变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD ，CE ，请说明它们相等 B B E B B A B B A 图17
全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：
八年级数学《全等三角形》证明经典40题 班级 姓名 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：1 2CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E
5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 8.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 9.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C C D B D C B A F E A
10. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 造全等三角形解题的技巧 全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。 友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。 一、见角平分线试折叠，构造全等三角形 例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。 求证：∠B：∠C=2：1。 证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。 在△ABD和△AED中 ∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED。∴DE=DB，∠B=∠AED。 ∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。 又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。∴∠C=∠EDC。 ∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。∴∠B：∠C=2：1。 证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。∴∠F=∠BDF。 ∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。 ∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。 在△ADF和△ADC中， ∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC。∴∠F=∠C。 又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。 点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。 练习：如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。 图3 提示：延长CN交于AB于点D。则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。 又AB=10，则BD=4。可证为△BCD的中位线。 ∴。 点评：本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。 二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形 例2 如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。 图4 证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。 ∵AD为BC上的中线，∴BD=CD， 在△ACD和△GBD中， ∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。∴AC=BG，∠CAD=∠G。 ∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。∴∠G=∠AEF=∠BEG，∴BE=BG， ∵AC=BG，∴BE=AC。 点评：见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。 例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC 图5 试判断△EMC的形状，并说明理由。 解析：△EMC为等腰直角三角形。 初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 八年级上册数学证明全等三角形的方法 数学中证明全等三角形的方法有很多种，下面将介绍其中几种常 用的方法。 1. SSS法（边边边法）： SSS法是全等三角形的最基本的证明方法之一，它要求两个三角形的三条边分别相等。证明的步骤如下： （1）先列出已知条件，如∆ABC≌∆PQR。 （2）分别列出两个三角形的三条边，如AB=QR，BC=RP，AC=PQ。 （3）根据已知条件和三角形的定义，逐步推导出结论，要点在于 运用已知条件和性质进行推理。 （4）最后，利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律 （即反推法），从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。 2. SAS法（边角边法）： SAS法也是常用的证明全等三角形的方法之一，它要求两个三角形中一个角相等，且两个角的夹边相等。证明的步骤如下： （1）先列出已知条件，如∠BAC=∠QPR，AC=PQ。 （2）分别列出两个三角形的两个角和夹边，如∠ACB=∠PQR， AB=QR。 （3）根据已知条件和三角形的定义，逐步推导出结论，要点在于 运用已知条件和性质进行推理。 （4）最后，利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律 （即反推法），从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。 3. ASA法（角边角法）： ASA法也是常用的证明全等三角形的方法之一，它要求两个三角形中一边相等，且两边夹角相等。证明的步骤如下： （1）先列出已知条件，如∠A=∠P，∠B=∠Q。 （2）分别列出两个三角形的两个角和一边，如∠C=∠R，以及 AC=PR。 （3）根据已知条件和三角形的定义，逐步推导出结论，要点在于 运用已知条件和性质进行推理。 （4）最后，利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律 （即反推法），从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。 4. HL法（斜边直角边法）： HL法是用来证明两个直角三角形全等的方法，它要求两个直角三 角形的斜边和一个直角边相等。证明的步骤如下： （1）先列出已知条件，如∆ABC≌∆PQR，其中∠B=∠Q=90°和 BC=QR。 （2）分别列出两个直角三角形的斜边和一个直角边，如AB=PQ和AC=PR。 （3）根据已知条件和直角三角形的定义，逐步推导出结论，要点 在于运用已知条件和性质进行推理。 （4）最后，利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律 （即反推法），从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。 苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳 理] 本文介绍了八年级上册数学中的全等三角形知识点，包括全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法，角的平分线的性质以及全等三角形证明方法。要点一介绍了全等三角形的判定与性质，其中包括边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、斜边、直角边定理(HL)、边边边(SSS)等判定方法，并说明了对应元素相等的性质。要点二介绍了全等三角形的证明思路，包括找夹角、找直角、找另一边、边为角的对边等方法。要点三介绍了角平分线的性质和判定定理，以及与角平分线有关的辅助线。要点四介绍了全等三角形证明方法，包括证明线段相等的方法、证明角相等的方法等。 XXX∠FAE。 又∠EAG+∠XXX∠BAG=180°。 AEF≌△AGF（AAS）。 XXX． 结论：BE=FD，EF=FD/2． 2、（2014•北京市海淀区期末）如图，在△ABC中， AB=AC，D为BC边上一点，且AD=AC．连接CD，交AB 于E点．证明：AE=DE． 思路点拨】 1）延长AD交CE于点F； 2）证明△AFE≌△CFD，得到∠AFE=∠CFD，再证明 △AED≌△CED，得到AE=DE． 答案与解析】 证明：（1）连接AF，CF，DF，因为AB=AC，AD=AC，∴∠BAD=∠CAD，∠AFD=∠CFD。 又∠AFE=∠XXX，∴△AFE≌△CFD（AAS）。 AE=DE． 证明：作角平分线AD，连接BD，CD. AB＝AC。 BAD＝∠CAD。 又∠ABD＝∠ACD。 ABD≌△ACD（AAS）。 BD＝CD。 又∠BDA＝∠CDA。 BDA≌△CDA（SAS）。 初中数学三角形全等解题技巧 全等三角形的内容是初二数学中的重点知识，也是教学中的难点。许多学生由于基础知识薄弱或无法进行逻辑推理等原因，下面是小编为大家整理的关于初中数学三角形全等解题技巧，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 1初中数学三角形全等解题技巧 巧用三角形全等证明两线垂直 通过对于数学知识的学习，学生在探究和实践中会了解三角形全等的方式，通常会通过“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”“斜边直角边”的判定方法来证明三角形全等。当了解了三角形全等后，很多数学问题就会迎刃而解，使学生可以借助全等三角形的性质和特点来进行进一步的证明和推理，完善自己的思维，提高自己的理解能力，在大脑中建构出数学模型。学生在解题过程中可以利用三角形全等来证明两线垂直，这是三角形全等的一种常用法。 例如：AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD与F，且有BF=AC，FD=CD，求证BE⊥AC。解决本题的关键就是证明∠BEC=90°，而证明∠BEC=90°，也就是说∠EBC+∠BCE=90°。题目中已知AD为△ABC的高，BF=AC，FD=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB为90°，同时∠DBF+∠BFD=90°。所以证明本题的关键就是证明，这样就可以证明∠BEC=90°。在对于∠BFD=∠BCE的过程中，学生就可以利用三角形全等的性质，这样问题就顺利解决了。解题过程中学生利用三角形全等来证明三角形中的内角相等，之后利用三角形内角和相等就可以证明两直线的垂直。学生在解题过程中要善于利用自己的逻辑思维和推理判断以及对于知识的迁移能力，使学生可以灵活地转化已知条件之间的关系，证明三角形全等，之后进一步对个数量关系进行证明，提高自己的思维能力。 “倍长中线法”构造全等三角形 全等三角形的应用是非常广泛的，学生在解题过程中要善于转化和构造，使已知的数学条件可以得到充分地利用。在学生对已知条件 （完整版）全等三角形知识点梳理,推荐文档 第十二章全等三角形 2018.9 杨 1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。 2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。 证明三角形全等基本思路：三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS ． 1.如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B ＝∠D. 证明：(1)中， 2.已知在四边形ABCD 中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC 做辅助线，连接AC ，利用SSS 证明全等， 得到∠DAC=∠ACB ，从而证明平行 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)． 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A ，B ，D 三点共线， AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE ，CD ，试确定AE 与CD 的关系，并 证明你的结论． 解：结论：AE ＝CD ，AE⊥CD. 证明：延长AE 交CD 于F ，在△ABE 与△CBD 中 ， {AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ， BE ＝BD ，) ∴△ABE≌△CBD(SAS )，∴AE＝CD ，∠EAB＝∠DCB， ∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°， ∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD.2.在△ABC 和△CDE 中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE 与BD 交与点F （1）求证：△ACE≌△BCD （2）求证：AE⊥BD 1,利用SAS 证明全等， AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2，全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ． 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角 人教版八年级数学上册 证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。 一、已知一边与其一邻角对应相等 1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS 证全等。 例 1 已知：如图1，点E、F在BC 上，BE=CF，AB=DC ，∠B=∠C .求证： AF=DE 。 证明∵BE=CF（已知），∴ BE+ EF=CF+EF，即BF=CE。 在△ABF 和△DCE 中， ∴ △ABF ≌△DCE（SAS）。 ∴ AF=DE （全等三角形对应边相等）。 2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA 证全等。 例 2 已知：如图2，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E，DE=FE，FC∥AB 。求证：AE=CE。 证明∵ FC∥AB （已知），∴∠ ADE= ∠CFE（两直线平行，内错角相等）。在△ ADE 和△CFE 中， ∴ △ADE ≌△ CFE（ASA ）. ∴ AE=CE （全等三角形对应边相等） 3．证已知边的对角对应相等，再用AAS 证全等。例3 （同例2）. 证明∵ FC∥AB （已知）， ∴ ∠A= ∠ECF（两直线平行，内错角相等）. 在△ ADE 和△CFE 中， ∴ △ADE ≌△ CFE（AAS ）. ∴ AE=CE （全等三角形对应边相等）。 二、已知两边对应相等 1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS 证等。 例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE. 证明∵∠ 1=∠2（已知）， ∠ ADB=18°0 -∠1， ∠ AEC=18°0 -∠2（邻补角定义）， ∴∠ADB = ∠AEC， 在△ABD 和△ACE 中， ∴ △ABD ≌△ ACE（SAS）. 海淀名校全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD? 解析：延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则 ∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又 ∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B A B A C D F 2 1 E 八上全等三角形证明方法归纳经典 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八上全等三角形证明方法归纳经典）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八上全等三角形证明方法归纳经典的全部内容。 【第1部分 全等基础知识归纳、小结】 1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互相 重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 概念深入理解： (1)形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(位置变化） 2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′" 其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质： 全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题。 (1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 （2）全等三角形的对应边上的高，中线,角平分线对应相等。 （3）全等三角形周长，面积相等。 4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 图 3 图 1 图2 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下，两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; （3)通过观察,想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的;运动一般有3种:平移、对称、旋转; 5、全等三角形的判定：（深入理解） ①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS） ⑤斜边，直角边(HL） 注意：（容易出错） （1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等（边定全等）； (2)不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA;㈡有两边和其中一角对应相 等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。 6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线,垂足为D 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG B A C D F 2 1 E 第十二章全等三角形 第一讲全等三角形性质 图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．≅表示，读作“全等于” ．．．．．．．．．． 全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如∆和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC∆ DEF ∆。 ABC∆ ≅把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 例1.已知：如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠EAC=300，则∠DAB的大小为 例2.如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC’为________度. 例3.如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（） A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4 课堂练习： ∆的是( ) 1.根据下列条件，能画出唯一ABC A. AB=3,BC=4,CA=8 B.AB=4,BC=3,∠A=300 C. ∠C=600,∠B=450,AB=4 D.∠C=900,AB=6 2.如图∠1＝∠2=200，AD=AB，∠D=∠B，E在线段BC上，则∠AEC=（） A.200 B.700 C.500 D.800 3.已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF.则不正确的等式是（） A.AC=DF B.AD=BE C.DF=EF D.BC=EF 数学八年级上册知识点汇总及常考题型 第一章全等三角形 【知识结构框图】 一、定义及表示 1、定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1的特殊情况） 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、表示 全等用“≌”表示，读作“全等于”。如：△A BC全等于△DEF，写作：△ABC≌△DEF 注意：若△ABC≌△DEF，点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F 二、判定定理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。 6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。 三、性质 三角形全等的条件： 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。 9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法： 1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS) 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)全等三角形解题技巧(供参考)
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