2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
旋转与全等、相似中的线段数量关系 基本例题：1、如图，△ABC中，∠C＝90°.（1）将△ABC绕点B逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC＝3，AC＝4，点A旋转后的对应点为A′，求A′A的长 变式1,如图Rt△AB'C'是由Rt△ABC,绕点A顺时针旋转得到的，连接C C'交AB于E, (1)证明：△CA C'∽△BA B' (2)延长C C'交B B'于F，证明：△CA E∽△FBE 变式2，△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、BC、CD的数量关系是 变式3，△ABC绕点B逆时针旋转a°得到△DBE,若恰好得到C、E、D三点共线，则AC、
BC、CD的数量关系是 变式4、Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD、CD、BD的数量关系 变式5、Rt△ABC中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD、CD、BD的数量关系 变式6、如图，在△OAB和△OCD中，∠A＜90°，OB=KOD（K＞1），∠AOB=∠COD，∠OAB与∠OCD互补，试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论。 变式7.如图AB∥CD,BC∥ED, ∠BCD+∠ACE=180°。 (1)当BC=CD 且∠ACE=90°时如图3探究线段AC和CE之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC和CE之间的数量关系 （3）当BC=kCD时如图1探究线段AC和CE之间的数量关系（用含k的式子表示） E B C A D C A D B
80中田凌志老师提供 1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。如图（1）（2）(3)探究PE 与PF 之间的数量关系，并证明 P N M F E C B A _ P _ N _ M _F _E _ C _ B _ A 图1 图2
备战中考数学初中数学旋转-经典压轴题附详细答案 一、旋转 1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝ ∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE． (1)在图1中证明小胖的发现； 借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题： (2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD； (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =1 2 m°. 【解析】 分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可； （2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明 △ABD≌△CBE即可解决问题； （3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到 M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=1 2 m°. 详（1）证明：如图1中， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中，
AD AE DAB EAC AB AC ?? ∠∠??? ＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC ， ∴BD=EC ． （2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ． ∵DB=DE ，∠BDC=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠ABD=∠CBE ， ∵AB=BC ， ∴△ABD ≌△CBE ， ∴AD=EC ， ∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ． ∴AD+CD=BD ． （3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ． 由（1）可知△EAB ≌△GAC ， ∴∠1=∠2，BE=CG ， ∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ， ∴△EDB ≌△MDC ， ∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，
中考数学初中数学旋转-经典压轴题及详细答案 一、旋转 1．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b． （1）如图1，当a＝42时，求b的值； （2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值； （3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式． 【答案】（1）422）b＝8；（3）ab＝32． 【解析】 试题分析：（1）由正方形ABCD的边长为4，可得AC＝2，∠ACB＝45°． 再CE＝a＝2∠CAE＝∠AEC，从而可得∠CAF的度数，既而可得 b=AC； （2）通过证明△ACF∽△ECA，即可得； （3）通过证明△ACF∽△ECA，即可得. 试题解析：（1）∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝2，∠ACB＝45°． ∵CE＝a＝2∴∠CAE＝∠AEC＝45 2? ＝22.5°，∴∠CAF＝∠EAF－∠CAE＝22.5°， ∴∠AFC＝∠ACD－∠CAF＝22.5°，∴∠CAF＝∠AFC，∴b=AC＝CF＝42 （2）∵∠FAE＝45°，∠ACB＝45°，∴∠FAC＋∠CAE＝45°，∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠FAC ＝∠AEC． 又∵∠ACF＝∠ECA＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴AC CF EC CA =，∴ 42 442 =∴CF＝ 8，即b＝8．（3）ab＝32． 提示：由（2）知可证△ACF∽△ECA，∴∴AC CF EC CA =，∴ 42 42 =，∴ab＝32． 2．在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC或其延长线于E，F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况． （1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即
01 分点突破 知识点1中心对称与中心对称图形 1. 图形的是 C 1) 2.（齐齐哈尔屮考）下列汉字或字母既是屮 心对称图形又是轴对称图形的是 知识点2平面直角坐标系与旋转 （阜新屮考）ri 章末复习 旋转 A. Bl cH D Z （济宁中考）下列图形是中心对称 如图，正方形OABC 在平面直角坐标系屮，点 A 的坐标为 （2, 0）,将正方形OABC 绕点0顺时针旋转45 0得到正方形 标为（ ） OA B' C 则点C'的坐 A. ( .2, .2) C. ( . 2, — . 2) B. (— 2, . 2) D. (2 .2, 2 .2) 3. 4. （宁夏中考）如图，在平面直角坐标系xOy
中，△ A'B'由込ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 . 5. __________________________ （北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中, 4AOB可以看作是AOCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的, 写出一种由△ OCD得到△ AOB的过程:
知识点 3 6.（天津 屮考）如图, 将厶 ABC 绕 点B 顺时针 旋转60 ° E 恰好落在AB 的延长线上，连 接AD.下列结论一定正确的是（） AC = 5 cm, BC = 12 cm. 将厶ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△ BDE ，连接DC 交AB 于点F,则厶ACF 和厶BDF 的周长之和为 cm. 8?（徐州中考）如图，已知AC 丄BC,垂足为C, AC 二4, BC 二3. 3,将线 段AC 绕 点A 按逆时针方向旋转60°得到线段AD,连接DC, DB. (1)线段 DC 二 4; （2）求线段DB 的长度. 02 中考题型演练 9. （聊城中考）如图，将AABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点 B'处，此时，点A 的对应点A'恰好落在BC 的延长线上，下列结论错误的是（） 得"DBE,点 C 的对应点 旋转屮的让算问题 4 A. Z ABD 二Z E B. Z CBE 二Z C C. AD II BC D. AD =BC E B
数学中考压轴题旋转问 题(经典) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
旋转 一、选择题 1. （广东）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】 A ．π B ．3 C ． 33+42π D ．113 + 124 π 2. （湖北）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93 S S 6+ 4 +=．其中正确的结论是【 】 A ．①②③⑤ B ．①②③④ C ．①②③④⑤ D ．①②③ 3. （四川）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A ：P′C=1：3，则P′A ：PB=【 】。 A ．1：2 B ．1：2 C ．3：2 D ．1：3 4. （贵州）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于【 】 A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 5. （广西）如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切 于 点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回 到与AB 相 切于点D 的位置，则⊙O 自转了：【 】 A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 二、填空题 6. （四川）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是 ▲ cm.
典型例题一 例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ?顺时针旋转45°，画出图形． 分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来． 解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''?就是按题目要求得到的旋转后的图形． 说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心． 典型例题二 例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ?绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答： （1）图中有哪些等线段和等角？ （2）哪两个三角形形状、大小都一样？ 分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使?='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '?就是ADE ?按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形． 答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．
（2）ADE ?与E AB '?的形状和大小都一样． 典型例题三 例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置． （1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？ （2）指出图中的对应线段． 分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段． 答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°． （2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,． 典型例题四 例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图． （2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°． 解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='?='∠ ②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='?='∠ ③作.,60AD D A AD D ='?='∠ 连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形． （2）①连结AP ，作?='∠60PA A ，使.AP P A =' ②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．
图形旋转练习题 1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB 的度数。 2. 如图P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。 A B C D P 3.设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=450， A P ⊥EF 于点P （1） 求证：AP=AB ，（2）若AB=5，求ΔECF 的周长。 4.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF=45o．求证：EF=BE+DF ． （2）若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45o，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？ （3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数． 5ABC 中，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数； ⑵当AB=4，AD ∶DC=1∶3时，求DE 的长. F E D C B A A A F P P B B C C
6．如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，使AB 落到AC 上，则P 落到点P '处。如果AP=1，则PP '=___________． 7．如图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5，则S 四边形ABCD ＝ 。 8．如图所示，已知P 是正方形ABCD 内一点，以B 为 旋转中心，把△PBC 沿逆时针方向旋转90°得到△P BA '，连接PP '， 则∠P PB '的度数是______。 9、如图，将△ABC 绕点A 旋转一定角度后能与△ADE 重合，如果△ABC 的面积是 12cm 2 ，那么△ADE 的面积是 。 10、如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD ＝15°， △ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转角的度数是 . 11、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__________。 E D C B A 11
几何图形旋转常见问题 一、填空题 1.如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于． 2．如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是cm． 3.正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为cm． 4.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD 以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是． 二、解答题 5.如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
6.如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车的第一个叶 片F 1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第二个叶片F 2 ，再将F 1 、F 2 同时 绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶片F 3、F 4 .根据以上过程，解答下列问题： (1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的坐标； (2)请你在图6－2中画出第二个叶片F 2 ； (3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？ 7.如图7，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1,0)，将线段OP 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1 ；又将线段OP 1 按逆时针方向旋转45°， 长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2 ；如此下去，得到线段OP 3 ，OP 4 ，…，OP n （n为正整数）. （1）求点P 6 的坐标； （2）求△P 5OP 6 的面积； （3）我们规定：把点P n (x n ,y n )（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后 得到的新坐标(|x n |,|y n |)称之为点P n 的“绝对坐标”．根据图中点P n 的分布规律，请你猜 想点P n 的“绝对坐标”，并写出来． 8.把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H （如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
《图形的旋转》基础典型练习题 一、选择题（每题3分，共18分） 1．下列物体的运动不是旋转的是（） A．坐在摩天轮里的小朋友B．正在走动的时针 C．骑自行车的人D．正在转动的风车叶片 2．在10分钟的时间内，分针转过的角度是（） A．15°B．30°C．15°D．30° 3．在10分钟的时间内，时钟的时针旋转过的角度是（） A．5°B．10°C．15°D．30° 4．等边三角形绕着它的中心旋转一周，可与原图形重合的次数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在图形的旋转中，下列说法错误的是（） A．图形上的每一点到旋转中心的距离都相等 B．图形上的每一点转动的角度都相同 C．图形上可能存在不动的点 D．旋转前和旋转后的图形全等 6．有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，?所得到的图形都与原图形完全重合，你觉得它可能是（） A．三角形B．等边三角形C．正方形D．圆 二、填空题（7题4分，11题5分，其余每题3分，共18分） 7．经过旋转后的图形与原图形的关系是________，它们的对应线段_______，?对应角________，对应点到旋转中心的距离________． 8．一架风车有分布均匀的四个叶片，旋转一周可与原来的位置重合______次． 9．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图_________． 10．如上图所示，图①按顺时针方向至少旋转_______度可得图③．
11．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，?把这个三角形在平面内绕点C逆时针旋转60°至△A′B′C′，那么AA′的长度是______cm．（?不取近似值）三、作图题（每题6分，共18分） 12．如图所示，△ABC绕点A旋转后，点B与点D?重合，?作出旋转后的三角形ADE． 13．把边长为2cm的正方形ABCD，绕着点D逆时针旋转45°后，变为正方形A′B?′C′D′，作出上述图形． 14．如图所示是计算机操作人员用Flash设计出的美丽图案，?试把它按逆时针方向旋转180°，作出旋转后的图案． 四、解答题（6分） 15．如图所示，①图怎样变化可成②图呢？请你分析变化过程．
中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
人教版初中数学三角形经典测试题含答案 一、选择题 1．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（） A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=1 2 ∠ADC D．∠ADE= 1 3 ∠ADC 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得， ∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②， 由①×3-②可得3x-y=0， 所以 1 3 x y ，即∠ADE= 1 3 ∠ADC． 故答案选D． 考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理． 2．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）
A．13B．5C．22D．4 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°． 若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°． 在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2． 在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3， 由勾股定理得：AD1=13． 故选A. 考点: 1.旋转；2.勾股定理. 3．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（） A．30 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解析】 【分析】 由CA=CB，可以设∠A=∠B=x．想办法构建方程即可解决问题； 【详解】 解：∵CA=CB， ∴∠A=∠B，设∠A=∠B=x． ∵DF=DB， ∴∠B=∠F=x， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x， ∴x+2x+2x=180°， ∴x=36°，
旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的围是在平面旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ）Ｄ Ａ．25 Ｂ．30 Ｃ．35 Ｄ．45 知识点3:旋转作图 1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角. 2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等. ' 图1 图2
图形的平移和旋转经典试题 1．钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是________,经过 20分,分针旋转_______度。 2、如图，在Rt △ ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论，其中正确的是_____ ①△AED ≌△AEF ； ②BE DC DE += ③S △ABE +S △ACD >S △AED ； ④2 2 2 BE DC DE += 5、如图11-2所示，Rt △A ′B ′C ′是△ABC 向右平移3cm 所得，已知∠B ＝60°，B ′C ＝5cm ，则∠C ′＝_____________，B ′C ′＝_____________cm ． 6.如图所示，直角△AOB 顺时针旋转后与△COD 重合，若∠AOD ＝127°，则旋转角度是 7．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别在D ′、C ′位置，若∠EFB=65°，则∠AED ′=_________. 8．四边形ABCD 为长方形，△ABC 旋转后能与△AEF 重合，旋转中心是点 旋转了多少度 ；连结FC ，则△AFC 是 三角形。 9． 如图11-5，O 是等边△ABC 内一点，将△AOB 绕B 点逆时针旋转，使得B 、O 两点的对应点分别为C 、D ，则旋转角为_____________，图中除△ABC 外，还有等边三形是_____________． 10、如图所示：正方形ABCD 中E 为BC 的中点，将面ABE 旋转后得到△CBF. （1）指出旋转中心及旋转角度．（2）判断AE 与CF 的位置关系． （3）如果正方形的面积为18cm 2 ，△BCF 的面积为4cm 2 ,问四边形AECD 的面积是多少？ 11、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，且BE ＋DF ＝EF ，求∠EAF (第8题图） A B C D E F
图形的旋转经典题 一．选择题（共10小题） 1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（） A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（） A． B．2 C．3 D．2 3．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（） A．4 B．5 C．6 D．7 4．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形 5．下面生活中的实例，不是旋转的是（） A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动 C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动 6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（） 6题 7题 9题 A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+6 7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（） A．50°B．60°C．40°D．30° 8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（） A．360°B．270°C．180°D．90°
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典难题（二） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D B
P C G F B Q A D E 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B
、选择题 ( 共16小题) 1.观察图中的图案，它们绕各自的中心旋转一定的角度后，能与自身重合，其 中旋转角可以为 4组图形中，左边图形与右 边图形成中心对称的有( BB 的长为( ) C r B C A . 2 ； B . 3 ：； C . 4一 ； D . 6 :; 4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A . (1)、(2) B. (1)、(3) C. (2)、(3) D . (1)、(4) 5.剪纸是中国的民间艺术.剪纸的方法很多，下面提供一种剪纸方法：如图所 示，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案： 第二周旋转周清试题 ( ② ③ A . 1组 B . 2组 C. 3组 ④ D . 4组 A 为对称中心，若/ C=90°, / B=30°，AC 血，贝U 120°的是) 2.如下所示的 3.如图是一个中心对称图形, F 面四个图形中，不能用上述方法剪出图案的是(
B. 6?如图所示，△ ABC中，AC=5,中线AD=7,A EDC 是由厶 ADB旋转 180°所得, 则AB边的取值范围是（） A. 1v AB V29 B. 4v AB v24 C. 5v AB v 19 7.如图，直线y=-丄x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，△ AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ AO B'则点B的对应点B坐标为（） A. （3，4） B. （7，4） C. （7，3） D. （3，7） 8 .在如图所示的单位正方形网格中，△ ABC经过平移后得到厶A i B i C i，已知在 0cS D.0^ D. 9v AB v 19 ⑹ AC上一点P （，2）平移后的对应点为P i,点Pi绕点0逆时针旋转180°,得到对应点f，则R点的坐标为（） （（
二次函数图像平移、旋转总归纳 一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x 2+1的图象 ①向上平移3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4； ②向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3； ③向左平移5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x+5）2+1； ④向右平移6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2（x-6）2+1． 由此可以归纳二次函数y=ax 2+c 向上平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c+m ； 向下平移m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2+c-m ； 向左平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x+n ）2+c ； 向右平移n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （x-n ）2+c ， 二、二次函数的图象的翻折 在一张纸上作出二次函数y=x 2-2x-3的图象， ⑤沿x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3． ⑥沿y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3 由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 若沿x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ， 若沿y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2-bx+c 三、二次函数的图象的旋转， 将二次函数 y=- x 2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y= x 2-x+1； 由此可以归纳二次函数y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下） 2121
1、（2011?桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A ．y=-（x+1）2+2 B ．y=-（x －1）2+4 C ．y=-（x －1）2+2 D ．y=-（x+1）2+4 2、（2012浙江宁波中考）把二次函数y ＝（x －1）2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________． 3、飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间 t （单位：s ）的函数关系式是s=60t-1.5t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是（ ） A ．600m B ．300m C ．1200m D ．400m 4、（2012?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y=60x-1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来 ． 5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 6、已知二次函数y ＝ax 2（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 。 7、如图，已知抛物线234 y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线334y x t =-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<． （1）确定b c ，的值： （2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）： （3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由． y C A O Q H B P x
旋转知识点归纳 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质： ⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等. 例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ）Ｄ Ａ． 25 Ｂ． 30 Ｃ． 35 Ｄ． 45 知识点3:旋转作图 1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角. 2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等. 3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论. ' 图1 D 图2