高数十大定理
高数的十大定理包括有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理(泰勒公式)、积分中值定理(平均值定理)、微分中值定理等。
具体来说：
1. 有界性：是指给定一个数集和一个常数M，存在一个确定的点，使得数集中的所有数都可以在某个区间上被这个点所限制，即数集中的所有数都不会超过这个常数M。
2. 最值定理：是指在实数集中，每一个函数都有一个最大值和一个最小值，即函数在某个区间内的最大值和最小值。
3. 零点定理：是指如果函数在区间[a,b]的两端取值异号，即f(a)⋅f(b)<0，那么在区间(a,b)内至少存在一个使f(x)=0的点。
4. 费马定理：是指对于实数n，如果有n个正整数a1,a2,...,an满足a1⋅a2...an=p(p为质数)，那么对于任何正整数n，a1,a2,...,an都是p的倍数。
5. 罗尔定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。
6. 拉格朗日中值定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
7. 柯西中值定理：是指如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
8. 泰勒定理（泰勒公式）：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上存在n阶导数，那么对于任何x∈[a,b]，都存在一个以x为中心的极小值点ξ，使得f(x)=f(ξ)+f'(ξ)(x-ξ)+f''(ξ)(x-ξ)^2/2!+...+f^(n)(ξ)(x-ξ)^n/n!+...。
9. 积分中值定理（平均值定理）：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加（或减少），那么对于任何正整数n，都存在一个点ξ∈[a,b]，使得n∫_a^bf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
10. 微分中值定理：包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，这些定理都涉及到函数在某一点处的导数与函数图形在该点处的切线的斜率之间的关系。
这些定理在高数的学习中有着重要的地位，理解和掌握这些定理对于学好高数十分重要。
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一*)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界*)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以 x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号*)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有
f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1； lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 高等数学定理大解析-考研必捋版 （考研大纲要求范围+高数重点知识） 第一章函数与极限 1、函数的有界性 在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期） 3、数列的极限 定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n +1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。 ●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
4、函数的极限 函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。 ●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。 ●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y = f(x)的图形水平渐近线。如果lim（x→x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。 5、极限运算法则 定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小； 定理如果F1（x）≥F2（x）,而lim F1 (x)= a，lim F2 (x)= b，那么a≥b。 6、极限存在准则 ●两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/ x）x=1。 ●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn ≤
高等数学公式 ·平方关系： s i n^2(α)+c o s^2(α)=1 t a n^2(α)+1=s e c^2(α) c o t^2(α)+1=c s c^2(α)·积的关系： s i nα=t a nα*c o sα c o sα=c o tα*s i nα t a nα=s i nα*s e cα c o tα=c o sα*c s cα s e cα=t a nα*c s cα c s cα=s e cα*c o tα ·倒数关系： t a nα·c o tα=1 s i nα·c s cα=1 c o sα·s e cα=1 直角三角形A B C中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： c o s(α+β)=c o sα·c o sβ -s i nα·s i nβ c o s(α-β)=c o sα·c o sβ +s i nα·s i nβ s i n(α±β)=s i nα·c o sβ±c o sα·s i nβ t a n(α+β)=(t a nα+t a n β)/(1-t a nα·t a nβ) t a n(α-β)=(t a nα-t a n β)/(1+t a nα·t a nβ) ·三角和的三角函数： s i n(α+β+γ)=s i nα·c o s β·c o sγ+c o sα·s i nβ·c o s γ+c o sα·c o sβ·s i nγ-s i n α·s i nβ·s i nγ c o s(α+β+γ)=c o sα·c o s β·c o sγ-c o sα·s i nβ·s i nγ-s i nα·c o sβ·s i nγ-s i n α·s i nβ·c o sγ t a n(α+β+γ)=(t a nα+t a nβ+t a nγ-t a nα·t a nβ·t a n γ)/(1-t a nα·t a nβ-t a n β·t a nγ-t a nγ·t a nα) ·辅助角公式： A s i nα+ B c o sα =(A^2+B^2)^(1/2)s i n(α+t)，其中 s i n t=B/(A^2+B^2)^(1/2) c o s t=A/(A^2+B^2)^(1/2) t a n t=B/A A s i nα+ B c o sα =(A^2+B^2)^(1/2)c o s(α-t)，t a n t=A/B ·倍角公式： s i n(2α)=2s i nα·c o sα =2/(t a nα+c o tα) c o s(2 α)=c o s^2(α)-s i n^2(α)= 2c o s^2(α)-1=1-2s i n^2(α) t a n(2α)=2t a nα /[1-t a n^2(α)] ·三倍角公式： s i n(3α)=3s i nα -4s i n^3(α) c o s(3 α)=4c o s^3(α)-3c o sα ·半角公式： s i n(α/2)=±√((1-c o s α)/2) c o s(α/2)=±√((1+c o s α)/2) t a n(α/2)=±√((1-c o s
高等数学公式大全 1、导数公式： 2、基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数十大定理 高数的十大定理包括有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理(泰勒公式)、积分中值定理(平均值定理)、微分中值定理等。 具体来说： 1. 有界性：是指给定一个数集和一个常数M，存在一个确定的点，使得数集中的所有数都可以在某个区间上被这个点所限制，即数集中的所有数都不会超过这个常数M。 2. 最值定理：是指在实数集中，每一个函数都有一个最大值和一个最小值，即函数在某个区间内的最大值和最小值。 3. 零点定理：是指如果函数在区间[a,b]的两端取值异号，即f(a)⋅f(b)<0，那么在区间(a,b)内至少存在一个使f(x)=0的点。 4. 费马定理：是指对于实数n，如果有n个正整数a1,a2,...,an满足a1⋅a2...an=p(p为质数)，那么对于任何正整数n，a1,a2,...,an都是p的倍数。 5. 罗尔定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。
6. 拉格朗日中值定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。 7. 柯西中值定理：是指如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。 8. 泰勒定理（泰勒公式）：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上存在n阶导数，那么对于任何x∈[a,b]，都存在一个以x为中心的极小值点ξ，使得f(x)=f(ξ)+f'(ξ)(x-ξ)+f''(ξ)(x-ξ)^2/2!+...+f^(n)(ξ)(x-ξ)^n/n!+...。 9. 积分中值定理（平均值定理）：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加（或减少），那么对于任何正整数n，都存在一个点ξ∈[a,b]，使得n∫_a^bf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 10. 微分中值定理：包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，这些定理都涉及到函数在某一点处的导数与函数图形在该点处的切线的斜率之间的关系。 这些定理在高数的学习中有着重要的地位，理解和掌握这些定理对于学好高数十分重要。
高等数学定理大解析-考研必捋版 （考研大纲要求范围+高数重点知识） 第一章函数与极限 1、函数的有界性 在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界； 有界，却不能断定数列 n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而 ●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列 也有可能是收敛的。
4、函数的极限 函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f (x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域 6、极限存在准则 ●两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→ ∞）（1+1/x）x=1。 ●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：
yn ≤xn ≤zn且lim yn = a，lim zn = a，那么lim xn = a，对于 函数该准则也成立。 ●单调有界数列必有极限。 7、函数的连续性 ●设函数y= f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 ●定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x= f(y)在对应的区间Iy={ y| y = f(x),x ∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是 连续的。
高等数学定理
第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有 f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0 的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果 lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点 x0处连续。
高等数学定理大解析-考研必捋版 考研大纲要求范围+高数重点知识 第一章函数与极限 1、函数的有界性 在定义域内有fx≥K1则函数fx在定义域上有下界,K1为下界；如果有fx≤K2,则有上界,K2称为上界;函数fx在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界; 2、函数的单调性、奇偶性、周期性指最小正周期 3、数列的极限 定理极限的唯一性数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限; 定理收敛数列的有界性如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界; 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,-1n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件; 定理收敛数列与其子数列的关系如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a; ●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,-1n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的;
4、函数的极限 函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时fx有没有极限与fx在点x0有没有定义无关; 定理极限的局部保号性如果limx→x0时fx=A,而且A>0或A<0,就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有fx>0或fx>0,反之也成立; ●函数fx当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即fx0-0=fx0+0,若不相等则limfx不存在; ●一般的说,如果limx→∞fx=c,则直线y=c是函数y=fx的图形水平渐近线;如果limx→x0fx=∞,则直线x=x0是函数y=fx图形的铅直渐近线; 5、极限运算法则 定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小； 定理如果F1x≥F2x,而limF1x=a,limF2x=b,那么a≥b; 6、极限存在准则 ●两个重要极限limx→0sinx/x=1；limx→∞1+1/xx=1; ●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn 且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立; ●单调有界数列必有极限; 7、函数的连续性
高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(•-•=+ 和差化积 ] 2β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α] 2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α
积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α21 -=sin αinα·s β)] -cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1
高等数学公式定理(全)
·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tan β) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tan β) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cos α·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sin α·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cos α·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin β·cosγ
cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα
2022考研数学：高数必考定理(三) 小编整理了高数必考定理之中值定理与导数的应用，供2022考研的同学参考，帮助考生在备考的初期阶段整理总结此部分的内容。 1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点 (a 2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点 (a 3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F (x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f ( )/F ( )成立。 4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、 / 、0 、 - 、00、1 、 0等形式。 5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f (x) 0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)如果在(a，b)内f (x)
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f (x)=0的根及f (x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f (x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。 6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。 在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。 定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f (x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f (x0)=0，那么：(1)如果当x取 x0左侧临近的值时，f (x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f (x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f (x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时，f (x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f (x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。 定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0，f (x0) 0那么：(1)当f (x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
高中常用高数定理 1.拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在[a，b]上连续可导，则至少存在一点c， 使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a 高等数学定理大解析-考研必捋版 〔考研大纲要求X围+高数重点知识〕第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f 高等数学定理大解析-考研必捋版考研大纲要求范围+高数重点知识 第一章函数与极限 1、函数的有界性 在定义域内有fx≥K1则函数fx在定义域上有下界;K1为下界；如果有fx≤K2;则有上界;K 2称为上界..函数fx在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界.. 2、函数的单调性、奇偶性、周期性指最小正周期 3、数列的极限 定理极限的唯一性数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限.. 定理收敛数列的有界性如果数列{xn}收敛;那么数列{xn}一定有界.. 如果数列{xn}无界;那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界;却不能断定数列{xn}一定收敛;例如数列1;-1;1;-1;-1n+1…该数列有界但是发散;所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件.. 定理收敛数列与其子数列的关系如果数列{xn}收敛于a;那么它的任一子数列也收敛于a.. ●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限;那么数列{xn}是发散的;如数列1;-1;1;-1;-1n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1;{xnk}收敛于-1;{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的.. 4、函数的极限 函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0;所以x→x0时fx有没有极限与fx在点x0有没有定义无关.. 定理极限的局部保号性如果limx→x0时fx=A;而且A>0或A<0;就存在着点那么x0的某一去心邻域;当x在该邻域内时就有fx>0或fx>0;反之也成立.. ●函数fx当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等;即f x0-0=fx0+0;若不相等则limfx不存在.. ●一般的说;如果limx→∞fx=c;则直线y=c是函数y=fx的图形水平渐近线..如果lim x→x0fx=∞;则直线x=x0是函数y=fx图形的铅直渐近线.. 5、极限运算法则 定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小； 定理如果F1x≥F2x;而limF1x=a;limF2x=b;那么a≥b.. 6、极限存在准则 ●两个重要极限limx→0sinx/x=1；limx→∞1+1/xx=1.. ●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a;limzn= a;那么limxn=a;对于函数该准则也成立.. ●单调有界数列必有极限.. 7、函数的连续性 ●设函数y=fx在点x0的某一邻域内有定义;如果函数fx当x→x0时的极限存在;且等于它在点x0处的函数值fx0;即limx→x0fx=fx0;那么就称函数fx在点x0处连续.. ●不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但limx→x0fx不存在； 3、虽在x=x0有定义且limx→x0fx存在;但limx→x0fx≠fx0时则称函数在x0处不连续或间断.. ●如果x0是函数fx的间断点;但左极限及右极限都存在;则称x0为函数fx的第一类间断点左右极限相等者称可去间断点;不相等者称为跳跃间断点..非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点无穷间断点和震荡间断点.. ●定理有限个在某点连续的函数的和、积、商分母不为0是个在该点连续的函数.. ●定理如果函数fx在区间Ix上单调增加或减少且连续;那么它的反函数x=fy在对应的区间Iy={y|y=fx;x∈Ix}上单调增加或减少且连续..反三角函数在他们的定义域内都是 高数定理证明 1 极限与连续 1.1 预备知识 1.1.1 确界存在定理：若非空数集D ⊆R 有上（下）界，则D 必存在上（下）确界。 1.2 数列极限 1.2.1 唯一性：若数列{}n x 收敛，则{}n x 的极限是唯一的。 1.2.2 有界性：若数列{}n x 收敛，则{}n x 必有界。 1.2.3 保号性：若lim n n x A →∞ =，则0A >，则N +∃∈Z ，使得当n N >时，有02 n A x > >。 1.2.4 归并性：数列{}n x 收敛于A 的充分必要条件是{}n x 的任一子列也收敛于A 。 1.2.5 设lim ,lim n n n n x A y B →∞ →∞ ==，则： （1）lim()lim lim n n n n n n n x y x y A B →∞ →∞ →∞ ±=±=±； （2）lim()lim lim n n n n n n n x y x y A B →∞ →∞ →∞ =⋅=； （3）lim lim lim n n n n n n n x x A y y B →∞→∞→∞ ==（这里lim 0n n B y →∞=≠）。 1.2.6 夹逼准则：如果数列{}{}{},,n n n x y z 满足：N +∃∈Z ，使得当n N >时，有 n n n y x z ≤≤，且lim lim n n n n y z A →∞ →∞ ==，则lim n n x A →∞ =。 1.2.7 单调有界原理：单调有界数列必有极限。 1.2.8 柯西收敛准则：数列{}n x 收敛的充分必要条件是：对0ε∀>，0N +∃∈Z ，只 要0,m n N >时，就有m n x x ε-<。 或者说：对0ε∀>，0N +∃∈Z ，只要0n N >时，n p n x x ε+-<对所有的p + ∈Z 成立。 1.3 函数极限的性质和运算法则 1.3.1 （极限唯一性）如果0 lim ()x x f x →存在，则极限唯一。 1.3.2 （函数局部有界性）若极限0 lim ()x x f x →存在，则在点0x 的某个去心邻域0(,) U x δ内，函数()f x 有界，即有正数δ和M 使得：0(),(,)f x M x U x δ∀∈≤。 1.3.3 （函数局部保号性） （1）若极限0 lim ()0(0)x x f x A A →=><，则存在0x 的某去心邻域0(,)U x δ，当 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2= '='⋅-='⋅='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '⎰ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222⎰ ⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学重要定理及公式 作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫 说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式 1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =* 2.矩阵行列式：*1 1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ⎪ ⎭ ⎪⎬⎫ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()() (,)()() (,)max(()()) r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+ 4.齐次方程组0=Ax ：非0解⇔线性相关⇔n A R =)( 5.非齐次方程组b Ax =：有解⇔⇔=)()(A R A R 线性表出 6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 则A 与B 相 似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T =则称A 与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。） 7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及 行列式之间有以下关系：⎪ ⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑A a n n ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。 8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向 量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。 9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得 AC C AC C T 1-=为对称矩阵。高数定理大解析必背
高数定理大解析必背
高数定理证明
高数常用公式定理39571
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