全等三角形
一、目标认知
学习目标：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
重点：
1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；
2 .三角形全等的性质和条件。
难点：
1.掌握用综合法证明的格式；
2 .选用合适的条件证明两个三角形全等
经典例题透析
类型一：全等三角形性质的应用
1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
思路点拨:AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.
解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.
总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.
已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
举一反三：
【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？
【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，
则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。
【变式2】如右图，，。
求证：AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。
思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。
解析：在ΔABC中，
∠ACB=180°-∠A-∠B，
又∠A=30°，∠B=50°，
所以∠ACB=100°.
又因为ΔABC≌ΔDEF，
所以∠ACB=∠DFE，
BC=EF（全等三角形对应角相等，对应
边相等）。
所以∠DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。
总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。
举一反三：
【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，
∠ACB=90°.
求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.
【答案】
(1）因为ΔACD≌ΔECD，
所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.
因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=
∠EDC=90°.
所以CD⊥AB.
(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,
所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应
角相等）.
因为∠CFE+∠BFE=180°，
所以∠CFE=∠BFE=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.
所以EF∥AC.
类型二：全等三角形的证明
3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．
思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得
解析：∵AC＝BD(已知)
∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)
即 AD＝BC
在△ADF与△BCE中
∴△ADF≌△BCE(SAS)
总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：
(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，
(2)证明这两个三角形全等；
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC
【答案】∵AB∥CD
∴∠3＝∠4
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SAS)
∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)
∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)
【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求证 AF＝DE．
【答案】∵EB⊥AD(已知)
∴∠EBD＝90°(垂直定义)
同理可证∠FCA＝90°
∴∠EBD＝∠FCA
∵AB＝CD，BC＝BC
∴AC＝AB+BC
＝BC+CD
＝BD
在△ACF和△DBE中
∴△ACF≌△DBE(S．A．S)
∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)
类型三：综合应用
4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：
AB+AC>2AD.
思路点拨:要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以
AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。
解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE
因为AD为ΔABC的中线，
所以BD=CD.
在ΔACD和ΔEBD中，
所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).
所以BE=CA.
在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.
总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。
举一反三：
【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，
求证：BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于F.
因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠
BEC=90°.
在ΔBEF和ΔBEC中，
所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).
所以CE=FE=CF.
又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.
所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.
所以∠BDA=∠BFC.
在ΔABD和ΔACF中，
所以ΔABD≌ΔACF(AAS)
所以BD=CF.所以BD=2CE.
5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，
求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF 思路点拨:(1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)
由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．
解析：
(1)在△ABE与△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)
(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)
∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)
(3)在△AEF与△CFE中
∴△AEF≌△CFE(SAS)
∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等)
总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．
【答案】在△AGE与△BCE中
∴△AGE≌△BCE(SAS)
∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)
在△AFD与△CBD中
∴△AFD≌△CBD(SAS)
∴AF＝CB(全等三角形对应边相等)
∴AF＝AG(等量代换)
6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
思路点拨:若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
解析：在Rt△ABD与Rt△ACE中
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)
∴AD=AE(全等三角形对应边相等)
在Rt△ADF与Rt△AEF中
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)
∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等)
∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)
总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。
举一反三：
【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．
已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC 于D，A′D′⊥B′C′于 D′且 AD=A′D′
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中
∴Rt△ABD ≌ Rt△A′B′D′
(HL)
∴∠B=∠B′(全等三角形对应
角相等)
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)
【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：OC=OD
【答案】∵∠C=∠D=90°
∴△ABD、△ACB为直角三角形
在Rt△ABD和Rt△ABC中
∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)
∴AD=BC
在△AOD和△BOC中
∴△AOD≌△BOC(AAS)
∴OD=OC．
7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG ⊥AB垂足分别是E、F、G..
试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。
思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径
解析：结论：DE+DF=CG
方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）
作DM⊥CG于M
∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG
∴四边形EDMG是矩形
DE=GM
DM//AB
∴∠MDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠FCD
∴∠MDC=∠FCD
而DM⊥CG，DF⊥AC
∴∠DMC=∠CFD
在⊿MDC和⊿FCD中
∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）
MC=DF
∴DE+DF=GM+MC=CG
总结升华：
方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）
总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化
引申：如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？DE、DF和CG会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明
举一反三：
【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。
【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E
5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB A D B C A
9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF和EF。 ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。 ∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。
∴ ∠EBF=∠BEF 。 又∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中， AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。 ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C B A C D F 2 1 E
全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DG E ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ， DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠E DC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 C D B A B A C D F 2 1 E 全等三角形证明经典10题(含答案) 1 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 2.如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 3.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 4.已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C A B C D E 1. 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 5.已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝ CG B A C D F 2 1 E 全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC． 7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 初二全等三角形所有知识点总结和常考题 知识点： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 常考题： 一．选择题（共14小题） 1．使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 全等三角形证明经典50 题（含答案）1. 已知： AB=4， AC=2， D 是 BC 中点， AD 是整数，求AD A B C D 延伸 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BE A 4. 已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC 1 2 证明：过 E 点，作 EG//AC，交 AD 延伸线于 G 则∠ DEG=∠ DCA， F ∠DGE=∠ 2又∵CD=DE∴ ⊿ADC≌ ⊿ GDE（AAS） ∴EG=AC∵ EF//AB∴∠ DFE=∠ 1∵ ∠ 1=∠ 2∴ ∠ DFE=∠ DGE∴ EF=C EG∴ EF=AC D E B 5.已知：AD均分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C A C B D 证明：在 AC上截取 AD=AD∴ ⊿ AED≌ ⊿ ABD AE=AB，连结 （SAS ED∵ AD ） 均分∠ BAC∴ ∠ ∴ ∠ AED=∠ B EAD=∠ BAD 又∵ AE=AB， ，DE=DB∵ AC=AB+BD AC=AE+CE∴ CE=DE∴ ∠ C=∠ EDC∵ ∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C∴∠ B=2∠ C 6. 已知： AC 均分∠ BAD，CE⊥ AB， ∠ B+∠ D=180°，求证： AE=AD+BE 证明：在AE上取F，使EF＝EB， 连结 CF 由于 CE⊥AB 因此∠CEB＝ ∠ CEF＝ 90 °由于 EB＝ EF， CE＝ CE， 所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝ ∠ CFE 由于∠ B＋∠ D＝ 180 ，°∠CFE ＋∠ CFA＝ 180°因此∠ D＝∠ CFA 由于AC 均分∠ BAD 因此∠ DAC＝∠ FAC 又由于AC＝ AC 因此△ ADC≌ △ AFC（ SAS）因此 AD＝ AF 因此 AE＝ AF＋ FE＝ AD＋ BE 12.如图，四边形 ABCD 中， AB∥ DC， BE、 CE 分别均分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD 上。 求证： BC=AB+DC。 证明 :在 BC 上截取 BF=BA,连结 EF∠. ABE=∠ FBE,BE=BE,则 ⊿ABE≌ FBE(SAS),∠EFB=∠ A;AB 平行于 CD, 则 :∠ A+∠ D=180°;又∠ EFB+∠ EFC=180°,则∠ EFC=∠ D;又 ∠ FCE=∠ DCE,CE=CE,故⊿ FCE≌DCE(AAS),FC=CD所. 以 ,BC=BF+FC=AB+CD. 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ， AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E 第十一章：全等三角形 一、基础知识 1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义 能够完全重合的两个图形就是全等图形。 例如：图13-1和图13—2就是全等图形 图13-1 图13—2 (2）全等多边形的定义 两个多边形是全等图形,则称为全等多边形。 例如：图13—3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。 图13-3 图13-4 （3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边 两个全等的多边形,经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （4）全等多边形的表示 例如：图13—5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。 图13—5 表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置. （5）全等多边形的性质 全等多边形的对应边、对应角分别相等。 （6)全等多边形的识别 多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。 2.全等三角形的识别 (1）根据定义 若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。 (2)根据SSS 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等. 相似三角形的识别法中有一个与(SSS ）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时,就成为全等三角形。 (3）根据SAS 如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS ）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。 （4）根据ASA 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等. A B D C E B' A ’ C ’ D ’ E ’ 全等三角形经典例题(含答案) 全等三角形是指两个三角形的所有对应边和对应角都相等。判断两个三角形是否全等的条件有三种：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）。 下面介绍几个经典的全等三角形例题： 例题一： 已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，AC=DF，∠C=∠F，是否可以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。 解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的所有对应边 和对应角都相等，即满足ASA条件。因此，可以断定 △ABC≌△DEF。因为已知条件满足△ABC和△DEF的全等条件。 例题二： 已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，是否可以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。 解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的所有对应边 都相等，即满足SSS条件。因此，可以断定△ABC≌△DEF。因为已知条件满足△ABC和△DEF的全等条件。 例题三： 已知△AB C和△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF，是否可 以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。 解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的对应角相等， BC=EF，但没有给出第三边的长度。无法判断是否满足SSS或SAS条件，因此无法断定△ABC≌△DEF。 例题四： 已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，是否可以断定△ABC≌△DEF？如果可以，请说明理由；如果不可以，请给出反例。 解析：根据题目可知，已知△ABC和△DEF的对应边和对 应角相等，即满足SAS条件。因此，可以断定△ABC≌△DEF。因为已知条件满足△ABC和△DEF的全等条件。 例题五： 已知两个全等的三角形ABC和DEF，若∠A=60°，AC=6，DF=9，求BC和EF的长度。 解析：由于△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可知 BC=EF。因此，解题思路是找到BC的长度。 根据题目可得AC=6，DF=9，而△ABC≌△DEF，根据全等 三角形的性质，我们可以得出下面的等式： AC/DF = BC/EF 代入已知条件，得到： 6/9 = BC/EF 通过交叉乘法，得到： 6*EF = 9*BC 再整理得到： EF = 9/6 * BC 根据题目已知，EF=BC，因此可以得出： BC = 9/6 * BC 化简，得到： 1 = 3/2 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点∴BD=DC 在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3 ∴AD=2 2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD=1/2AB 延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在三角形BEF中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF。∵∠ABC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。 ∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF和三角形AEF全等。∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2) 4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝∠CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2 ∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD ∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 新思路全等三角形的经典例题 判定方法 条件 注意 ⑴边边边公理（SSS ） 三边对应相等 三边对应相等 ⑵边角边公理(SAS) 两边和它们的夹角对应相等 （“两边夹一角”） 必须是两边夹一角，不能是两边对一角 ⑶角边角公理(ASA) 两角和它们的夹边对应相等 （“两角夹一边”） 不能理解为两角及任意一边 ⑷角角边公理(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等 例1：已知：如图，过∆ABC 的顶点A ，作AF ⊥AB 且AF=AB ，作AH ⊥AC ，使AH=AC ，连结BH 、CF ，且BH 与CF 交于D 点。求证：（1）BH=CF （2）BH ⊥CF 分析：从图中可观察分析，若证BH=CF ，显然，若能证出∆ABH ≌∆AFC ，问题就能解决。从已知看，已经知道AF=AB ，AC=AH 。这两个三角形已经具备两条边对应相等了。还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。只能寻求两对应边的夹角了。从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。而图中的∠BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。 证明：（1）∵AF ⊥AB ，AH ⊥AC ∴∠BAF=∠HAC=90︒ ∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC ∴即∠F AC=∠BAH 在∆ABH 和∆AFC 中 ()()() AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知已证已知 ∴∆ABH ≌∆AFC （边角边） ∴BH=FC （全等三角形对应边相等） （2）设AC 与BH 交于点P 在∆APH 中 ∵∠HAP=90︒ ∴∠2+∠3=90︒（直角三角形中两个锐角互余） ∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠ 3=90︒ 在∆PDC 中 ∵∠1+∠4=90︒ ∴∠HDC=90︒ ∴BH ⊥CF 例2：已知，如上图：BD 、CE 是∆ABC 的高，分别在高上取点P 与Q ，使BP=AC ，CQ=AB 。求证：AQ=AP 分析：从要证的结论AQ=AP ，只有在∆ABP 和∆QCA 中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC 、CQ=AB ，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。也只有找到其中夹角相等，全等就可以了，问题的关键在于如何找出∠1=∠2？再分析已知条件，不难看出，既然BD 、CE 都是高，就有∠BDA=∠CEA=90︒，这样就可看出∠1和∠2都是∠BAC 的余角了。根据同角的余角相等这条性质得到∠1=∠2，这样问题就可以迎刃而解了。 证明：∵BD ⊥AC 于D 全等三角形 一、目标认知 学习目标： 1．了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式. 重点： 1. 使学生理解证明的基本过程 ,掌握用综合法证明的格式； 2 。三角形全等的性质和条件。 难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等 经典例题透析 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨： AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解。 解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角。 总结升华：已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边。 已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角. 举一反三: 【变式1】如图,△ABC≌△DBE。问线段AE和CD相等吗？为什么？ 【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE， 则AB—BE=DB—BC，即AE=CD。 【变式2】如右图，，. 求证：AE∥CF 【答案】 ∴AE∥CF 2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与EC的长。 思路点拨：由全等三角形性质可知:∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。 解析：在ΔABC中， ∠ACB=180°—∠A-∠B, 又∠A=30°，∠B=50°， 所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF, 所以∠ACB=∠DFE， BC=EF(全等三角形对应角相等，对应 边相等）。 所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。 总结升华:全等三角形的对应角相等，对应边相等。 举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF, A B 全等三角形证明题精选 一.解答题(共30小题) 1. 四边形ABCD 中，AD=BC, BE=DF, AE 丄BD, CF 丄BD,垂足分别为E 、F ・ (1) 求证：AADE^ACBF ： (2) 若AC 与BD 相交于点6求证：AO=CO ・ 2. 如图，已知点B. E, C, F 在一条直线上，AB 二DF, AC 二DE, ZA=ZD. (1) 求证：AC 〃DE ： (2) 若 BF=13, EC=5,求 BC 的长. 3. 如图，BD 丄AC 于点D, CE 丄AB 于点E, AD=AE ・求证： BE=CD. 4・如图，点0是线段AB和线段CD的中点. (1) 求证：AAOD^ABOC； (2) 求证：AD〃BC・ 6・如图,已矢【lAABC 和Z\DAE, D 是AC 上一点,AD二AB, DE〃AB, DE=AC・求证：AE=BC. 7.如图，AB〃CD, E是CD上一点，BE交AD于点F, EF=BF・求证：AF=DF. 9.如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E, DE二FE, FC〃AB 求证:AE=CE. E ZA二ZB, ZADE二ZBCF,求证：DE=CF. □・如图，点A, B, C, D在同一条直线上.CE〃DF, EC二BD, AC=FD・求证：AE=FB. E 22・已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB二AC, AD=AE, Z1=Z2. (1) 求证：BD=CE； (2) 求证：ZM=ZN. 23・如图，BE丄AC, CD丄AB,垂足分别为E, D, BE=CD・求证：AB=AC. 14.如图，^EAABC 和ZkCED 中，AB〃CD, AB=CE, AC=CD・求证：ZB=ZE. 15.如图，在AABC中，AD平分ZBAC,且BD二CD, DE丄AB于点E, DF丄AC于点F・ 三角形全等典型例题集锦（含答案） 一、选择题（本大题共13小题，共39.0分） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， DE⊥AB于点E，如果BC=27，BD：CD=2：1，则DE 的长是() A. 2 B. 9 C. 18 D. 27 【答案】B 由“AAS”可证△ACD≌△AED，可得CD=DE=9． 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明△ACD≌△AED是本题的关键． 解：∵BC=27，BD：CD=2：1， ∴BD=18，CD=9，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，且AD=AD，∠DCA=∠DEA= 90°，∴△ACD≌△AED(AAS)∴CD=DE=9，故选B． 2.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加下列条件，不能使 △ABC≌△DCB的是() A. AC=DB B. AB=DC C. ∠A=∠D D. ∠1=∠2 【答案】A 【解析】A.当添加AC=DB时，不能判定△ABC≌△DCB，故本选项符合题意; B.当添加AB=DC时，能判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意; C.当添加∠A=∠D时，能判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意; D.当添加∠2=∠1时，能判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意， 故选A．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是() A. B. C. D. 【答案】C 3.如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形 是() A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是【答案】C 4.如图，∠ACB=90∘，AC=BC，BE⊥CE于E点，AD⊥CE 于D点，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE的长为() A. 0.8cm B. 1cm C. 1.5cm D. 4.2cm 【答案】A 【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90∘， ∴∠EBC+∠BCE=90∘．∵∠BCE+∠DCA=∠ACB=90∘， ∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中， {∠E=∠ADC,∠EBC=∠DCA, BC=CA, ∴△CEB≌△ADC(AAS)， ∴BE=DC，CE=AD=2.5cm． ∵DC=CE−DE，DE=1.7cm，∴DC=2.5−1.7=0.8cm，∴BE=0.8cm， 故选A． 5.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中 AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论： ①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积为 1 2 AC⋅BD.其中正确的结论有() A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D全等三角形证明经典10题((含答案)
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