§1
参数方程的概念
1.参数方程的概念
(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数 ???x ＝f （t ），
y ＝g （t ），
① 并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数.
相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.
(2)在参数方程中，应明确参数t 的取值范围.对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的交集.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 【思维导图】
【知能要点】 1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程. 3.参数方程和普通方程的互化.
题型一 参数方程及其求法
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.
2.求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定.
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.
解 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知???x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，
又θ＝π
60t (t 的单位：S)，故参数方程为?????x ＝2cos π
60t ，y ＝2sin π
60t .
【反思感悟】 以时间t 为参数，在图形中分别寻求动点M 的坐标和t 的关系.
1.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P 的轨迹方程. 解 以O 点为原点，过点O 且与l 垂直的直线为x 轴，过点O 与l 平行的直线为y 轴建立直角坐标系.设点O 到直线l 的距离为d (为定值，且d >0)，
取∠xOQ ＝θ为参数， θ∈? ??
??－π2，π2， 设动点P (x ，y ).在Rt △OQN 中， ∵|OQ |＝d
cos θ，|OP |＝|OQ |， ∠xOP ＝θ＋π
3， ∴x ＝|OP |cos ? ????
π3＋θ
＝d cos θ·cos ? ????
π3＋θ
＝? ??
??12－3
2tan θ·d ， y ＝|OP |·sin ? ????π3＋θ＝d cos θ·sin ? ????π3＋θ
＝? ????
32＋12tan θ·d . ∴点P 的参数方程为
?????x ＝? ????12－32tan θd ，y ＝? ??
??32＋12tan θd ? ??
??
－π2<θ<π2. 题型二 参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
【例2】 已知某条曲线C 的参数方程为???x ＝1＋2t y ＝at 2
(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；
(2)求曲线C 的普通方程.
分析 本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M (5，4)在该曲线上，则点M 的坐标应适合曲线C 的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.
解 (1)由题意可知有???1＋2t ＝5，at 2＝4，故???t ＝2，a ＝1.∴a ＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为???x ＝1＋2t ，
y ＝t 2
. 由第一个方程得t ＝x －1
2代入第二个方程，得 y ＝?
??
??x －122
，即(x －1)2＝4y 为所求. 【反思感悟】 参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手，易于代入消参.
2.把下列参数方程化为普通方程.???x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ，
解 由已知得???cos θ＝x －3，
sin θ＝2－y .
由三角恒等式sin 2θ＋cos 2θ＝1，可知(x －3)2＋(y －2)2＝1这就是所求的普通方程. 【例3】 选取适当的参数，把普通方程x 216＋y 2
9＝1化为参数方程. 解 设x ＝4cos φ，代入椭圆方程，得16cos 2φ16＋y 2
9＝1.
∴y 2＝9(1－cos 2φ)＝9sin 2φ，即y ＝±3sin φ.由参数φ的任意性可知y ＝3sin φ.故所求参数方程为???x ＝4cos φ，y ＝3sin φ
(φ为参数).
【反思感悟】 选取的参数不同，所得曲线的参数方程不同，注意普通方程和参数方程的等价性.
3.选取适当参数，把直线方程y ＝2x ＋3化为参数方程.
解 选t ＝x ，则y ＝2t ＋3，由此得直线的参数方程???x ＝t ，
y ＝2t ＋3(t ∈R ).也可选t ＝x ＋
1，则y ＝2t ＋1，参数方程为?
??x ＝t －1，
y ＝2t ＋1.
1.已知曲线C 的参数方程是：???x ＝3t ，
y ＝2t 2
＋1(t 为参数). (1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值.
解 (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得：???0＝3t ，
1＝2t 2
＋1 解得：t ＝0.
∴点M 1在曲线C 上.同理，可知点M 2不在曲线C 上. (2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，
∴???6＝3t ，
a ＝2t 2
＋1，
解得：t ＝2，a ＝9.∴a ＝9. 2.将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)???x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a >b >0)；
(2)?????x ＝a cos φ，y ＝b tan φ
(φ为参数，a 、b 为正常数)； (3)???x ＝2pt 2，y ＝2pt
(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2
θ＋sin 2
θ＝1，得x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，它表示的曲线是椭圆.
(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y
b ，
由1cos 2φ＝1＋tan 2
φ，有x 2a 2－y 2b 2＝1，它表示的曲线是双曲线. (3)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2
得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px 它表示的曲线是抛物线.
3.两曲线的参数方程为???x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和?
??x ＝－3t 2
，
y ＝－4t 2(t 为参数)，求它们的交点坐标.
解 将两曲线的参数方程化为普通方程， 得x 29＋y 216＝1，y ＝4
3x (x ≤0).
联立解得它们的交点坐标为? ??
??
－322，－22
. 4.△ABC 是圆x 2＋y 2＝r 2的内接三角形，已知A (r ，0)为定点，∠BAC ＝60°，求△ABC 的重心G 的轨迹方程.
解 因为∠BAC ＝60°，所以∠BOC ＝120°，
于是可设B (r cos θ，r sin θ)，C (r cos(θ＋120°)，r sin(θ＋120°))，重心坐标为(x ，y )， 则?????x ＝r ＋r cos θ＋r cos （θ＋120°）
3，y ＝r sin θ＋r sin （θ＋120°）3，
消去θ得(3x －r )2＋(3y )2＝r 2，
所以△ABC 重心G 的轨迹方程为? ??
??x －r 32＋y 2＝r
2
9 (0≤x ≤r 2).
[P 28思考交流]
把引例中求出的铅球运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用.
答
???x ＝v 0t cos α，
y ＝h ＋v 0t sin α－12gt
2其中v 0、α，h 和g 都是常数.这里的g 是重力加速度.h 是运动员出手时铅球的高度.
消去参数t 整理得：y ＝－g
2v 20
cos 2αx 2＋x ·tan x ＋h .
参数方程的作用：当参数t 每取一个允许值，就可以相应地确定一个x 值和一个y 值.这样铅球的位置就相应的确定了.这样建立的t 与x ，y 之间的关系不仅方便，
而且清晰地反映了变数的实际意义.如x ＝v 0t cos α反映了铅球飞行的水平距离. y ＝h ＋v 0t sin α－1
2gt 2反映了铅球的高度与飞行时间的关系.总之它是物理学中弹道曲线的方程. 【规律方法总结】
1.求轨迹的参数方程，可以通过对具体问题的分析，选择恰当的参数，建立参数方程.
2.曲线的参数方程和普通方程可以互化，两种方程具有等价性.
3.曲线上点的坐标如果需要单独表示，使用参数方程比较方便.
一、选择题
1.下列各点在方程???x ＝sin θ，
y ＝cos 2θ(θ是参数)所表示曲线上的点是( )
A.(2，－7)
B.? ??
??13，23 C.? ??
??
12，12 D.(1，0)
解析 由已知可得?????x ＝sin θ，
y ＝1－2sin 2
θ，将选项代入上式即可.
∴x ＝12时，y ＝1
2.故应选C. 答案 C
2.将参数方程?
??x ＝2＋sin 2
θ，
y ＝sin 2
θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x ＋2
C.y ＝x －2 (2≤x ≤3)
D.y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]，故选C. 答案 C
3.曲线(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( ) A.(－1＋cos θ，sin θ) B.(1＋sin θ，cos θ) C.(－1＋2cos θ，2sin θ)
D.(1＋2cos θ，2sin θ)
解析 可设?????x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴?????x ＝1＋2cos θ，
y ＝2sin θ，
∴曲线x 的点可表示为(1＋2cos θ，2sin θ). 答案 D
4.直线l 的参数方程为???x ＝a ＋t ，
y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点
P 1与P (a ，b )之间的距离为( ) A.|t 1| B.2|t 1| C.2|t 1|
D.22|t 1|
解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)， ∴|PP 1|＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝2t 21＝2|t 1|.
答案 C
5.参数方程?????x ＝t 2
＋2t ＋3
y ＝t 2
＋2t ＋2
表示的曲线是( ) A.双曲线x 2－y 2＝1 B.双曲线x 2－y 2＝1的右支 C.双曲线x 2－y 2＝1，但x ≥0，y ≥0 D.以上结论都不对
解析 平方相减得x 2－y 2＝1，但x ≥2，y ≥1. 答案 D 二、填空题
6.已知曲线???x ＝2sin θ＋1，
y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ＜2π).下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－
3，5)，其中在曲线上的点是________.
解析 曲线方程可化为x －2y ＋5＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入曲线的参数方程可知只有A 符合. 答案 A
7.物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________.
解析 设物体抛出的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于物体作平抛运动，
依题意，得???x ＝v 0t ，
y ＝－12gt 2，
这就是物体所经路线的参数方程. 答案 ?
???
?x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数)
8.以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数，将方程4x 2＋y 2＝16化成参数方程是__________.
解析 设直线为y ＝kx ＋4，代入4x 2＋y 2＝16化简即可.
答案
?????x ＝－8k 4＋k 2，y ＝16－4k 24＋k 2
9.将参数方程???x ＝sin θ＋cos θy ＝sin θcos θ化成普通方程为__________.
解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x |≤ 2. 答案 x 2＝1＋2y (|x |≤2) 三、解答题
10.已知曲线C ：???x ＝cos θ，
y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实
数a 的取值范围. 解 ∵???x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，
∴x 2＋(y ＋1)2＝1.
圆与直线有公共点，d ＝|0－1＋a |
2
≤1，
解得1－2≤a ≤1＋ 2.
11.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ? ??
??
θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值.
解 (1)由ρ2－42ρcos ? ????
θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 由圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，
得圆的参数方程为???x ＝2＋2cos α，
y ＝2＋2sin α(α为参数).
(2)由上述可知
x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin(α＋π
4)， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.
12.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，已知动点P 满足PQ ⊥OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹方程. 解 设点P 坐标为(x ，y )， 则B (2a ，y )，D (x ，0). 在Rt △OAB 中，tan θ＝AB OA ， ∴AB ＝OA ·tan θ，即y ＝2a ·tan θ. 在Rt △OAQ 中，cos θ＝OQ OA ，
∴OQ ＝OA ·cos θ，在Rt △OQD 中，cos θ＝OD
OQ ， ∴OD ＝OQ ·cos θ，
∴OD ＝OA ·cos 2θ，即x ＝2a · cos 2
θ.即有???x ＝2a cos 2
θ，y ＝2a tan θ
θ∈? ??
??
－π2，π2，化为普通方程为：xy 2＋4a 2x ＝8a 3.
13.在长为a 的线段AB 上有一个动点E ，在AB 的同侧以AE 和EB 为斜边，分别作等腰直角三角形AEC 和EBD ，点P 是CD 的定比分点，且CP ∶PD ＝2∶1，求点P 的轨迹.
解 建立如图所示坐标系(设C ，D 在x 轴上方).
设E (t ，0)(t 为参数，t ∈[0，a ])，B (a ，0)，则点C 的坐标为? ????
t 2，t 2，
点D 的坐标为? ????
a ＋t 2，a －t 2.
∵CP ∶PD ＝2∶1，即λ＝2. 由定比分点公式，有
????
?
x ＝t 2＋2·12（a ＋t ）1＋2
＝16（2a ＋3t ），
y ＝t 2＋2·1
2（a －t ）1＋2＝16（2a －t ）
t ∈[0，a ]，
这就是点P 运动轨迹的参数方程.
第八章常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. ---- 傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具” ，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念 分布图示 ★引言 ★微分方程的概念★例1 ★ 例2★例3★ 例4 ★微分方程解的概念 ★ 例5★例6 ★内容小结★课堂练习 ★习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: F(x,y,y ,y ,y(n)) 0, (1.5) 其中x 为自变量，y y(x) 是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
01-第一节-微分方程的基本概念
第八章常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴
弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念 分布图示 ★引言 ★微分方程的概念★例1 ★例2★例3★例4 ★微分方程解的概念 ★例5★例6 ★内容小结★课堂练习
则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数. 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程. 在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有 ,0))(,)(),(),(,() (='''x x x x x F n ???? 则称函数)(x y ?=为微分方程(1.5)在区间I 上的解. 二、 微分方程的解 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们
曲线的参数方程（孙雷） 教材人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节 授课教师孙雷 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 当两个齿轮接触时，蓝色齿轮会带动红色齿轮转动，当两个齿轮没有接触时，蓝齿轮要带动红色齿轮转动，有一种方法是加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮同时接触。 (上述过程让学生感受中间变量的作用，为参数方程中的参变量的引出作铺垫。) 思考1： 若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______________； (2) 第二组图中，A与C角速度之间的关系是_______________； B与C角速度之间的关系是________________； 思考2： 思考： 若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是_________________；
(2) 第二组图中，它们角速度之间的关系是_________________； 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 例1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在 直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原 点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系 该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈? ??==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈? ??==θθθr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力） （3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。 对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；） （4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？ )2,0[s i n c o s ωπωω∈???==t t r y t r x ， )2,0[s i n c o s πθθθ∈???==r y r x （5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 （6）圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθ θ∈???==y x 是否表示同一曲线？为什么？ （ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程： ①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）；
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得
2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。 一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11） 其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程
第四章第一节微分方程的基本概念 基本内容 1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数 ) (x y y=称为微分方程的解。如果微分方 程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。 习题选解 1.试指出下列各微分方程的阶数 （1） 220 x dy y dx -= 解：一阶 （2） 4 3()0 y y y y '''''' -= 解：二阶 （3） 2 2 0 d Q dQ Q L R dt C dt ++= 解：二阶。 （4）(76)()0 x y dx x y dy -++= 解：一阶 （5） 2 sin d d ρ ρθθ += 解：一阶 （6） (5)20 y y y y '''' -++= 解：5阶 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
（1）30dy x y dx +=， 3 C y x = 解：因为34 3()dy C C dx x x '==-，代入微分方程，得： 左边=333330dy C C x y dx x x +=-+==右边，所以 3 C y x =是微分方程的解。 （2）22 2220d y dy x x y dx dx -+=， 223y x x =- 解：因为2 (23)26dy x x x dx '=-=-，22 (26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得： 左边22 22 2 2262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以 223y x x =-是微分方程的解。 （3）022 2=+dt dS dt S d ω，t C t C S ωωsin cos 21+= 解：因为1212(cos sin )sin cos dS C t C t C t C t dt ωωωωωω'=+=-+， 22212122 (sin cos )cos sin d S C t C t C t C t dt ωωωωωωωω'=-+=--，代入微分方程，得： 左边22222212122cos sin (sin cos ) d S dS C t C t C t C t dt dt ωωωωωωωωω=+=--+-+ 22112[()cos ()sin ]0C C t C C t ωωω=--+≠=右边，所以t C t C S ωωsin cos 21+=不是 微分方程的解。 （4）0)(=++xdy dx y x ， x x C y 22 -= 解：由x x C y 22-=，得：22x C xy -=，两边微分，得：2 )(2dx xy d -=，即 xdx xdy ydx 2)(2-=+。从而得0)(=++xdy dx y x ，所以x x C y 22 -= 是微分方程的解。
01第一节微分方程的 基本概念
第八章常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念 分布图示 ★引言
★微分方程的概念★例1 ★例2★例3 ★例4 ★微分方程解的概念 ★例5★例6 ★内容小结★课堂练习 ★习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: ?Skip Record If...? (1.5) 其中?Skip Record If...?为自变量，?Skip Record If...?是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程 ?Skip Record If...? (1.6) 以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数?Skip Record If...?在所讨论的范围内连续. 如果方程(1.6)可表为如下形式: ?Skip Record If...? (1.7) 则称方程(1.7)为?Skip Record If...?阶线性微分方程. 其中?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?均为自变量?Skip Record If...?的已知函数. 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
参数方程的概念 参数方程的概念： 一般地，在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t 的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t称为参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 参数方程和普通方程的互化： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则，互化就是不等价的。 （1）参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种： ①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数； ②三角法：利用三角恒等式消去参数； ③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去． (2)普通方程化为参数方程需要引入参数． 如：①直线的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程 ②在普通方程xy=1中，令可以化为参数方程 关于参数的几点说明： (1)参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． (2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同． (3)在实际问题中要确定参数的取值范围． 参数方程的几种常用方法：
方法1参数方程与普通方程的互化：将曲线的参数方程化为普通方程的方法应视题目的特点而定，要选择恰当的方法消参，并要注意由于消参后引起的范围限制消失而造成的增解问题．常用的消参技巧有加减消参，代人消参，平方消参等． 方法2求曲线的参数方程：求曲线的参数方程或应用曲线的参数方程，要熟记曲线参数方程的形式及参数的意义． 方法3参数方程问题的解决方法：解决参数方程的一个基本思路是将其转化为普通方程，然后利用在直角坐标系下解决问题的方式进行解题． 方法4利用圆的渐开线的参数方程求点：利用参数方程求解点时只需将参数代入方程就可求得。 方法5求圆的摆线的参数方程：根据圆的摆线的参数方程的表达式 ，可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点代人参数方程求出r值再代人参数方程的表达式． 柱坐标系与球坐标系 柱坐标系的定义： 建立空间直角坐标系Oxyz，设P（x，y，z）是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，Q点的极坐标为（ρ，θ），则P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）表示，（ρ，θ，z）叫做点P的柱坐标。 （1）柱坐标转化为直角坐标： （2）直角坐标转化为柱坐标：。 球坐标系的定义： 建立空间直角坐标系Oxyz，设P（x，y，z）是空间任意一点，记|OP|=r，OP与Oz轴正向所夹的角为j，点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，则P的位置可用有序数组（r，j，θ）表示，（r，j，θ）叫做点P的球坐标。
第一节 微分方程的基本概念 教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 教学难点：微分方程的通解概念的理解 教学内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） （2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函 数
)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5） 此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8） 其中21,C C 都是任意常数。 把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10） 在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。 微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。
求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y
我们知道式③表示一族曲线， 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式， 而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.
（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.
第十二章 微分方程 一、 学时分配： 讲课学时：14 习题学时：2 共 16 学时 二、 基本内容： 1． 微分方程的基本概念 2． 可分离变量的微分方程 3． 齐次方程 4． 一阶线性微分方程 5． 全微分方程 6． 可降阶的高阶微分方程 7． 高阶线性微分方程 8． 一阶常系数齐次线性微分方程 9． 一阶常系数非齐次线性微分方程 三、 教学要求： 1．理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等． 2．熟练掌握可分离变量的微分方程的解法． 3．熟练掌握齐次微分方程的解法 4．掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法 5．掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找 积分因子 6．掌握)()(x f y n =、),(///y x f y =、),(///y y f y =三种高阶微分方程的解法， 即降阶法，理解降阶法的思想 7．掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式 8．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式 ９．掌握自由项为x m e x P x f λ)()(=和x m m e x x Q x x P x f λωω]sin )(cos )([)(+=的二 阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法 四、重点难点：
1．重点： 2．难点： 第一节 微分方程的基本概念 教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等． 教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 教学难点：微分方程的通解概念的理解 教学内容： 一、 两个实例 1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。 解：设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1） 同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2） 把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3） 其中C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 1=C ， 由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） 2．列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：
曲线的参数方程 1．参数方程的概念 (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个 变数t 的函数：? ????x ＝f (t ) y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y ) 都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． (2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程??? ? ?x ＝f (t )y ＝g (t ) (t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关 系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值． 这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程． 1．下列方程中可以看作参数方程的是( ) A ．x －y －t ＝0 B ．x 2 ＋y 2 －2ax －9＝0 C.?????x 2 ＝t 2 y ＝2t －1 D ．?????x ＝sin θ y ＝cos θ 解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2 ＝t 2 不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义． 2．点M (2，y 0)在曲线C ：??? ? ?x ＝2t y ＝t 2 －1 ，(t 为参数)上，则y 0＝________． 解析：将M (2，y 0)代入参数方程得?????2＝2t y 0＝t 2 －1， 解得? ????t ＝1 y 0＝0.
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
微分方程中的几个基础概念 微分方程—基础 微分方程(Differential equation, DFQ)是一种用来描述函数与其导数之间关系的数学方程。与之前所接触初等数学代数方程的解不同，它的解不是数，而是符合方程关系的函数。 微分方程的起源约在十七世纪末，为了解决自然科学发展中遇到物理及天文学问题而产生，随着微积分的诞生与在各个科学领域中的广泛应用，很多问题被归化为某类微分方程的问题。 在微分方程分支中，存在很多各种各样已知类型的微分方程。实事上，提高对微分方程的理解的最好的方法之一是首先处理基本的分类系统。为什么？因为你可能永远不会遇到完全陌生的微分方程。大多数微分方程已经被解决了，因此，普遍适用的解决方法很可能已经存在。 除了描述方程本身的性质外，对微分方程进行分类和识别的真正附加值来自于为跳转点提供一张导图。求解微分方程的诀窍不是创造原始解法，而是对已证明的解法进行分类和应用；有时，可能需要几步把一类方程转换为另一类等效方程，以获得可实现的广义解。 最常用于描述微分方程的四个属性是： ?常微分与偏微分 ?线性与非线性 ?齐次与非齐次
?微分阶数 虽然这个列表并非详尽无遗，但是它是我们学习首先要掌握的知识，通常在微分方程学期课程的前几周会进行回顾；通过快速回顾每一个类别，我们将会配备基本的入门工具包来处理常见的微分方程问题。 常微分与偏微分 首先，我们在自然中所发现的微分方程最常见的分类来源于从我们手边的问题中所发现的导数类型;简单地说，方程是否包含偏导数？ 如果不包含，那么它是一个常微分方程（, Ordinary differential equation）。如果包含，那么它是一个偏微分方程（, Partial differential equation）。 常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程，其微分基于该单一的自变量，通常是时间。一个常微分方程有一组离散的（有限的）变量；它们通常是一维动力系统的模型，例如：钟摆随时间的摆动。 另一方面，偏微分方程相当复杂，因为它们通常涉及多个自变量，其多种多样的偏微分方程可能基于也可能并不基于一个已知的自变量。偏微分方程常被用来描述自然界中各种各样的现象，例如：热，空间中的流体速度，或电动力学。这些似乎完全不同的物理现象被化为偏微分方程；它们在随机偏微分方程中得到推广。 下面的这些例子有助于我们分辨微分方程的导数类型包括：
曲线的参数方程(孙雷） 教材人民教育出版社高中数学选修4-4第二讲第一节 授课教师孙雷 教学目标 １、理解曲线参数方程的概念,能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究,了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题,在问题解决的过程中,形 成数学抽象思维能力,初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一)曲线的参数方程概念的引入 引例： 当两个齿轮接触时,蓝色齿轮会带动红色齿轮转动，当两个齿轮没有接触时,蓝齿轮要带动红色齿轮转动，有一种方法是加入一个新的齿轮，使之与红蓝两个齿轮同时接触。 (上述过程让学生感受中间变量的作用，为参数方程中的参变量的引出作铺垫。) 思考1： 若齿轮A、Ｂ、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、ｔ,方向忽略不计 (1)第一组图中，A与B角速度之间的关系是__＿＿_________＿_； (２）第二组图中，A与C角速度之间的关系是_________＿_____; B与C角速度之间的关系是_＿________＿___＿＿; 思考2： 思考: 若齿轮A、Ｂ、Ｃ的半径分别为4、1、2,他们转动时的角速度分别是x、y、t,方向忽略不计 (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是__＿_＿＿__＿_____＿__；
(2） 第二组图中,它们角速度之间的关系是_＿_＿_____＿＿_____＿; 引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 (1、通过生活中的实例,引发学生研究的兴趣；２、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；４、通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） (二)曲线的参数方程 例１、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙O 的圆心为原点,半径为r ,0OP 所在直 线为x 轴,如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以 匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如 何建立呢？（其中r 与ω为常数,t 为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知: ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω,运动所用的时间为t ,则角位移t ωθ=,那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得:),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化,为圆的参数方程概念的形成作准备,同时也培养了学生数学抽象思维能力） （３)方程①、②是否是圆心在原点,半径为r 的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知:对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t (或θ）的值,使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =,θcos r x =)都成立。 对于变数t （或θ)的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上; (1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习;２、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发,可以说明以上由变数t (或θ)建立起来的方程是圆的方程；） （４）若要表示一个完整的圆,则t 与θ的最小的取值范围是什么呢? ? )2,0[sin cos ωπωω∈???==t t r y t r x , )2,0[sin cos πθθ θ∈???==r y r x (5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①(或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。 (６)圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ)参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθ θ∈???==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθθ∈???==y x 是否表示同一曲线?为什么？